第9讲整式的加减 暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第9讲 整式的加减 目录 知识点1 同类项的定义与判定 2 知识点2 合并同类项法则 2 知识点3 去括号法则 2 知识点4 添括号法则 3 知识点5 整式的加减运算法则 3 知识点6 整式无关型问题原理 3 知识点7 规律探究基础 3 知识点8 含字母绝对值化简规则 3 题型1 同类项的判断 3 题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值 4 题型3 合并同类项 4 题型4 去括号 5 题型5 添括号 5 题型6 整式的加减运算 6 题型7 整式的加减中的化简求值 6 题型8 整式加减中的无关型问题 7 题型9 整式加减的应用 8 题型10 数字类规律探索 9 题型11 图形类规律探索 10 题型12 带有字母的绝对值化简问题 12 解答题 13 1. 知识目标：理解同类项定义，熟记合并同类项、去括号、添括号核心法则，掌握整式加减完整运算步骤，了解整式规律探究、绝对值化简基础逻辑。 2. 能力目标：能精准判断同类项、熟练整式化简求值，掌握无关型问题、实际应用解法，可独立解决数字、图形规律及含字母绝对值化简题型。 3. 素养目标：养成规范化简的运算习惯，培养代数建模与数形结合思维，提升整式综合运用与规律探究能力。 知识点1 同类项的定义与判定 1. 定义：所含字母完全相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项。 2. 特例：所有常数项都是同类项。 3. 判定关键：只看字母和对应指数，与系数大小、字母排列顺序无关。 知识点2 合并同类项法则 1. 法则：同类项的系数相加，所得结果作为新系数，字母和字母的指数保持不变。 2. 步骤：找同类项→移项归类→系数加减→保留字母部分。 3. 注意：非同类项不能合并，合并后式子最简，无剩余同类项。 知识点3 去括号法则 1. 括号前是“+”：去掉括号和正号，括号内各项符号不变。 2. 括号前是“-”：去掉括号和负号，括号内所有项全部变号。 3. 括号前有数字系数：先利用乘法分配律乘进括号，再去括号，杜绝漏乘。 知识点4 添括号法则 1. 添括号后，括号前是“+”：括号内各项符号不变。 2. 添括号后，括号前是“-”：括号内所有项全部变号。 3. 核心：添括号与去括号互为逆运算，可相互验算正误。 知识点5 整式的加减运算法则 1. 运算实质：整式加减 = 去括号 + 合并同类项。 2. 标准步骤：先去括号（由内到外）→再归类合并同类项→化为最简整式。 3. 运算顺序：多层括号先去小括号，再去中括号，逐层化简。 知识点6 整式无关型问题原理 1. 式子的值与某字母无关，即该字母任意取值式子值不变。 2. 核心结论：化简后，该字母所有项的系数全部为0。 知识点7 规律探究基础 1. 数字规律：观察相邻数差值、倍数、奇偶、周期，归纳通用代数式。 2. 图形规律：统计每组图形数量，结合序号列写通项整式。 知识点8 含字母绝对值化简规则 1. 核心：先判断绝对值内部式子的正负，再去绝对值符号。 2. 正去绝对值得本身，负去绝对值得相反数，0去绝对值为0。 题型1 同类项的判断 解题技巧（两同两无关、快速判定） 1. 两同：所含字母完全相同、相同字母指数完全相同； 2. 两无关：与系数大小无关、与字母排列顺序无关； 3. 常数项之间互为同类项； 4. 只要有一个字母或指数不同，直接判定非同类项。 1．下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 2．下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．写出一个与是同类项的单项式_____ 4．写出一个与同类项为__________． 题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值 解题技巧（指数对应相等、列方程求解） 1. 依据同类项定义，相同字母的指数一一对应相等； 2. 列出一元一次方程或方程组，求解参数； 3. 求出参数后，代入所求代数式整体求值； 4. 验算指数是否一致，规避列式错误。 5．若与是同类项，则m、n的取值为（     ） A．， B．， C．， D．， 6．已知与是同类项，那么的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 7．若与的和仍是单项式，则=__________． 8．若代数式与是同类项，则________． 题型3 合并同类项 解题技巧（找、移、并、最简四步法） 1. 找：标记所有同类项，区分常数项； 2. 移：连带符号移动同类项，集中归类； 3. 并：系数相加减，字母指数保持不变； 4. 检：无同类项剩余即为最简，非同类项坚决不合并。 9．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 10．把多项式合并同类项后，所得多项式是（     ） A．二次二项式 B．二次三项式 C．一次二项式 D．三次二项式 11．合并同类一次项：____________． 12．计算的结果等于________． 题型4 去括号 解题技巧（正不变、负全变、有系数全覆盖） 1. 括号前为正号：直接去括号，内部各项符号不变； 2. 括号前为负号：去括号后，内部每一项全部变号； 3. 带数字系数：先分配律相乘，再去括号，杜绝漏乘某一项； 4. 多层括号由内到外逐层去除，避免一次性出错。 13．解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 14．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 15．_______． 16．的结果是________． 题型5 添括号 解题技巧（看符号、定变号、反向验算） 1. 括号前添正号，放入括号的所有项符号不变； 2. 括号前添负号，放入括号的所有项全部变号； 3. 添括号后可通过去括号反向验算，确保式子不变； 4. 常用于简便运算、整体代入求值题型。 17．在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 18．（    ） A． B． C． D． 19．在（    ）中，括号内应填的代数式为_________． 20．若，则的值为______． 题型6 整式的加减运算 解题技巧（先去括号、再合并、分步化简） 1. 严格遵循运算流程：先去所有括号，再合并同类项； 2. 多项式加减运算，整体加括号再运算，避免符号出错； 3. 同类项精准归类，系数运算细心，字母指数不改动； 4. 最终结果化为最简整式，无括号、无同类项。 21．化简：． 22．化简： (1)； (2)． 23．计算： (1)． (2)． 24．化简： 题型7 整式的加减中的化简求值 解题技巧（先化简、后代入、不直接代值） 1. 绝对优先化简：先去括号、合并同类项，化为最简式； 2. 再代入数值：负数、分数代入必须加括号； 3. 按有理数运算规则计算结果，化为最简数； 4. 严禁不化简直接硬算，计算量大且极易出错。 25．先化简，再求值：，其中，． 26．先化简，再求值： ，其中，． 27．化简：已知，，且，求的值． 28．先化简，再求值． (1)，其中， (2)，其中，满足 题型8 整式加减中的无关型问题 解题技巧（化简整式、令系数为0、解方程） 1. 先完整化简整式，合并含指定字母的所有项； 2. 式子与某字母无关 → 该字母对应所有项系数=0； 3. 根据系数为0列方程，求解参数； 4. 代入参数回代验算，确认无对应字母项。 29．无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 30．已知，．若的值与x的取值无关，则___． 31．已知：．（为常数） (1)若不含项，求出的值； (2)在（1）的基础上化简：． 32．“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出a与b的值，但可以将看作一个整体，其值即为2，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则______； (2)若，求的值； (3)设多项式，，，若的结果与x的取值无关，求的值． 题型9 整式加减的应用 解题技巧（建模列式、化简求解、贴合场景） 1. 根据图形周长、面积、价格、行程、数量变化列整式； 2. 多个数量关系叠加、差值问题，用整式加减列式； 3. 先化简式子，再代入数值计算； 4. 结果结合实际场景作答，贴合题意解释含义。 33．图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，，则的值是（     ） A．8 B．16 C．32 D．64 34．某校原来有学生x人，本学期开学时，转入学生人，转出学生人，则该校现有学生________人． 35．如图，长为（），宽为（）的大长方形被分割为7小块，除阴影，外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为________________（用代数式表示）； (2)阴影的一条较短边和阴影的一条较短边之和为，是_____________的（填正确/错误）；阴影和阴影的周长值之和与_____________（填有关/无关），与_____________（填有关/无关）： 36．阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 题型10 数字类规律探索 解题技巧（列数组、找变化、归纳通项） 1. 列出前3–5组数字，观察差值、倍数、奇偶、周期规律； 2. 区分等差、等比、平方、交替正负等常见规律； 3. 用含n的整式表示通用通项公式； 4. 代入前两组数值验证，确保规律准确。 37．在《设计自己的运算程序》课上，老师设计了如下运算程序：任意写下一个四位数（四位数字相同的除外）．重新排列各位数字，使其组成一个最大的四位数和一个最小的四位数，然后用最大的数减去最小的数，得到它们的差．重复这个过程．小星写了一个四位数是1752，按照以上程序进行运算，则第100次得到的两个数的差为（     ） A．6264 B．4176 C．1467 D．6174 38．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第次输出的结果是________． 39．某校数学兴趣小组开展探究活动，他们结合所学内容，决定研究数的一些“神秘”性质． (1)任何一个大于1的整数m的平方都可以写成m个连续奇数之和．举例论证：；；．请你按照规律写出：①______． (2)当m是奇数（如9）时，则等号右边式子中的中间数（即第5个数）为m（即9）．当m为偶数（如10）时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）分别为②______、______（即______、______）． (3)利用上面结论计算：③______． (4)若n表示正整数，则的值为（④______）． 40．按要求解答下列各题： (1)列式：设是一个三位数，则用含，，的代数式表示为______； (2)定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数：______； (3)推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3整除．设是一个顺子数． ①请用含的代数式表示和； ②通过整式的运算，证明上述发现的结论． 题型11 图形类规律探索 解题技巧（数形对应、统计数量、归纳公式） 1. 依次统计第1、2、3组图形对应数量； 2. 找出图形数量随序号的变化规律； 3. 列写含序号n的整式通项； 4. 结合增减规律快速求解第n项数值。 41．如图，无人机编队的造型均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成…按照这一规律，第个图案中基本图形的个数是（    ） A． B． C． D． 42．（图形找规律）小明用小棒摆八边形，如图所示，摆n个八边形要用__________根小棒． 43．如下图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人． (1)观察上图，根据规律将表格补充完整． 餐桌数量 1 2 3 4 5 … 可坐人数 4 6 8 … (2)按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐（    ）人． 44．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 题型12 带有字母的绝对值化简问题 解题技巧（判正负、去符号、整式化简） 1. 根据数轴位置、字母取值范围，判断绝对值内部式子正负； 2. 正去绝对值得原式，负去绝对值得相反数； 3. 去绝对值后，结合去括号、合并同类项化简整式； 4. 全程注意符号变化，杜绝变号遗漏、错号问题。 45．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 46．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是________________． 47．按要求解答 (1)已知： 计算 ； 若和时（1）中式子的值相等，求的值． (2)已知：有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． 若， ，的相反数是，求，，的值； 化简： ． 48．【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ． 解答题 49．定义新运算：． (1)计算的值； (2)已知有理数在数轴上满足，化简． 50．解答下列各题． (1)已知，求的值； (2)已知a，b，c是不为0的有理数，求的值． 51．项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 52．探索规律． 乐乐在计算：，这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的阴影部分表示，这个阴影部分可以转化成长是_______，宽是_______的长方形； (2)根据以上规律计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 整式的加减 目录 知识点1 同类项的定义与判定 2 知识点2 合并同类项法则 2 知识点3 去括号法则 2 知识点4 添括号法则 3 知识点5 整式的加减运算法则 3 知识点6 整式无关型问题原理 3 知识点7 规律探究基础 3 知识点8 含字母绝对值化简规则 3 题型1 同类项的判断 3 题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值 5 题型3 合并同类项 6 题型4 去括号 7 题型5 添括号 8 题型6 整式的加减运算 10 题型7 整式的加减中的化简求值 11 题型8 整式加减中的无关型问题 13 题型9 整式加减的应用 16 题型10 数字类规律探索 20 题型11 图形类规律探索 23 题型12 带有字母的绝对值化简问题 26 解答题 30 1. 知识目标：理解同类项定义，熟记合并同类项、去括号、添括号核心法则，掌握整式加减完整运算步骤，了解整式规律探究、绝对值化简基础逻辑。 2. 能力目标：能精准判断同类项、熟练整式化简求值，掌握无关型问题、实际应用解法，可独立解决数字、图形规律及含字母绝对值化简题型。 3. 素养目标：养成规范化简的运算习惯，培养代数建模与数形结合思维，提升整式综合运用与规律探究能力。 知识点1 同类项的定义与判定 1. 定义：所含字母完全相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项。 2. 特例：所有常数项都是同类项。 3. 判定关键：只看字母和对应指数，与系数大小、字母排列顺序无关。 知识点2 合并同类项法则 1. 法则：同类项的系数相加，所得结果作为新系数，字母和字母的指数保持不变。 2. 步骤：找同类项→移项归类→系数加减→保留字母部分。 3. 注意：非同类项不能合并，合并后式子最简，无剩余同类项。 知识点3 去括号法则 1. 括号前是“+”：去掉括号和正号，括号内各项符号不变。 2. 括号前是“-”：去掉括号和负号，括号内所有项全部变号。 3. 括号前有数字系数：先利用乘法分配律乘进括号，再去括号，杜绝漏乘。 知识点4 添括号法则 1. 添括号后，括号前是“+”：括号内各项符号不变。 2. 添括号后，括号前是“-”：括号内所有项全部变号。 3. 核心：添括号与去括号互为逆运算，可相互验算正误。 知识点5 整式的加减运算法则 1. 运算实质：整式加减 = 去括号 + 合并同类项。 2. 标准步骤：先去括号（由内到外）→再归类合并同类项→化为最简整式。 3. 运算顺序：多层括号先去小括号，再去中括号，逐层化简。 知识点6 整式无关型问题原理 1. 式子的值与某字母无关，即该字母任意取值式子值不变。 2. 核心结论：化简后，该字母所有项的系数全部为0。 知识点7 规律探究基础 1. 数字规律：观察相邻数差值、倍数、奇偶、周期，归纳通用代数式。 2. 图形规律：统计每组图形数量，结合序号列写通项整式。 知识点8 含字母绝对值化简规则 1. 核心：先判断绝对值内部式子的正负，再去绝对值符号。 2. 正去绝对值得本身，负去绝对值得相反数，0去绝对值为0。 题型1 同类项的判断 解题技巧（两同两无关、快速判定） 1. 两同：所含字母完全相同、相同字母指数完全相同； 2. 两无关：与系数大小无关、与字母排列顺序无关； 3. 常数项之间互为同类项； 4. 只要有一个字母或指数不同，直接判定非同类项。 1．下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：与所含字母不同，A错误； 与中相同字母的指数不相同，B错误； 与所含字母均为、，且相同字母指数均为1，C正确； 与中的指数不同，D错误． 2．下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项．根据定义逐项判断即可．常数项均为同类项． 【详解】解：A、和所含字母相同，但是相同字母的指数不同，不是同类项； B、和所含字母不同，不是同类项； C、和中，不是整式，不是同类项； D、1和都是常数，是同类项． 3．写出一个与是同类项的单项式_____ 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据同类项的定义求解即可． 【详解】解：单项式所含字母为和，它们的指数都为1， 因此只需满足含有和，且指数都为1，系数不为0和的数，例如（答案不唯一）． 4．写出一个与同类项为__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查同类项的定义，同类项的定义为所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项． 根据同类项的定义写出符合条件的项即可． 【详解】解：与是同类项的式子可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值 解题技巧（指数对应相等、列方程求解） 1. 依据同类项定义，相同字母的指数一一对应相等； 2. 列出一元一次方程或方程组，求解参数； 3. 求出参数后，代入所求代数式整体求值； 4. 验算指数是否一致，规避列式错误。 5．若与是同类项，则m、n的取值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．据此求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，． 6．已知与是同类项，那么的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据同类项相同字母的指数相等列出等式，即可求出的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 对第一个等式移项得， 故的值为． 7．若与的和仍是单项式，则=__________． 【答案】2 【详解】解：与的和仍是单项式， 与是同类项， 根据同类项的定义，可得，， ． 8．若代数式与是同类项，则________． 【答案】 【分析】所含字母相同，相同的字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此列出方程求解即可． 【详解】解：∵代数式与是同类项， ∴， ∴ ． 题型3 合并同类项 解题技巧（找、移、并、最简四步法） 1. 找：标记所有同类项，区分常数项； 2. 移：连带符号移动同类项，集中归类； 3. 并：系数相加减，字母指数保持不变； 4. 检：无同类项剩余即为最简，非同类项坚决不合并。 9．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 10．把多项式合并同类项后，所得多项式是（     ） A．二次二项式 B．二次三项式 C．一次二项式 D．三次二项式 【答案】C 【详解】解：∵， ∴所得多项式是一次二项式． 11．合并同类一次项：____________． 【答案】 【详解】解：． 12．计算的结果等于________． 【答案】 【详解】解：． 题型4 去括号 解题技巧（正不变、负全变、有系数全覆盖） 1. 括号前为正号：直接去括号，内部各项符号不变； 2. 括号前为负号：去括号后，内部每一项全部变号； 3. 带数字系数：先分配律相乘，再去括号，杜绝漏乘某一项； 4. 多层括号由内到外逐层去除，避免一次性出错。 13．解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用乘法分配律计算，括号前是负号时，去括号后括号内各项要改变符号，据此即可判断正确结果． 【详解】解：∵ 对原方程去括号，需将乘括号内的每一项， ∴ 乘得，乘得， 因此去括号后结果为． 14．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单项式乘多项式法则展开各选项左边，与右侧对比判断正误． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，等式左右相等，故D正确． 15．_______． 【答案】/ 【分析】先去括号，再合并同类项即可得出结果． 【详解】解： ． 16．的结果是________． 【答案】 【分析】先去括号，再合并即可； 【详解】解： ． 题型5 添括号 解题技巧（看符号、定变号、反向验算） 1. 括号前添正号，放入括号的所有项符号不变； 2. 括号前添负号，放入括号的所有项全部变号； 3. 添括号后可通过去括号反向验算，确保式子不变； 4. 常用于简便运算、整体代入求值题型。 17．在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据添括号法则对原式两个因式分别变形，即可得到括号内的代数式，添括号时括号前是正号，括入项符号不变；括号前是负号，括入项符号都改变． 【详解】解：对第一个因式变形：， 第一个括号内应填； 对第二个因式变形：， 第二个括号内应填； 综上所述，括号内依次填入和． 18．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号与添括号的法则求解即可． 【详解】解：． 19．在（    ）中，括号内应填的代数式为_________． 【答案】 【分析】本题考查去括号，添括号． 根据去括号和添括号法则，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 20．若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的计算和整体代入法．化简代数式，然后将条件式整体代入即可． 【详解】解： ， ∵， ∴． 故答案为：． 题型6 整式的加减运算 解题技巧（先去括号、再合并、分步化简） 1. 严格遵循运算流程：先去所有括号，再合并同类项； 2. 多项式加减运算，整体加括号再运算，避免符号出错； 3. 同类项精准归类，系数运算细心，字母指数不改动； 4. 最终结果化为最简整式，无括号、无同类项。 21．化简：． 【答案】 【详解】解：原式 22．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 23．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 24．化简： 【答案】 【详解】解：原式． 题型7 整式的加减中的化简求值 解题技巧（先化简、后代入、不直接代值） 1. 绝对优先化简：先去括号、合并同类项，化为最简式； 2. 再代入数值：负数、分数代入必须加括号； 3. 按有理数运算规则计算结果，化为最简数； 4. 严禁不化简直接硬算，计算量大且极易出错。 25．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 26．先化简，再求值： ，其中，． 【答案】化简结果为，值为. 【详解】解： ． 当，时， 原式． 27．化简：已知，，且，求的值． 【答案】 【分析】计算，将和的表达式代入，展开括号后合并同类项，再代入已知条件，即可求解． 【详解】解： ， 代入，可得：． 28．先化简，再求值． (1)，其中， (2)，其中，满足 【答案】(1)化简结果为，值为 (2)化简结果为，值为 【分析】（1）先去括号再合并同类项，最后将，代入计算即可； （2）先去括号再合并同类项，再根据非负性求出，最后代入计算即可． 【详解】（1）解： 当，时， 原式； （2）解： 解得 原式． 题型8 整式加减中的无关型问题 解题技巧（化简整式、令系数为0、解方程） 1. 先完整化简整式，合并含指定字母的所有项； 2. 式子与某字母无关 → 该字母对应所有项系数=0； 3. 根据系数为0列方程，求解参数； 4. 代入参数回代验算，确认无对应字母项。 29．无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 【答案】A 【分析】利用多项式恒等对应系数相等得到和的值，再化简待求式代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，即 ， ． 30．已知，．若的值与x的取值无关，则___． 【答案】1 【分析】本题考查整式的加减运算，理解代数式的值与某个字母取值无关的含义，即该字母各项的系数均为，掌握合并同类项法则即可求解． 【详解】解： ， 因为的值与的取值无关，所以的各项系数为，可得 ，， 解得，， 则． 31．已知：．（为常数） (1)若不含项，求出的值； (2)在（1）的基础上化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先代入A、B计算，合并同类项后，根据不含项即项的系数为0，求解的值； （2）将（1）得到的代入，计算，合并同类项得到化简结果． 【详解】（1）解： ， ∵不含项， ， 解得． （2）解：当时， ， ， ． 32．“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出a与b的值，但可以将看作一个整体，其值即为2，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则______； (2)若，求的值； (3)设多项式，，，若的结果与x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将所求代数式变形后整体代入已知条件计算； （2）先化简代数式，再整体代入已知条件求值； （3）先计算并合并同类项，根据结果与取值无关，得到对应各次项的系数为，再整体代入计算所求代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：； （3）解： ， ∵的结果与的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 题型9 整式加减的应用 解题技巧（建模列式、化简求解、贴合场景） 1. 根据图形周长、面积、价格、行程、数量变化列整式； 2. 多个数量关系叠加、差值问题，用整式加减列式； 3. 先化简式子，再代入数值计算； 4. 结果结合实际场景作答，贴合题意解释含义。 33．图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，，则的值是（     ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【分析】设，根据题意得到，，进而作差，利用整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：设， 根据题意，，， ∴． 34．某校原来有学生x人，本学期开学时，转入学生人，转出学生人，则该校现有学生________人． 【答案】 【分析】根据原有学生人数+转入学生人数-转出学生人数列出代数式，再去括号、合并同类项即可得到结果． 【详解】解：根据题意得： ． 即该校现有学生人． 35．如图，长为（），宽为（）的大长方形被分割为7小块，除阴影，外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为________________（用代数式表示）； (2)阴影的一条较短边和阴影的一条较短边之和为，是_____________的（填正确/错误）；阴影和阴影的周长值之和与_____________（填有关/无关），与_____________（填有关/无关）： 【答案】(1) (2)正确，有关，无关 【分析】（1）分析图形，已知小长方形较短边为，大长方形总长为，大长方形的长 小长方形较长边 3个小长方形较短边，计算即可； （2）分别根据图形计算阴影的一条较短边和阴影的一条较短边，再计算两者之和，最后再计算阴影和阴影的周长值之和即可． 【详解】（1）∵大长方形的长 小长方形较长边 3个小长方形较短边， ∴小长方形的较长边为； （2）阴影的较短边（竖直边）：大长方形宽为，左侧两个空白小长方形的竖直高度各为， ∴的较短边为 ， 阴影的较短边（竖直边）：大长方形宽为， ∴的较短边为 ； ∴两者和为：，因此题目说法正确； 阴影：长为，宽为， ∴周长为； 阴影：长为，宽为， ∴周长为； 周长和为：； ∵ 结果中仅含，不含， ∴周长之和与有关，与无关． 36．阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 【答案】(1)， (2)， ， ， ， (3) 【分析】（1）根据有理数的运算规则运算即可；平移的方框，任选与图1位置不同的位置将值代入运算即可； （2）根据图像将表示出来，再代入进行运算即可； （3）根据（2）将用表示出来，再代入求解即可． 【详解】（1）解：； 当， 则． （2）解：设，则，，． ， ， ， ； 所以，的值为． （3）解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 题型10 数字类规律探索 解题技巧（列数组、找变化、归纳通项） 1. 列出前3–5组数字，观察差值、倍数、奇偶、周期规律； 2. 区分等差、等比、平方、交替正负等常见规律； 3. 用含n的整式表示通用通项公式； 4. 代入前两组数值验证，确保规律准确。 37．在《设计自己的运算程序》课上，老师设计了如下运算程序：任意写下一个四位数（四位数字相同的除外）．重新排列各位数字，使其组成一个最大的四位数和一个最小的四位数，然后用最大的数减去最小的数，得到它们的差．重复这个过程．小星写了一个四位数是1752，按照以上程序进行运算，则第100次得到的两个数的差为（     ） A．6264 B．4176 C．1467 D．6174 【答案】D 【分析】根据题意，按照运算程序依次计算前几次的差，找出运算规律，即可得到第100次运算的结果． 【详解】解： 原四位数为， 第一次运算：排列得到最大数，最小数，差为； 第二次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差为； 第三次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差为； 第四次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差仍为； 从第三次开始，每次运算得到的差都是； 因此第次得到的差为． 38．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第次输出的结果是________． 【答案】 【分析】根据运算程序依次计算前几次的输出结果，观察数据特征，找出循环规律，利用周期性求解即可． 【详解】解：输入，是偶数， 第次输出． 输入，是奇数， 第次输出． 输入，是偶数， 第次输出． 输入，是偶数， 第次输出． 输入，是奇数， 第次输出． 输入，是偶数， 第次输出． 输入，是奇数， 第次输出． 输入，是偶数， 第次输出． 依次类推，从第次输出开始，结果分别以、、、、、循环． ， 第次输出的结果是． 39．某校数学兴趣小组开展探究活动，他们结合所学内容，决定研究数的一些“神秘”性质． (1)任何一个大于1的整数m的平方都可以写成m个连续奇数之和．举例论证：；；．请你按照规律写出：①______． (2)当m是奇数（如9）时，则等号右边式子中的中间数（即第5个数）为m（即9）．当m为偶数（如10）时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）分别为②______、______（即______、______）． (3)利用上面结论计算：③______． (4)若n表示正整数，则的值为（④______）． 【答案】(1) (2)，，9，11 (3)2601 (4) 【分析】（1）根据题干中的规律解答即可； （2）根据题干中的规律求解； （3）首先求出中间数为51，然后根据结论求解即可； （4）首先求出中间数为，然后根据结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴的中间数为51， ∴； （4）解：∵， ∴的中间数为， ∴． 40．按要求解答下列各题： (1)列式：设是一个三位数，则用含，，的代数式表示为______； (2)定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数：______； (3)推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3整除．设是一个顺子数． ①请用含的代数式表示和； ②通过整式的运算，证明上述发现的结论． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3)①，； ②证明： ， ，为正整数， 为整数， 顺子数都可以被3整除． 【分析】（1）根据多位数的表示方法列出含a，b，c的代数式即可； （2）根据顺子数的定义，写出一个顺子数即可； （3）①根据顺子数的定义，百位数为a，十位数为，个位数为可得到结果； ②把顺子数表示为，整理为，证得结论． 【详解】（1）解：三位数可表示为：； （2）解：根据题意一个顺子数为：789（答案不唯一）； （3）解：①∵三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数， ∴； ②略 题型11 图形类规律探索 解题技巧（数形对应、统计数量、归纳公式） 1. 依次统计第1、2、3组图形对应数量； 2. 找出图形数量随序号的变化规律； 3. 列写含序号n的整式通项； 4. 结合增减规律快速求解第n项数值。 41．如图，无人机编队的造型均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成…按照这一规律，第个图案中基本图形的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形中基本图形个数的变化，发现后一个图案比前一个图案多3个基本图形，从而归纳出第个图案中基本图形个数的通项公式，代入求解即可． 【详解】解：由题意可知：第个图案由个基本图形组成，即； 第个图案由个基本图形组成，即； 第个图案由个基本图形组成，即； 第个图案由个基本图形组成，即； 第个图案中基本图形的个数为； 当时，基本图形的个数为． 42．（图形找规律）小明用小棒摆八边形，如图所示，摆n个八边形要用__________根小棒． 【答案】 【分析】观察图形，每增加1个八边形就增加7根小棒，据此规律解答即可． 【详解】解：摆n个八边形要用根小棒． 43．如下图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人． (1)观察上图，根据规律将表格补充完整． 餐桌数量 1 2 3 4 5 … 可坐人数 4 6 8 … (2)按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐（    ）人． 【答案】(1)10；12 (2) 【分析】（1）根据所给图形的规律解答即可； （2）从规律中抽象出n张餐桌的表达式，1张时 ，2张时 ，依此类推可得规律，据此解答． 【详解】（1）解：由图得：4张餐桌可坐人数： ，5张餐桌可坐人数： ； （2）解：推导n张餐桌的表达式：由规律可知， n张餐桌可坐人数为 ； 综上所述可得，按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐人 ． 44．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 【答案】(1) (2)；； (3)2100 【分析】（1）根据前面三个等式及图形规律求解即可； （2）根据前五个等式及图形规律求解即可； （3）根据，再结合（2）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：； （2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知： 第7个等式为； ∵， ， ； ， ， … 依此类推，第个等式：； （3）解： ． 题型12 带有字母的绝对值化简问题 解题技巧（判正负、去符号、整式化简） 1. 根据数轴位置、字母取值范围，判断绝对值内部式子正负； 2. 正去绝对值得原式，负去绝对值得相反数； 3. 去绝对值后，结合去括号、合并同类项化简整式； 4. 全程注意符号变化，杜绝变号遗漏、错号问题。 45．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的位置确定， 的取值范围及正负性，结合绝对值的性质及有理数的大小比较法则进行判断． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，， A：∵，， ∴， ∴A不符合题意； B：∵， ∴， 又 ∵， ∴， ∴B不符合题意； C：∵，根据绝对值的性质可得 ， ∴C符合题意； D：∵，， ∴， ∴D不符合题意． 46．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是________________． 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：，， ， . 47．按要求解答 (1)已知： 计算 ； 若和时（1）中式子的值相等，求的值． (2)已知：有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． 若， ，的相反数是，求，，的值； 化简： ． 【答案】(1)； (2)；化简为． 【详解】（1）解：原式 当 时，中式子的值为 ，当时，中式子的值为， ，解得， ． （2）解：由数轴可知， 故由解得， 由解得， 由的相反数是得； ， ． 48．【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ． 【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3 (2)2；2； (3)6； (4)1025156． 【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果； （2）当a取中间值即时，求得最小值； （3）由题意可得出，取中间数即时，绝对值最小； （4）由题意可得出，取中间值时，求得最小值； 【详解】（1）解：由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和； 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3． （2）解：当a取中间数2时，绝对值最小； 的最小值是． （3）解：当a取最中间数时， 绝对值最小；的最小值是； （4）解：当a取中间数1013时，绝对值最小， 的最小值为： ． 解答题 49．定义新运算：． (1)计算的值； (2)已知有理数在数轴上满足，化简． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）先判断的范围，再根据新定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 50．解答下列各题． (1)已知，求的值； (2)已知a，b，c是不为0的有理数，求的值． 【答案】(1)，见详解 (2)或，见详解 【分析】（1）由条件可知a、b异号，根据绝对值的性质求解即可； （2）由于a，b，c的符号未知，所以分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：，a、b异号， ， ； （2）解：当a，b，c都是正数时，， 当a，b，c中有两个正数，一个负数时，不妨设a、b为正数，， 当a，b，c中有一个正数，两个负数时，不妨设b、c为负数，， 当a，b，c都是负数时，， 综上，的值为或． 51．项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，所有支管道的总长度为米 (3)①由题意得主管道共有米，所需成本为（元）， 支管道共有米，所需成本为（元），所需固定装置成本为（元）， ， ， ， ； ②当，，时， ， ， ， ，超出了给定总预算， 支管道间距d不可以是2； 【分析】（1）由基地宽和支管间距得出总区域数，结合边界不需要安装支管道即可得到需要的支管道总条数； （2）代入，，算出，再计算可得支管总长； （3）①分别算出主管道、支管道、固定装置成本，把这些成本加起来可得到总成本关系式；②将，，代入求得的值，将这个值与进行比较可得支管道间距d不可以是2． 【详解】（1）解：由题意得基地宽度为，每间隔米划分一个灌溉区域， 总区域数为， 边界不需要安装支管道， 需要的支管道总条数； （2）解：，，， ， 所有支管道的总长度为（米）； （3）略 52．探索规律． 乐乐在计算：，这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的阴影部分表示，这个阴影部分可以转化成长是_______，宽是_______的长方形； (2)根据以上规律计算：． 【答案】(1)9，1 (2)5050 【分析】（1）根据题目可得两个数的平方的差，等于两数之和与两数之差的乘积，由此可解； （2）将原式重新组合为，再利用（1）的规律计算即可求解． 【详解】（1）解：， 这个涂色部分可以转化成长是9，宽是1的长方形； （2）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $