第11讲一元一次方程及其解法 暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第11讲 一元一次方程及其解法 目录 知识点1 一元一次方程的定义 2 知识点2 一元一次方程的解 2 知识点3 解一元一次方程完整步骤 2 知识点4 方程解的关系基础 2 知识点5 简单绝对值方程知识点 3 题型1 判断是否是一元一次方程 3 题型2 判断是否是一元一次方程解 3 题型3 解一元一次方程（一）—— 合并同类项与移项 4 题型4 解一元一次方程（二）—— 去括号 4 题型5 解一元一次方程（三）—— 去分母 5 题型6 已知一元一次方程的解，求参数 6 题型7 一元一次方程解的关系 6 题型8 绝对值方程 7 解答题 8 1. 知识目标：掌握一元一次方程的定义、标准形式，熟练掌握移项、合并同类项、去括号、去分母四大解方程步骤，了解绝对值方程基础解法。 2. 能力目标：能准确识别一元一次方程、验证方程的解，熟练规范解方程，掌握含参方程求解、方程解的关系类题型解法。 3. 素养目标：养成规范分步解方程的习惯，掌握化繁为简的转化思想，提升方程运算与参数分析能力。 知识点1 一元一次方程的定义 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。 2. 三个必备条件：①只含一个未知数；②未知数次数为1；③整式方程（分母不含未知数）。 3. 标准形式：，a、b为常数，且a不等于0。 知识点2 一元一次方程的解 1. 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 2. 特征：一元一次方程有且只有一个解。 知识点3 解一元一次方程完整步骤 1. 去分母：方程两边同乘各分母最小公倍数，消去所有分母。 2. 去括号：依据去括号法则，逐层去除括号。 3. 移项：含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项必须变号。 4. 合并同类项：左右两边分别合并，化为最简形式。 5. 系数化为1：两边同除以未知数系数a，求出。 知识点4 方程解的关系基础 1. 同解方程：两个方程的解完全相同，则为同解方程。 2. 解互为相反数、互为倒数：可根据解的数量关系列等式求参数。 知识点5 简单绝对值方程知识点 1. 基础形式：（a为常数）。 2. 解法规则：a>0时，方程有两个解；a=0时，解为；a<0时，方程无解。 3. 核心思想：去绝对值，转化为普通一元一次方程求解。 题型1 判断是否是一元一次方程 解题技巧（三条件筛查法，逐项排除） 1. 一查未知数：全程只有一个未知数，多未知数直接排除； 2. 二查次数：未知数最高次数为1，平方、立方、负次数均排除； 3. 三查整式：分母不含未知数、根号不含未知数，分式方程不是一元一次方程； 4. 注意：需化简后再判定，化简后符合条件才是一元一次方程。 1．下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列式子中，一元一次方程的个数为（     ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若是关于x的一元一次方程，则方程的解为__________； 4．已知是关于的一元一次方程，则的值为__________． 题型2 判断是否是一元一次方程解 解题技巧（代入验证、左右比对） 1. 将给定数值代入方程左右两边； 2. 分别计算两边结果，数值相等即为方程的解； 3. 负数、分数代入必须加括号，规避符号、乘方错误； 4. 严格分步计算，不跳步、不心算。 5．下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 6．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 7．整式的值随取值的不同而不同，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一元一次方程的解为_____． 0 1 2 0 2 8．写出一个解为的一元一次方程___________．（写出一个即可） 题型3 解一元一次方程（一）—— 合并同类项与移项 解题技巧（移项变号、分类合并、系数化1） 1. 移项核心：移项必变号，左移右、右移左，符号正负互换； 2. 同类归类：未知数项统一左侧，常数项统一右侧； 3. 左右分别合并，化成标准形式； 4. 两边同除系数，最终算出x的值，最简结果收尾。 9．求未知数x的值 (1) (2) (3) 10．解方程：． 11．解方程： 12．解方程： 题型4 解一元一次方程（二）—— 去括号 解题技巧（外乘全覆盖、负号全变号、逐层去括号） 1. 括号前有系数：乘法分配律乘满每一项，严禁漏乘； 2. 括号前是负号：去括号后内部所有项全部变号； 3. 多层括号：先小后大，逐层去除，避免一次性出错； 4. 去完括号后，再进行移项、合并、系数化1。 13．解方程： 14．解方程：． 15．解方程： 16．解关于的方程：． 题型5 解一元一次方程（三）—— 去分母 解题技巧（同乘公倍数、常数也要乘、分子加括号） 1. 找所有分母的最小公倍数，方程两边整体同乘； 2. 不含分母的常数项必须同步乘，杜绝漏乘常数； 3. 分子为多项式时，去分母后整体加括号； 4. 去分母后依次去括号、移项、合并、系数化1。 17．解下列方程： (1)． (2)． 18．解方程： (1)． (2)． 19．解方程： (1) (2)． 20．解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)； (9) 题型6 已知一元一次方程的解，求参数 解题技巧（解代回、转化普通方程、求解参数） 1. 已知方程的解，直接将解代入原方程； 2. 代入后消去未知数，转化为只含参数的一元一次方程； 3. 解方程求出参数数值，回代原式验算正误； 4. 适用于含字母系数、含常数参数的所有题型。 21．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 22．若关于的一元一次方程的解为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 23．已知方程和方程 有相同的解，那么的值是______． 24．当x取任意一个有理数时，等式都成立，则的值为________． 题型7 一元一次方程解的关系 解题技巧（先求解、再列关系、构建等式） 1. 分别求出两个方程的解（含参数形式）； 2. 根据题意关系列式：解相等、解互为相反数、解互为倒数； 3. 列出参数方程，求解参数； 4. 同解方程问题：两个方程解一致，可互相代换求解。 25．若方程和方程的解相同，则a的值是（    ） A．7 B．5 C．3 D．0 26．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 27．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______． 28．定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 题型8 绝对值方程 解题技巧（去绝对值、分类讨论、验根收尾） 1. 先将方程化为标准形式； 2. 分类讨论：B>0，有两解；B=0，一解；B<0，无解； 3. 去掉绝对值后转化为普通一元一次方程求解； 4. 结果代入原方程验算，舍去增根。 29．如果，那么（     ） A． B． C． D． 30．若，则______． 31．阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数25所对应的两点之间的距离；若，则______； 32．先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程； (2)解方程． 解答题 33．解方程： (1) (2) (3) 34．新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”； (2)若关于的方程和互为“成双方程”，求的值． 35．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 习题2：解方程： 解：原式＝…………第一步 …………第二步 …………第三步 5x＝10…………第四步 …………第五步 (1)分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)写出习题2正确的解答过程． 36．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程与为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值； (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为n，求n的值． 37．定义一种新运算：，如．请解决下列问题： (1)直接写出结果：_____________；_____________． (2)若关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 38．定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 一元一次方程及其解法 目录 知识点1 一元一次方程的定义 2 知识点2 一元一次方程的解 2 知识点3 解一元一次方程完整步骤 2 知识点4 方程解的关系基础 2 知识点5 简单绝对值方程知识点 3 题型1 判断是否是一元一次方程 3 题型2 判断是否是一元一次方程解 5 题型3 解一元一次方程（一）—— 合并同类项与移项 6 题型4 解一元一次方程（二）—— 去括号 8 题型5 解一元一次方程（三）—— 去分母 9 题型6 已知一元一次方程的解，求参数 14 题型7 一元一次方程解的关系 16 题型8 绝对值方程 17 解答题 20 1. 知识目标：掌握一元一次方程的定义、标准形式，熟练掌握移项、合并同类项、去括号、去分母四大解方程步骤，了解绝对值方程基础解法。 2. 能力目标：能准确识别一元一次方程、验证方程的解，熟练规范解方程，掌握含参方程求解、方程解的关系类题型解法。 3. 素养目标：养成规范分步解方程的习惯，掌握化繁为简的转化思想，提升方程运算与参数分析能力。 知识点1 一元一次方程的定义 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。 2. 三个必备条件：①只含一个未知数；②未知数次数为1；③整式方程（分母不含未知数）。 3. 标准形式：，a、b为常数，且a不等于0。 知识点2 一元一次方程的解 1. 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 2. 特征：一元一次方程有且只有一个解。 知识点3 解一元一次方程完整步骤 1. 去分母：方程两边同乘各分母最小公倍数，消去所有分母。 2. 去括号：依据去括号法则，逐层去除括号。 3. 移项：含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项必须变号。 4. 合并同类项：左右两边分别合并，化为最简形式。 5. 系数化为1：两边同除以未知数系数a，求出。 知识点4 方程解的关系基础 1. 同解方程：两个方程的解完全相同，则为同解方程。 2. 解互为相反数、互为倒数：可根据解的数量关系列等式求参数。 知识点5 简单绝对值方程知识点 1. 基础形式：（a为常数）。 2. 解法规则：a>0时，方程有两个解；a=0时，解为；a<0时，方程无解。 3. 核心思想：去绝对值，转化为普通一元一次方程求解。 题型1 判断是否是一元一次方程 解题技巧（三条件筛查法，逐项排除） 1. 一查未知数：全程只有一个未知数，多未知数直接排除； 2. 二查次数：未知数最高次数为1，平方、立方、负次数均排除； 3. 三查整式：分母不含未知数、根号不含未知数，分式方程不是一元一次方程； 4. 注意：需化简后再判定，化简后符合条件才是一元一次方程。 1．下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从未知数个数、最高次数、是否为整式三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：A：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合要求． B：含有两个未知数，不符合要求． C：中未知数最高次数为，不符合要求． D：分母含未知数，不是整式方程，不符合要求． 2．下列式子中，一元一次方程的个数为（     ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程，逐个判断式子即可得出结果． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，逐个判断： ∵是只含一个未知数，未知数次数为1的整式方程，∴是一元一次方程． ∵不是等式，不属于方程，∴不是一元一次方程． ∵中未知数最高次数为2，∴不是一元一次方程． ∵含有两个未知数，∴不是一元一次方程． 对化简得， ∵整理后未知数最高次数为2， ∴不是一元一次方程． 综上，一元一次方程只有1个． 3．若是关于x的一元一次方程，则方程的解为__________； 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义：只含一个未知数，且未知数的次数为、未知数系数不为，求参数的值，再解方程即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 系数满足：，即， ∴， 将代入原方程：， 化简得， 解得． 4．已知是关于的一元一次方程，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的次数为且一次项系数不为，据此列出等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且． 解得，即或． 又． 因此． 题型2 判断是否是一元一次方程解 解题技巧（代入验证、左右比对） 1. 将给定数值代入方程左右两边； 2. 分别计算两边结果，数值相等即为方程的解； 3. 负数、分数代入必须加括号，规避符号、乘方错误； 4. 严格分步计算，不跳步、不心算。 5．下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可．解题的关键是掌握：方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：A．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； B．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项符合题意； C．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； D．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意． 故选：B． 6．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可求出a的值，再把代入原方程求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．整式的值随取值的不同而不同，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一元一次方程的解为_____． 0 1 2 0 2 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，将一元一次方程化为，根据图表即可得解． 【详解】解：∵， ， 由表可知：， 故答案为：． 8．写出一个解为的一元一次方程___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是一元一次方程的解的定义．一元一次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．根据定义即可求解． 【详解】解：答案不唯一，如等． 故答案为：（答案不唯一）． 题型3 解一元一次方程（一）—— 合并同类项与移项 解题技巧（移项变号、分类合并、系数化1） 1. 移项核心：移项必变号，左移右、右移左，符号正负互换； 2. 同类归类：未知数项统一左侧，常数项统一右侧； 3. 左右分别合并，化成标准形式； 4. 两边同除系数，最终算出x的值，最简结果收尾。 9．求未知数x的值 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 10．解方程：． 【答案】 【详解】解： 11．解方程： 【答案】 【详解】解：， ， 12．解方程： 【答案】 【详解】解：， ， ， 解得 题型4 解一元一次方程（二）—— 去括号 解题技巧（外乘全覆盖、负号全变号、逐层去括号） 1. 括号前有系数：乘法分配律乘满每一项，严禁漏乘； 2. 括号前是负号：去括号后内部所有项全部变号； 3. 多层括号：先小后大，逐层去除，避免一次性出错； 4. 去完括号后，再进行移项、合并、系数化1。 13．解方程： 【答案】 【分析】先去括号，再移项合并同类项，把x的系数化为1即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把的系数化为1，得． 14．解方程：． 【答案】 【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】解：去括号，得 ， 移项，得， 合并同类项，得 ， 系数化为，得． 15．解方程： 【答案】 【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 16．解关于的方程：． 【答案】 当时，方程无解；当时， 【详解】解：， ， ， 当时，方程无解；当时，． 题型5 解一元一次方程（三）—— 去分母 解题技巧（同乘公倍数、常数也要乘、分子加括号） 1. 找所有分母的最小公倍数，方程两边整体同乘； 2. 不含分母的常数项必须同步乘，杜绝漏乘常数； 3. 分子为多项式时，去分母后整体加括号； 4. 去分母后依次去括号、移项、合并、系数化1。 17．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边都除以6，得． （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边都除以，得． 18．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为得． 19．解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 20．解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)； (9) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【分析】一元一次方程的解法：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可，根据方程的形式选择合适的步骤与解法求解． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （3）解：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （4）解：， 去括号得： 移项得：， 合并得：， 解得：． （5）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （6）解：， ∴， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （7）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （8）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （9）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． 题型6 已知一元一次方程的解，求参数 解题技巧（解代回、转化普通方程、求解参数） 1. 已知方程的解，直接将解代入原方程； 2. 代入后消去未知数，转化为只含参数的一元一次方程； 3. 解方程求出参数数值，回代原式验算正误； 4. 适用于含字母系数、含常数参数的所有题型。 21．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得：． 22．若关于的一元一次方程的解为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解的概念，方程的解能使方程左右两边相等，将已知解代入原方程即可求出的值． 【详解】∵是一元一次方程的解， ∴将代入方程得：， 整理得：， 解得：． 23．已知方程和方程 有相同的解，那么的值是______． 【答案】 【分析】分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于的方程，从而可以求出的值． 【详解】解：解方程得：， 解方程得：， ∵方程和方程有相同的解， ∴， 解得：． 24．当x取任意一个有理数时，等式都成立，则的值为________． 【答案】/ 【分析】首先解方程得到，然后根据题意得到，，求出a，b后代入求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 根据题意得，， ∴， ∴． 题型7 一元一次方程解的关系 解题技巧（先求解、再列关系、构建等式） 1. 分别求出两个方程的解（含参数形式）； 2. 根据题意关系列式：解相等、解互为相反数、解互为倒数； 3. 列出参数方程，求解参数； 4. 同解方程问题：两个方程解一致，可互相代换求解。 25．若方程和方程的解相同，则a的值是（    ） A．7 B．5 C．3 D．0 【答案】A 【分析】先解方程得，再根据两个方程的解相同，把代入第二个方程求解即可． 【详解】解：由得， 把代入方程， 得， 解得． 26．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过变量代换，将关于的方程转化为关于的方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设， 则方程化为， 此方程与已知方程同解， 已知解为， 故， 即， 解得． 27．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______． 【答案】22 【详解】解：解方程，得， 又方程与方程是“和谐方程”， ∴方程的解为， 把代入，得， 解得． 28．定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先求解已知方程，再根据“方程”的定义得到所求方程的解，即可构造出符合要求的方程． 【详解】解：解方程得， 互为“方程”的两个一元一次方程的解之和为， 方程的“方程”的解为， 满足条件的一个“方程”为（答案不唯一）． 题型8 绝对值方程 解题技巧（去绝对值、分类讨论、验根收尾） 1. 先将方程化为标准形式； 2. 分类讨论：B>0，有两解；B=0，一解；B<0，无解； 3. 去掉绝对值后转化为普通一元一次方程求解； 4. 结果代入原方程验算，舍去增根。 29．如果，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义判断的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，，不满足；当时，，满足条件；当时，，满足条件； ∴满足的的取值范围是． 30．若，则______． 【答案】1或 【分析】根据绝对值的性质，绝对值等于的数为和，将原绝对值方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解： 或 当时，解得 当时，解得 31．阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数25所对应的两点之间的距离；若，则______； 【答案】(1)5 (2) (3)43或7 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式表示即可； （3）根据数轴上两点之间的距离公式可知，表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18，即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：； （2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：， （3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18， 因此或． 32．先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程； (2)解方程． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． （2）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，不成立； ∴原方程的解为． 解答题 33．解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解：利用分数的基本性质将分母化为整数，得， 去括号得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 34．新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”； (2)若关于的方程和互为“成双方程”，求的值． 【答案】(1) （答案不唯一） (2) 【分析】理解“成双方程”的新定义，先求出已知方程的解，再根据定义得到待求方程的解，代入计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， 根据“成双方程”的定义，所求方程的解为， ∴满足条件的一元一次方程可以是（答案不唯一）． （2）解：，解得：， ∵方程和互为“成双方程”， ∴方程的解为， 将代入方程，得， 整理得：， 解得：． 35．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 习题2：解方程： 解：原式＝…………第一步 …………第二步 …………第三步 5x＝10…………第四步 …………第五步 (1)分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)写出习题2正确的解答过程． 【答案】(1)习题1第一步，习题2第一步 (2)见解析 【分析】（1）习题1，第一步应该是通分，不是去分母，习题2第一步，常数漏乘最小公倍数，出错； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化为1，进行求解即可. 【详解】（1）解：从解题过程可知，习题1第一步开始出现错误，习题2第一步开始出现错误 （2）解：， ， ， ， ， . 36．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程与为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值； (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为n，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出第一个方程的解，再根据“友好方程”的定义进而即可求出m的值； （2）将两个方程的解表示出来，再根据“友好方程”的定义求解即可； （3）根据“友好方程”的定义分情况讨论两个解差的两种不同情况即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， 两个方程是“友好方程”，解互为相反数， 方程的解为， 把代入，得， 解得； （2）解：， ， 解得， ， ， 解得， 两个方程是“友好方程”，解互为相反数， ， ， ； （3）解：两个方程是“友好方程”，其中一个解为， 另一个解为， 由题意得，两个解的差为， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴的值为或． 37．定义一种新运算：，如．请解决下列问题： (1)直接写出结果：_____________；_____________． (2)若关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】(1)；18 (2)2 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）利用新定义得出一元一次方程，解方程求出，解第二个方程得出，根据两方程的解相同得出，得出，然后整体代入即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： 解得 解方程得 ∵两方程的解相同， ∴ ∴ ∴． 38．定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． 【答案】(1)方程是“元宵方程”， 解：解方程，得， 又∵， ∴方程是“元宵方程”． (2)有，该方程的解为 (3) 【分析】本题根据“元宵方程”的定义解题，核心思路为：对于，若方程的解满足，则为元宵方程． （1）先求解给定方程，再计算，对比验证即可； （2）根据元宵方程的定义建立关于的等式，代入求出，再得到方程的解； （3）先根据元宵方程的定义推导出，代入关于的方程化简求解． 【详解】（1）略 （2）解：若是“元宵方程”，则满足方程的解， 又∵的解为， ∴代入得：， 解得，因此存在符合要求的“元宵方程”， ∴方程的解为． （3）解：∵是“元宵方程”， ∴，整理得， 将代入关于的方程得：， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $