第10讲等式与方程 暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第10讲 等式与方程 目录 知识点1 方程的概念 2 知识点2 方程的解 2 知识点3 等式的性质（核心考点） 2 知识点4 列方程的基本思路 2 题型1 判断各式是否是方程 2 题型2 等式的性质 3 题型3 列方程 4 题型4 判断是否是方程的解 5 题型5 已知方程的解，求参数 5 解答题 6 1. 知识目标：理解方程、方程的解的概念，熟练掌握等式的两条基本性质，掌握列方程的基本思路与方法。 2. 能力目标：能准确判断方程、验证方程的解，会利用等式性质变形等式，能根据实际问题列简单方程、利用方程的解求参数。 3. 素养目标：初步建立方程建模思想，养成严谨的代数变形思维，为解一元一次方程打好基础。 知识点1 方程的概念 1. 定义：含有未知数的等式叫做方程。 2. 两大必备条件：①是等式（含“=”）；②含有未知数，二者缺一不可。 3. 区分：代数式无等号，不是方程；不含未知数的等式是恒等式，不是方程。 知识点2 方程的解 1. 定义：能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 2. 检验方法：将数值代入方程左右两边，分别计算，两边相等即为方程的解。 知识点3 等式的性质（核心考点） 1. 等式性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。即若a=b，则a±c=b±c。 2. 等式性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，所得结果仍是等式。即若a=b，则ac=bc；若a=b，c≠0，则。 3. 关键禁忌：等式两边做除法时，除数绝对不能为0。 知识点4 列方程的基本思路 1. 审题：找出题目中的已知量、未知量。 2. 设元：用字母表示题目中的未知量。 3. 找等量关系：抓住题目“相等、等于、比……多、比……少、倍数”等核心关系。 4. 列等式：根据等量关系列出含未知数的等式，即方程。 题型1 判断各式是否是方程 解题技巧（双条件判定法，秒判对错） 1. 必备两个条件：有等号、有未知数，同时满足才是方程； 2. 无等号（代数式、不等式）→ 直接不是方程； 3. 有等号但无未知数 → 只是等式，不是方程； 4. 无需化简，直接看原式结构判定，避免化简误判。 1．下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 3．下面的式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 4．在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 5．下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 题型2 等式的性质 解题技巧（分清加减乘除、严控0的禁忌） 1. 加减变形：两边同加同减，任意数、整式均可，永远成立； 2. 乘除变形：同乘任意数成立，同除必须保证除数不为0； 3. 变形原则：等式两边同时、同量变形，不能只变一边； 4. 逆向判断：等式变形可逆，符合性质即为恒等变形。 6．运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 7．如果，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 8．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．若，则在：①；②；③；④；⑤中，正确的有______．（填序号） 10．填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 题型3 列方程 解题技巧（抓等量、设未知、直译列式） 1. 优先设题目所求量为x，简单直接； 2. 翻译题干文字：多→加、少→减、倍→乘、平均分→除； 3. 核心：用“左边式子=右边式子”搭建等量关系； 4. 无需求解，只需列出规范方程即可。 11．小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 12．《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 13．用方程表示“x比它的多3”正确的是（  ） A． B． C． D． 14．若m的2倍与n的倍的和等于6，则可列方程为___________． 15．现有一包的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度溶质质量溶液质量）．设需要加克水，则可以列出方程：___________． 题型4 判断是否是方程的解 解题技巧（代入求值、左右对比、精准验证） 1. 步骤：代入未知数→分别计算左边、右边数值； 2. 左右数值相等，即为方程的解；不相等则不是； 3. 负数、分数代入必须加括号，防止符号出错； 4. 严格分步计算，不心算、不跳步。 16．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 17．是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． 18．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 19．写出一个解为的一元一次方程：______． 20．已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如上表所示，则关于的方程的解为_____． 0 0.5 1 1 2 2.5 3 题型5 已知方程的解，求参数 解题技巧（解代回、转常规、解方程） 1. 核心思路：已知解就把解代入原方程； 2. 代入后原方程变为只含参数的普通一元一次方程； 3. 解方程求出参数值，最后可回代验算； 4. 适用于所有含参数方程题型，通用万能方法。 21．若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． 22．整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值，则关于的方程的解是（     ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 23．已知是关于的方程的解，则的值为（     ） A．8 B．4 C．3 D．2 24．已知是关于的方程的解，则的值是_____． 25．关于的方程的一个解是，则____________． 解答题 26．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．检验是不是方程的解． 28．已知关于的方程的解是，求的值． 29．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 30．已知代数式是关于的一次多项式，若关于的一元一次方程的解是，求的值 31．下列等式变形中，正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 32．已知是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 33．若，则下列等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 34．老师在黑板上写出“若，则___________．”若用下列选项中的等式填空，其中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 35．如图，天平两次操作均处于平衡状态，若“”的质量为，“”的质量为，则m，n的大小关系是（    ） A． B． C． D．均有可能 36．若是关于的方程的解，则的值是_______． 37．若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为_________． 38．若是方程的解，则的值________． 39．规定：*为一种新运算，对任意的有理数，，有，若，试用等式的性质求的值． 40．根据题意列出方程． (1)从正方形的铁皮上，截去宽的一个长方形条，余下的面积是，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？ (2)某商店规定，购买超过15000元的物品可以采用分期付款方式付款，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电脑，他需要用多长时间才能付清全部货款？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 等式与方程 目录 知识点1 方程的概念 1 知识点2 方程的解 2 知识点3 等式的性质（核心考点） 2 知识点4 列方程的基本思路 2 题型1 判断各式是否是方程 2 题型2 等式的性质 4 题型3 列方程 6 题型4 判断是否是方程的解 8 题型5 已知方程的解，求参数 10 解答题 11 1. 知识目标：理解方程、方程的解的概念，熟练掌握等式的两条基本性质，掌握列方程的基本思路与方法。 2. 能力目标：能准确判断方程、验证方程的解，会利用等式性质变形等式，能根据实际问题列简单方程、利用方程的解求参数。 3. 素养目标：初步建立方程建模思想，养成严谨的代数变形思维，为解一元一次方程打好基础。 知识点1 方程的概念 1. 定义：含有未知数的等式叫做方程。 2. 两大必备条件：①是等式（含“=”）；②含有未知数，二者缺一不可。 3. 区分：代数式无等号，不是方程；不含未知数的等式是恒等式，不是方程。 知识点2 方程的解 1. 定义：能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 2. 检验方法：将数值代入方程左右两边，分别计算，两边相等即为方程的解。 知识点3 等式的性质（核心考点） 1. 等式性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。即若a=b，则a±c=b±c。 2. 等式性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，所得结果仍是等式。即若a=b，则ac=bc；若a=b，c≠0，则。 3. 关键禁忌：等式两边做除法时，除数绝对不能为0。 知识点4 列方程的基本思路 1. 审题：找出题目中的已知量、未知量。 2. 设元：用字母表示题目中的未知量。 3. 找等量关系：抓住题目“相等、等于、比……多、比……少、倍数”等核心关系。 4. 列等式：根据等量关系列出含未知数的等式，即方程。 题型1 判断各式是否是方程 解题技巧（双条件判定法，秒判对错） 1. 必备两个条件：有等号、有未知数，同时满足才是方程； 2. 无等号（代数式、不等式）→ 直接不是方程； 3. 有等号但无未知数 → 只是等式，不是方程； 4. 无需化简，直接看原式结构判定，避免化简误判。 1．下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以方程的定义为依据，从是否含未知数、是否为等式两个角度判断各选项． 【详解】解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，不是方程，不符合题意； C、含有未知数，但不是等式，不是方程，不符合题意； D、既含有未知数，又是等式，是方程，符合题意． 2．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意； B．是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意； C．是等式并且含有未知数，是方程，符合题意； D．含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意． 3．下面的式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程的定义，方程需同时满足两个条件：一是含有未知数，二是等式，据此判断各选项即可． 【详解】∵方程是含有未知数的等式，必须同时满足上述两个条件， 对选项A，是等式，但不含未知数，因此不是方程； 对选项B，含有未知数x，但不是等式，因此不是方程； 对选项C，既含有未知数x，又是等式，符合方程的定义； 对选项D，含有未知数，但不是等式，因此不是方程． 4．在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 【答案】 ①②③⑥ ①②⑥ 【分析】根据等式、方程的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，有等号、有未知数，是等式也是方程； ②：有等号、有未知数，是等式也是方程； ③：有等号、无未知数，只是等式； ④：是小于号，不是等式，也不是方程； ⑤：是大于号，不是等式，也不是方程； ⑥：有等号、有未知数，是等式也是方程． 所以等式有①②③⑥，方程有①②⑥． 5．下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类． 【详解】解：①含有等号和未知数x，是等式也是方程； ②含有等号但没有未知数，是等式但不是方程； ③含有等号和未知数x，是等式也是方程； ④不含等号，既不是等式也不是方程； ⑤含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程； ⑥含有等号和未知数x、y，是等式也是方程； ⑦含有等号和未知数y，是等式也是方程； ⑧含有不等号，是不等式； ⑨含有不等号，是不等式； ⑩含有约等号，不是等式． 等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦． 故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦． 题型2 等式的性质 解题技巧（分清加减乘除、严控0的禁忌） 1. 加减变形：两边同加同减，任意数、整式均可，永远成立； 2. 乘除变形：同乘任意数成立，同除必须保证除数不为0； 3. 变形原则：等式两边同时、同量变形，不能只变一边； 4. 逆向判断：等式变形可逆，符合性质即为恒等变形。 6．运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据等式的性质逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故该选项错误； B．如果，等式两边同乘a，则，故该选项错误； C．如果，且时，则，故该选项错误； D．∵， ∴， ∴，故该选项正确． 7．如果，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，原式变形不正确，不符合题意； B、∵， ∴，原式变形正确，符合题意； C、∵， ∴， ∴，原式变形不正确，不符合题意； D、∵， ∴，原式变形不正确，不符合题意． 8．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式性质逐一判断变形是否正确即可，等式的性质为：等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，等式仍成立；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立． 【详解】解： A选项： ∵，等式两边同时加，可得，变形正确，不符合题意； B选项： ∵，等式两边同时乘，可得，变形正确，不符合题意； C选项： ∵，等式两边同时减，可得，变形正确，不符合题意； D选项： ∵，等式两边同时除以，得，变形错误，符合题意. 故选D． 9．若，则在：①；②；③；④；⑤中，正确的有______．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】根据等式的基本性质对每个式子逐一判断． 【详解】解：①，等式两边同时加，得，故①正确； ②，等式两边乘不同的数，可得，故②不正确； ③，等式两边乘不同的数，可得，故③不正确； ④，等式两边同时乘，再同时加，根据等式的基本性质，故④正确； ⑤，分母不为零，则有，等式两边乘相同的数可得，故⑤正确． 综上，正确的有①④⑤． 10．填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 【答案】 【分析】根据等式的性质和等式的性质对各等式逐一变形即可求解． 【详解】解：（1）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （2）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （3）已知，根据等式的性质，等式两边同时除以，得； （4）已知，根据等式的性质，等式两边同时乘以，得． 题型3 列方程 解题技巧（抓等量、设未知、直译列式） 1. 优先设题目所求量为x，简单直接； 2. 翻译题干文字：多→加、少→减、倍→乘、平均分→除； 3. 核心：用“左边式子=右边式子”搭建等量关系； 4. 无需求解，只需列出规范方程即可。 11．小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得等量关系为：小华的钱数小红的钱数，将小红有35元钱，小华有元钱代入等量关系式后求解． 【详解】解：根据题意，得． 12．《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两种出钱方式下，物价相等，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意可列出方程为． 13．用方程表示“x比它的多3”正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】表示出x的，再根据题意可知与的差为，据此列方程即可． 【详解】解：∵的可表示为，题意为“比它的多”，即与的差为， ∴可列方程为 ． 14．若m的2倍与n的倍的和等于6，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】将题目中的文字描述转化为代数式，根据等量关系列出方程． 【详解】解：∵ 的倍可表示为，的倍可表示为，二者的和等于， ∴ 可列方程为． 15．现有一包的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度溶质质量溶液质量）．设需要加克水，则可以列出方程：___________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据浓度定义，浓度等于溶质质量除以溶液质量，设加水质量为m克，溶质为果汁粉，溶液质量为，浓度为，由此列出方程. 【详解】解：根据题意方程为 故答案为：. 题型4 判断是否是方程的解 解题技巧（代入求值、左右对比、精准验证） 1. 步骤：代入未知数→分别计算左边、右边数值； 2. 左右数值相等，即为方程的解；不相等则不是； 3. 负数、分数代入必须加括号，防止符号出错； 4. 严格分步计算，不心算、不跳步。 16．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将代入各选项验证左右两边是否相等即可得到结果． 【详解】解：将依次代入各选项： 代入选项A，左边右边，∴A不符合题意； 代入选项B，左边右边，∴B不符合题意； 代入选项C，左边，右边，，∴C不符合题意； 代入选项D，左边，右边，左边右边，∴D符合题意． 17．是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的解的定义，将代入各选项验证，判断左右两边是否相等，同时注意分式分母不能为0，即可得到结果． 【详解】解：将代入各选项逐一验证： ∵ A选项中，左边，右边，，∴ A错误； ∵ B选项中，左边，右边，，∴ B错误； ∵ C选项中，当时，分母，分式无意义，∴ C错误； ∵ D选项中，左边，右边，左边右边，∴ D正确． 18．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】把原方程变形为，根据题意可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴关于的一次方程的解为． 19．写出一个解为的一元一次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解使方程左右两边相等的性质是解题的关键．根据一元一次方程的解的定义，构造一个当时等式成立的一元一次方程即可． 【详解】解：设一元一次方程为（），将代入，得， ∴， 取，则， 得到方程， 故答案为：（答案不唯一）． 20．已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如上表所示，则关于的方程的解为_____． 0 0.5 1 1 2 2.5 3 【答案】 【分析】本题考查方程的解，将方程两边同时除以2后，根据表格中数据，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由表格可知，当时，， 故关于的方程的解为； 故答案为： 题型5 已知方程的解，求参数 解题技巧（解代回、转常规、解方程） 1. 核心思路：已知解就把解代入原方程； 2. 代入后原方程变为只含参数的普通一元一次方程； 3. 解方程求出参数值，最后可回代验算； 4. 适用于所有含参数方程题型，通用万能方法。 21．若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程， 得， 即， 解得． 22．整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值，则关于的方程的解是（     ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等式的性质将原方程变形为等于常数的形式，再对照表格中数据即可得到方程的解． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 两边同乘得， 由表格可知，当时，， ∴方程的解为． 23．已知是关于的方程的解，则的值为（     ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用方程的解的定义，将已知解代入原方程，即可计算得到参数a的值． 【详解】解：∵是关于y的方程的解， ∴将代入方程得：， 移项计算得：， ∴a的值为4． 24．已知是关于的方程的解，则的值是_____． 【答案】1 【详解】解：把代入得：， 解得：． 25．关于的方程的一个解是，则____________． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程的一个解是， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 解答题 26．利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等． （1）方程两边同减去2，即可得出答案； （2）方程两边同乘2，即可得出答案； （3）方程两边同加上5，即可得出答案； （4）方程两边先同时减去1，变为，然后方程两边同除以2，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 方程两边都减2，得． （2）解：， 方程两边都乘2，得． （3）解：， 方程两边都加5，得． （4）解：， 方程两边都减1，得； 方程两边都除以2，得． 27．检验是不是方程的解． 【答案】不是方程的解 【分析】将代入方程，判断等式是否成立即可． 【详解】解：当时，左边，右边， 由于左边右边， 则不是方程的解． 28．已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】将代入方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 29．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 30．已知代数式是关于的一次多项式，若关于的一元一次方程的解是，求的值 【答案】 【分析】本题主要考查了已知一元一次方程的解求参数，多项式的次数，解题的关键是理解题意．根据代数式是关于的一次多项式，得出，把代入方程，解关于k的方程即可． 【详解】解：因为代数式是关于的一次多项式， 所以， 把代入方程中， 可得：， 解得：． 31．下列等式变形中，正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：等式的基本性质为：等式两边同时加（或减）同一个整式，结果仍相等；等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），结果仍相等； A．若，根据等式性质可得，故A变形错误，不符合要求； B．∵，等式两边同时减2，由等式基本性质可得，变形正确，符合要求； C．若，等式两边同时乘，可得，故C变形错误，不符合要求； D．若，当时，无论是否相等，等式都成立，因此无法推出，只有时才能得到，故D变形错误，不符合要求． 32．已知是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】方程的解满足方程，将已知解代入原方程，即可计算求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程得：化简得， 移项计算得， 因此的值为． 33．若，则下列等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知，根据等式的基本性质变形，结合特殊值法即可判断各选项是否一定成立． 【详解】∵ ， ∴ ， A选项，取，，满足，但，因此A不一定成立； B选项，代入，得，仅当时等式成立，因此B不一定成立； C选项，将等式两边同时乘，得 ，因此选项C一定成立； D选项，代入，得，仅当时，因此D不一定成立． 34．老师在黑板上写出“若，则___________．”若用下列选项中的等式填空，其中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式性质逐一判断各选项即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴A、，该选项一定成立； B、，该选项不成立； C、，该选项不成立； D、，该选项不成立． 35．如图，天平两次操作均处于平衡状态，若“”的质量为，“”的质量为，则m，n的大小关系是（    ） A． B． C． D．均有可能 【答案】C 【分析】由第一次天平得，由第二次天平得，进而代入即可求解． 【详解】解：由题意得，第一次天平：左边是，右边是，天平平衡， ∴， 第二次天平：左边是，右边是，天平平衡， ∴， 将代入上式得， 解得， ∴． 36．若是关于的方程的解，则的值是_______． 【答案】 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴． 37．若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为_________． 【答案】6 【分析】根据方程解的定义，将代入方程得到，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴． 38．若是方程的解，则的值________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解的定义与代数式求值，先根据方程的解的定义得到关于m、n的等式，再将所求代数式变形为含该等式的形式，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的解 ∴将代入方程，得 对进行变形，得 将代入上式，得 故答案为：． 39．规定：*为一种新运算，对任意的有理数，，有，若，试用等式的性质求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用等式性质解方程，新定义运算，理解题意，列出方程，是解题的关键．先根据新定义得出方程，然后利用等式的性质，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 等式两边都乘3，得； 等式两边都减6，得； 等式两边都除以2，得． 40．根据题意列出方程． (1)从正方形的铁皮上，截去宽的一个长方形条，余下的面积是，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？ (2)某商店规定，购买超过15000元的物品可以采用分期付款方式付款，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电脑，他需要用多长时间才能付清全部货款？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）首先假设出原来的正方形铁皮的边长，进而得出关于x的等式求出即可； （2）根据等量关系为：首付需要的月数列出方程即可． 【详解】（1）解：设原来的正方形铁皮的边长为， 根据题意得：； （2）解：设王叔叔需用x个月的时间， 根据题意得：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $