第11讲 一元一次方程及其解法 （知识清单+8大题型+好题必刷）核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（苏科版2024）

第11讲 一元一次方程及其解法 （知识清单+8大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 判断是否是一元一次方程 题型二 判断是否是一元一次方程解 题型三 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 题型四 解一元一次方程（二）——去括号 题型五 解一元一次方程（三）——去分母 题型六 已知一元一次方程的解，求参数 题型七 一元一次方程解的关系 题型八 绝对值方程 知识清单 知识点1．方程的解 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 知识点2．一元一次方程的定义 （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． 知识点3．一元一次方程的解 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 知识点4．解一元一次方程 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 题型练习 【题型一】判断是否是一元一次方程 【例1】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）下列方程中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A． ，不是整式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B．，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； C． ，含有一个未知数，未知数的次数是1，是一元一次方程，故本选项符合题意； D． ，含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：C 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）下列方程①；②；③；④；⑤；⑥．其中，一元一次方程的个数是（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”，熟记一元一次方程的定义是解题关键．根据一元一次方程的定义逐个判断即可得． 【详解】解：方程中的不是整式，则方程①不是一元一次方程； 不是等式，则②不是一元一次方程； 方程中的的次数是2，则方程④不是一元一次方程； 方程中含有两个未知数，则方程⑥不是一元一次方程； 方程③和⑤都是一元一次方程； 所以一元一次方程的个数是2个， 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数．未知数的最高次数为1且两边都为整式的方程，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程．求： (1)的值及方程的解； (2)先化简，再求值：的值． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】判断是否是一元一次方程、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、整式的加减中的化简求值 【分析】（）利用一元一次方程的定义可得且，可得，进而可得方程为，解方程即可得方程的解； （）利用去括号和合并同类项法则先对整式化简，再把的值代入计算即可求解； 本题考查了一元一次方程的定义及解一元一次方程，整式的加减化简求值，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， ∴， ∴方程为， ∴； （2）解：原式 ， 当时， 原式 ． 【题型二】判断是否是一元一次方程解 【例2】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当时，，故的解为． 【详解】解：由表格可知：当时，， ∴的解为． 故选C． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）若方程是关于x的一元一次方程，则方程的解为 ． 【答案】/ 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求出m的值，进而得到原方程，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）写出一元一次方程：未知数的系数是；方程的解是；这样的方程是 【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是一元一次方程解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次方程的解的应用，主要考查学生对定义的理解能力，难度不是很大． 此题是开放型的题目，答案不唯一，只要根据未知数的系数是和方程的解是3写出一个即可． 【详解】解：根据题意得，这样的方程可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型三】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【例3】（24-25七年级上·江苏无锡·期末）方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键．移项、合并同类项、系数化为即可得． 【详解】解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值： 则关于的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程 的方法是解题的关键． 先根据表格中数据可知，当时，，则， 当时，，则，即，把，的值代入得出关于 的一元一次方程，再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：由表格中数据可知，当时，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， 把，分别代入， 得， ， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）“”表示一种运算，定义：，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了新运算，解决本题的关键是根据新运算的规则，把转化为一般的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：， ， 解得：． 故答案为： ． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期末）定义：若，则称a与b是关于2的关联数． (1)5与______是关于2的关联数，______与是关于2的关联数（用含x的代数式表示）； (2)若，，判断a与b是否是关于2的关联数，并说明理由； (3)若，，且m与n是关于2的关联数，求x的值． 【答案】(1)， (2)与是关于2的关联数；详见解析 (3)或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了新定义，整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据题意，仿照示例，得到，，分别求出，即可； （2）先化简，，判断，即可得到结果； （3）由题意，得到，化简可得，讨论的取值，解方程，即可得到的值． 【详解】（1）解：设5与是关于2的关联数， ， ， 设与是关于2的关联数， ， ， 故答案为：，； （2）解：与是关于2的关联数，理由如下： ， ， ， 与是关于2的关联数； （3）解：与是关于2的关联数，，， ， ， 当时，，得， 当时，，得， 综上所述，或． 【题型四】解一元一次方程（二）——去括号 【例4】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）下列各数是方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法，进行解答，即可． 【详解】解：， 去小括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为“”，得． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）在解方程时，通过“去括号”将其变形为的依据（    ） A．等式的基本性质1 B．乘法结合律 C．等式的基本性质2 D．乘法分配律 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据乘法分配律解答即可． 【详解】解：在解方程时，通过“去括号”将其变形为的依据乘法分配律． 故选D． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则 ．（直接写出答案） 【答案】3 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是理解已知条件中的新定义，列出关于x的方程．根据已知条件中的新定义，列出关于x的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： ． (1)求所捂的多项式； (2)若所捂多项式的值与多项式的值互为相反数，请求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了整式的加减运算，解方程； （1）根据题意，所捂的多项为，化简可得到结果； （2）根据互为相反数的和为0，得到方程，解方程即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意，所捂住的多项式为： ； （2）解：∵所捂多项式的值与多项式的值互为相反数， ∴， ， ， 解得． 【题型五】解一元一次方程（三）——去分母 【例5】（24-25七年级上·江苏常州·期末）把方程去分母后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． 方程两边同时乘以12求解即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以12，去分母得，． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）解方程，去分母后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程．去分母．等式两边同时乘以6化简即可． 【详解】解：， 等式两边同时乘以6得，， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）我们称能使成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为，若是“相伴数对”，则x的值为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查等式的性质，将，分别代入，再根据等式的基本性质求出的值即可，掌握等式的两个基本性质是解题的关键． 【详解】解：将，分别代入， 得，解得． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类顶，系数化为1，正确理解法则内容，正确进行运算是解题的关键． （1）按去括号，移项，合并同类项，系数化1即可求解； （2）按去分母，去括号，移顶，合并同类项，系数化1求解即可． 【详解】（1）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）去分母得， 去括号得， 移项得， 系数化为1得，． 【题型六】已知一元一次方程的解，求参数 【例6】 若一元一次方程的解为，则的值为（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程解的综合应用（已知一元一次方程的解，求参数），熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 由方程的解的定义可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：一元一次方程的解为， ， 解得：， 故选：． 【举一反三】 1． 已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查一元一次方程的特殊解问题，先解方程，再根据负整数解求解即可得到答案； 【详解】解：解方程得， ， ∵方程有负整数解， ∴等于或或或， 解得：或或或， ∵a是整数， ∴满足条件的整数a的值之和为：， 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知是关于x的方程的解，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查一元一次方程方程，把代入得计算求解即可． 【详解】解：将代入得 解得 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“星光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“星光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“星光方程”，则______； (2)已知两个一元一次方程互为“星光方程”，且这两个“星光方程”的解的差为．若其中一个方程的解为，求的值： (3)已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元－次方程：（只需要在括号内填充含有的代数式）； (4)若关于的一元一次方程和互为“星光方程”，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】(1) (2)或 (3)①；② (4) 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“星光方程”的定义列出关于的方程解答即可； （2）设另外一个方程的解为，根据题意可得：，，即可求解； （3）由题意可知，关于的一元一次方程的解是，结合，则，即可求解； （4）求得方程的解为，利用“星光方程”的定义得到方程的解，再将关于的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：解方程得， 关于的一元一次方程与是“星光方程”， 关于的一元一次方程的解是， ， ， 故答案为：； （2）设另外一个方程的解为， 根据题意可得：，， 解得：或； （3）关于的一元一次方程的解是， 的解是， 关于的一元－次方程：的解是， ， 则， 故答案为：①；②； （4）的解是， 关于的一元一次方程和互为“星光方程”， 关于的一元一次方程的解是， 关于的一元一次方程整理可得： ， ， ． 故答案为：2026 【题型七】一元一次方程解的关系 【例7】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程 的解为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】对比两个方程后可以得出关于的一元一次方程的解为，从而求出的值．本题考查了一元一次方程的解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程的解满足， ， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了一元一次方程的解，设，则方程的可变为，即，进而根据关于的一元一次方程的解为，可得，即得，据此解答即可求解，掌握一元一次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：设，则方程的可变为， 即， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】2023 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用整体思想，可得出，进而可求出y的值． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴． 故答案为：2023． 3．（22-23七年级上·江苏泰州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】一元一次方程解的关系、已知字母的值 ，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）解出和的解，再根据“和谐方程”的定义列式即可． （2）根据“和谐方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，分成两种情况即可求解． （3）先解出的解，再根据“和谐方程”的定义可得，即可列式求解和的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∵， ∴， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为， ∴另一个方程的解为：， ∴或， 解得：或， ∴的值为或． （3）解：∵， ∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， 解得：， ∴． 【题型八】绝对值方程 【例8】（23-24七年级上·江苏·周测）已知，则x的值是〔   〕 A． B．5 C．或5 D．以上答案都不对 【答案】C 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值的意义作答即可． 【详解】， ， ， ∴或者， 故选：C． 【举一反三】 1．（22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习）能使式子成立的数是（    ） A．任意一个负数 B．任意一个正数 C．任意一个数 D．任意一个非正数 【答案】D 【知识点】绝对值方程 【分析】分当时，当时，当时，三种情况去绝对值，看方程是否有解即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴，这与事实矛盾，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴，这与事实矛盾，不符合题意； 当时， ∵， ∴，等式恒成立，符合题意； 综上所述，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了解绝对值方程，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）新定义如下：， ； 例如：， ；根据上述知识， 若， 则x的值为 ． 【答案】或 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查了新定义，求代数式的值，化简绝对值，绝对值方程，正确理解新定义是解题的关键．根据得出含绝对值的方程，解方程可得答案． 【详解】解：由题可得：， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； 故答案为：或． 3．（2022七年级上·江苏·专题练习）解方程：． 【答案】无解 【知识点】绝对值方程 【分析】根据绝对值的意义，分四种情况进行讨论计算，即可得出答案． 【详解】解：当时，原方程变形为：， 整理，可得：，此等式不成立，故原方程无解； 当时，原方程变形为：， 解得：，故原方程无解； 当时，原方程变形为：， 解得：，故原方程无解； 当时，原方程变形为：， 整理，可得：，此等式不成立，故原方程无解， 综上所述，原方程无解． 【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握绝对值的意义．正数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0． 好题必刷 一、单选题 1．方程x+1＝5的解是（　　） A．x＝﹣6 B．x＝6 C．x＝4 D．x＝﹣4 【答案】C 【分析】方程移项合并，即可求出解． 【详解】解：方程x+1=5， 移项得：x=5-1， 合并得：x=4． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键． 2．把方程的系数化为1的过程中，最恰当的叙述是（    ） A．给方程两边同时乘 B．给方程两边同时除以 C．给方程两边同时乘 D．给方程两边同时除以5 【答案】C 【分析】根据等式的性质2，方程两边同时乘即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 3．若是关于的方程的解，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的解及解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题关键，将代入已知方程求出，再代入方程解出方程即可． 【详解】将代入已知方程，得， 去括号，得； 移项及合并同类项，得； 系数化为1，得， 所求方程可化为， 移项及合并同类项，得． 故选B． 4．小玉想找一个解为的方程，那么她可以选择（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查，方程的解，解一元一次方程，按照解方程的一般步骤求出每个选项中方程的解，即可得出答案． 【详解】解：A、解方程，得，不合题意； B、解方程，得，符合题意； C、解方程，得，不合题意； D、当时，方程左边，右边，左边右边，不合题意； 故选：B． 5．方程去分母，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程——去分母，去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．根据等式性质2，方程两边的每一项都乘以6即可得答案． 【详解】解： 程两边同乘以6得：； 故选：D． 6．若关于的方程的解是，则的值为（    ） A．-3 B．-5 C．-13 D．5 【答案】A 【分析】把代入方程即可得到一个关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解∶把代入方程得∶ ， 解得m=-3． 故选∶ A． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是解题的关键． 7．若方程与关于x的方程的解相同，则k的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程计算即可求出k的值． 【详解】方程2x+1=-1， 解得：x=-1， 代入方程得：1+2+2k=2， 解得：k=-． 故选：B． 【点睛】此题考查解一元一次方程——同解方程问题，解决问题的关键是求出一个方程的解，代入另一个方程中，求出待定字母的值． 8．互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　） A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间 C．点C在A、B两点之间 D．无法确定 【答案】A 【分析】分别对每种情况进行讨论，看a的值是否满足条件再进行判断． 【详解】解：①当点A在B、C两点之间，则满足， 即， 解得：，符合题意，故选项A正确； ②点B在A、C两点之间，则满足， 即， 解得：，不符合题意，故选项B错误； ③点C在A、B两点之间，则满足， 即， 解得：a无解，不符合题意，故选项C错误； 故选项D错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了线段的和与差及一元一次方程的解法，分类讨论并列出对应的式子是解本题的关键． 9．下边的框图表示了琳琳同学解方程的过程，已知这个过程有错误，则开始出现错误的步骤是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第五步 【答案】C 【分析】根据去分母解一元一次方程的步骤计算判断即可． 【详解】解：， 去分母得2（2x-1）+6=3(3x+1) 去括号得4x-2+6=9x+3 移项得4x-9x=3+2-6 合并同类项得-5x=-1， 系数化为1得 ∴第三步出现了错误， 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元一次方程——去分母，正确掌握解一元一次方程的顺序及法则是解题的关键． 10．若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 【答案】D 【分析】首先解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x，可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，再根据方程有两个解的条件可得到m，n的值，然后代入方程（m+n）x+3＝4x+m中即可知道其解的情况． 【详解】解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x 可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n ∵有至少两个不同的解， ∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0， 即m＝﹣2，n＝6， 把m＝﹣2，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m， ∴方程（m+n）x+3＝4x+m无解． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程，关键是根据解的情况判断字母系数的值． 二、填空题 11．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的性质解答即可．掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12．方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．方程移项，合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 故答案为：． 13．把方程 化成最简方程，得到 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．根据去分母、移项、合并同类项的步骤求解即可． 【详解】解： 去分母，得 移项，得 合并同类项，得 故答案为： 14．若关于的方程与方程的解相同，则的值为 ． 【答案】11 【分析】先求出的解，再将解代入中，即可求得k的值． 【详解】解：解可得：， 将代入可得：， 解得：， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了解一元一次方程及同解方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 15．关于的方程与的解相同，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解和解一元一次方程，先求出方程的解，再把解代入方程即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵关于的方程与的解相同， ∴， ∴， 故答案为：． 16．当 时，式子和的值相等． 【答案】 【分析】根据解一元一次方程的基本步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1）逐个求解即可． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1）是解决本题的关键． 17．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】2022 【分析】将进行变形，再根据换元法得出，进而解答即可． 【详解】， ，即， 关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程程的解，， 解得：， 故答案为：2022． 【点睛】此题考查一元一次方程的解，关键是根据换元法解答． 18．由下表可知方程的解是 ． 的值 1 2 3 4 的值 1 3 5 7 的值 3 4 5 6 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解的定义即可得到答案． 【详解】解：观察表格，可知当与的值相等时，的值即为方程的解， ∴方程的解为， 故填：． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义：使方程两边的因式相等的的值是一元一次方程的解是解题的关键． 三、解答题 19．在公式中，已知，求t． 【答案】 【分析】将，代入公式中计算即可求出t的值． 【详解】解：由题意得：100＝25＋10t， 移项得：10t＝100−25， 合并得：10t＝75， 解得：t＝7.5． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，将未知数系数化为1，求出解． 20．解下列方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】先合并同类项，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：； 合并同类项得 ， 解得； （2）解：； 合并同类项得 ， 解得； （3）解：； 合并同类项得 ， 解得； （4）解：． 合并同类项得 ， 解得． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，合并同类项正确计算是解题的关键． 21．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用去括号，移项，合并同类项解方程即可． （2）利用去括号，移项，合并同类项解方程即可． 本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去括号，得． 移项，得， 合并同类项，得． 将未知数的系数化为1，得． （2）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 将未知数的系数化为1，得． 22．已知方程与关于 x 的方程3a-8=2(x+a)-a的解相同． (1)求 a 的值； (2)若 a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c 是倒数等于本身的数，求（a + b - c）2022的值． 【答案】(1)12 (2)1 【分析】（1）先求出方程的解，再代入方程3a-8=2(x+a)-a，即可求a的值； （2）根据已知条件可得b和c的值，最后代入求值即可解答． 【详解】（1）解：， 去括号得： 3x-1=2x+7， 移项合并得：x=8， 把x=8代入3a-8=2（x+a）-a中得：3a-8=2（8+a）-a， a=12； （2）解：由题意得：b=-12，c=±1， ∴（a+b-c）2022=（0±1）2022=1． 【点睛】本题考查了同解方程，数轴和有理数的乘方运算的知识，解答本题的关键是理解方程解的含义． 23．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，掌握一元一次方程的求解方法是解题关键，根据去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程进行求解即可． 【详解】解：整理得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项合并同类项，得： 系数化为1，得：． 24．解方程： (1) (2) 【答案】(1)x=-13 (2) 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项以及系数化为1的步骤解答； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项以及系数化为1的步骤解答． 【详解】（1）解：去括号，得6-2x=-4x-20 移项，得4x-2x=-20-6 合并同类项，得2x=-26 系数化为1，得x=-13； （2）解：去分母，得（x-7）-（5x+8）=2 去括号，得x-7-5x-8=2 移项，得x-5x=7+8+2 合并同类项，得-4x=17 系数化为1，得x=． 【点睛】本题考查解一元一次方程，基本步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项以及系数化为1，注意去分母时各项都乘以各分母的最小公倍数． 25．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤及注意事项是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可； （3）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可； （4）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可． 【详解】（1） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， （2） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， （3） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， （4） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 26．定义：关于的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”． 例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若方程与方程互为“反对方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值． 【答案】(1)5 (2)， 【分析】本题考查一元一次方程的拓展应用： （1）根据互为“反对方程”的定义可得答案； （2）根据互为“反对方程”的定义列出关于m和关于n的一元一次方程，可得答案． 【详解】（1）解：若方程与方程互为“反对方程”，则， 故答案为：5； （2）解：可变形为， 由题意知，，， 解得，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 一元一次方程及其解法 （知识清单+8大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 判断是否是一元一次方程 题型二 判断是否是一元一次方程解 题型三 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 题型四 解一元一次方程（二）——去括号 题型五 解一元一次方程（三）——去分母 题型六 已知一元一次方程的解，求参数 题型七 一元一次方程解的关系 题型八 绝对值方程 知识清单 知识点1．方程的解 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 知识点2．一元一次方程的定义 （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． 知识点3．一元一次方程的解 定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 知识点4．解一元一次方程 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 题型练习 【题型一】判断是否是一元一次方程 【例1】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）下列方程中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）下列方程①；②；③；④；⑤；⑥．其中，一元一次方程的个数是（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则 ． 3．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程．求： (1)的值及方程的解； (2)先化简，再求值：的值． 【题型二】判断是否是一元一次方程解 【例2】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）若方程是关于x的一元一次方程，则方程的解为 ． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）写出一元一次方程：未知数的系数是；方程的解是；这样的方程是 【题型三】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【例3】（24-25七年级上·江苏无锡·期末）方程的解是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值： 则关于的方程的解为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）“”表示一种运算，定义：，如果，那么 ． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期末）定义：若，则称a与b是关于2的关联数． (1)5与______是关于2的关联数，______与是关于2的关联数（用含x的代数式表示）； (2)若，，判断a与b是否是关于2的关联数，并说明理由； (3)若，，且m与n是关于2的关联数，求x的值． 【题型四】解一元一次方程（二）——去括号 【例4】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）下列各数是方程的解是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）在解方程时，通过“去括号”将其变形为的依据（    ） A．等式的基本性质1 B．乘法结合律 C．等式的基本性质2 D．乘法分配律 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则 ．（直接写出答案） 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： ． (1)求所捂的多项式； (2)若所捂多项式的值与多项式的值互为相反数，请求的值． 【题型五】解一元一次方程（三）——去分母 【例5】（24-25七年级上·江苏常州·期末）把方程去分母后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）解方程，去分母后正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）我们称能使成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为，若是“相伴数对”，则x的值为 ． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【题型六】已知一元一次方程的解，求参数 【例6】 若一元一次方程的解为，则的值为（   ） A．6 B． C．2 D． 【举一反三】 1． 已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知是关于x的方程的解，则a的值为 ． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“星光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“星光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“星光方程”，则______； (2)已知两个一元一次方程互为“星光方程”，且这两个“星光方程”的解的差为．若其中一个方程的解为，求的值： (3)已知关于的一元一次方程的解是，请写出解是的关于的一元－次方程：（只需要在括号内填充含有的代数式）； (4)若关于的一元一次方程和互为“星光方程”，则关于的一元一次方程的解为______． 【题型七】一元一次方程解的关系 【例7】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程 的解为（  ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 3．（22-23七年级上·江苏泰州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【题型八】绝对值方程 【例8】（23-24七年级上·江苏·周测）已知，则x的值是〔   〕 A． B．5 C．或5 D．以上答案都不对 【举一反三】 1．（22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习）能使式子成立的数是（    ） A．任意一个负数 B．任意一个正数 C．任意一个数 D．任意一个非正数 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）新定义如下：， ； 例如：， ；根据上述知识， 若， 则x的值为 ． 3．（2022七年级上·江苏·专题练习）解方程：． 好题必刷 一、单选题 1．方程x+1＝5的解是（　　） A．x＝﹣6 B．x＝6 C．x＝4 D．x＝﹣4 2．把方程的系数化为1的过程中，最恰当的叙述是（    ） A．给方程两边同时乘 B．给方程两边同时除以 C．给方程两边同时乘 D．给方程两边同时除以5 3．若是关于的方程的解，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 4．小玉想找一个解为的方程，那么她可以选择（    ） A． B． C． D． 5．方程去分母，得（    ） A． B． C． D． 6．若关于的方程的解是，则的值为（    ） A．-3 B．-5 C．-13 D．5 7．若方程与关于x的方程的解相同，则k的值是（    ） A．1 B． C． D． 8．互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　） A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间 C．点C在A、B两点之间 D．无法确定 9．下边的框图表示了琳琳同学解方程的过程，已知这个过程有错误，则开始出现错误的步骤是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第五步 10．若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 二、填空题 11．若，则 ． 12．方程的解为 ． 13．把方程 化成最简方程，得到 ． 14．若关于的方程与方程的解相同，则的值为 ． 15．关于的方程与的解相同，则的值为 ． 16．当 时，式子和的值相等． 17．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 18．由下表可知方程的解是 ． 的值 1 2 3 4 的值 1 3 5 7 的值 3 4 5 6 三、解答题 19．在公式中，已知，求t． 20．解下列方程： (1) (2) (3) (4)． 21．解下列方程： (1)； (2)． 22．已知方程与关于 x 的方程3a-8=2(x+a)-a的解相同． (1)求 a 的值； (2)若 a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c 是倒数等于本身的数，求（a + b - c）2022的值． 23．解方程：． 24．解方程： (1) (2) 25．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 26．定义：关于的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”． 例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若方程与方程互为“反对方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$