专题09一元一次方程解决问题暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题09一元一次方程解决问题暑假预习讲义 1. 识记：牢记列一元一次方程解应用题完整步骤，弄清审题、设元、列方程、求解、检验、作答各环节要求。 2. 辨析：能准确读懂行程、工程、利润、和差倍分等常见实际问题中的数量关系。 3. 建模：会找准题目等量关系，合理设直接未知数或间接未知数，建立一元一次方程模型。 4. 运算：熟练解所列一元一次方程，规范书写解方程过程。 5. 检验：养成检验习惯，验证方程解是否符合题目实际意义，舍去不合理数值。 6. 规范：掌握应用题标准答题格式，完整写出设句、方程、答句，步骤清晰完整。 7. 应用：可独立分析基础生活应用题，借助一元一次方程求解实际问题并给出合理解释。 8. 归纳：预习中梳理各类典型应用题固定等量关系，积累解题思路，降低审题难度。 预习必备 知识梳理 1.解决实际问题的步骤 2.两种设元方法对比 3.分析问题中的等量关系 4.常见问题中的等量关系 5.检验的两大要求 6.寻找等量关系的4种方法 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.配套问题（常） 2.工程问题（重） 3.销售问题（常） 4.比赛积分问题（重） 5.方案问题（难） 6.数字问题 7.几何问题（难） 8.动点问题（难点） 9.和差倍分问题（常+重） 10.电费和水费问题（常考） 11.行程问题（重） 12.比例分配问题（难点） 13.日历问题 14.古代问题（难点） 强化题型 解答题12题 知识点01：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1.审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 2.设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数。 3.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 4.解：解所列出的一元一次方程； 5.验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 6答：写出答案，包括单位。 知识点 02 两种设元方法对比 设元类型 定义 适用场景 直接设元 题目求什么，就设什么为x 和差倍分、简单销售、基础行程 间接设元 设中间关联量为x，求出后再计算最终答案 比例、复杂数字、多步行程、配套问题 知识点 03 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点04常见问题中的等量关系 1.配套问题 相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是a:b，则A种配件总数量 b=B种配件总数量a 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润=售价-进价；②利润率= 100%；③售价=进价 (1+利润率)。 （2）打折：n折即标价的，如 7 折即标价的（或 70%），其中n叫折数实际售价=标价 4. 分段计费问题 常见类型：我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等。 解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同。 5. 球赛积分问题 相等关系： （1） 比赛总场数=胜场数+平场数+负场数； （2） 比赛总得分=胜场总得分+平场总得分+负场总得分。 6. 行程问题 基本相等关系：路程=速度 时间；速度=路程时间；时间=路程速度。 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程。 甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行 （2）直线形追及问题：快者走的路程 = 慢者走的路程 + 两人初始路程差； 快者走的路程 = 慢者先走的路程 + 慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=；第n次相遇时，二者合走了n圈。 （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间=；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈。 7.利息问题 （1）本金×利率×期数=利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数）。 （2）本金+利息=本息和；本息和=本金×(1+利率×期数)。 8.年龄问题 “年龄问题” 的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住 “年龄差” 是解答年龄问题的关键。 9. 方案决策问题 方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤：（1）列代数式；（2）列方程；（3）取特殊值试解；（4）决策。 知识点 05 检验的两大要求 数学检验：将解代入原方程，左右两边相等，是方程的解； 实际检验：数值必须符合现实，不能出现负数人数、小数物品、负长度等。 知识点 06 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 知识点 07 高频易错汇总 易错板块 典型错误 标准正确做法 设未知数 设元不带单位，答题遗漏单位 设x标注单位，答案写完整单位 和差关系列式 甲比乙多 3，错写甲+3=乙 理清大小，甲 = 乙 + 3 流水航行 顺水逆水速度加减颠倒 顺水加水流速度，逆水减水流速度 工程总量 无具体总量不设单位 1 无总量统一设工作总量为 1 打折计算 直接标价 × 折扣数字 打n折 = 标价 × 数字表示 两位数直接写a+b 十位数字 ×10 再加个位数字 答题步骤 只解方程，不检验实际意义 计算完成必须检验是否符合生活逻辑 题型1.配套问题 【典例】某车间有10名工人，平均每人每天可制作10个大花瓶或20个小饰品，已知1个大花瓶与2个小饰品配成一套，则要安排____________名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设安排x名工人制作大花瓶，则制作小饰品的工人数为名，根据配套关系，小饰品数量应是大花瓶数量的2倍，列出方程求解． 【详解】解：设安排名工人制作大花瓶，则制作小饰品的工人数为名， 由题意得， 解得， 故答案为：5． 【跟踪专练1】某口罩厂有40名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目已设名工人生产口罩面，剩余工人生产耳绳，根据“一个口罩面配两个耳绳”可知耳绳总数量是口罩面总数量的2倍，据此列方程即可． 【详解】解：设安排名工人生产口罩面，则生产耳绳的工人有名，可得每天生产口罩面总数量为个，每天生产耳绳总数量为个， ∵一个口罩面需要配两个耳绳，刚好配套时，耳绳总数量等于2倍口罩面总数量， ∴． 【跟踪专练2】某非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成．某非遗工坊现有120名工人，每个工人一天能制作50个漆器首饰盒或200枚传统纹样银饰．该工坊应如何安排工人生产，才能使每天生产的漆器首饰盒和传统纹样银饰刚好配套？ 【答案】安排40名工人生产漆器首饰盒，80名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套 【分析】设安排名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有名，利用非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成，再建立方程求解即可. 【详解】解：设安排名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有名．     根据题意，列方程得．         解得．                 ∴生产传统纹样银饰的工人数量：（名）．         答：安排40名工人生产漆器首饰盒，80名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套. 【跟踪专练3】“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有45个工人，每个工人一天能做40个茶杯或8个茶壶，如果10个茶杯和1个茶壶为一套． (1)如何安排生产可使每天生产的产品配套？ (2)该厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起合作，恰好完成这项工作的，假设这些人的工作效率相同，应怎样安排参与制作茶具的具体人数？ 【答案】(1)人生产茶杯，则人生产茶壶 (2)先安排人工作小时，再增加人（共人）一起工作小时，可完成任务 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设人生产茶杯，则人生产茶壶，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． （2）设先安排人做，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设人生产茶杯，则人生产茶壶，根据题意得， 解得： ∴人生产茶壶， 答：人生产茶杯，则人生产茶壶； （2）解：设先安排人做，根据题意得， 解得： 答：先安排人工作小时，再增加人（共人）一起工作小时，可完成任务． 题型2.工程问题 【典例】小亮和老师一起整理了一篇教学材料，准备录入成电子稿，按篇幅估计，老师单独录入需4h完成，小亮单独录入需6h完成．小亮先录入了1h后，老师开始一起录入，问：还需要多少小时完成？若设还需x小时完成，由题意，可列方程为：________________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的工程问题应用，解题思路为将总工作量看作单位1，先求出两人的工作效率，再根据总工作量等于各部分工作量之和列方程． 【详解】解：将总工作量看作单位， ∴老师的工作效率为，小亮的工作效率为， ∴小亮先录入，完成的工作量为， ∴两人共同录入小时，完成的工作量为， ∴列方程得：． 【跟踪专练1】某小区计划推进老旧小区改造，若甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，现由两队合作，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做了天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合作了________天． 【答案】3 【分析】本题为工程问题，将总工作量设为单位，根据各部分工作量之和等于总工作量，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲、乙两队合作了天．根据题意，甲一共工作天，乙一共工作天，总工作量为，列方程得： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为，得 答：在这个过程中，甲、乙两队合作了天． 【跟踪专练2】2026年沙坪坝半程马拉松暨第二届校友半程马拉松激情开跑，赛前志愿者们对参赛物资进行打包，其中一处打包点，物资如果由一个人完成打包需16小时，现在由一部分人先做1小时，再增加1人和他们一起做2小时，可完成这项工作的．假设每个人的工作效率相同，设先安排人工作，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将总工作量看作1，先得到单人工作效率，再分别计算两部分工作量，根据工作量之和等于总工作量列方程即可． 【详解】解：∵1人完成全部工作需要16小时， ∴1人1小时的工作效率为. 设先安排人工作， 则人先做1小时的工作量为 ， 增加1人后，人做2小时的工作量为 ， ∵两次工作量之和为总工作量的， ∴可得方程 ． 【跟踪专练3】某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天． (2)甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． 【分析】（1）根据甲、乙单独完成工程的天数和倍数关系，设未知数列方程求解得到两队单独完成的天数；再将总工程量看作单位1，根据“总工作量=各部分工作量之和”列方程， （2）求解得到合作需要的天数，用到工程问题中工作量=工作效率×工作时间的基本关系． 【详解】（1）解：设乙工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，根据题意得： ，解得， 甲单独完成需要的天数为（天） 答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天． （2）设甲、乙还需合作天才能完成此项工程，将总工程量看作单位1，则甲每天工作效率为，乙每天工作效率为，根据题意得： ，解得． 答：甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． 题型3.销售问题 【典例】已知某商品的成本为元，若以标价的七五折出售，仍可获利，则该商品的标价为________元． 【答案】 【分析】设该商品的标价为元，根据利润售价成本，结合获利，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该商品的标价为元， 根据题意可列方程：， 整理得：，解得：． 【跟踪专练1】每年的4月23日是世界读书日，某书店举办“书香阅读”图书展．已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，现《汉语成语大词典》按标价五折出售，《中华上下五千年》按标价六折出售，小明花80元买了这两本书，则《中华上下五千年》的标价是___________元． 【答案】50 【分析】设《汉语成语大词典》的标价为元，则《中华上下五千年》的标价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设《汉语成语大词典》的标价为元，则《中华上下五千年》的标价为元， 由题意得， 解得， ∴（元）， 故《中华上下五千年》的标价是元． 【跟踪专练2】下面是小刚手拿20元钱和售货员的对话，请你仔细分析，1听果奶、1听可乐的单价分别是（     ） 小刚：我要1听果奶和4听可乐 售货员：找你3元 注：一听可乐比一听果奶多0.5元 A．3元，3.5元 B．3.5元，3元 C．4元，4.5元 D．4.5元，4元 【答案】A 【分析】先设出果奶单价，根据价格差表示可乐单价，再根据总花费的等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设1听果奶的单价为元， ∵1听可乐比1听果奶贵0.5元， ∴1听可乐的单价为元， 小刚付20元，找回3元，因此总花费为元， 根据题意列方程得： 展开得 ， 整理得 ， 解得 ， 因此可乐单价为 元， 即1听果奶3元，1听可乐3.5元． 【跟踪专练3】某商家购进一款工艺品，将这款工艺品的成本价提价后标价，又以七五折优惠卖出，结果每件工艺品仍获利元，求这款工艺品的成本价． 分析：设这款工艺品每件的成本价为元，依题意可得 (1)请你依据分析，在横线上填写代数式：① ；② ；③ ． (2)请你求出这款工艺品的成本价． 【答案】(1)①；②；③ (2)这款工艺品的成本价为元 【分析】设这款工艺品每件的成本价为元，先分别表示出标价、售价，从而得到利润为，最后根据每件工艺品仍获利元，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设这款工艺品每件的成本价为元， 将这款工艺品的成本价提价后标价，故标价为， 又以七五折优惠卖出，故售价为， 故利润为； （2）根据题意，得， 解得， 答：这款工艺品的成本价为元． 题型4.比赛积分问题 【典例】篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分．某队参赛12场，总得分为20分．设该队胜了x场，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】先根据参赛总场数用表示出负场的场数．再根据总得分等于胜场得分与负场得分的和列出方程． 【详解】解：设该队胜了场，则负了场， 胜场得分为分，负场得分为分， 故可列方程为． 【跟踪专练1】2026年6月2日，在意大利国际青少年杯足球比赛中，中国2014队（U12年龄段）夺得冠军．在这次比赛中中国足球小将共参加了7场比赛，全部获胜，总进球数为21个．已知小组赛3场共进球的个数是淘汰赛3场共进球个数的2倍多2个，最后决赛1场，进球1个，则中国队小组赛共进球_______个． 【答案】 【分析】设中国队淘汰赛共进球个，则小组赛共进球个，再根据总进球数的等量关系列出方程，求解方程后即可得到小组赛的进球个数． 【详解】解；设中国队淘汰赛共进球个，则小组赛共进球个. 根据题意列方程得： ， 合并同类项得：， 移项得：，即， 系数化为得：， 将代入得：， 中国队小组赛共进球：14个． 【跟踪专练2】某校开展了“剪纸文化知多少”的知识竞赛，选手需要从题库中随机抽取20道题依次进行作答，答对一道得3分，不答或答错扣1分．已知小明得了36分，则他答对的题数为（     ） A．8道 B．9道 C．12道 D．14道 【答案】D 【分析】设答对题的数量为未知数，根据总题数得到不答或答错的题数，结合得分规则列方程求解． 【详解】解：设小明答对的题数为道，则不答或答错的题数为道， 根据题意，列出方程为， 整理得， 解得， ∴小明答对的题数为道． 【跟踪专练3】2026年6月，被誉为 “小世界杯”的意大利国际青少年杯决赛，中国足球小将七战全胜捧杯．为庆祝这一佳绩，我区组织中学生校园足球联赛．联赛计分规则如下：常规时间内获胜得3分，负得0分；若常规时间内打平，则采取互罚点球的方式决定该场胜负，点球获胜得2分，负得0分．已知某支参赛队最终七场比赛全部获胜，总积分为18分．求这支球队在常规时间内打平，最终通过点球获胜的场数是多少？ 【答案】这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为3场 【分析】设这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为x场．根据总积分为18分列方程求解即可． 【详解】解：设这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为x场． 根据题意得： 解得： 答：这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为3场 题型5.方案问题 【典例】某商店周年活动大促期间，推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过150元的部分打7折．若要使两种方案最终付款金额相等，则这个相等的付款金额为__________元． 【答案】360 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用（方案优惠问题），解题的关键是设出商品原价，根据两种方案付款金额相等建立方程求解． 设商品原价为元（，否则方案二无超额折扣，无法与方案一付款相等）；表示出方案一付款为元，方案二付款为元；根据付款相等列方程求解，再计算付款金额． 【详解】解：设商品原价为元（）， 方案一付款：元， 方案二付款：元， 由付款相等得， ， ， ， 相等付款额为元． 故答案为：． 【跟踪专练1】某新华书店暑假期间推出售书优惠方案： ①一次性购书不超过200元，不享受优惠；②一次性购书超过200元但不超过400元一律打九折；③一次性购书400元以上一律打八折．如果小聪同学一次性购书共付款324元，那么小聪所购书的原价是___________． 【答案】360元或405元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设所购书的原价为x元，由于付款金额为324元超过200元，因此原价一定大于200元，需根据优惠方案②和③两种情况，分别列方程求解并验证是否符合条件即可解答． 【详解】解：设所购书的原价为x元． 当时，享受九折优惠，即，解得：； 经检验，360在200和400之间，符合条件． 当时，享受八折优惠，即，解得：， 经检验，405大于400，符合条件． 因此，所购书的原价为360元或405元． 故答案为：360元或405元． 【跟踪专练2】某校七年级3班共有学生60人，为庆祝元旦参加演出，决定统一购买一批道具（每人一个）．已知每个道具10元，有如图两种优惠方案．经计算发现两种方案所要付的费用是一样的，设方案①打折，则下列方程正确的是（    ） 团购优惠方案 ①全体打折 ②全场打九折，可以送10个道具 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，关键是分别表示出两种优惠方案的费用，再根据费用相等建立等式． 【详解】解：方案①：全体打折，每个道具原价元，人共需个道具，因此费用为； 方案②：全场打九折(即原价的倍)，且赠送个道具，因此只需购买个道具，费用为． 因为两种方案费用一样，所以可得方程：． 故选：C． 【跟踪专练3】某校欲筹备“书香满校园”读书节活动，需为师生打印大量经典名著导读、好书分享素材等资料，对接的打印店推出了读书节专属优惠方案，具体如下： 方案一：缴纳30元办理“阅读普卡”，可免费打印500张资料，超出500张的部分，每张按0.3元收费； 方案二：缴纳45元办理“阅读金卡”，可免费打印750张资料，超出750张的部分，每张按a元收费． 注： ①每位顾客只能选择其中一种方案办卡； ②以上优惠活动仅限于打印A4单面纸张，以下均默认打印的是A4单面纸张． (1)若某班级需打印800张资料，选择方案一需支付多少元，选择方案二需支付多少元（用含的代数式表示）？ (2)某老师选择方案一打印资料，共支付费用66元，求该老师打印的资料总张数； (3)当时，设打印总量为张，若两种方案收费相等，求的值． 【答案】(1)方案一：120元 方案二：元； (2) (3)550或1050 【分析】（1）先判断打印张数是否超过对应方案的免费额度，因为方案一免费500张、方案二免费750张，800张均超过两者免费额度，所以分别按照“办卡费+超出部分×对应单价”的规则，列代数式计算两个方案的费用； （2）先判断支付费用对应的打印张数是否超过方案一免费额度，因为30元对应500张，66元大于30元，所以先计算超出免费额度的费用，再除以超出部分单价得到超出张数，最后加免费额度的张数得到总张数； （3）分区间讨论的取值：如果，比较两个方案的固定费用；如果，分别写出两个方案的费用表达式再列等式求解；如果，分别写出两个方案的费用表达式再列等式求解，最后检验解是否符合即可． 【详解】（1）解：方案一：∵打印800张，超出免费500张的部分为 张 ， ∴总费用 元； 方案二：打印800张，超出免费750张的部分为 张 ， ∴总费用 （元）； （2）因为，说明打印张数超过500张， 设总张数为张， ∴ 解得：； 答：该老师打印的资料总张数为620张； （3） ① 当：方案一收费30元，方案二收费45元，收费不相等，无解； ② 当时， 根据题意可得， 解得，符合题意； ③ 当时， 根据题意得， 解得，符合题意； ∴或． 题型6.数字问题 【典例】幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．如图就是一个三阶幻方，正方形的每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，在这个三阶幻方中，m的值为____． 2 5 7 m 6 【答案】8 【详解】解：根据题意得，， 解得． 【跟踪专练1】在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”．中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．小明在探究“幻方”时，提出一个问题：如图是三阶幻方，满足每行，每列，每条对角线上三个数之和都为，则______． 【答案】 【分析】先设九宫格，则根据题意得“幻方”和为，由得到，再根据，求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：设九宫格如下： “幻方”和为， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 【跟踪专练2】如今超市里每件商品的包装盒（袋）上一般都印有条形码，每个条形码表示一个13位数，其示意图如下：从左起，位是国家代码，位是厂商代码，位是产品代码，最后1位是校验码．若规定条形码的13位数，从左起偶数位上所有数的和乘3后，再加上奇数位上所有数的和，其结果是10的倍数．若某商品的条形码为，则该校验码的数值可以是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意得到，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，， 又是10的倍数， 结合题意可知，， 解得，． 【跟踪专练3】小刚是个爱动脑的学生，他将连续的奇数1，3，5，7，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，则十字形框架中五个数的和为_______；（用含的代数式表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于115吗？若能，求出这五个数：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能；13，21，23，25，33 【分析】（）设十字形框架中间的数为，再根据上下的数相差，左右的数相差，就可以求出个数之和； （）设十字形框架中间的数为，根据这五个数的和等于列方程，求出的值，即可判断． 【详解】（1）解：设十字形框架中间的数为，则另外个数分别为：，，，， ∴十字形框架中的五个数的和为； （2）解：能，理由： 设十字形框架中间的数为，则 ， 解得， 所以这五个数的和能等于115， 这五个数为13，21，23，25，33． 题型7.几何问题 【典例】如图，数轴上每一格表示1个单位长度．若两点表示的两个数互为相反数，则点表示的数是___________ 【答案】 【分析】设点A表示的数为a，根据相反数的定义可得点C表示的数为，根据数轴上两点间的距离公式建立方程求出a的值，再根据点A和点B的距离即可求出点B表示的数． 【详解】解：设点A表示的数为a， ∵两点表示的两个数互为相反数， ∴点C表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∵，且点B在点A的右侧， ∴点B表示的数是． 【跟踪专练1】在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，相应长度如图所示，则的长为_____． 【答案】3 【详解】解：设， 根据题意得， 解得：， 则的长为． 【跟踪专练2】如图1，从一个边长为3的正方形纸片上剪掉两个边长为的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为18，则的值是（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】根据图形剪切前后周长的变化规律列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：由题意得，原正方形的周长为 ， 观察图形可知，剪掉两个小正方形后，图形的周长比原正方形的周长增加了4条长为的边， 图2中图形的周长为， 图2中图形的周长为18， ，解得 ． 【跟踪专练3】如图是长方体水池的示意图，该水池的底部被分隔为甲、乙两个独立区域．甲区域以立方米每小时的速度进行注水，乙区域底部的排水孔以一定的速度往下排水．图为注水过程中甲区域水面的高度（米）随时间（小时）变化的图象． (1)表示的数值是________； (2)求乙区域排水孔的排水速度； (3)求图中表示的数值． 【答案】(1)2米 (2)立方米每小时 (3)小时 【分析】（1）根据体积相同，得到，求解即可； （2）设乙区域内的排水孔的排水速度为立方米每小时，根据题意，得，求解即可； （3）设20小时后再经过小时，水位上升了米，根据题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，解得（米）； （2）解：设乙区域内的排水孔的排水速度为立方米每小时，根据题意，得， 解得， 故乙区域内的排水孔的排水速度为立方米每小时 （3）解：设20小时后再经过小时，水位上升了米，根据题意，得， 解得， 故（小时）． 题型8.动点问题 【典例】在数轴上，点向右移动1个单位长度得到点，点向右移动2个单位长度得到点，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．若a、b、c三个数的乘积为负数，且这三个数的和与其中一个数相等，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的乘法、一元一次方程、数轴，根据数轴、结合题意设的值为，分情况列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的值为，则的值为，的值为， 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，符合题意， 故选：B． 【跟踪专练1】数轴上点M、N对应的数分别为2和5，点P从M出发以每秒1个单位的速度向左运动，同时点Q从N出发以每秒2个单位的速度向右运动，则经过______秒后，P、Q两点之间的距离为9． 【答案】2 【分析】设经过秒后，P、Q两点之间的距离为9，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设经过秒后，P、Q两点之间的距离为9，由题意，得， 解得； 故经过秒后，P、Q两点之间的距离为9. 【跟踪专练2】如图，在长方形中，．点从点出发沿的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点从点出发沿的方向以每秒1个单位速度匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设两点运动时间为（秒），当直线把长方形面积分成相等的两部分时，的值为（    ） A．或 B．或5 C．或5 D．或 【答案】B 【分析】根据题意可得，则可推出，据此分两种情况：和，分别建立方程求解即可． 【详解】解：∵直线把长方形面积分成相等的两部分， ∴， ∴， 又∵， ∴； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为或5． 【跟踪专练3】如图，在直角中，，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．已知、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，用含的式子表示、．并求当时，的值； (2)如图②，若点在线段上运动，当为何值时，的面积等于面积的； (3)当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时，的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意表示出，，，根据列方程计算即可； （2）表示出，，根据面积的关系列方程计算即可； （3）分三种情况：当，，时，列方程求解即可； 【详解】（1）点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动， ，， ， ， ， ， ； （2）当在线段上时，，则， 的面积等于面积的， ， ， 解得：； （3）由题意可知，在线段上运动的时间为秒，在线段上运动时间为秒， 当时，在线段上运动，，， 则，， ， ， ； 当时，在线段上运动，在线段上运动，， 则，， ， ， ； 当时，在线段上运动，在线段上运动时， 则，， ， ， ，不符合题意，舍去； 或． 题型9.和差倍分问题 【典例】今年，小明的爷爷的年龄是小明年龄的5倍，小明发现，12年之后，小明的年龄将变成爷爷年龄的，则小明爷爷今年的年龄是______岁． 【答案】60 【分析】设出小明今年的年龄，表示出爷爷今年的年龄，再根据12年后两人年龄的数量关系列出方程，求解后即可得到爷爷今年的年龄． 【详解】解：设小明今年的年龄为岁，则小明爷爷今年的年龄为岁． 根据题意列方程，得 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得 因此小明爷爷今年的年龄为岁． 【跟踪专练1】实验小学五年级共有学生152人，选出男同学的和5名女同学参加科技小组，剩下的男、女同学人数正好相等．五年级男同学有______人． 【答案】77 【分析】设五年级男同学为人，则女同学为人，根据选出男同学的和5名女同学参加科技小组，剩下的男、女同学人数正好相等．列出方程求解即可． 【详解】解：设五年级男同学为人，则女同学为人， 根据题意，得 ， 则五年级男同学有77人． 【跟踪专练2】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（    ）灯． A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【答案】B 【分析】设塔的顶层共有x盏灯，则其他6层的灯数分别为盏，盏，盏，盏，盏，盏，根据一共有381盏灯建立方程求解即可． 【详解】解：设塔的顶层共有x盏灯， 由题意得，， 解得：， 所以塔的顶层共有3盏灯． 【跟踪专练3】马丁一家人坐火车回家乡．车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄．马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日．”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 【答案】30岁 【分析】设马丁的女儿岁，则马丁的儿子 岁，马丁的妻子岁，马丁岁，根据马丁一家四口的年龄之和等于祖母的年龄建立方程求解即可． 【详解】解：设马丁的女儿岁，则马丁的儿子 岁，马丁的妻子岁，马丁岁， 由题意得，， 所以， 所以， 所以， 所以（岁）， 答：马丁30岁． 题型10.电费和水费问题 【典例】．为节约用电，某市实行“阶梯电价”，收费方法如下：每户每月用电量不超过240度的部分，每度电价0.6元；超过240度但不超过400度的部分，每度电价0.65元；超过400度的部分，每度电价0.9元．若该市某居民12月份共缴纳电费222元，则该居民12月份共用电______________度． 【答案】 360 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．先判断出该居民家今年12月份的用电量是多于240度而少于400度，再设该居民家12月份的用电量为x，根据题意列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴该居民家今年12月份的用电量是多于240度而少于400度， 设该居民家12月份的用电量为x，则 ， 解得：． 该居民家12月份用电360度． 故答案为：360． 【跟踪专练1】节约用水已成为每位公民的自觉行动．某市规定，居民生活用水按三档分段计价．第一段：每户每月用水不超过，水价为元/；第二段：每户每月用水超过但不超过，超过部分水价按元/计算；第三段：每户每月用水超过，超过部分按元/计算．已知小明家上月用水并没有超过，缴纳水费元．问的值为_____． 【答案】 【分析】先根据题目条件判断小明家水费符合第一、第二档的分段计价规则，再根据“总水费第一档水费第二档水费”的等量关系列出关于的一元一次方程，最后解方程得到的值． 【详解】解：∵小明家上月用水未超过， ∴水费仅涉及第一档和第二档计价： 第一档用水量为， 第二档用水量为， 结合总水费列一元一次方程：， 整理得：， 解得． 【跟踪专练2】某地天然气收费方案如下： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 （含）的部分 1.5元 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加110、150，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变． 第二阶梯 （含）的部分 3元/ 第三阶梯 以上的部分 5元/ 甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为，甲户年用气量大于乙户年用气量．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用1800元．设甲户的用气量为，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程应用，核心是先判断甲、乙两户用气量所在的收费阶梯，再根据总费用列出对应方程． 【详解】解：∵甲户家庭人口为3人，年用气量为，且甲户年用气量大于乙户，两户用气量和为， ∴，即， ∴，， ∴甲户用气量超过第一阶梯上限，其费用为， ∵乙户家庭人口为4人，每增加1人第一阶梯上限增加， ∴乙户第一阶梯上限为 又∵乙户年用气量为， ∴乙户用气量全部在第一阶梯，费用为 ∵两户总费用为1800元 ∴可列方程：， 故选：C 【跟踪专练3】某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【答案】(1)1133.20元 (2)500立方米 【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可． （2）先计算600立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600立方米，设赵刚家用气量为立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：（元） 答：李强家需交燃气费1133.20元． （2）解：600立方米用气量的总费用：（元） 平均每立方米的费用：（元） ，因此用气量不足600立方米． 设赵刚家用气量为立方米． 答：赵刚家年用气量是500立方米． 题型11.行程问题 【典例】为了提高身体素质，小健与小康相约跑步，小健每秒跑2.4米，小康每秒跑2.6米，两人在环形跑道上从同一处同时反向出发，当他们第一次相遇时小健比小康少跑16米，则环形跑道的周长为_____米． 【答案】400 【分析】先根据小健比小康少跑16米的路程差求出相遇时间，再利用反向出发第一次相遇时，两人路程和等于环形跑道周长计算周长. 【详解】解：设出发到第一次相遇的时间为秒. 根据题意列方程得 合并同类项，得 系数化为，得 反向出发第一次相遇时，两人路程和等于环形跑道周长，因此周长为： ， ∴环形跑道的周长为米. 【跟踪专练1】一辆汽车原计划6小时从A城到B城．汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟．如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距___________千米． 【答案】 【分析】设原来的速度为v千米/时，则后一半路程为千米，而后一半路程需要的时间为小时，据此根据路程等于速度乘以时间建立方程求解即可． 【详解】解：设原来的速度为v千米/时，则后一半路程为千米， 由题意得，， 所以， 所以， 所以，即， 所以 千米， 所以A、B两城相距千米． 【跟踪专练2】一列匀速行驶的火车用的时间通过一个长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以的时间通过了长的隧道．这列火车的长度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】火车匀速行驶，通过隧道的总路程为隧道长度加火车自身长度，根据路程速度时间的关系，可先求出火车速度，再计算火车长度． 【详解】解：设火车速度为米/秒，火车长度为米， ∵火车从车头进入入口到车尾离开出口行驶的总路程为隧道长加火车自身长度， ∴根据题意可得：， 两式相减得：，解得：米/秒， 将代入，得：． ∴火车长度为． 【跟踪专练3】列一元一次方程解应用题：某款纯电动汽车的充电数据为：家用慢充每小时可补充续航，快充每小时可补充续航．若该车需要用慢充和快充配合（两种充电方式不可同时进行），总共充电小时，恰好使总续航增加，且充电方式切换的时间忽略不计，求慢充的时间． 【答案】慢充的时间为小时 【分析】设慢充的时间为小时，则快充的时间为小时，根据总续航增加列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设慢充的时间为小时，则快充的时间为小时， 根据题意得：，                 解得：， 答：慢充的时间为小时． 题型12.比例分配问题 【典例】．甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙、丙三人做的零件个数比为．现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件，则丙做了________个零件． 【答案】24 【分析】本题考查了列方程解应用题，设未知数，利用等量关系列方程是解题的关键. 【详解】解：设甲做了个零件，由甲、乙、丙三人做的零件个数比为，则乙做了个零件，丙做了个零件，得： ， 解得：， ， 故答案为： ． 【跟踪专练1】山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了___________个桃子． 【答案】20 【分析】本题考查了比的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到等量关系． 设桃子总数为T，猴老大取走，剩余；猴老二取走剩余桃子的，即；猴老三得到，根据猴老大比猴老三多29个桃子，列方程求解T，再计算猴老二所拿桃子数． 【详解】解：设桃子总数为T，则猴老大取走，剩余； 则猴老二取走较多部分，猴老三得到； 由题意得，， ， ， 解得， 所以猴老二取走个桃子， 故答案为20． 【跟踪专练2】如果甲、乙、丙三个村合修一段水渠，计划出工65人，按各村受益土地面积出工，求各村应出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别派人，依题意可得； ②设甲村派x人，依题意得； ③设甲村派x人，依题意得； ④设丙村派x人，依题意得． 上面所列方程中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 【答案】D 【分析】根据三个村出工人数的比例，对每种设未知数方式分别列方程，再判断正误即可． 【详解】解：①设甲、乙、丙三村分别派，，人，满足，总人数和为，正确； ②设甲村派人，由比例关系可得乙村应出人，丙村应出人，总人数方程应为，与所给方程不符，错误； ③由②的推导可知，所给方程符合题意，正确； ④设丙村派人，由比例关系可得甲村应出人，乙村应出人，总人数方程应为，与所给方程不符，错误． 综上，正确的是①③． 【跟踪专练3】市场上一种茶饮料由茶原液和纯净水按一定的比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水，由于今年以来茶产地云南地区连续干旱，茶原液的收购价格上涨，纯净水也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨．求这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例？ 【答案】 【分析】设这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为，设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元，以配制后的成本价作为等量关系可列出方程求解，其中一个未知数能约去． 【详解】解：设这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为． 设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元． 答：这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为． 题型13.日历问题 【典例】如图是2026年7月的日历表，任意选取“十”字形状中的五个数（如图阴影部分），若移动“十”字形状后所得五个数之和为，那么该“十”字形状中正中间的数为_____． 【答案】 【分析】设正中间的数为，依次表示出其他四个数，构造方程并求解即可． 【详解】解：设正中间的数为， 观察日历可得，上下两个数分别为和，左右两个数分别为和， 根据题意，可列方程：， 解得． 【跟踪专练1】元宵节是中国传统节日之一，象征着万家团圆．如图是2026年元宵节所在月的月历图，在该月历图中可以用十字框圈出5个数．若圈出的这5个数的和为70，则十字框正中间的数为______． 【答案】14 【分析】设十字框正中间的数为x，则其左侧的数为，右侧的数为，上方的数为，下方的数为，根据圈出的这5个数的和为70，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设十字框正中间的数为x，则其左侧的数为，右侧的数为，上方的数为，下方的数为， 根据题意，得 ，即， 解得， 即十字体正中间的数为14． 【跟踪专练2】如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17），照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为（     ） A．20 B．23 C．27 D．30 【答案】C 【分析】设最小的数为：x，则最大的数为：，根据最大数与最小数的和为40列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设最小的数为：x，则最大的数为：， 根据题意可得出：， 解得， 则最大的数为：． 【跟踪专练3】下图为2024年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： (1)请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； (2)圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)解：不能，理由如下： 设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为， 则由题意得， 解得， 则中间数为26，在图2中26的下方没有数字，所以五个数的和不能是130． 【分析】（1）设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为，根据“五个数的和为115”建立方程求解，即可画图； （2）同（1）列方程求解即可． 【详解】（1）解：设中间的数为，上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为， 则由题意得， 画图如下见答案； （2）略 14.古代问题 【典例】《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文为：“今有若干人一起买物品，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则还差4钱，问共有多少人，物价多少钱？”．在此问题中，共有______人． 【答案】7 【分析】设共有x人，根据“若每人出8钱，则多3钱”得到物价为钱，根据“每人出7钱，则还差4钱”得到物价为钱，根据物价相同即可列出方程并求解． 【详解】解：设共有x人，根据题意，得 ， 解得． 【跟踪专练1】路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有辆车，根据题意，可列出的方程是________． 【答案】 【分析】由于总人数不变，根据题意列方程即可． 【详解】解：设有辆车，五人同车三车空，四人同车九步行，总人数是不变的， ． 【跟踪专练2】我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗的后两句的意思是：如果每一间房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么恰好空出一间房．设共有客人x人，根据题意可列出的方程是（     ） A． B． C．7x+7＝9（x﹣1） D．7x﹣7＝9（x+1） 【答案】A 【分析】利用房间总数不变的等量关系，用客人总数表示出两种住宿情况对应的房间数即可列出方程． 【详解】解：设共有客人人，两种情况下房间总数不变． ∵ 每间房住7人时，有7人无房可住， ∴此住满房间的人数为，可得房间总数为， ∵每间房住9人时，空出1间房， ∴实际使用房间数为，原房间总数比实际使用房间数多1，可得房间总数为． ∵ 房间总数不变， ∴． 【跟踪专练3】《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．请你解决这个问题． 【答案】尺 【分析】设木头长x尺，根据“不同测量方法中绳长不变”列方程求解即可． 【详解】解：设木头长x尺， 根据题意，得， 解得， 答：木头长尺． 解答题 1．材料题 问题背景 某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如表： 销售方式 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.4 0.6 加工能力 每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行．部分制成罐头，其余进行直接包装售卖，并恰好7天完成． 公司费用 该加工厂计划将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 问题解决 (1)该工厂有多少吨黄桃制成罐头？ (2)若乙公司总费用比甲公司多243元，则水果加工厂到市场的距离为多少千米． 【答案】(1)该工厂有9吨黄桃制成罐头 (2)水果加工厂到市场的距离为47千米 【分析】（1）设该工厂有x吨黄桃制成罐头，构造方程即可求解； （2）设加工厂到市场的距离为y千米，构造方程即可求解． 【详解】（1）解：设该工厂有x吨黄桃制成罐头，则吨进行直接包装， 根据题意得： 解得： 答：该工厂有9吨黄桃制成罐头， （2）解：设加工厂到市场的距离为y千米， 根据题意得： 解得： 答：水果加工厂到市场的距离为47千米． 2．根据题意列出方程（不必求解）： (1)某班到离校的国家森林公园春游．先坐车，速度为，下车后以的速度步行到达目的地，共花了．问：他们步行了多少时间？ (2)某车间接到一批小家电组装任务，原计划每天组装36台，预计若干天完成．在组装了任务的三分之一后，调整工序，改进操作技术，工效提高了1倍，结果提前2天完成任务．求这次组装小家电的总台数． 【答案】(1)设步行时间为，所列方程为 (2)设组装小家电的总台数为台，所列方程为 【分析】（1）设步行时间为，根据“坐车路程+步行路程=总路程”列出方程； （2）设组装小家电的总台数为台，根据“原计划完成总任务所需的天数-实际完成总任务所需的天数=提前的天数（2天）”列出方程． 【详解】（1）略 （2）略 3．一天，小明和小颖在书店门口相遇，他们进行了如下对话： 请你根据他俩的对话内容，解答下列问题： (1)买多少元的书办卡和不办卡的费用相同？ (2)如果小颖没有办卡，她需要付多少钱？ 【答案】(1)买元的书办卡和不办卡费用相同 (2)她需要付元 【分析】（1）设买元的书办卡和不办卡的费用相同，根据题意列方程求解即可； （2）假设小颖没有办卡，她需要付元，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设买元的书办卡和不办卡的费用相同， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 答：买元的书办卡和不办卡费用相同； （2）解：假设小颖没有办卡，她需要付元， 根据题意可得：， 解得：， 答：如果小颖没有办卡，她需要付元． 4．学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 【答案】解：给这个同学颁发金奖，理由如下： 设体验时编程挑战得分，手工创作得分，则正式计分时编程挑战得分，手工创作得分． 根据题意可列方程为：． 解得， ∴编程得（分）， 手工创作得（分）， ， ∴给这个同学颁发金奖， 答：给这个同学颁发金奖． 【分析】先设出体验时编程挑战得分，手工创作得分，利用两项共得123分求出x的值，即可计算得出编程得分与手工创作得分，根据获奖条件即可求解． 【详解】略 5．某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 (1)根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． (2)根据上表数据，求A型节能灯的单价． (3)若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 【答案】(1)50元/个 (2)A型节能灯的单价为100元/个 (3)售出的A型号的节能灯有11件，B型号的节能灯有4件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，观察表格数据先推出B型节能灯单价，设A型节能灯的单价，根据6月16销售情况列关于的方程，解出即可求出A型节能灯单价；设A和B型节能灯的件数和，根据题意，列关于的方程，即可求出两种型号节能灯各自的件数． 【详解】（1）解：6月15日的销售情况可知，售出0个A型节能灯，1个B型节能灯，总售价为50元， B型节能灯的单价为50元/个． （2）解：设A型节能灯的单价为元/个，根据6月16日的销售情况，售出1个A型节能灯，2个B型节能灯，总售价为200元， 可列方程得， 解得， A型节能灯的单价为100元/个． （3）解：设售出A型节能灯个，则售出B型节能灯个，根据题意，可列方程得 ， 解得， ． 售出的A型号的节能灯有11个，B型号的节能灯有4个． 6．解答以下问题 (1)填在下列各图形中的3个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是_____________． (2)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： ①第5个图形中有多少颗黑色棋子？ ②第几个图形中有2022颗黑色棋子？请说明理由． 【答案】(1) (2)①颗；②第673个图形中有2022颗黑色棋子，理由如下： 设第n个图形中有2022颗黑色棋子， 由①知 ， 解得． 故第673个图形中有2022颗黑色棋子． 【分析】（1）根据题意得出规律求解即可； （2）①根据题意得出第n个图形有黑色棋子颗，然后代入求解即可； ②根据①中结果建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：，，， ， ⋯ ∴． （2）①第1个图形有黑色棋子颗， 第2个图形有黑色棋子颗， 第3个图形有黑色棋子颗， ⋯ ∴第n个图形有黑色棋子颗， ∴第5个图形中有 （颗）黑色棋子． ②略 7．一个长方形可被不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶完美长方形”． (1)图是一个一边被三等分的阶完美长方形．请再画出一个与图不同分割方式的阶完美长方形，若该长方形的周长为，求它的边长； (2)图是一个阶完美长方形．中间最小的正方形⑥边长为，求正方形①的边长． 【答案】(1)如图，长方形即为所求．，长为6，宽为4； (2)14 【分析】（1）先画出和原图分割形式不同的3阶完美长方形，设小正方形边长为未知数，用未知数表示长方形的长、宽，结合周长20列出一元一次方程，求解得到长方形的边长． （2）设正方形④边长为未知数，根据最小正方形边长2，依次用含x的式子表示全部正方形边长，利用长方形上下对边等长建立方程，解出未知数后算出正方形①边长． 【详解】（1）解：作图：略 设， ∵四边形与四边形均为正方形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． ∴该3阶完美长方形长为6，宽为4； （2）设正方形④边长为x，正方形⑥边长为2． 正方形⑤边长， 正方形③边长， 正方形②边长， 正方形①边长． 长方形上下两条水平对边长度相等，因此 ， ， 正方形①边长． 答：正方形①的边长为14． 8．已知数轴上两点A，B对应的数分别为，，点P为数轴上一个动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P对应的数为____________； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)现在点A，点B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当的值为10时，求点P所对应的数是多少？ 【答案】(1)1 (2)或5 (3)点P所对应的数是 【分析】（1）由点P到点A、点B的距离相等得点P是线段的中点，而A、B对应的数分别为、3，根据数轴即可确定点P对应的数； （2）分两种情况讨论，①当点P在A左边时，②点P在B点右边时，分别列方程求出x的值即可； （3）首先表示出运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为，然后得到，，然后根据题意得到，然后分三种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点P到点A、点B的距离相等， ∴点P是线段的中点， ∵点A、B对应的数分别为、3， ∴点P对应的数是； （2）解：①当点P在A左边时， 解得：； ②点P在B点右边时，， 解得：， 综上所述，当或5时，点P到点A、点B的距离之和为8； （3）解：设运动时间为t， 根据题意得，运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， ∴， ∵的值为10 ∴ ∴当时， 解得（舍去）； 当时， 解得 ∴点P表示的数为； 当时， 解得（舍去）； 综上所述，点P所对应的数是． 9．“我与好书为伴，千里江山万里海”，某校七年级开展阅读好书活动．小明5天里阅读的总页数比小亮7天里阅读的总页数少12页，小明平均每天阅读的页数比小亮平均每天阅读的页数的2倍少12页，求小亮平均每天阅读多少页． 【答案】16 【分析】设小亮平均每天阅读x页，则小明平均每天阅读页，根据“小明5天里阅读的总页数比小亮7天里阅读的总页数少12页”列出方程，据此求解即可． 【详解】解：设小亮平均每天阅读x页，则小明平均每天阅读页， 根据题意得， 解得， 答：小亮平均每天阅读16页． 10．为节约能源，某单位按以下规定收取每月电费，用电不超过140度，按每度0.4元收费，如果超过140度，超过部分按每度0.6元收费．若某用户四月份的电费平均每度0.5元，问该用户四月份应交电费多少元？ 【答案】该用户四月份应交电费140元． 【分析】先根据平均电费判断用电量超过140度．再设出总用电量，根据收费规则得到总电费的等量关系，列出一元一次方程求解，即可得到应交电费． 【详解】解：因为四月份平均每度电费0.5元大于0.4元， 所以该用户四月份用电量超过140度． 设该用户四月份用电x度．则应交电费为元． 根据题意：， 解得：， （元）， 答：该用户四月份应交电费140元． 11．A，B，C三地顺次在一条笔直的公路上，A，B两地的距离比B，C两地的距离多，且A，C两地的距离为2100千米． (1)求A，B两地的距离？ (2)王师傅开一辆货车从A地去B地，李师傅开小轿车从C地开车去A地，两车的速度比为，若两车出发后10小时相遇，求两车的速度各是多少？ (3)在（2）的条件下，两车出发四小时后，小张开一辆越野车以100千米/小时的速度从B地出发去A地，当李师傅离B地的距离比王师傅和小张之间的距离少时，求此时小张出发了多少时间？ 【答案】(1)1200千米 (2)两车的速度分别为90千米/小时，120千米/小时 (3)小张出发了3或小时 【分析】（1）设B，C两地的距离为x千米，则A，B两地的距离为千米，根据题意，列出方程，求解即可； （2）设货车的速度为千米/小时，则小轿车的速度为千米/小时，根据题意，列出方程，求解即可； （3）设小张出发了m小时，根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设B，C两地的距离为x千米，则A，B两地的距离为千米， 依题意得：， 解得， 所以A，B两地的距离为千米； （2）设货车的速度为千米/小时，则小轿车的速度为千米/小时， 依题意可得：， 解得， ，， 所以两车的速度分别为90千米/小时，120千米/小时； （3）设小张出发了m小时， 由题意可得：， 整理得， 则或， 解得或， 所以小张出发了3或小时． 12．实践与探究 【主题】如何从饮水机接收适宜温度的温水喝？ 【背景】如图1是某品牌的饮水机，饮水机装有开水、温水两个按钮，水流速度及温度如图2所示． 【实践用具】 容积为的水杯． 【查阅资料】 查阅相关资料得知： ①开水和温水混合时会发生热传递，开水释放的热量等于温水吸收的热量，且满足等量关系：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． ②饮水适宜温度是（包括与）． 【实践操作】 先从饮水机接收温水的时间为，后接收开水，直至盛满容积为的水杯为止（接水期间不计热损失，也不考虑水溢出的情况）． 【问题解决】 (1)按上述操作，水杯中温水的体积是________，开水的体积是________；（用含的代数式表示） (2)假设盛满水时，水杯中水的温度恰好是，求此时的值； (3)若要使盛满水杯后，符合饮水适宜温度，则直接写出：接收温水时间的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意先得出水杯中温水的体积是，进一步可得开水的体积； （2）根据开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，列方程求解即可； （3）根据题意先得出的边界值，再根据越大水温越低，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可知，温水的流速为，接收温水的时间为， 水杯中温水的体积是， 开水的体积是． （2）解：根据题意可得，开水降低的温度为，温水升高的温度为． 开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度， ， 解得，． （3）解：当混合温度为时， 根据题意可得，， 解得，； 由（2）可知，当混合温度为时，， 又饮水适宜温度是（包括与），且越大水温越低， ． 答：的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09一元一次方程解决问题暑假预习讲义 1. 识记：牢记列一元一次方程解应用题完整步骤，弄清审题、设元、列方程、求解、检验、作答各环节要求。 2. 辨析：能准确读懂行程、工程、利润、和差倍分等常见实际问题中的数量关系。 3. 建模：会找准题目等量关系，合理设直接未知数或间接未知数，建立一元一次方程模型。 4. 运算：熟练解所列一元一次方程，规范书写解方程过程。 5. 检验：养成检验习惯，验证方程解是否符合题目实际意义，舍去不合理数值。 6. 规范：掌握应用题标准答题格式，完整写出设句、方程、答句，步骤清晰完整。 7. 应用：可独立分析基础生活应用题，借助一元一次方程求解实际问题并给出合理解释。 8. 归纳：预习中梳理各类典型应用题固定等量关系，积累解题思路，降低审题难度。 预习必备 知识梳理 1.解决实际问题的步骤 2.两种设元方法对比 3.分析问题中的等量关系 4.常见问题中的等量关系 5.检验的两大要求 6.寻找等量关系的4种方法 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.配套问题（常） 2.工程问题（重） 3.销售问题（常） 4.比赛积分问题（重） 5.方案问题（难） 6.数字问题 7.几何问题（难） 8.动点问题（难点） 9.和差倍分问题（常+重） 10.电费和水费问题（常考） 11.行程问题（重） 12.比例分配问题（难点） 13.日历问题 14.古代问题（难点） 强化题型 解答题12题 知识点01：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1.审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 2.设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数。 3.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 4.解：解所列出的一元一次方程； 5.验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 6答：写出答案，包括单位。 知识点 02 两种设元方法对比 设元类型 定义 适用场景 直接设元 题目求什么，就设什么为x 和差倍分、简单销售、基础行程 间接设元 设中间关联量为x，求出后再计算最终答案 比例、复杂数字、多步行程、配套问题 知识点 03 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点04常见问题中的等量关系 1.配套问题 相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是a:b，则A种配件总数量 b=B种配件总数量a 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润=售价-进价；②利润率= 100%；③售价=进价 (1+利润率)。 （2）打折：n折即标价的，如 7 折即标价的（或 70%），其中n叫折数实际售价=标价 4. 分段计费问题 常见类型：我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等。 解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同。 5. 球赛积分问题 相等关系： （1） 比赛总场数=胜场数+平场数+负场数； （2） 比赛总得分=胜场总得分+平场总得分+负场总得分。 6. 行程问题 基本相等关系：路程=速度 时间；速度=路程时间；时间=路程速度。 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程。 甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行 （2）直线形追及问题：快者走的路程 = 慢者走的路程 + 两人初始路程差； 快者走的路程 = 慢者先走的路程 + 慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=；第n次相遇时，二者合走了n圈。 （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间=；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈。 7.利息问题 （1）本金×利率×期数=利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数）。 （2）本金+利息=本息和；本息和=本金×(1+利率×期数)。 8.年龄问题 “年龄问题” 的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住 “年龄差” 是解答年龄问题的关键。 9. 方案决策问题 方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤：（1）列代数式；（2）列方程；（3）取特殊值试解；（4）决策。 知识点 05 检验的两大要求 数学检验：将解代入原方程，左右两边相等，是方程的解； 实际检验：数值必须符合现实，不能出现负数人数、小数物品、负长度等。 知识点 06 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 知识点 07 高频易错汇总 易错板块 典型错误 标准正确做法 设未知数 设元不带单位，答题遗漏单位 设x标注单位，答案写完整单位 和差关系列式 甲比乙多 3，错写甲+3=乙 理清大小，甲 = 乙 + 3 流水航行 顺水逆水速度加减颠倒 顺水加水流速度，逆水减水流速度 工程总量 无具体总量不设单位 1 无总量统一设工作总量为 1 打折计算 直接标价 × 折扣数字 打n折 = 标价 × 数字表示 两位数直接写a+b 十位数字 ×10 再加个位数字 答题步骤 只解方程，不检验实际意义 计算完成必须检验是否符合生活逻辑 题型1.配套问题 【典例】某车间有10名工人，平均每人每天可制作10个大花瓶或20个小饰品，已知1个大花瓶与2个小饰品配成一套，则要安排____________名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套． 【跟踪专练1】某口罩厂有40名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成．某非遗工坊现有120名工人，每个工人一天能制作50个漆器首饰盒或200枚传统纹样银饰．该工坊应如何安排工人生产，才能使每天生产的漆器首饰盒和传统纹样银饰刚好配套？ 【跟踪专练3】“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有45个工人，每个工人一天能做40个茶杯或8个茶壶，如果10个茶杯和1个茶壶为一套． (1)如何安排生产可使每天生产的产品配套？ (2)该厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起合作，恰好完成这项工作的，假设这些人的工作效率相同，应怎样安排参与制作茶具的具体人数？ 题型2.工程问题 【典例】小亮和老师一起整理了一篇教学材料，准备录入成电子稿，按篇幅估计，老师单独录入需4h完成，小亮单独录入需6h完成．小亮先录入了1h后，老师开始一起录入，问：还需要多少小时完成？若设还需x小时完成，由题意，可列方程为：________________． 【跟踪专练1】某小区计划推进老旧小区改造，若甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，现由两队合作，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做了天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合作了________天． 【跟踪专练2】2026年沙坪坝半程马拉松暨第二届校友半程马拉松激情开跑，赛前志愿者们对参赛物资进行打包，其中一处打包点，物资如果由一个人完成打包需16小时，现在由一部分人先做1小时，再增加1人和他们一起做2小时，可完成这项工作的．假设每个人的工作效率相同，设先安排人工作，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ 题型3.销售问题 【典例】已知某商品的成本为元，若以标价的七五折出售，仍可获利，则该商品的标价为________元． 【跟踪专练1】每年的4月23日是世界读书日，某书店举办“书香阅读”图书展．已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，现《汉语成语大词典》按标价五折出售，《中华上下五千年》按标价六折出售，小明花80元买了这两本书，则《中华上下五千年》的标价是___________元． 【跟踪专练2】下面是小刚手拿20元钱和售货员的对话，请你仔细分析，1听果奶、1听可乐的单价分别是（     ） 小刚：我要1听果奶和4听可乐 售货员：找你3元 注：一听可乐比一听果奶多0.5元 A．3元，3.5元 B．3.5元，3元 C．4元，4.5元 D．4.5元，4元 【跟踪专练3】某商家购进一款工艺品，将这款工艺品的成本价提价后标价，又以七五折优惠卖出，结果每件工艺品仍获利元，求这款工艺品的成本价． 分析：设这款工艺品每件的成本价为元，依题意可得 (1)请你依据分析，在横线上填写代数式：① ；② ；③ ． (2)请你求出这款工艺品的成本价． 题型4.比赛积分问题 【典例】篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分．某队参赛12场，总得分为20分．设该队胜了x场，则可列方程为___________． 【跟踪专练1】2026年6月2日，在意大利国际青少年杯足球比赛中，中国2014队（U12年龄段）夺得冠军．在这次比赛中中国足球小将共参加了7场比赛，全部获胜，总进球数为21个．已知小组赛3场共进球的个数是淘汰赛3场共进球个数的2倍多2个，最后决赛1场，进球1个，则中国队小组赛共进球_______个． 【跟踪专练2】某校开展了“剪纸文化知多少”的知识竞赛，选手需要从题库中随机抽取20道题依次进行作答，答对一道得3分，不答或答错扣1分．已知小明得了36分，则他答对的题数为（     ） A．8道 B．9道 C．12道 D．14道 【跟踪专练3】2026年6月，被誉为 “小世界杯”的意大利国际青少年杯决赛，中国足球小将七战全胜捧杯．为庆祝这一佳绩，我区组织中学生校园足球联赛．联赛计分规则如下：常规时间内获胜得3分，负得0分；若常规时间内打平，则采取互罚点球的方式决定该场胜负，点球获胜得2分，负得0分．已知某支参赛队最终七场比赛全部获胜，总积分为18分．求这支球队在常规时间内打平，最终通过点球获胜的场数是多少？ 题型5.方案问题 【典例】某商店周年活动大促期间，推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过150元的部分打7折．若要使两种方案最终付款金额相等，则这个相等的付款金额为__________元． 【跟踪专练1】某新华书店暑假期间推出售书优惠方案： ①一次性购书不超过200元，不享受优惠；②一次性购书超过200元但不超过400元一律打九折；③一次性购书400元以上一律打八折．如果小聪同学一次性购书共付款324元，那么小聪所购书的原价是___________． 【跟踪专练2】某校七年级3班共有学生60人，为庆祝元旦参加演出，决定统一购买一批道具（每人一个）．已知每个道具10元，有如图两种优惠方案．经计算发现两种方案所要付的费用是一样的，设方案①打折，则下列方程正确的是（    ） 团购优惠方案 ①全体打折 ②全场打九折，可以送10个道具 A． B． C． D． 【跟踪专练3】某校欲筹备“书香满校园”读书节活动，需为师生打印大量经典名著导读、好书分享素材等资料，对接的打印店推出了读书节专属优惠方案，具体如下： 方案一：缴纳30元办理“阅读普卡”，可免费打印500张资料，超出500张的部分，每张按0.3元收费； 方案二：缴纳45元办理“阅读金卡”，可免费打印750张资料，超出750张的部分，每张按a元收费． 注： ①每位顾客只能选择其中一种方案办卡； ②以上优惠活动仅限于打印A4单面纸张，以下均默认打印的是A4单面纸张． (1)若某班级需打印800张资料，选择方案一需支付多少元，选择方案二需支付多少元（用含的代数式表示）？ (2)某老师选择方案一打印资料，共支付费用66元，求该老师打印的资料总张数； (3)当时，设打印总量为张，若两种方案收费相等，求的值． 题型6.数字问题 【典例】幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．如图就是一个三阶幻方，正方形的每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，在这个三阶幻方中，m的值为____． 2 5 7 m 6 【跟踪专练1】在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”．中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．小明在探究“幻方”时，提出一个问题：如图是三阶幻方，满足每行，每列，每条对角线上三个数之和都为，则______． 【跟踪专练2】如今超市里每件商品的包装盒（袋）上一般都印有条形码，每个条形码表示一个13位数，其示意图如下：从左起，位是国家代码，位是厂商代码，位是产品代码，最后1位是校验码．若规定条形码的13位数，从左起偶数位上所有数的和乘3后，再加上奇数位上所有数的和，其结果是10的倍数．若某商品的条形码为，则该校验码的数值可以是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练3】小刚是个爱动脑的学生，他将连续的奇数1，3，5，7，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中数字的规律，并解答下列问题． (1)设十字形框架中间的数为，则十字形框架中五个数的和为_______；（用含的代数式表示） (2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于115吗？若能，求出这五个数：若不能，请说明理由． 题型7.几何问题 【典例】如图，数轴上每一格表示1个单位长度．若两点表示的两个数互为相反数，则点表示的数是___________ 【跟踪专练1】在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，相应长度如图所示，则的长为_____． 【跟踪专练2】如图1，从一个边长为3的正方形纸片上剪掉两个边长为的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为18，则的值是（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【跟踪专练3】如图是长方体水池的示意图，该水池的底部被分隔为甲、乙两个独立区域．甲区域以立方米每小时的速度进行注水，乙区域底部的排水孔以一定的速度往下排水．图为注水过程中甲区域水面的高度（米）随时间（小时）变化的图象． (1)表示的数值是________； (2)求乙区域排水孔的排水速度； (3)求图中表示的数值． 题型8.动点问题 【典例】在数轴上，点向右移动1个单位长度得到点，点向右移动2个单位长度得到点，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．若a、b、c三个数的乘积为负数，且这三个数的和与其中一个数相等，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练1】数轴上点M、N对应的数分别为2和5，点P从M出发以每秒1个单位的速度向左运动，同时点Q从N出发以每秒2个单位的速度向右运动，则经过______秒后，P、Q两点之间的距离为9． 【跟踪专练2】如图，在长方形中，．点从点出发沿的方向以每秒3个单位速度匀速运动，点从点出发沿的方向以每秒1个单位速度匀速运动．两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设两点运动时间为（秒），当直线把长方形面积分成相等的两部分时，的值为（    ） A．或 B．或5 C．或5 D．或 【跟踪专练3】如图，在直角中，，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．已知、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，用含的式子表示、．并求当时，的值； (2)如图②，若点在线段上运动，当为何值时，的面积等于面积的； (3)当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时，的值． 题型9.和差倍分问题 【典例】今年，小明的爷爷的年龄是小明年龄的5倍，小明发现，12年之后，小明的年龄将变成爷爷年龄的，则小明爷爷今年的年龄是______岁． 【跟踪专练1】实验小学五年级共有学生152人，选出男同学的和5名女同学参加科技小组，剩下的男、女同学人数正好相等．五年级男同学有______人． 【跟踪专练2】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（    ）灯． A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【跟踪专练3】马丁一家人坐火车回家乡．车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄．马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日．”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 题型10.电费和水费问题 【典例】．为节约用电，某市实行“阶梯电价”，收费方法如下：每户每月用电量不超过240度的部分，每度电价0.6元；超过240度但不超过400度的部分，每度电价0.65元；超过400度的部分，每度电价0.9元．若该市某居民12月份共缴纳电费222元，则该居民12月份共用电______________度． 【跟踪专练1】节约用水已成为每位公民的自觉行动．某市规定，居民生活用水按三档分段计价．第一段：每户每月用水不超过，水价为元/；第二段：每户每月用水超过但不超过，超过部分水价按元/计算；第三段：每户每月用水超过，超过部分按元/计算．已知小明家上月用水并没有超过，缴纳水费元．问的值为_____． 【跟踪专练2】某地天然气收费方案如下： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 （含）的部分 1.5元 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加110、150，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变． 第二阶梯 （含）的部分 3元/ 第三阶梯 以上的部分 5元/ 甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为，甲户年用气量大于乙户年用气量．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用1800元．设甲户的用气量为，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 题型11.行程问题 【典例】为了提高身体素质，小健与小康相约跑步，小健每秒跑2.4米，小康每秒跑2.6米，两人在环形跑道上从同一处同时反向出发，当他们第一次相遇时小健比小康少跑16米，则环形跑道的周长为_____米． 【跟踪专练1】一辆汽车原计划6小时从A城到B城．汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟．如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距___________千米． 【跟踪专练2】一列匀速行驶的火车用的时间通过一个长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以的时间通过了长的隧道．这列火车的长度为（     ）． A． B． C． D． 【跟踪专练3】列一元一次方程解应用题：某款纯电动汽车的充电数据为：家用慢充每小时可补充续航，快充每小时可补充续航．若该车需要用慢充和快充配合（两种充电方式不可同时进行），总共充电小时，恰好使总续航增加，且充电方式切换的时间忽略不计，求慢充的时间． 题型12.比例分配问题 【典例】．甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙、丙三人做的零件个数比为．现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件，则丙做了________个零件． 【跟踪专练1】山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了___________个桃子． 【跟踪专练2】如果甲、乙、丙三个村合修一段水渠，计划出工65人，按各村受益土地面积出工，求各村应出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别派人，依题意可得； ②设甲村派x人，依题意得； ③设甲村派x人，依题意得； ④设丙村派x人，依题意得． 上面所列方程中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 【跟踪专练3】市场上一种茶饮料由茶原液和纯净水按一定的比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水，由于今年以来茶产地云南地区连续干旱，茶原液的收购价格上涨，纯净水也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨．求这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例？ 题型13.日历问题 【典例】如图是2026年7月的日历表，任意选取“十”字形状中的五个数（如图阴影部分），若移动“十”字形状后所得五个数之和为，那么该“十”字形状中正中间的数为_____． 【跟踪专练1】元宵节是中国传统节日之一，象征着万家团圆．如图是2026年元宵节所在月的月历图，在该月历图中可以用十字框圈出5个数．若圈出的这5个数的和为70，则十字框正中间的数为______． 【跟踪专练2】如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17），照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为（     ） A．20 B．23 C．27 D．30 【跟踪专练3】下图为2024年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： (1)请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； (2)圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由． 14.古代问题 【典例】《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文为：“今有若干人一起买物品，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则还差4钱，问共有多少人，物价多少钱？”．在此问题中，共有______人． 【跟踪专练1】路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有辆车，根据题意，可列出的方程是________． 【跟踪专练2】我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗的后两句的意思是：如果每一间房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么恰好空出一间房．设共有客人x人，根据题意可列出的方程是（     ） A． B． C．7x+7＝9（x﹣1） D．7x﹣7＝9（x+1） 【跟踪专练3】《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．请你解决这个问题． 解答题 1．材料题 问题背景 某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如表： 销售方式 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.4 0.6 加工能力 每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行．部分制成罐头，其余进行直接包装售卖，并恰好7天完成． 公司费用 该加工厂计划将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 问题解决 (1)该工厂有多少吨黄桃制成罐头？ (2)若乙公司总费用比甲公司多243元，则水果加工厂到市场的距离为多少千米． 2．根据题意列出方程（不必求解）： (1)某班到离校的国家森林公园春游．先坐车，速度为，下车后以的速度步行到达目的地，共花了．问：他们步行了多少时间？ (2)某车间接到一批小家电组装任务，原计划每天组装36台，预计若干天完成．在组装了任务的三分之一后，调整工序，改进操作技术，工效提高了1倍，结果提前2天完成任务．求这次组装小家电的总台数． 3．一天，小明和小颖在书店门口相遇，他们进行了如下对话： 请你根据他俩的对话内容，解答下列问题： (1)买多少元的书办卡和不办卡的费用相同？ (2)如果小颖没有办卡，她需要付多少钱？ 4．学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 5．某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 (1)根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． (2)根据上表数据，求A型节能灯的单价． (3)若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 6．解答以下问题 (1)填在下列各图形中的3个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是_____________． (2)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： ①第5个图形中有多少颗黑色棋子？ ②第几个图形中有2022颗黑色棋子？请说明理由． 7．一个长方形可被不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶完美长方形”． (1)图是一个一边被三等分的阶完美长方形．请再画出一个与图不同分割方式的阶完美长方形，若该长方形的周长为，求它的边长； (2)图是一个阶完美长方形．中间最小的正方形⑥边长为，求正方形①的边长． 8．已知数轴上两点A，B对应的数分别为，，点P为数轴上一个动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P对应的数为____________； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)现在点A，点B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当的值为10时，求点P所对应的数是多少？ 9．“我与好书为伴，千里江山万里海”，某校七年级开展阅读好书活动．小明5天里阅读的总页数比小亮7天里阅读的总页数少12页，小明平均每天阅读的页数比小亮平均每天阅读的页数的2倍少12页，求小亮平均每天阅读多少页． 10．为节约能源，某单位按以下规定收取每月电费，用电不超过140度，按每度0.4元收费，如果超过140度，超过部分按每度0.6元收费．若某用户四月份的电费平均每度0.5元，问该用户四月份应交电费多少元？ 11．A，B，C三地顺次在一条笔直的公路上，A，B两地的距离比B，C两地的距离多，且A，C两地的距离为2100千米． (1)求A，B两地的距离？ (2)王师傅开一辆货车从A地去B地，李师傅开小轿车从C地开车去A地，两车的速度比为，若两车出发后10小时相遇，求两车的速度各是多少？ (3)在（2）的条件下，两车出发四小时后，小张开一辆越野车以100千米/小时的速度从B地出发去A地，当李师傅离B地的距离比王师傅和小张之间的距离少时，求此时小张出发了多少时间？ 12．实践与探究 【主题】如何从饮水机接收适宜温度的温水喝？ 【背景】如图1是某品牌的饮水机，饮水机装有开水、温水两个按钮，水流速度及温度如图2所示． 【实践用具】 容积为的水杯． 【查阅资料】 查阅相关资料得知： ①开水和温水混合时会发生热传递，开水释放的热量等于温水吸收的热量，且满足等量关系：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． ②饮水适宜温度是（包括与）． 【实践操作】 先从饮水机接收温水的时间为，后接收开水，直至盛满容积为的水杯为止（接水期间不计热损失，也不考虑水溢出的情况）． 【问题解决】 (1)按上述操作，水杯中温水的体积是________，开水的体积是________；（用含的代数式表示） (2)假设盛满水时，水杯中水的温度恰好是，求此时的值； (3)若要使盛满水杯后，符合饮水适宜温度，则直接写出：接收温水时间的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $