§2.3 对称问题 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦对称问题，涵盖中心对称、轴对称及综合应用，通过问题链导入，衔接中点坐标与直线方程知识，为反射、最值问题解决搭建学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察对称本质，通过问题引导发现数量关系，如点线对称的“垂直”“平分”条件；用数学思维推理对称逻辑，如例1通过方程组求解对称点坐标；以数学语言表达规律，总结对称公式与转化方法。助力学生提升逻辑推理与问题解决能力，为教师提供系统教学资源与分层练习设计。

对称问题 第二章　§2.3　习题课 学习目标 1.学会解决点点、点线、线线对称问题(重点). 2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题(难点). 内容索引 01 02 对称问题的综合应用 中心对称和轴对称问题 04 随堂演练 03 课时对点练 01 中心对称和轴对称问题 问题 1 提示　 若点A(x，y)关于点P(a，b)对称的点为B(x'，y')，则A(x，y)，P(a，b)，B(x'，y')三点坐标满足什么关系？ 问题 2 提示　 若点P(x0，y0)关于直线l：Ax+By+C=0(AB≠0)的对称点Q(x'，y')，则你能得到哪些数量关系式？ 1.中心对称：若P(a，b)是点A(x，y)和点B(x'，y')的中点，则 2.轴对称：若点P(x0，y0)和点Q(x'，y')关于直线l：Ax+By+C=0(AB≠0)对 称，则 知识梳理 (1)直线关于点对称(转化成点关于点对称) 方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程； 方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标，再利用两直线平行，由点斜式求出直线方程. (2)直线关于直线对称(转化成点关于直线对称) 求直线l1：ax+by+c=0关于直线l2：dx+ey+f=0(两直线不平行)的对称直线l3. 注意点 8 第一步：联立l1，l2的方程，求得交点P(x0，y0)； 第二步：在l1上任取异于点P的一点Q(x1，y1)，求出点Q关于直线l2的对称点Q'(x2，y2)； 第三步：利用两点式写出l3的方程. (3)常见的一些特殊的对称 点(x，y)关于x轴的对称点为(x，-y)，关于y轴的对称点为(-x，y). 点(x，y)关于直线y=x的对称点为(y，x)，关于直线y=-x的对称点为(-y，-x). 注意点 9 点(x，y)关于直线x=a的对称点为(2a-x，y)，关于直线y=b的对称点为(x，2b-y). 点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a-x，2b-y). 点(x，y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y，k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y，x-k). 注意点 10 　已知直线l：y=3x+3. (1)求点P(4，5)关于l的对称点的坐标； 例1 设点P关于直线l的对称点为P'(x'，y')，则线段PP'的中点在直线l上，且直线PP'垂直于直线l， 即解得 所以点P'的坐标为(-2，7). 解： 11 　已知直线l：y=3x+3. (2)求直线y=x-2关于l的对称直线的方程； 例1 解方程组得 则点在所求直线上. 在直线y=x-2上任取一点M(2，0)， 设点M关于直线l的对称点为M'(x0，y0)， 解： 12 　已知直线l：y=3x+3. (2)求直线y=x-2关于l的对称直线的方程； 例1 则 解得 点M'也在所求直线上. 由两点式得直线方程为=， 化简得7x+y+22=0，即为所求直线的方程. 解： 13 　已知直线l：y=3x+3. (3)求直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程； 例1 在直线l上取两点E(0，3)，F(-1，0)， 则E，F关于点A(3，2)的对称点分别为E'(6，1)，F'(7，4).因为点E'，F'在所求直线上， 所以由两点式得所求直线方程为=， 即3x-y-17=0. 解： 14 　已知直线l：y=3x+3. (4)直线l2：y=x+1，过点Q(2，5)的直线l1夹在直线l和l2之间的线段恰好被点Q平分，求直线l1的方程. 例1 设直线l与l1的交点为M(a，b)，所以点M关于点Q的对称点为N(4-a，10-b)， 又点M在l上，点N在l2上，所以解得所以M(1，6)，所以直线l1的方程为=，即x+y-7=0. 解： 15 对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式. 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P'(2a-x，2b-y). (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点P(x0，y0)，则l关于P点的对称直线方程为A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0. 反思感悟 16 (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”. 设P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得. (4)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题. 反思感悟 17 　已知P(-1，2)，M(1，3)，直线l：y=2x+1. (1)求点P关于直线l的对称点R的坐标； 跟踪训练1 设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)， 则有 解得 所以R的坐标为. 解： 18 　已知P(-1，2)，M(1，3)，直线l：y=2x+1. (2)求直线PM关于直线l对称的直线方程. 跟踪训练1 因为M(1，3)的坐标满足直线l的方程， 又点P关于直线l的对称点为R， 则直线MR即为所求的直线，由两点式得所求直线方程为11x+2y-17=0. 解： 19 02 对称问题的综合应用 　(1)一束光线从原点O(0，0)发出，经过直线l：8x+6y=25反射后通过点P(-4，3)，则光线从O点到达P点所经过的路程为　　　. 例2 8 21 解析： 如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上， 得解得 所以点A的坐标为(4，3). 因为反射光线的反向延长线过A(4，3)， 所以光线从O到P的路程即为AP的长度， 由A(4，3)，P(-4，3)知，|AP|=4-(-4)=8， 即光线从O点到达P点所经过的路程为8. 22 (2)点P在直线l：x-y-1=0上，则P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差的绝对值的最大值为　　 . 23 解析： 如图，设点B关于l的对称点B'的坐标为(a，b)，连接BB'，则kBB'·kl=-1，即 ×1=-1， ∴a+b-4=0， ① ∵BB'的中点在直线l上， ∴--1=0，即a-b-6=0. ② 由①②得 ∴点B'的坐标为(5，-1). 24 解析： 易知||PB|-|PA||=||PB'|-|PA||≤|AB'|，当且仅当P，B'，A 三点共线时，||PB|-|PA||取得最大值|AB'|， 最大值|AB'|==. 25 (1)根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解. (2)利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差的绝对值最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A'，得直线A'B的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解. 反思感悟 26 　(1)如图所示，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是 A.2 B.6 C.3 D.2 跟踪训练2 √ 27 解析： 由题意知，AB所在直线的方程为x+y-4=0. 如图，点P关于直线AB的对称点为D(4，2)，点P关于y轴的对称点为C(-2，0)，则光线所经过的路程为|CD|=2. 29 (2)已知两点A(1，3)，B(4，5)，动点M在直线y=x上运动，则|MA|+|MB|的最小值为　　　　. 解析： 根据题意画出图象，如图， 设点A关于直线y=x的对称点为A'(x，y)， 所以解得即A'(3，1)， 连接A'B，则|A'B|即为|MA|+|MB|的最小值，|A'B|==. 30 课堂小结 1.知识清单： (1)常见的对称问题. (2)光的反射问题. (3)利用对称解决有关最值问题. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆. 31 03 随堂演练 1 2 3 4 1.若点N与点M(-4，3)关于原点对称，则点N的坐标是 A.(-4，-3) B.(3，-4) C.(4，-3) D.(4，3) 解析： 因为点N与点M(-4，3)关于原点对称，所以N(4，-3). √ 2.点(3，9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标是 A.(-1，-3) B.(17，-9) C.(-1，3) D.(-17，9) 解析： 设点(3，9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标为(a，b)， 则由解得 所以该点的坐标为(-1，-3). 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 3.直线x-2y+1=0 关于直线x=1对称的直线方程是 A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0 √ 解析： 直线x-2y+1=0与x=1的交点为(1，1)， 在直线 x-2y+1=0上任取一点， 点关于直线x=1的对称点为， 可知所求直线方程即为点(1，1)和点所在直线的方程，则y-1=-(x-1)， 即 x+2y-3=0. 1 2 3 4 4.若光线从A(-2，3)射出，经x轴反射后，过点C(2，1)，则反射光线所在的直线方程为　　　　　. 解析： 因为点A(-2，3)关于x轴的对称点A'(-2，-3)在反射光线所在直线上，从而kA'C==1， 所以直线A'C的方程是y-1=x-2.故反射光线所在的直线方程为x-y-1=0. x-y-1=0 04 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对一对 13 14 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D ACD C CD B 2x+y-9=0 题号 9 10 11 13 14 答案 B AC 2 x-4y-1=0 5 8. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当k=0时，此时G点和D点重合，折痕EF所在直线的方程为y=. 当k≠0时，设G(a，1)(0<a≤2). 所以A点与G点关于折痕EF所在的直线对称，由kOG×k=-1， 即×k=-1，解得a=-k， 所以G(-k，1)(-2≤k<0)， 从而折痕EF所在的直线与OG的交点坐标为， 故折痕EF所在的直线方程为y-=k， 13 14 8. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即y=kx++(-2≤k<0)， 又当k=0时，y=符合该式， 所以折痕EF所在直线的方程为2kx-2y+k2+1=0(-2≤k≤0). 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 易知A，B两点在直线l的同侧. (1)设A关于直线l的对称点为A'(m，n)， 则解得 故A'(-2，8). 因为P为直线l上的一点， 则|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|， 12. 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当且仅当B，P，A'三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值，为|A'B|，点P即直线A'B与直线l的交点， 则得 故所求的点P的坐标为(-2，3). 12. 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)||PB|-|PA||≤|AB|， 当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|-|PA||取得最大值，为|AB|，点P即直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y=x-2， 则得 故所求的点P的坐标为(12，10). 12. 13 14 1.已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(-2，-3)，则点P(x，y)到原点的距离是 A.4 B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础巩固 13 14 解析： 根据中点坐标公式得解得 所以点P的坐标为(4，1)，则点P(x，y)到原点的距离d==. 2.(多选)已知P(4，5)与Q(-2，7)关于直线l对称，则下列说法中正确的是 A.直线l过PQ的中点 B.直线PQ的斜率为 C.直线l的斜率为3 D.直线l的一个方向向量的坐标是(1，3) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： 对于A，因为P(4，5)与Q(-2，7)关于直线l对称，所以直线l过PQ的中点，故A正确； 对于B，直线PQ的斜率为=-=-，所以直线l的斜率为3 ，故B错误，C正确； 对于D，因为直线l的斜率为3，所以直线l的一个方向向量的坐标是(1，3)，故D正确. 3.直线2x+3y-6=0关于点(1，-1)对称的直线方程是 A.2x+3y+7=0 B.3x-2y+2=0 C.2x+3y+8=0 D.3x-2y-12=0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： ∵直线2x+3y-6=0关于点(1，-1)对称的直线斜率不变， ∴设对称直线l'的方程为2x+3y+c=0(c≠-6)， 又点(1，-1)到两直线的距离相等， ∴=，化简得|c-1|=7， 解得c=-6(舍去)或c=8， ∴l'的方程为2x+3y+8=0， 即直线2x+3y-6=0关于点(1，-1)对称的直线方程是2x+3y+8=0. 4.(多选)一束光线自点(2，3)射出，经y轴反射后过点(3，0)，则下列点在反射光线所在直线上的是 A.(-9，8) B.(3，1) C.(-7，6) D.(-12，9) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： 点(2，3)关于y轴的对称点为点(-2，3)，则反射光线所在直线经过点(-2，3)和点(3，0)， 所以反射光线所在的直线方程为=，即3x+5y-9=0. 对于A，当x=-9时，y=≠8，所以A错误； 对于B，当x=3时，y=0≠1，所以B错误； 对于C，当x=-7时，y=6，所以C正确； 对于D，当x=-12时，y=9，所以D正确. 5.将一张坐标纸折叠一次，使点(2，0)与点(1，1)重合，此时点(m，n)与原点(0，0)重合，则m·n的值是 A.1 B.-1 C.2 D.-2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： 如图，可知折痕为点(2，0)与点(1，1)连线的垂直平分线， 中点坐标为， 设折痕所在直线的斜率为k，则k×=-1，得k=1， 故折痕所在直线方程为y-=x-，即x-y-1=0， 由题意点(m，n)与原点(0，0)关于折痕对称， 故解得 故m·n=1×(-1)=-1. 6.台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.现有一目标球从点A(-2，3)无旋转射出，经过x轴(桌边)上 的点P反弹后，经过点B(5，7)，则点P的坐标为　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 设P(x，0)，A点关于x轴对称的点为A'(-2，-3)， 则kA'P==，kA'B==， 由题意知A'，B，P三点共线， ∴kA'P=kA'B，即=，解得x=， 故P点的坐标为. 13 14 7.已知直线l：x=2，则直线y=2x+1关于直线l对称的直线方程为　　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2x+y-9=0 解析： 方法一　设直线y=2x+1与l的交点为A，联立得∴A(2，5)， 在y=2x+1上另取一点B(0，1)， ∴点B关于l的对称点为B'(4，1). 由点A和点B'可得所求直线方程为=，即2x+y-9=0. 方法二　将x=2代入y=2x+1得y=5，∴两直线的交点为(2，5)，又易知所求直线的斜率k=-2， ∴所求直线方程为y-5=-2(x-2)，即2x+y-9=0. 8.如图所示，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，边AB，AD分别在x轴、y轴的非负半轴上，点A与坐标原点重合，将矩形折叠，使点A落在边CD上，并将落在CD上的点 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 记为G，若折痕EF所在直线的斜率为k，求折痕EF所在直线的方程. 当k=0时，此时G点和D点重合，折痕EF所在直线的方程为y=. 当k≠0时，设G(a，1)(0<a≤2). 所以A点与G点关于折痕EF所在的直线对称，由kOG×k=-1， 即×k=-1，解得a=-k， 所以G(-k，1)(-2≤k<0)， 解： 8.如图所示，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，边AB，AD分别在x轴、y轴的非负半轴上，点A与坐标原点重合，将矩形折叠，使点A落在边CD上，并将落在CD上的点 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 记为G，若折痕EF所在直线的斜率为k，求折痕EF所在直线的方程. 从而折痕EF所在的直线与OG的交点坐标为， 故折痕EF所在的直线方程为y-=k，即y=kx++(-2≤k<0)， 又当k=0时，y=符合该式， 所以折痕EF所在直线的方程为2kx-2y+k2+1=0(-2≤k≤0). 解： 9.已知点(1，-1)关于直线l1：y=x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，-1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为 A.2x+3y+5=0 B.3x-2y+5=0 C.3x+2y+5=0 D.2x-3y+5=0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合运用 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： 设A(a，b)，则解得所以A(-1，1). 设点B(2，-1)到直线l2的距离为d， 当d=|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又=-=-=， 所以直线l2的方程为y-1=(x+1)， 即3x-2y+5=0. 10.(多选)已知直线l1：x+y=0，l2：2x-3y-6=0，则下列说法正确的是 A.直线l1与l2相交于点 B.直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积为 C.直线l2关于原点O对称的直线方程为2x-3y+6=0 D.直线l2关于直线l1对称的直线方程为3x-2y+6=0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： 由 解得x=，y=-， 所以交点坐标为，A选项正确； 直线l2：2x-3y-6=0与x轴的交点为(3，0)，与y轴的交点为(0，-2)， 直线l1过原点，由图可知，直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积为×3×=，所以B选项错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： 由上述分析可知，直线l2关于原点O对称的直线过点 (-3，0)，(0，2)， 所以直线l2关于原点O对称的直线方程为y-2=(x-0)， 即2x-3y+6=0，所以C选项正确； 点(3，0)关于直线x+y=0的对称点是(0，-3)， 点(0，-2)关于直线x+y=0的对称点是(2，0)， 所以直线l2关于直线l1对称的直线方程为+=1，即3x-2y-6=0，所以D选 项错误. 11.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边让马饮水后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(-1，-4)，若将军从点A(-1，2)处出发，河岸线所在直线的方程为x+y=3.则“将军饮马”的最短总路程为　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： 如图所示，设点B关于直线x+y=3的对称点为C(a，b)， 由题意可得解得即C(7，4)， 在直线x+y=3上取点P，由对称性可得|PB|=|PC|， 所以|PA|+|PB|=|PA|+|PC|≥|AC|==2， 当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立， 因此，“将军饮马”的最短总路程为2. 12.已知直线l：x-2y+8=0和两点A(2，0)，B(-2，-4). (1)在直线l上求一点P，使|PA|+|PB|最小； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 易知A，B两点在直线l的同侧. 设A关于直线l的对称点为A'(m，n)， 则解得 故A'(-2，8). 因为P为直线l上的一点， 解： 12.已知直线l：x-2y+8=0和两点A(2，0)，B(-2，-4). (1)在直线l上求一点P，使|PA|+|PB|最小； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 则|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|， 当且仅当B，P，A'三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值，为|A'B|，点P即直线A'B与直线l的交点， 则得 故所求的点P的坐标为(-2，3). 解： 12.已知直线l：x-2y+8=0和两点A(2，0)，B(-2，-4). (2)在直线l上求一点P，使||PB|-|PA||最大. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ||PB|-|PA||≤|AB|， 当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|-|PA||取得最大值，为|AB|，点P即直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y=x-2， 则得 故所求的点P的坐标为(12，10). 解： 13.若函数y=的图象上存在两点P，Q关于点(1，0)对称，则直线PQ的方程是　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x-4y-1=0 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 根据题意，设P，Q， 又线段PQ的中点是(1，0)， 所以整理得 所以p，q为方程x2-2x-1=0的根，解得x=1±， 所以P，Q或P，Q. 由两点式得直线PQ的方程为x-4y-1=0. 13 14 14.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)间的距离.结合上述观点，可得f(x)=+的最小值为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析： ∵f(x)=+ =+， ∴f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(-2，4)与B(-1，3)的距离之和， 设点A(-2，4)关于x轴的对称点为A'， 则A'(-2，-4).要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|+|MB|的最小值， 利用对称思想可知|MA|+|MB|=|MA'|+|MB|≥|A'B|== 5，当且仅当A'，M，B三点共线时等号成立，即f(x)=+ 的最小值为5. THANKS 本课结束 $