2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 课件第二章 2.1 2.1.1　倾斜角与斜率

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角与斜率，系统梳理概念、对应关系及斜率公式，通过课标要求导入，以新知梳理明确倾斜角定义（0°≤α<180°）和斜率公式，结合教材拓展表格建立倾斜角与斜率联系，小试身手基础题搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点是采用“探究-变式-总结”模式，结合图形直观与逻辑推理培养数学眼光和思维。如探究点一通过图形分析倾斜角两种情况渗透几何直观，探究点二求斜率范围训练数学运算。方法总结与易错警示助学生形成严谨思维，当堂即练强化应用，能提升学生直观想象和运算能力，为教师提供系统教学资源与探究活动设计。

2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 第二章　直线和圆的方程 [目标导航] 课标要求 1.理解直线的倾斜角与斜率的概念 2.掌握倾斜角与斜率的对应关系 3.掌握过两点的直线的斜率公式 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.直线的倾斜角 (1)当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l 的方向之间所成的角α叫做直线l的 . 当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°. 直线的倾斜角α的取值范围为 . 向上 倾斜角 0°≤α<180° (2)在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角,而且方向相同的直线,其倾斜程度相同,倾斜角相等;方向不同的直线,其倾斜程度不同,倾斜角不相等.用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度,也就表示了直线的方向. 2.直线的斜率 (1)直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的坐标有如下关系:tan α= .① (2)把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k= .②  (3)倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率.倾斜角不同的直线,其斜率也不同. (4)如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),那么由①②可得如下斜率公式: k= . tan α 3.倾斜角和斜率的意义 在平面直角坐标系中,倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度. 4.直线的方向向量与斜率之间的关系 若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k= . (1)直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系 θ 0° 0°<θ<90° 90° 90°<θ<180° k 0 k>0 不存在 k<0 (2)当倾斜角α满足0°≤α<90°时,斜率 k≥0,倾斜角越大,斜率越大;当90°<α<180°时,斜率k<0,倾斜角越大,斜率也越大;当α=90°时,直线的斜率不存在,直线垂直于x轴. 小试身手 1.如图所示,直线l的倾斜角为　　　　　.  135° 解析:由题图可知,直线l的倾斜角为45°+90°=135°. 2.已知直线l的倾斜角α=60°,则其斜率 k=　　　　.  3.已知点P1(3,5),P2(-1,-3),则直线P1P2的斜率k等于　　　　　.  2 4.经过A(0,2),B(1,0)两点的直线的方向向量为(1,b),则b=　　　　　.  -2 课堂探究·素养培育 [例1] 已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°,则直线l的倾斜角为　　　 　　.  求直线的倾斜角 60°或120° 解析:有如下两种情况. (1)如图①,直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°,即直线l的倾斜角为60°. (2)如图②,直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°,即直线l的倾斜角为120°. 思路点拨:直线的倾斜角是直线向上的方向与x轴的正方向所成的角. 即时训练1-1:设直线l1过原点,其倾斜角α=15°,直线l1与l2的交点为A,且l1与l2向上的方向之间所成的角为75°,则直线l2的倾斜角为　　　　.  90° 解析:设直线l2的倾斜角为α, 由图可知,α=15°+75°=90°, 所以直线l2的倾斜角为90°. 直线的倾斜角可以看作是由x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的最小正角.所以,在不知道直线上的点的坐标求倾斜角时,往往借助于图形.结合图形求倾斜角时,应注意平面几何知识的应用. 易错警示:不会借助几何图形,就容易遗漏情况. 根据斜率公式求斜率 思路点拨:结合图形,根据直线斜率的变化情况,确定出其范围. 变式训练2-1: 若将例2中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l的斜率的取值范围. 变式训练2-2: 若将例2中的点B坐标改为(2,-1),其他条件不变,求直线l的倾斜角的取值范围. 解:如图,直线PA的倾斜角为45°, 直线PB的倾斜角为135°, 由图象知l的倾斜角的范围为[0°,45°]∪[135°,180°). (1)倾斜角α与斜率k的关系: (2)斜率的两种求法 ①定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan α求斜率. 斜率与倾斜角的应用 [例3] 已知某直线l的倾斜角α=45°,又P1(2,y1),P2(x2,5),P3(3,1)是此直线上的三点,求x2,y1的值. 思路点拨:直线l的倾斜角已知,可以求出其斜率且P1,P2,P3均在直线l上,故任两点的斜率均等于直线l的斜率,从而可以解出x2,y1的值. 即时训练3-1:已知三点A(m,1),B(4,2),C(-4,2m)在同一条直线上,则实数m的值为(　　) A.0 B.5 C.0或5 D.0或-5 C 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的,直线上任意两点所确定的方向不变,即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等,这正是利用斜率可证三点共线的原因. 易错警示:(1)判断三点是否共线,先判断任两点连线的斜率是否存在. (2)若三点共线,则任意两点连线的斜率可能都不存在或都相等. 因忽略两点斜率公式的条件而致错 [典例] 求经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的斜率,并指出倾斜角α的取值范围. 错因分析:未考虑两点斜率公式运用的条件,从而忽略了m=1的情况. (2)直线的倾斜角α的范围是[0,π),根据斜率判断倾斜角的范围时,注意结合正切函数的图象求解. 当堂即练·素养达成 C 1.下图中α能表示直线l的倾斜角的是(　 　) A.① B.①② C.①③ D.②④ 当堂即练 解析:结合直线l的倾斜角的概念可知①③可以,选C. B A 4.过点A(3,y),B(2,-2)的直线的倾斜角为45°,则y等于(　 　) A.1 B.-1 C.3 D.-3 B 1.理解直线的倾斜角与斜率的关系,达成培养直观想象核心素养的目的. 2.已知两定点坐标求过这两点的直线斜率,达成培养数学建模与数学运算核心素养的目的. 课堂小结 感谢观看 解析:k=tan α=tan 60°=. 解析:k===2. 解析:kAB==,则b=-2. [例2] 直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率的取值范围为　　　　　　　　　　　　.  (-∞,-]∪[1,+∞) 解析:如图,因为kAP==1, kBP==-, 所以k∈(-∞,-]∪[1,+∞). 解:因为P(-1,0),A(2,1),B(0,), 所以kAP==,kBP==. 如图可知,直线l的斜率的取值范围为[,]. ①当α∈[0,)时,k∈[0,+∞). ②当α=时,斜率k不存在. ③当α∈(,π)时,k∈(-∞,0). ②公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率. 易错警示:斜率公式k=适用的前提条件为x1≠x2,因此在含字母的点的坐标 中,需计算直线的斜率时,要保证斜率公式有意义. 解:因为α=45°,所以直线l的斜率k=tan 45°=1, 因为P1,P2,P3都在直线l上,所以==k.所以==1, 解之得x2=7,y1=0. 解析:因为三点A(m,1),B(4,2),C(-4,2m)在同一条直线上,且直线斜率存在,所以=,解得m=0或m=5.故选C. 错解:由斜率公式可得k==. ①当m>1时,k=>0, 所以直线的倾斜角α的取值范围是0<α<. ②当m<1时,k=<0, 所以直线的倾斜角α的取值范围是<α<π. 正解:当m=1时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角α=. 当m≠1时,由斜率公式可得k==. ①当m>1时,k=>0, 所以直线的倾斜角α的取值范围是0<α<. ②当m<1时,k=<0,所以直线的倾斜角α的取值范围是<α<π. 纠错心得:(1)斜率公式k=适用的前提条件为x1≠x2,因此在含字母的点的坐标中,需计算直线的斜率时,要保证斜率公式有意义; 2.在直角坐标系中,一条直线的斜率为,则此直线的倾斜角为(　 　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:由题意得tan α=,又0°≤α<180°, 所以α=60°. 3.过点M(-,),N(-,)的直线的斜率是(　 　) A.1 B.-1 C.2 D. 解析:过点M,N的直线的斜率k==1. 解析:由题意可知=tan 45°=1,所以y=-1.故选B. $