专题04一元二次方程的概念与解法精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程，从整式方程基础构建概念，涵盖定义、一般形式、根及参数判定，系统讲解直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四大解法，渗透“降次转化”思想，为后续根与系数关系及实际应用奠定基础。 资料通过严格定义条件、规范解法步骤、标注高频易错点及分类题型，培养学生抽象能力与推理意识。如强调先化简判定方程培养数学眼光，判别式应用强化逻辑推理，最优解法策略提升应用意识。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺。

专题04一元二次方程的概念与解法精讲学案 课堂核心立意 本节课整合“认识一元二次方程”与“一元二次方程的解法”两大核心内容。在整式方程基础上建立一元二次方程概念，掌握定义、一般形式、方程的根、参数判定；掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四大标准解法，理解判别式的意义与应用，学会根据方程结构灵活选择最优解法，掌握“降次转化”核心数学思想，为后续根与系数关系、方程实际应用打好全部基础。 一、一元二次方程的定义与判定 1. 严格定义：只含一个未知数、整式方程、未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。 2. 三个条件缺一不可：整式、一元、二次、a≠0。 3. 判断方程必须先化简整理后再判定，不看原式表面形式。 二、一元二次方程一般形式 标准式：ax²＋bx＋c＝0（a≠0） 1. ax²为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项。 2. 所有项全部移到左边、右边为0，带符号识别系数。 三、方程的根（解） 1. 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根。 2. 已知根求参数：直接代入原方程求解参数；若限定一元二次方程，必须保证 a≠0。 3. 近似估根：利用代入求值正负变化，锁定根的取值区间。 四、根据定义求参数（高频必考） 解题两个硬性条件： ①未知数最高次数等于2； ②二次项系数不等于0（学生最易漏、考试必考扣分点）。 两个条件同时满足，舍去使a=0的参数。 五、一元二次方程四大标准解法（核心考点） 1. 直接开平方法 适用：可整理为 (mx＋n)²＝p 形式 ①p＞0：两个不相等实数根； ②p＝0：两个相等实数根； ③p＜0：无实数根； 开方必须带正负号。 2. 配方法（必考步骤） 固定四步：移常数项→二次项系数化为1→两边加一次项系数一半的平方→写成完全平方求解。 用途：解方程、求代数式最值、比较代数式大小。 3. 公式法（万能解法） ①化为一般式 ax²＋bx＋c＝0（a≠0） ②计算判别式 Δ＝b²－4ac ③Δ＞0 两个不等实根；Δ＝0 两个相等实根；Δ＜0 无实根 ④Δ≥0 代入公式：x＝ 4. 因式分解法（最快首选方法） 步骤：右边化为0→左边因式分解→乘积为0则分别为0，转化一次方程求解。 严禁两边直接约去含未知数因式，会丢根。 六、判别式专项核心 1. 仅对一元二次方程（a≠0）有效。 2. 已知根的情况求参数：必须同时满足 a≠0 与 Δ 的范围。 3. 未说明是二次方程：需分类讨论（a=0为一次方程、a≠0为二次方程）。 七、解法最优选择策略（教师必讲） 1. 平方结构 → 直接开平方法 2. 易分解、右边为0 → 因式分解法（优先） 3. 题目要求配方、求最值 → 配方法 4. 复杂不易分解 → 公式法 （课堂重点强调） 1. 判断方程不化简、忽略二次项系数不为0； 2. 找系数忘记带上正负号； 3. 配方前不化二次项系数为1； 4. 公式法不先化一般式，导致a、b、c取值错误； 5. 因式分解随意约未知数因式丢根； 6. 判别式求参数漏掉 a≠0 条件； 7. Δ＜0 仍强行计算根。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 ★★★ 题型二 化成一元二次方程的一般式 ★★★ 题型三 由一元二次方程的定义求参数 ★★★★ 题型四 判断是否是一元二次方程的解 ★★★ 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★★★★ 题型六 一元二次方程的解的估算 ★★★ 题型七 解一元二次方程 —— 直接开平方法 ★★★ 题型八 解一元二次方程 —— 配方法 ★★★★ 题型九 配方法的应用 ★★★★ 题型十 公式法解一元二次方程 ★★★★ 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★★★★ 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 ★★★★★ 题型十三 因式分解法解一元二次方程 ★★★★ 题型十四 换元法解一元二次方程 ★★★★ 题型十五 解分式方程 ★★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：一元二次方程的定义 解题思路：抓住三个条件：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数最高次数是2，且二次项系数不为0。三个条件必须同时满足；注意要先化简整理之后再判断。 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的定义是：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、方程中含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； B、方程中含有和两个未知数，是二元二次方程，不符合要求； C、方程只含一个未知数，的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，符合要求； D、方程中未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求． 2．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 含有一个未知数，且未知数的次数最高是2的整式方程是一元二次方程，依据一元二次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不符合题意； B、对去括号、移项、合并同类项，得，符合一元二次方程定义，故选项符合题意； C、未说明，当时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、对去括号、移项、合并同类项，得，是一元一次方程，故选项不符合题意． 3．下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义判定，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐个验证每个方程即可得出结果． 【详解】解：①，由于题目未规定，当时方程不是二次方程，则①不是一元二次方程； ②展开整理得：，则②是一元二次方程； ③是分式方程，不是整式方程，则③不是一元二次方程； ④，由于，则，则④是一元二次方程； ⑤是无理方程，不是整式方程，则⑤不是一元二次方程； ⑥，满足一元二次方程所有定义条件，则⑥是一元二次方程； 综上所述，②④⑥是一元二次方程． 题型二：化成一元二次方程的一般式 解题思路：①去括号、移项，把所有项移到等式左边，右边等于0；②按未知数降幂排列，写成 ax²+bx+c=0(a≠0)；③分清二次项、一次项、常数项，注意连同前面正负符号。 4．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解：已经是一般形式， 对应可得二次项系数，一次项系数，常数项． 5．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的一般形式（，，，为常数），先展开多项式乘法，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 整理得， 移项合并同类项得． 6．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 题型三：由一元二次方程的定义求参数 解题思路：①未知数最高次数等于2；②二次项的系数≠0（这个条件极易漏掉）；③联立两个条件解出参数，把使得二次项系数为0的值直接舍去。 7．已知是关于x的一元二次方程，则m满足________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握“一元二次方程的二次项系数不为0”是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，确定二次项系数不为0，进而求解m的取值． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故答案为：． 8．若是关于的一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义可得：且，再解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得， 故选：． 9．若是方程的一个解，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，利用方程解的定义，将代入方程得到，然后变形代入计算解答即可． 【详解】解：因为是方程 的一个解， 所以 ，即 ， 则代数式， 故答案为：． 10．如果方程是关于x的一元二次方程，则k的值是（    ）． A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义得出且，再求出k的值即可． 【详解】解：由题意可得且， 解得． 故选：A． 题型四：判断是否是一元二次方程的解 解题思路：把给出数值代入方程左右两边，看左边计算结果是否等于右边；相等即为方程的解，不等就不是。 11．下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将题中的一元二次方程通过因式分解得到或，解得x的值，再对应选项中的值即可． 【详解】解：， 或， 解得：，． 故选：C． 12．如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了判断是否是一元二次方程的解．通过观察表格数据，找到使代数式的值为2的值，这些值即为方程 的实数根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，方程可化为， 由表格可知，当 或 时，， ∴方程的实数根为，， 故选：B 13．若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 题型五：由一元二次方程的解求参数 解题思路：①将已知解代入原方程，得到关于参数的新方程；②解这个方程求出参数；如果题目还要求是一元二次方程，要额外检验二次项系数不等于0。 14．已知是方程的一个根，则__________． 【答案】2022 【分析】把代入方程，求出，整体代入法求值即可. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴. 15．若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】将代入原方程求出的值，再计算即可得到结果. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 解得， ∴． 16．设是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】2032 【分析】先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可求解． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， 是方程的两个实数根， 由根与系数的关系得， ． 17．已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（     ） A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义得到，把该等式的右边展开即可判断①；可证明方程 和 是同一个方程，据此可判断②． 【详解】解：∵方程 的两根为，，， ∴方程 的两根为，，， ∴， ， ∴，因此①正确； ∵， ∴， ∴方程 和 是同一个方程，故二者的解完全相同，因此②正确； 综上，①正确，②正确． 题型六：一元二次方程的解的估算 解题思路：利用夹逼法，代入不同x值计算代数式的值；观察代数式的值在哪两个数之间由负变正，确定解的大致取值范围，逐步逼近近似根。 18．根据下表可知，方程的一个近似解为________（结果精确到0.1）． x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解. 看在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间,哪个离比较近就取哪个值. 【详解】解：根据表格得， 当从增大到时，从下降到． 距近一些， ∴方程的一个近似根是． 故答案为：． 19．如表示代数式的部分值得情况．根据表中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程解的范围，理解题意是解决本题的关键． 通过观察代数式值的符号变化，利用函数连续性即可确定根所在区间． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程在和之间有一个正根， 即． 故选C． 20．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 题型七：解一元二次方程 —— 直接开平方法 解题思路：方程整理成 (mx+n)²=p 的形式；p＞0，有两个不相等实数根；p=0，有两个相等实数根；p＜0，无实数根；直接开平方，注意右边要有正负号。 21．一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，首先把方程移项，可得：，两边直接开平方即可求解. 【详解】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 解得：, ． 故选：D． 22．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，设为x，利用平方差公式展开得，合并常数项整理得，直接开平方求出即可． 【详解】解：设， 则原方程为， ． 23．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 题型八：解一元二次方程 —— 配方法 解题思路：①移项，常数项移到等号右侧；②二次项系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④左边写成完全平方式，转化为直接开平方法形式求解。 24．用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ， 移项，得 ， ∵ 一次项系数为，其一半的平方为， ∴ 等式两边同时加，得 ， 整理得 ． 25．如果满足，，且 ，则的值为___． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系、求代数式的值等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数关系的应用是解题的关键． 由题意可知是方程的两个不相等的实数根，则，，把变形后整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵满足，，且， ∴是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 26．某班开展“数学接力闯关”活动，每人只能看到前一人的方程，并继续变形，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，开始出现错误的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】需逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤． 【详解】解：班长：， 甲：两边同除以3，得，正确， 乙：配方，两边加1，得，即，但乙写成了，错误， ∴开始出现错误的是对应选项为B． 题型九：配方法的应用 解题思路：①代数式求最值：配方变成完全平方加常数，利用平方≥0判断最大、最小值；②比较代数式大小，用作差后配方判断正负；③注意先把二次项系数化为1再配方。 27．在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法得，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴选项D不可能， 故选：D． 28．用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先整理方程，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：， ， ， 所以． 故选C． 29．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____． 【答案】2027 【分析】本题考查了新定义，配方法的应用，根据同族二次方程的定义，两个方程必须具有相同的c和k，由第二个方程确定，，令第一个方程中的c相等，解出（舍去），再令k相等，解出，代入代数式，结合配方法求最小值，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴，，， 解得，， 则 ， 当时，则， ∴， 即代数式的最小值是， 故答案为：． 题型十：公式法解一元二次方程 解题思路：①先把方程化为一般形式 ax²+bx+c=0(a≠0)；②算出判别式Δ=b²−4ac；Δ＜0直接判定无实数根；③Δ≥0时代入求根公式 计算两根。 30．若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴可以为：， ∴满足要求的方程为：， 故选：A． 31．对实数a，b，定义运算“*”如下：．例如：．若，则x的值为______ 【答案】或 【分析】本题考查了实数的新定义运算，公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据新定义，转化为一元二次方程，先化为一般形式，再利用公式法求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ，，， ， ， 即，， 故答案为：或． 32．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，前行的点数和可能是以下哪个结果（    ） A．100 B．93 C．86 D．78 【答案】D 【分析】根据题意得出前行的点数和公式，进而列一元二次方程求解即可． 【详解】解：第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点， 前行的点数和为． A、若和为100，则，即，解得：，无正整数解，故A不符合题意； B、若和为93，则，即，解得：，无正整数解，故B不符合题意； C、若和为86，则，即，解得：，无正整数解，故C不符合题意； D、若和为78，则，即，解得或（舍去），即前12行的点数之和为78，故D符合题意． 题型十一：根据判别式判断一元二次方程根的情况 解题思路：先化成一般式，写出a、b、c；计算Δ=b²−4ac；Δ＞0，两个不等实数根；Δ=0，两个相等实数根；Δ＜0，没有实数根；注意只有一元二次方程(a≠0)才可以用判别式。 33．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 34．关于x的一元二次方程；给出下列说法：①若，则方程必有实数根；②若，则方程必有两个不相等的实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是____． 【答案】①③/③① 【分析】利用可判断，从而根据判别式的意义可对①进行判断；利用得到，则可根据判别式的意义对②进行判断；利用得到，则可根据判别式的意义对③进行判断；由于，不能判断与0的大小关系，则可根据判别式的意义对④进行判断． 【详解】解：当，即，则，方程必有两个不相等的实数根，所以①符合题意； 当，即，则，方程必有两实数根，所以②不符合题意； 当，则，方程必有两个不相等的实数根，所以③符合题意； 当时，可能大于0，所以不能判断方程根的情况，所以④不符合题意． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 35．下列一元二次方程中有两个相等的实数根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项判别式即可得出结果． 【详解】解：A．方程，，，方程有两个不相等的实数根，不符合要求． B．方程整理为，，，方程有两个相等的实数根，符合要求． C．方程，，，方程没有实数根，不符合要求． D．方程整理为，，，方程有两个不相等的实数根，不符合要求． 题型十二：根据一元二次方程根的情况求参数 解题思路：①题目说是一元二次方程：必须同时满足 a≠0 和 Δ的不等关系；②如果没有指明是一元二次方程，需要分类讨论：二次项系数等于0（变成一次方程）、二次项系数不等于0两种情况；③解不等式，取参数范围，不要漏掉a≠0限制条件。 36．关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以一元二次方程无实数根的条件，利用判别式列不等式求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴，解得． 37．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ____________． 【答案】且 【分析】原方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0，方程有实数根，因此根的判别式大于等于0，联立两个不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得∶ 且． 38．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 【答案】且/且 【分析】需满足两个条件，一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是方程有两个不相等实数根要求根的判别式大于0，据此列不等式求解． 【详解】解：∵该方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式计算得， ∴， 解得， 综上，m的取值范围是且． 39．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由一元二次方程有两个相等实数根得判别式为0，推导m与n的数量关系，结合n的范围判断的范围． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴． ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 两边同除以，得 ， 整理得 ． 当时，， ∴， 则 ，可能小于1也可能大于1，故A、B均不成立． 当时，， ∴， ∴，故C错误，D正确． 题型十三：因式分解法解一元二次方程 解题思路：①移项使方程右边等于0；②把左边因式分解，分解成两个一次因式相乘；③依据“若A·B=0，则A=0或B=0”，转化两个一元一次方程求解；禁止两边直接约掉含未知数因式，容易丢根。 40．方程的解是 _____． 【答案】 ， 【详解】解：原方程移项得， 提取公因式得，即， ∴或， 解得，. 41．若，则（   ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】， ∴或， 解得，． 故选：D． 42．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 【答案】 【分析】把代入方程中，求出的值，结合即可得解． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 43．若是方程的根（），则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将代入方程可得，因式分解得，得到，即可求解． 解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十四：换元法解一元二次方程 解题思路：观察方程重复出现的整体，设新元替换这个整体；把高次或者复杂方程转化普通一元二次方程；求出新元的解之后，再代回换回原来未知数，求出原方程全部解。 44．已知方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查换元法解方程，根据题意，得到方程的解为或，进行求解即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴方程的解为或， 解得：； 故选：B． 45．若，则的值为 _____． 【答案】2或0/0或2 【分析】根据换元法，可得一元二次方程，解一元二次方程，可得答案． 【详解】解：设，原方程等价于． 解得或， ∴或， 故答案为：2或0． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，利用得出关于的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数． 46．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意，得到必有一根为，进而求出的值即可． 【详解】解：，整理，得：， ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴方程必有一根为，即：， 故选B． 题型十五：解分式方程 解题思路：①找最简公分母，两边同乘公分母转化整式方程（会出现一元二次方程）；②解整式方程；③必须检验：把根代入最简公分母，公分母等于0是增根，要舍去；公分母不为0才是原分式方程的根。 47．解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答． 【详解】解：， ∴， 设，则， 整理得：． 故选：C． 48．方程的根是______． 【答案】 【详解】解：方程两边同乘得， 整理得， 解得，， 经检验，使原方程分母为0，是增根，舍去，是原方程的根. 49．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 【答案】 【分析】将代入原方程，把原方程转化为含的分式方程，再去分母整理即可得到关于的整式方程． 【详解】解：设，则，， 原方程可化为， 两边同时乘以得， 整理得， 得到关于的整式方程是． 解答题 1．解方程： 【答案】 【详解】解： 方程两边同乘，得 展开并整理得 化简得 因式分解得 解得或 检验：当时，，当时， 因此原方程的解为． 2．用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用直接开方法求解即可； （2）利用求根公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，； （3）解： ， 移项，得， 对提取公因式，变形为， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 3．新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据新定义将方程化成一般式，再根据根的判别式列不等式求解即可； （2）先将原方程化成再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程整理为：，即，     ∵此方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 的取值范围为． （2）解：当时，方程整理为：，即， ， ， ， ． 4．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 5．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】(1)证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； (2)的值为，方程的另一个实数根为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 6．阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 【答案】(1) ； (2) 9 【分析】（1）设，则，解得：，得； （2）设，则，即，解得或，由，得，即可求解； 【详解】（1）解：， 设， 则原方程变为， 整理得， ∴， ∴，即． 故答案为：； （2）设， 则，即， 解得：或， 由，得， 即． 【点睛】换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 7．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 【答案】(1)；； (2) (3)8 【分析】（1）根据配方法进行配方，利用因式分解即可； （2）把化为，再利用三角形三边关系进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，有最小值，最小值是． 分解因式，原式． （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04一元二次方程的概念与解法精讲学案 课堂核心立意 本节课整合“认识一元二次方程”与“一元二次方程的解法”两大核心内容。在整式方程基础上建立一元二次方程概念，掌握定义、一般形式、方程的根、参数判定；掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四大标准解法，理解判别式的意义与应用，学会根据方程结构灵活选择最优解法，掌握“降次转化”核心数学思想，为后续根与系数关系、方程实际应用打好全部基础。 一、一元二次方程的定义与判定 1. 严格定义：只含一个未知数、整式方程、未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。 2. 三个条件缺一不可：整式、一元、二次、a≠0。 3. 判断方程必须先化简整理后再判定，不看原式表面形式。 二、一元二次方程一般形式 标准式：ax²＋bx＋c＝0（a≠0） 1. ax²为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项。 2. 所有项全部移到左边、右边为0，带符号识别系数。 三、方程的根（解） 1. 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根。 2. 已知根求参数：直接代入原方程求解参数；若限定一元二次方程，必须保证 a≠0。 3. 近似估根：利用代入求值正负变化，锁定根的取值区间。 四、根据定义求参数（高频必考） 解题两个硬性条件： ①未知数最高次数等于2； ②二次项系数不等于0（学生最易漏、考试必考扣分点）。 两个条件同时满足，舍去使a=0的参数。 五、一元二次方程四大标准解法（核心考点） 1. 直接开平方法 适用：可整理为 (mx＋n)²＝p 形式 ①p＞0：两个不相等实数根； ②p＝0：两个相等实数根； ③p＜0：无实数根； 开方必须带正负号。 2. 配方法（必考步骤） 固定四步：移常数项→二次项系数化为1→两边加一次项系数一半的平方→写成完全平方求解。 用途：解方程、求代数式最值、比较代数式大小。 3. 公式法（万能解法） ①化为一般式 ax²＋bx＋c＝0（a≠0） ②计算判别式 Δ＝b²－4ac ③Δ＞0 两个不等实根；Δ＝0 两个相等实根；Δ＜0 无实根 ④Δ≥0 代入公式：x＝ 4. 因式分解法（最快首选方法） 步骤：右边化为0→左边因式分解→乘积为0则分别为0，转化一次方程求解。 严禁两边直接约去含未知数因式，会丢根。 六、判别式专项核心 1. 仅对一元二次方程（a≠0）有效。 2. 已知根的情况求参数：必须同时满足 a≠0 与 Δ 的范围。 3. 未说明是二次方程：需分类讨论（a=0为一次方程、a≠0为二次方程）。 七、解法最优选择策略（教师必讲） 1. 平方结构 → 直接开平方法 2. 易分解、右边为0 → 因式分解法（优先） 3. 题目要求配方、求最值 → 配方法 4. 复杂不易分解 → 公式法 （课堂重点强调） 1. 判断方程不化简、忽略二次项系数不为0； 2. 找系数忘记带上正负号； 3. 配方前不化二次项系数为1； 4. 公式法不先化一般式，导致a、b、c取值错误； 5. 因式分解随意约未知数因式丢根； 6. 判别式求参数漏掉 a≠0 条件； 7. Δ＜0 仍强行计算根。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 ★★★ 题型二 化成一元二次方程的一般式 ★★★ 题型三 由一元二次方程的定义求参数 ★★★★ 题型四 判断是否是一元二次方程的解 ★★★ 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★★★★ 题型六 一元二次方程的解的估算 ★★★ 题型七 解一元二次方程 —— 直接开平方法 ★★★ 题型八 解一元二次方程 —— 配方法 ★★★★ 题型九 配方法的应用 ★★★★ 题型十 公式法解一元二次方程 ★★★★ 题型十一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★★★★ 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 ★★★★★ 题型十三 因式分解法解一元二次方程 ★★★★ 题型十四 换元法解一元二次方程 ★★★★ 题型十五 解分式方程 ★★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：一元二次方程的定义 解题思路：抓住三个条件：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数最高次数是2，且二次项系数不为0。三个条件必须同时满足；注意要先化简整理之后再判断。 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 题型二：化成一元二次方程的一般式 解题思路：①去括号、移项，把所有项移到等式左边，右边等于0；②按未知数降幂排列，写成 ax²+bx+c=0(a≠0)；③分清二次项、一次项、常数项，注意连同前面正负符号。 4．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 5．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 题型三：由一元二次方程的定义求参数 解题思路：①未知数最高次数等于2；②二次项的系数≠0（这个条件极易漏掉）；③联立两个条件解出参数，把使得二次项系数为0的值直接舍去。 7．已知是关于x的一元二次方程，则m满足________． 8．若是关于的一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C．1 D．0 9．若是方程的一个解，则代数式的值为______． 10．如果方程是关于x的一元二次方程，则k的值是（    ）． A．2 B． C． D．3 题型四：判断是否是一元二次方程的解 解题思路：把给出数值代入方程左右两边，看左边计算结果是否等于右边；相等即为方程的解，不等就不是。 11．下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 12．如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 13．若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 题型五：由一元二次方程的解求参数 解题思路：①将已知解代入原方程，得到关于参数的新方程；②解这个方程求出参数；如果题目还要求是一元二次方程，要额外检验二次项系数不等于0。 14．已知是方程的一个根，则__________． 15．若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 16．设是方程的两个实数根，则的值为_____． 17．已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（     ） A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 题型六：一元二次方程的解的估算 解题思路：利用夹逼法，代入不同x值计算代数式的值；观察代数式的值在哪两个数之间由负变正，确定解的大致取值范围，逐步逼近近似根。 18．根据下表可知，方程的一个近似解为________（结果精确到0.1）． x … … … 0.56 1.25 1.96 … 19．如表示代数式的部分值得情况．根据表中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（   ） A． B． C． D． 20．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 题型七：解一元二次方程 —— 直接开平方法 解题思路：方程整理成 (mx+n)²=p 的形式；p＞0，有两个不相等实数根；p=0，有两个相等实数根；p＜0，无实数根；直接开平方，注意右边要有正负号。 21．一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 22．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 23．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 题型八：解一元二次方程 —— 配方法 解题思路：①移项，常数项移到等号右侧；②二次项系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④左边写成完全平方式，转化为直接开平方法形式求解。 24．用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（     ） A． B． C． D． 25．如果满足，，且 ，则的值为___． 26．某班开展“数学接力闯关”活动，每人只能看到前一人的方程，并继续变形，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，开始出现错误的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型九：配方法的应用 解题思路：①代数式求最值：配方变成完全平方加常数，利用平方≥0判断最大、最小值；②比较代数式大小，用作差后配方判断正负；③注意先把二次项系数化为1再配方。 27．在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 28．用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 29．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____． 题型十：公式法解一元二次方程 解题思路：①先把方程化为一般形式 ax²+bx+c=0(a≠0)；②算出判别式Δ=b²−4ac；Δ＜0直接判定无实数根；③Δ≥0时代入求根公式 计算两根。 30．若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 31．对实数a，b，定义运算“*”如下：．例如：．若，则x的值为______ 32．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，前行的点数和可能是以下哪个结果（    ） A．100 B．93 C．86 D．78 题型十一：根据判别式判断一元二次方程根的情况 解题思路：先化成一般式，写出a、b、c；计算Δ=b²−4ac；Δ＞0，两个不等实数根；Δ=0，两个相等实数根；Δ＜0，没有实数根；注意只有一元二次方程(a≠0)才可以用判别式。 33．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 34．关于x的一元二次方程；给出下列说法：①若，则方程必有实数根；②若，则方程必有两个不相等的实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是____． 35．下列一元二次方程中有两个相等的实数根是（    ） A． B． C． D． 题型十二：根据一元二次方程根的情况求参数 解题思路：①题目说是一元二次方程：必须同时满足 a≠0 和 Δ的不等关系；②如果没有指明是一元二次方程，需要分类讨论：二次项系数等于0（变成一次方程）、二次项系数不等于0两种情况；③解不等式，取参数范围，不要漏掉a≠0限制条件。 36．关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 37．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ____________． 38．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 39．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型十三：因式分解法解一元二次方程 解题思路：①移项使方程右边等于0；②把左边因式分解，分解成两个一次因式相乘；③依据“若A·B=0，则A=0或B=0”，转化两个一元一次方程求解；禁止两边直接约掉含未知数因式，容易丢根。 40．方程的解是 _____． 41．若，则（   ） A． B． C．， D．， 42．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 43．若是方程的根（），则等于（     ） A． B． C． D． 题型十四：换元法解一元二次方程 解题思路：观察方程重复出现的整体，设新元替换这个整体；把高次或者复杂方程转化普通一元二次方程；求出新元的解之后，再代回换回原来未知数，求出原方程全部解。 44．已知方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 45．若，则的值为 _____． 46．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 题型十五：解分式方程 解题思路：①找最简公分母，两边同乘公分母转化整式方程（会出现一元二次方程）；②解整式方程；③必须检验：把根代入最简公分母，公分母等于0是增根，要舍去；公分母不为0才是原分式方程的根。 47．解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 48．方程的根是______． 49．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 解答题 1．解方程： 2．用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3)． 3．新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 4．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 5．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 6．阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 7．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $