专题02矩形的性质与判定精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦矩形的性质与判定核心知识点，基于平行四边形知识展开，系统梳理矩形定义、边与角性质、对角线特性及判定方法，融入直角三角形斜边中线模型，为后续正方形学习搭建递进式学习支架。 该资料通过14种分层题型设计，覆盖性质理解、角度计算、折叠问题等，结合易错点提示与清晰解题思路，培养学生几何直观与推理能力，课中助力教师高效授课，课后帮助学生针对性查漏补缺，强化知识应用。

专题02矩形的性质与判定精讲学案 课堂核心立意 本节课基于平行四边形的知识，学习矩形的性质与判定。矩形是角特殊的平行四边形，既有平行四边形的全部特点，又拥有四个角是直角、对角线相等的独有性质。会运用性质进行角度、线段、面积计算和证明，掌握直角三角形斜边中线重要模型，分清矩形、菱形的区别，规范判定的书写步骤，为后续学习正方形打好基础，提升几何推理能力。 一、矩形基础定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形所有性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。 二、矩形核心必考性质（证明可直接使用） 1. 边：对边平行且相等，邻边互相垂直。 2. 角：四个角都是直角。 3. 对角线（重难点）：对角线互相平分且相等；对角线把矩形分成全等的直角三角形和等腰三角形。 重要推论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半（高频考点） 4. 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴（对边中点连线，对角线不是对称轴）。 5. 面积：矩形面积 = 长 × 宽。 三、矩形标准化判定（分清两种前提，避免扣分） 1. 定义法（已知是平行四边形）：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2. 角判定（普通四边形）：三个角是直角的四边形是矩形。 3. 对角线判定 ①已知是平行四边形：对角线相等的平行四边形是矩形； ②普通四边形：对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 ⚠️备课提示：只说“对角线相等”不能判定普通四边形是矩形，缺少互相平分条件会直接扣分。 1. 判定跳步：仅凭对角线相等就判定四边形是矩形，漏掉“互相平分”； 2. 遗忘斜边中线模型，对角线相关计算题不会做； 3. 性质记混：矩形对角线相等不垂直；菱形对角线垂直不相等； 4. 误认为对角线是矩形的对称轴； 5. 证明时没有先证平行四边形，直接用一个直角判定矩形。 题型 考察方向 难度 题型一 矩形性质理解 ★★★ 题型二 利用矩形的性质求角度 ★★★ 题型三 根据矩形的性质求线段长 ★★★★ 题型四 根据矩形的性质求面积 ★★★ 题型五 利用矩形的性质证明 ★★★★ 题型六 求矩形在坐标系中的坐标 ★★★★ 题型七 矩形与折叠问题 ★★★★★ 题型八 斜边的中线等于斜边的一半 ★★★★★ 题型九 矩形的判定定理理解 ★★★ 题型十 添一条件使四边形是矩形 ★★★★ 题型十一 证明四边形是矩形 ★★★★★ 题型十二 根据矩形的性质与判定求角度 ★★★★ 题型十三 根据矩形的性质与判定求线段长 ★★★★★ 题型十四 根据矩形的性质与判定求面积 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：矩形性质理解 解题思路：①分清矩形兼具平行四边形全部性质，独有四个角为直角、对角线相等；②区分矩形的对称轴（对边中点连线，对角线不是对称轴）；③选择题辨析易错点：对角线相等≠四边形就是矩形；对角线不一定互相垂直；④注意和菱形性质做对比区分。 1．下列选项中，矩形具有菱形不一定具有的性质是（     ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=8，BC=6，则OD的长为___________． 3．八年级某班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线，如果一条对角线用了盆红花（对角线交点处不重复放），则还需要从花房运来红花多少盆（     ） A． B． C． D． 题型二：利用矩形的性质求角度 解题思路：①矩形四个内角均为90°，利用直角、两锐角互余；②对角线相等且平分，得到等腰三角形，用等边对等角；③结合三角形内角和、外角定理推导；④注意角的等量代换。 4．已知矩形的一条对角线与一边的夹角是，则两条对角线所夹锐角的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图所示，含角的三角尺放置在矩形纸片的内部，三角尺的三个顶点恰好在矩形的边上，若，则________． 6．如图，点在矩形的边的延长线上，连接，，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 题型三：根据矩形的性质求线段长 解题思路：①对边相等，对角线互相平分且相等；②对角线分出直角、等腰三角形；③运用勾股定理计算边长、对角线；④可结合斜边中线推论进行线段转化。 7．如图，在矩形中，，，点 E 是的中点，连接，则的长度为(     ) A．5 B．4 C．3 D． 8．如图，在矩形中，于点E，，若，则______． 9．如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，，则长是（     ） A．2 B．3 C． D．4 题型四：根据矩形的性质求面积 解题思路：①基础公式：矩形面积=长×宽；②若给出对角线，一般先求出长与宽，再代入公式；③图形分割类，用割补法，利用三角形面积求和或者求差；④不要直接用对角线乘积求矩形面积（该公式只用于菱形）。 10．如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．2 11．如图，在矩形中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交边于点E．若，则矩形的面积为_____． 12．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 题型五：利用矩形的性质证明 解题思路：①由矩形直接得到直角、边相等、对角线相等平分等条件；②证线段相等：利用矩形性质或者全等三角形；③证角相等：利用直角、等腰三角形、全等对应角；④证明步骤不跳关键条件，每一步写出推理依据。 13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（ ） A． B． C． D． 14．两张全等的矩形纸片按如图方式交叉叠放在一起，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为______． 15．如图，矩形中，对角线、相交于点，已知，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型六：求矩形在坐标系中的坐标 解题思路：①矩形邻边垂直，对应横、纵坐标分别平行坐标轴；②利用边长，向右/左改变横坐标，向上/下改变纵坐标；③已知两点，借助矩形对边相等、直角特性求出剩余点坐标；④遇对角线，利用对角线中点坐标相同解题。 16．如图，四边形是矩形，，两点的坐标分别是，，点在第一象限，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 17．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为_______． 18．如图，将面积为的矩形放在平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型七：矩形与折叠问题 解题思路：①折叠核心：对应边相等、对应角相等；②设未知线段为x，其余线段用含x代数式表达；③折叠后图中出现直角，构造直角三角形，列勾股定理方程求解；④结合矩形直角、对边相等进行边角转换；⑤留意部分题目有多解。 19．如图，把矩形沿 翻折， 点恰好落在边的处且， 则是（  ） A． B． C． D． 20．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，点，将沿着折叠，点B恰好落在边的点F处，则点E的坐标为（     ） A． B． C． D． 21．如图，在矩形中，，在和上分别有点，连接．点关于的对称点为，点关于的对称点为，若刚好落在对角线上，则的长为___________． 题型八：斜边的中线等于斜边的一半 解题思路：①只要出现直角三角形，找到斜边中点，就可得到中线长度是斜边一半；②矩形对角线互相平分且相等，就是这个定理的来源；③看到直角+斜边中点，直接用模型得到线段等量；④逆用：三角形一边中线等于这条边一半，则该三角形为直角三角形。 22．如图、两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 23．如图，菱形的对角线交于点，，，于点，则的长为（   ） A．3 B． C． D．5 24．如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_____________． 题型九：矩形的判定定理理解 解题思路：①记清三类判定，区分已知是平行四边形还是普通四边形；②平行四边形：加一个直角 / 对角线相等得到矩形；③普通四边形：证三个直角 / 对角线相等且互相平分；④排除错误说法：对角线相等的四边形不一定是矩形。 25．要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角 26．如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为_____秒时，四边形是矩形． 27．如图，，为的正方形网格中的两个格点．四个顶点都是格点的矩形称作格点矩形，在此图中以，为顶点的格点矩形共可以画出_________个． 题型十：添一条件使四边形是矩形 解题思路：①先看题干已经给出的图形：分清是平行四边形还是普通四边形；②已知是平行四边形：添加一个内角为直角 或者 对角线相等；③普通四边形：添加三个角为直角，或对角线相等且互相平分；④只填一个充分条件。 28．要使成为矩形，需添加的条件是（     ） A． B． C． D． 29．如图，四边形的对角线，交于点，，．请添加一个条件，使它成为矩形，这个条件可以是_________．（写出一个即可） 30．在平行四边形中，下列条件中不能判定它是矩形的是（    ） A． B． C． D．（为对角线交点） 题型十一：证明四边形是矩形 解题思路：①路径1：先证平行四边形，再证有一个直角或者对角线相等；②路径2：直接证四边形有三个角是直角；③路径3：证对角线相等且互相平分；④禁止跳步，只写对角线相等不能判定普通四边形为矩形；⑤推理链条完整，书写规范。 31．如图，四边形中，和是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列四边形不一定为矩形的是（    ） A．B．C．D． 32．在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标依次是，则四边形的形状一定为________． 33．如图，中，，，动点E以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点F以相同速度由点D向点B运动，设两点运动时间为t秒，当四边形为矩形时，t的值为（    ） A．2秒 B．2秒或1秒 C．4秒 D．2秒或4秒 题型十二：根据矩形的性质与判定求角度 解题思路：①做题顺序：先判定是矩形，再使用矩形性质；②判定完成后，利用四角90°、对角线产生等腰三角形；③结合斜边中线、三角形内角和、外角进行角度计算；不可默认图形就是矩形。 34．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ___________． 35．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 36．如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 题型十三：根据矩形的性质与判定求线段长 解题思路：①先完成矩形判定，获取四个直角、对角线相等平分条件；②图形中提取直角三角形，使用勾股定理、斜边中线模型；③多个图形嵌套时传递相等边长；④结合全等三角形完成线段代换。 37．如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    ) A． B． C． D． 38．综合实践活动课上，小亮将一张面积为，其中一边为的锐角三角形纸片（如图），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形（如图），则矩形的周长为______． 39．如图，是等腰直角三角形，，，点是上的一个动点（点与点、不重合），过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 题型十四：根据矩形的性质与判定求面积 解题思路：①先判定图形为矩形，再用面积=长×宽；②先求出矩形的相邻两条边长，再代入公式；③嵌套、重叠图形，采用割补法；④不要误用菱形面积公式（对角线乘积一半）计算矩形面积。 40．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 41．如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为________． 42．如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   )    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 解答题 1．如图，在中，，对角线与交于点，分别过点作的平行线交于点．求证四边形是菱形． 2．如图，四边形为矩形，和的角平分线分别交边，于点，，过点作于点，连接，过点作的垂线交于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的面积； (3)连接，若，求的度数． 3．如图，矩形位于平面直角坐标系中，O为原点，点A，C在坐标轴上，点B的坐标为，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿边运动，当点P到达点B时，运动停止，设运动时间为t． (1)当时，求直线的解析式． (2)当t为何值时，直线平分矩形的面积． (3)在运动过程中，当是等腰三角形时，求t的值． 4．如图，在矩形中，点，在上，，，的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 5．综合与实践： 【回归教材】人教版八下教材有“利用矩形的性质研究直角三角形的一个性质”，如图1所示． 【知识运用】 (1)在矩形中，，，点为中点，连接． ①如图2，若点在上，，则的长为 ； ②如图3，若将沿翻折，点的对应点为点，连接并延长，交于点，求的长； 【思维拓展】 (2)如图4，在菱形中，，，，，三点在上，，，过点作直线，的垂线段，垂足分别为，，连接．当点在之间运动（包括端点）时，求的长的取值范围． 6．如图，在中，平分．已知交的延长线于点，交延长线于点． (1)证明：四边形为矩形； (2)若，，求的面积． 7．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 8．如图，四边形是平行四边形，交于点，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． (3)求证：四边形是菱形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02矩形的性质与判定精讲学案 课堂核心立意 本节课基于平行四边形的知识，学习矩形的性质与判定。矩形是角特殊的平行四边形，既有平行四边形的全部特点，又拥有四个角是直角、对角线相等的独有性质。会运用性质进行角度、线段、面积计算和证明，掌握直角三角形斜边中线重要模型，分清矩形、菱形的区别，规范判定的书写步骤，为后续学习正方形打好基础，提升几何推理能力。 一、矩形基础定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形所有性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。 二、矩形核心必考性质（证明可直接使用） 1. 边：对边平行且相等，邻边互相垂直。 2. 角：四个角都是直角。 3. 对角线（重难点）：对角线互相平分且相等；对角线把矩形分成全等的直角三角形和等腰三角形。 重要推论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半（高频考点） 4. 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴（对边中点连线，对角线不是对称轴）。 5. 面积：矩形面积 = 长 × 宽。 三、矩形标准化判定（分清两种前提，避免扣分） 1. 定义法（已知是平行四边形）：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2. 角判定（普通四边形）：三个角是直角的四边形是矩形。 3. 对角线判定 ①已知是平行四边形：对角线相等的平行四边形是矩形； ②普通四边形：对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 ⚠️备课提示：只说“对角线相等”不能判定普通四边形是矩形，缺少互相平分条件会直接扣分。 1. 判定跳步：仅凭对角线相等就判定四边形是矩形，漏掉“互相平分”； 2. 遗忘斜边中线模型，对角线相关计算题不会做； 3. 性质记混：矩形对角线相等不垂直；菱形对角线垂直不相等； 4. 误认为对角线是矩形的对称轴； 5. 证明时没有先证平行四边形，直接用一个直角判定矩形。 题型 考察方向 难度 题型一 矩形性质理解 ★★★ 题型二 利用矩形的性质求角度 ★★★ 题型三 根据矩形的性质求线段长 ★★★★ 题型四 根据矩形的性质求面积 ★★★ 题型五 利用矩形的性质证明 ★★★★ 题型六 求矩形在坐标系中的坐标 ★★★★ 题型七 矩形与折叠问题 ★★★★★ 题型八 斜边的中线等于斜边的一半 ★★★★★ 题型九 矩形的判定定理理解 ★★★ 题型十 添一条件使四边形是矩形 ★★★★ 题型十一 证明四边形是矩形 ★★★★★ 题型十二 根据矩形的性质与判定求角度 ★★★★ 题型十三 根据矩形的性质与判定求线段长 ★★★★★ 题型十四 根据矩形的性质与判定求面积 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：矩形性质理解 解题思路：①分清矩形兼具平行四边形全部性质，独有四个角为直角、对角线相等；②区分矩形的对称轴（对边中点连线，对角线不是对称轴）；③选择题辨析易错点：对角线相等≠四边形就是矩形；对角线不一定互相垂直；④注意和菱形性质做对比区分。 1．下列选项中，矩形具有菱形不一定具有的性质是（     ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】根据菱形和矩形的性质判断即可． 【详解】解：选项：菱形四边相等，矩形四边不一定相等； 选项：菱形对角线互相垂直，矩形对角线不一定互相垂直； 选项：矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等； 选项：菱形的每条对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分对角． 2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=8，BC=6，则OD的长为___________． 【答案】5 【分析】由勾股定理求出BD的长，再根据矩形的性质求出OD的长即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=6，∠BAD=90° ∵AB=8 ∴ ∴． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了矩形．勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解答此题的关键． 3．八年级某班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线，如果一条对角线用了盆红花（对角线交点处不重复放），则还需要从花房运来红花多少盆（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的对角线相等，可知两条对角线所需花盆数量相同，再根据对角线交点处不重复放，据此计算即可． 【详解】解：∵矩形的对角线相等， ∴两条对角线上摆放的红花盆数相同． ∵一条对角线用了盆红花，且对角线交点处不重复放， ∴另一条对角线也需要49盆红花，但交点处已有一盆， ∴还需要运来的红花盆数为（盆）． 题型二：利用矩形的性质求角度 解题思路：①矩形四个内角均为90°，利用直角、两锐角互余；②对角线相等且平分，得到等腰三角形，用等边对等角；③结合三角形内角和、外角定理推导；④注意角的等量代换。 4．已知矩形的一条对角线与一边的夹角是，则两条对角线所夹锐角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出相对应的图形，根据矩形对角线相等且互相平分，利用三角形外角的定义求解即可． 【详解】解：设矩形为，对角线与交于点，如图， 已知对角线与边的夹角为，即， ∵四边形是矩形，矩形对角线相等且互相平分， ∴， ∴， ∵是的外角，且是两条对角线所夹的角， ∴， 即两条对角线所夹锐角的度数为． 5．如图所示，含角的三角尺放置在矩形纸片的内部，三角尺的三个顶点恰好在矩形的边上，若，则________． 【答案】 【分析】根据长方形的性质可得，，利用直角三角形的两个锐角互余求出，从而求出，然后根据平行线的性质可得，从而求出结论． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴． 由三角尺可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，点在矩形的边的延长线上，连接，，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，由矩形性质得，，结合已知可得，利用等腰三角形性质求出，进而求得． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型三：根据矩形的性质求线段长 解题思路：①对边相等，对角线互相平分且相等；②对角线分出直角、等腰三角形；③运用勾股定理计算边长、对角线；④可结合斜边中线推论进行线段转化。 7．如图，在矩形中，，，点 E 是的中点，连接，则的长度为(     ) A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】由于点E为中点，故，在中，利用勾股定理求即可． 【详解】解：如图， 四边形为矩形， ， 为中点，， ， 在中，，， ． 8．如图，在矩形中，于点E，，若，则______． 【答案】/厘米 【分析】连接，交于点，设，则，，根据矩形的性质，可得，从而可得点是的中点，进而垂直平分，最后根据垂直平分线的性质，得，则． 【详解】解：连接，交于点， 设，则，， 矩形， 和相等且互相平分， ， ，， 点是的中点， ， 垂直平分， ， ， ， ． 9．如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，，则长是（     ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】先证明是等边三角形，得出，，再根据勾股定理求出结论即可． 【详解】解：在矩形中，， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，． 题型四：根据矩形的性质求面积 解题思路：①基础公式：矩形面积=长×宽；②若给出对角线，一般先求出长与宽，再代入公式；③图形分割类，用割补法，利用三角形面积求和或者求差；④不要直接用对角线乘积求矩形面积（该公式只用于菱形）。 10．如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．首先求出，因为矩形的对角线、互相平分，则为中点，所以，因为点为的中点，所以，进而求解即可． 【详解】解：由条件可知， ∵矩形的对角线、互相平分， ∴为中点， ∴， 点为的中点， ． 故选：A． 11．如图，在矩形中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交边于点E．若，则矩形的面积为_____． 【答案】60 【分析】连接，则，设，由矩形的性质可得，，利用勾股定理得到，则，进而可得，解方程求出的值，再根据矩形的面积公式可得答案． 【详解】解：如图所示，连接，则， ∵， ∴可设， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 解得或（负数舍去）， ∴， ∴矩形的面积． 12．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于，交于，根据矩形的性质可得即可求解. 【详解】解：作于，交于， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ， ， 故选：C． 题型五：利用矩形的性质证明 解题思路：①由矩形直接得到直角、边相等、对角线相等平分等条件；②证线段相等：利用矩形性质或者全等三角形；③证角相等：利用直角、等腰三角形、全等对应角；④证明步骤不跳关键条件，每一步写出推理依据。 13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，由点是的中点，可得出点的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标 【详解】解：过点作于点， ∵矩形的顶点的坐标分别为，，点是的中点， ∴点 ∵，， ∴， 即点 ∴点， 故选：A 14．两张全等的矩形纸片按如图方式交叉叠放在一起，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为______． 【答案】15 【分析】先证四边形是菱形，再根据全等，得到．在中，根据勾股定理求出的长度，即可解决问题． 【详解】解：设交于点交于点， ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形是全等的矩形， ， 在和中， ， ， ， ∴平行四边形是菱形， ， ， 设， 在中，， ， 解得：， ∴菱形的面积：． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾股定理求解线段的长度是解题的关键． 15．如图，矩形中，对角线、相交于点，已知，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由矩形的性质得到，因此是的垂直平分线，得到，设，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】如图，连接， ∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴． 题型六：求矩形在坐标系中的坐标 解题思路：①矩形邻边垂直，对应横、纵坐标分别平行坐标轴；②利用边长，向右/左改变横坐标，向上/下改变纵坐标；③已知两点，借助矩形对边相等、直角特性求出剩余点坐标；④遇对角线，利用对角线中点坐标相同解题。 16．如图，四边形是矩形，，两点的坐标分别是，，点在第一象限，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质，结合两点的坐标，即可得出结果. 【详解】解：∵，两点的坐标分别是，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴轴，轴，， 又∵点在第一象限， ∴. 17．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】作轴于点，由旋转的性质可得，，进而求解． 【详解】解：过作轴于点， 由旋转可得，轴， 四边形为矩形， ，， ， 点坐标为． 18．如图，将面积为的矩形放在平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先作轴，利用、坐标算出长，结合矩形面积与三角形面积公式求出，得到点横坐标；再根据矩形性质得、，结合直角证明，推出，最后结合点纵坐标减去，求出点纵坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为． 点，点，两点均在轴上， ． 四边形是矩形，，矩形对角线将矩形分成面积相等的两部分， ． 轴，以为底，为底边对应的高， ． 将，代入得： ， 解得． 为点到轴的水平距离，由图可知点在轴右侧，横坐标为正数， 点的横坐标为． 四边形是矩形， ，，． ． 轴，轴轴， ． 在与中： ． ． ，原点， ， ． 轴，是垂足， 点与点纵坐标相等． ，线段，结合图形可知垂足在点的正下方， 点的纵坐标， 点的纵坐标为． 综上，点的坐标为． 题型七：矩形与折叠问题 解题思路：①折叠核心：对应边相等、对应角相等；②设未知线段为x，其余线段用含x代数式表达；③折叠后图中出现直角，构造直角三角形，列勾股定理方程求解；④结合矩形直角、对边相等进行边角转换；⑤留意部分题目有多解。 19．如图，把矩形沿 翻折， 点恰好落在边的处且， 则是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据可得，根据折叠的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴ 故选：A． 20．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，点，将沿着折叠，点B恰好落在边的点F处，则点E的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据题意求得，，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，四边形是矩形 ∴，， 设，则， 由折叠可得，，， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得，， ∴点E的坐标为． 21．如图，在矩形中，，在和上分别有点，连接．点关于的对称点为，点关于的对称点为，若刚好落在对角线上，则的长为___________． 【答案】 【分析】连接，根据矩形的性质，利用勾股定理得到，根据图形对称的性质得到，，设，根据勾股定理解得，得到，设，同理得到，继而根据勾股定理得到． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点关于的对称点为，点关于的对称点为， ∴，，，， ∴，，， 设，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， ∵在中，， ∴． 题型八：斜边的中线等于斜边的一半 解题思路：①只要出现直角三角形，找到斜边中点，就可得到中线长度是斜边一半；②矩形对角线互相平分且相等，就是这个定理的来源；③看到直角+斜边中点，直接用模型得到线段等量；④逆用：三角形一边中线等于这条边一半，则该三角形为直角三角形。 22．如图、两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得， 是的中点，， ，两点间的距离为， 故选：C． 23．如图，菱形的对角线交于点，，，于点，则的长为（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出和，以及，利用勾股定理求出长度，最后再利用直角三角形斜边上中线是斜边一半求出长度． 【详解】解：为菱形， ，，， ， ， 在中，． ，， 是的中线， ． 24．如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_____________． 【答案】 【分析】由菱形的对角线互相平分得到，，再由菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得的长，最后根据直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点O， ∴，， ∵菱形的面积为30， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型九：矩形的判定定理理解 解题思路：①记清三类判定，区分已知是平行四边形还是普通四边形；②平行四边形：加一个直角 / 对角线相等得到矩形；③普通四边形：证三个直角 / 对角线相等且互相平分；④排除错误说法：对角线相等的四边形不一定是矩形。 25．要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟记矩形的判定定理，并会灵活运用． 根据矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：选项A：对角线互相平分得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故A错误，不符合题意； 选项B：两组对边分别相等得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故B错误，不符合题意； 选项C：对角线是否互相垂直不能判定四边形为矩形，故C错误，不符合题意； 选项D：根据四边形内角和定理，三个角是直角，则另一个角也是直角，即四个角均为直角，可判定四边形为矩形，故D正确，符合题意； 故选D． 26．如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为_____秒时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，由矩形的判定可得出，则可得出答案．确定是解题的关键． 【详解】解：∵点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，设运动时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 27．如图，，为的正方形网格中的两个格点．四个顶点都是格点的矩形称作格点矩形，在此图中以，为顶点的格点矩形共可以画出_________个． 【答案】 【分析】根据网格特点、矩形的判定画出相应的图形即可． 【详解】如图所示，共可以画出以下个以，为顶点的格点矩形． 题型十：添一条件使四边形是矩形 解题思路：①先看题干已经给出的图形：分清是平行四边形还是普通四边形；②已知是平行四边形：添加一个内角为直角 或者 对角线相等；③普通四边形：添加三个角为直角，或对角线相等且互相平分；④只填一个充分条件。 28．要使成为矩形，需添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的判定定理和菱形的判定定理逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、添加，能使成为矩形，故符合题意； B、添加，能使成为菱形，故不符合题意； C、添加，能使成为菱形，故不符合题意； D、添加，能使，这是平行四边形本身具有的性质，故不符合题意． 29．如图，四边形的对角线，交于点，，．请添加一个条件，使它成为矩形，这个条件可以是_________．（写出一个即可） 【答案】或（合理即可） 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 由矩形的判定，添加或（合理即可）． 30．在平行四边形中，下列条件中不能判定它是矩形的是（    ） A． B． C． D．（为对角线交点） 【答案】C 【详解】解：A选项，对角线相等的平行四边形是矩形，由可以判定平行四边形是矩形，不符合题意； B选项，有一个角是直角的平行四边形是矩形，由可以判定平行四边形是矩形，不符合题意； C选项，邻边相等的平行四边形无法判定是矩形，符合题意； D选项，平行四边形对角线互相平分，为对角线交点，，，，，对角线相等的平行四边形是矩形，可以判定平行四边形是矩形，不符合题意． 题型十一：证明四边形是矩形 解题思路：①路径1：先证平行四边形，再证有一个直角或者对角线相等；②路径2：直接证四边形有三个角是直角；③路径3：证对角线相等且互相平分；④禁止跳步，只写对角线相等不能判定普通四边形为矩形；⑤推理链条完整，书写规范。 31．如图，四边形中，和是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列四边形不一定为矩形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．根据矩形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，， 四边形是平行四边形， ，，，， 即， ， 四边形是矩形； 故A选项不符合题意； B、观察图形可知，四边形的对角线互相平分且相等， 四边形是矩形； 故B选项不符合题意； C、观察图形可知，， 四边形是矩形； 故C选项不符合题意； D、观察图形可知，，故不能判定四边形是矩形， 故D选项符合题意． 故选：D． 32．在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标依次是，则四边形的形状一定为________． 【答案】矩形 【分析】本题考查了坐标与图形性质，矩形的判定．注意矩形判定定理理解． 根据点的坐标特征即可判断的形状． 【详解】解：根据题意，因为、两点横坐标相等，、两点横坐标相等， 所以，轴，轴． ∴． 同理，， ∴四边形是平行四边形； 因为轴，轴 ∴， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形． 33．如图，中，，，动点E以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点F以相同速度由点D向点B运动，设两点运动时间为t秒，当四边形为矩形时，t的值为（    ） A．2秒 B．2秒或1秒 C．4秒 D．2秒或4秒 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可知对角线互相平分，结合动点运动速度相同可得，从而判定四边形始终为平行四边形．若四边形为矩形，则需对角线相等，即．根据在上的位置关系（相遇前或相遇后），分两种情况列方程求解即可． 【详解】解：如图， 四边形是平行四边形， ，． 点、的速度相同， ， ， 即． ，， 四边形是平行四边形． 若四边形为矩形，则需． 分两种情况讨论： 情况一：当点、在相遇前时，， 令， 解得； 情况二：当点、在相遇后时，， 令， 解得； 综上所述，当或时，四边形为矩形． 题型十二：根据矩形的性质与判定求角度 解题思路：①做题顺序：先判定是矩形，再使用矩形性质；②判定完成后，利用四角90°、对角线产生等腰三角形；③结合斜边中线、三角形内角和、外角进行角度计算；不可默认图形就是矩形。 34．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，由平行四边形的性质得出，，得出，即可证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进一步即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 35．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，可判断②，由直角三角形的性质可得BC＝AB，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝135°，可判断④；由面积公式可得可判断⑤；即可求解． 【详解】解：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴∠AEB＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE， ∵∠CAE＝15°， ∴∠ACE＝∠AEB−∠CAE＝45°−15°＝30°， ∴∠BAO＝90°−30°＝60°， ∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD， ∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确； ∴OB＝AB， 又∵ AB＝BE， ∴OB＝BE， ∴△BOE是等腰三角形，故②正确； 在Rt△ABC中 ∵∠ACB=30° ∴BC＝AB，故③错误； ∵∠OBE＝∠ABC−∠ABO＝90°−60°＝30°＝∠ACB， ∴∠BOE＝（180°−30°）＝75°， ∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋75°＝135°，故④错误； ∵AO＝CO， ∴，故⑤正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 36．如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 题型十三：根据矩形的性质与判定求线段长 解题思路：①先完成矩形判定，获取四个直角、对角线相等平分条件；②图形中提取直角三角形，使用勾股定理、斜边中线模型；③多个图形嵌套时传递相等边长；④结合全等三角形完成线段代换。 37．如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先根据勾股定理可得，连接，根据矩形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：，，， ， 如图，连接， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ， 即线段的最小值为， 故选：A． 38．综合实践活动课上，小亮将一张面积为，其中一边为的锐角三角形纸片（如图），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形（如图），则矩形的周长为______． 【答案】 【分析】当点G，H分别是的中点时，可以拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形，从而，则；延长交于K，则四边形是矩形，，再由三角形面积求出高，从而得，即可求得结果． 【详解】解：如图，当点G，H分别是的中点时，可以拼成一个无缝隙、无重叠的矩形， ∴，， ∴，； ∴； 延长交于K， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴矩形的周长为． 39．如图，是等腰直角三角形，，，点是上的一个动点（点与点、不重合），过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】连接，根据矩形的判定与性质得出，根据垂线段最短可知当时最小，利用等腰直角三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， 四边形是矩形， ， 根据垂线段最短可知，当时，线段最短，即最小， 是等腰直角三角形，， ， ，， ， 线段的最小值为． 题型十四：根据矩形的性质与判定求面积 解题思路：①先判定图形为矩形，再用面积=长×宽；②先求出矩形的相邻两条边长，再代入公式；③嵌套、重叠图形，采用割补法；④不要误用菱形面积公式（对角线乘积一半）计算矩形面积。 40．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题关键．过点作，分别交、于点M、N，由矩形的性质推出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点作，分别交、于点M、N， 则四边形、、、都是矩形， ，，，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， 阴影部分的面积为， 故选：C 41．如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】连接，与交于点F，只要证明四边形是菱形，四边形是平行四边形结合勾股定理即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴，， ∴平行四边形是菱形． 连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴四边形的面积为； 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，二次根式的运算，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用菱形的性质解决问题． 42．如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   )    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 【答案】C 【分析】过点作，交的延长线于点，的延长线于点，易得：，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得，再根据，得到，即可得出结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴只需要知道的面积即可求出的值； 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，求三角形的面积．解题的关键是得到 解答题 1．如图，在中，，对角线与交于点，分别过点作的平行线交于点．求证四边形是菱形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ 四边形是矩形， ∴ ， ∴ ∵过点作的平行线交于点． ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴ 四边形是菱形． 【分析】先结合平行四边形的性质以及，得出，即可证明四边形是矩形，得出，又因为，，得出四边形是平行四边形，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【详解】略 2．如图，四边形为矩形，和的角平分线分别交边，于点，，过点作于点，连接，过点作的垂线交于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的面积； (3)连接，若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵和的角平分线分别交边，于点，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； (2)； (3)． 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，可知，得到，即可证明四边形为平行四边形； （2）作交于点K，根据三角形内角和定理求出，得到，根据三线合一得到，根据勾股定理得到，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，可知，根据勾股定理得到，证明，根据勾股定理得到，设，根据三角形内角和定理及等角对等边得到，可知，，代入求出x的值，即可求出的面积； （3）连接，在上取点M，使，连接，证明，得到，，，可知，即，根据三角形内角和定理求出，可知，根据平行四边形的性质得到，证明，得到，进而可知，延长至N，使，即，证明垂直平分，得到，进而得到是等边三角形，得到，根据三线合一求出，根据角的和差计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，作交于点K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵过点作的垂线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，在上取点M，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，延长至N，使，即， ∵， ∴， 即垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，矩形位于平面直角坐标系中，O为原点，点A，C在坐标轴上，点B的坐标为，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿边运动，当点P到达点B时，运动停止，设运动时间为t． (1)当时，求直线的解析式． (2)当t为何值时，直线平分矩形的面积． (3)在运动过程中，当是等腰三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）当时，写出 P、Q坐标，因为两点确定一条直线，所以用待定系数法求直线的解析式． （2）因为过矩形中心的直线平分矩形面积，所以点P在边上，用t的式子表示 P、Q的坐标，根据梯形面积公式和矩形面积公式列方程，求解t的值． （3）分P在段、P在段两种情况，每种情况再分、、三类等腰情况分别求解． 【详解】（1）解：四边形为矩形，， ，． 当时，可得，， ∴， ，， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为． （2）解：∵过矩形中心的直线平分矩形面积， ∴当直线平分矩形的面积时，点P在边上， ，， ∵ ∴， 解得． （3）解：当P在上时， ∵， ∴只能， 则， 解得； 当在上时， ∵，， 若，即点P在的垂直平分线上， 得， 解得； ∵, , ,， ∴不存在 , 的情况． 综上，当或时，是等腰三角形． 4．如图，在矩形中，点，在上，，，的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ，， 在和中， ，，， ； (2)证明：由（1）知，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 是等腰三角形． 【分析】（1）由矩形的性质，可证得和对应的边角边相等，即可得证； （2）由可证得对应角相等，再根据等角的余角相等，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 5．综合与实践： 【回归教材】人教版八下教材有“利用矩形的性质研究直角三角形的一个性质”，如图1所示． 【知识运用】 (1)在矩形中，，，点为中点，连接． ①如图2，若点在上，，则的长为 ； ②如图3，若将沿翻折，点的对应点为点，连接并延长，交于点，求的长； 【思维拓展】 (2)如图4，在菱形中，，，，，三点在上，，，过点作直线，的垂线段，垂足分别为，，连接．当点在之间运动（包括端点）时，求的长的取值范围． 【答案】(1)①2，②3 (2) 【分析】（1）①先通过勾股定理计算的长度，根据直角三角形斜边中线性质，，再用减得到的长即可； ②根据翻折的性质可得对应边、对应角相等，进而得到，再证得四边形是平行四边形，推导角的关系得到即可求解； （2）根据菱形的性质先求出的长度，建立平面直角坐标系，表示出、和，再结合的角度，建立和的函数关系，根据在上的运动范围，确定的取值范围，进而得到的取值范围． 【详解】（1）①∵四边形为矩形，是中点，，， ∴， 由勾股定理得， ，是中点， ∴， ； ② 由折叠性质得：，， 是中点， ， ， 又，， ，即， ∴， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ； （2）如图所示，以为原点，所在的直线为轴，过点且垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 过作于，连接，取其中点，连接，过作于， ∴ ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴,， ∴， 设， ， ∴在中， ，， 同理，在中，， 坐标为， 由勾股定理得： ， ∵,为的中点， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵， 又∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ 在之间，，， ∴,， ∴ 时，，即， ∴ 时，， ∴的取值范围为： ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，翻折的性质，勾股定理，直角三角形的性质，平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 6．如图，在中，平分．已知交的延长线于点，交延长线于点． (1)证明：四边形为矩形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：在平行四边形中，． ∵点，分别在，的延长线上， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，即， ∴平行四边形是矩形； (2)． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，证明四边形是平行四边形，根据可知平行四边形是矩形； （2）根据平行四边形的性质得到，可知，根据平分得到，即，根据等角对等边得到，求出，根据的性质得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：在平行四边形中，， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在矩形中，， ∵， ∴平行四边形的面积为． 7．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得，，再由三角形中位线定理得，得四边形是平行四边形，然后证明即可得出结论． （2）由三角形的中位线定理得，再由矩形的性质得，，，然后由勾股定理求出的长，即可得出的长，结合勾股定理进而求得． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ， 由（1）得：，四边形是矩形， ，，， 是的中点， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 四边形是矩形，， ， ，  ，  四边形是菱形， ． 8．如图，四边形是平行四边形，交于点，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． (3)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形． (2) (3)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）得出，进而得出即可得证； （2）先求出，再求出的长，进而求出的长即可； （3）先得出四边形是平行四边形，再得出即可得证． 【详解】（1）略． （2）解：∵，， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴四边形的面积为． （3）略． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $