3.1.1 圆的有关概念 教学设计 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦圆的有关概念（弧、弦、优弧、劣弧等）及点与圆的位置关系。课堂导入以篝火晚会情境提问“为何围成圆圈”，从生活现象出发，联系学生已有圆的初步认知（半径、直径），通过投圈游戏公平性等问题链，搭建从具体到抽象的学习支架，引导探究圆的定义及点与圆的位置关系。 该资料亮点在于以核心素养为导向，用数学眼光观察现实（篝火晚会、投圈游戏情境），通过问题驱动培养数学思维（推理点与圆位置关系的数量关系），设计判断题、拓展题（矩形中三点位置关系）强化数学语言表达。对学生提升探究与应用能力，对教师提供结构化教学流程和分层测评设计。

第1课时　圆的有关概念 课题 第1课时　圆的有关概念 授课人 教 学 目 标 1.理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念,并能够从图形中识别. 2.经历形成圆的概念以及自主学习点与圆的位置关系的过程,会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系,进一步感悟“数与形”之间的对应关系. 3.让学生在经历圆的概念的形成过程中,通过探索与交流,进一步发展学生探索交流的能力和数学表达能力. 4.在学习中体会圆的实际应用,感受数学与现实生活的密切联系,增强学生的数学应用意识,初步培养学生以理论为依据分析问题、解决问题的良好习惯. 教学 重点 理解圆的有关概念. 教学 难点 点和圆的三种位置关系. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 环节 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 篝火晚会是草原人民的一种传统欢庆形式.在用火烤熟食物的过程中,人们互相拉手围着火堆跳舞以表达自己的喜悦心情,这种欢庆形式一直延续到今天,就形成了现在的篝火晚会,如图3-1-4所示. 图3-1-4 提问:你能说明篝火晚会中人们互相拉手围着火堆跳舞时,为什么习惯上围成一个圆圈吗? 　　展示篝火晚会图片吸引学生的注意力,提示学生从数学的角度观察生活中的现象,从中发现新知识,并尝试用数学的观点解释这些现象,培养学生基本的数学素养. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 圆的认识 (多媒体出示)我们以前已经认识圆了,那么你对圆了解多少呢? 1.连结圆心和圆上的任意一点的线段叫作　　　　.  2.直径等于半径的　　　　.  3.圆的周长公式是　　　　,面积公式是　　　　.  处理方式:学生之间先讨论交流,互相补充,教师再适时点评,同时鼓励学生说出自己对圆的认识,比如对称性等,只要正确都给予鼓励. 【探究2】 圆在生活中的应用 (多媒体出示) 问题1:如图3-1-5,一些学生正在做投圈游戏,他们的投圈目标都是图中的花瓶.如果他们呈“一”字排开,这样的队形对每个人公平吗? 图3-1-5 问题2:你认为他们应当排成什么样的队形才公平?如果你手边有一根3米长的绳子,你会如何组织他们? 问题3:如果参加活动的同学很多,按你的方案他们会站成一个什么样的队形? 问题4:如果平面上有一点O,那么平面内到点O的距离为3米的点有多少个?这些点可以形成怎样的图形? 处理方式:学生独立思考并说出自己的想法.为了使游戏公平,学生自然会想到每名学生到中间物品的距离都相等.由问题3让学生展开想象,学生自然会想到同学们会站成一个圆形,再到问题4就不难得出答案了. 【探究3】 圆的相关概念 认真阅读教材第78-79页,完成下面各题. 1.圆的定义:在同一平面内,线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周,另一端点P所经过的封闭曲线叫作圆,　　　　叫作圆心,　　　　叫作圆的半径.以点O为圆心的圆,记作“　　　　”,读作“　　　　”.  2.连结圆上任意两点的　　　　叫作弦.经过　　　　的弦叫作直径.  3.圆上任意　　　　　　　叫作圆弧,简称弧.圆的任意一条　　　　的两个端点将圆分成两条弧,每一条弧都叫作半圆.小于半圆的弧叫作劣弧,劣弧用符号“　　　　”和弧两端的字母表示,如劣弧BC记作“　　　　”,读作“弧BC”;大于半圆的弧叫作优弧,半圆和优弧用符号“　　　　”和三个字母表示(弧两端的字母和弧中间的字母),如优弧BAC记作“　　　　”,读作“弧BAC”.  4.半径相等的两个圆能够完全重合.我们把半径相等的两个圆叫作　　　　.类似地,我们把能够重合的圆弧称为　　　　.  处理方式:学生认真阅读教材,明确圆的相关概念,然后独立完成题目. 练习: 1.判断题 (1)直径是弦,但弦不一定是直径. (√) (2)半径相等的两个圆叫作等圆. (√) (3)直径相等的两个圆是等圆. (√) (4)半圆是弧,但弧不一定是半圆. (√) (5)长度相等的两条弧是等弧. (×) (6)连结圆上任意两点所得的图形叫圆弧. (×) (7)等弧的长度一定相等. (√) (8)经过圆心的直线是直径. (×) 　　本活动的设计意在引导学生回忆已知的圆的知识,从已知到未知,引导学生去探寻更多的圆的相关知识. 通过实际场景,再到抽象图形,进一步强化圆与实际生活的关联性. 活动 三: 探究 与 应用 2.(1)下列说法一定正确的是 (　A　) A.半圆是弧　　　　　　　　　　B.弧是半圆 C.劣弧大于半圆　　　　　　　　D.优弧小于半圆 (2)☉O内最长的弦长为10 cm,那么☉O的直径是 (　B　) A.20 cm　　　　B.10 cm　　　　C.5 cm　　　　D.以上都不对 处理方式:学生独立思考后,单独回答. 【探究4】 点与圆的位置关系 图3-1-6是一个圆形靶纸的示意图,O为圆心,小明向其投了5支飞镖,它们分别落到了点A,B,C,D,E处.观察A,B,C,D,E这5个点与☉O的位置关系. 图3-1-6 问题:点A,B,C,D,E到圆心O的距离与☉O的半径有怎样的数量关系? 总结: 一般地,如果用r表示圆的半径,d表示同一平面内点到圆心的距离,则有d>r⇔点在圆外;d=r⇔点在圆上;d<r⇔点在圆内. 练习: 1.已知☉P的半径为3,点Q在☉P外,点R在☉P上,点H在☉P内,则PQ　>　3,PR　=　3,PH　<　3.(填“>”“<”或“=”)  2.已知☉O的面积为25π,判断点P与☉O的位置关系. (1)若PO=5.5,则点P在　☉外　;  (2)若PO=4,则点P在　☉内　;  (3)若PO=　5　,则点P在☉上.  　　通过让学生自学课本,明确概念,培养学生的阅读及自学能力,对概念理解得更透彻. 通过这一组简单的题目让学生加深对新知识的掌握程度,明确几个易混的概念. 通过此问题的探究,使学生理解点与圆的位置关系,并体会定性分析与定量分析的关系. 【拓展提升】 例　如图3-1-7,已知矩形ABCD的边AB=3厘米,AD=4厘米. 图3-1-7 (1)以点A为圆心,4厘米长为半径作☉A,则点B,C,D与☉A的位置关系如何? (2)若以点A为圆心作☉A,使B,C,D三点中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则☉A的半径r的取值范围是什么? [答案:(1)点B在☉A内,点C在☉A外,点D在☉A上　(2)3<r<5] 处理方式:独立完成后小组交流,小组代表通过投影展示小组的答案,其他同学进行点评. 　　拓展提升是知识继续发展沉淀的过程,使学生对本节课所学知识进行梳理,培养学生自我思考、自主学习的意识. 活动 四: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.已知☉P的半径为4,点Q在☉P外,点R在☉P上,点H在☉P内,则PQ　>　4,PR　=　4,PH　<　4.(填“>”“<”或“=”)  2.已知☉O的半径是5 cm,当OP满足下列条件时,分别指出点P与☉O的位置关系: (1)当OP=3 cm时,　点P在☉内　;  (2)当OP=5 cm时,　点P在☉上　;  (3)当OP=7 cm时,　点P在☉外　.  3.一个点到已知圆上的点的最大距离是8,最小距离是2,则圆的半径是　3或5　.  　　学以致用,达标测评,及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收益、有所提高. 活动 五: 课堂 总结 反思 4.如图3-1-8,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=6,CD为中线,以点C为圆心,为半径作圆,则点A,B,D与☉C的位置关系如何? 图3-1-8 [答案:点A在☉C外,点B在☉C内,点D在☉C上] 【课堂小结】 通过这节课的学习,你有哪些收获?有何感想?学会了哪些方法?先想一想,再分享给大家. 　　课堂小结是培养学生反思总结习惯的最好环节,只有学生养成良好的反思总结习惯,才能不断地取得进步,让学生在每堂课中体会小结的意义. 【板书设计】 第1课时　圆的有关概念 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 利用学生熟悉的知识引入,丰富的生活场景贴近学生的生活,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣,同时也让学生进一步体会到了生活中处处有数学. ②[讲授效果反思] 通过引导学生回忆已有的圆的知识,从已知到未知,引导学生去探寻更多的圆的相关知识,并通过问题的探究,使学生理解点与圆的位置关系,并体会定性分析与定量分析的关系. ③[师生互动反思] 通过情景的设置和问题的驱动,引导学生充分的思考、分析、交流,进而得到圆的相关定义及点与圆的位置关系,学生的积极性较高,对知识的理解比较深刻. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $