专题 2.4 概率的简单应用（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学概率的简单应用核心知识点，系统梳理抽奖中奖概率计算、标记重捕法估算种群数量、频率估计概率、概率决策等应用场景，通过知识梳理构建理论框架，题型精析从基础到综合形成递进式学习支架，帮助学生衔接概率理论与实际应用。 资料以生活实例为载体，如超市抽奖、鱼塘养鱼估算等，引导学生用数学眼光观察现实世界。分层题型设计提升数学思维中的推理能力，如标记重捕法通过比例关系推理总体数量，同步检测全面巩固知识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺，强化模型意识与应用能力。

专题 2.4 概率的简单应用（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】概率的核心应用场景 1 【知识点二】抽奖与中奖概率应用 2 【知识点三】标记重捕法（种群数量估算） 2 【知识点四】频率估计概率的统计应用 2 【知识点五】概率的决策应用 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】抽奖类中奖概率计算 3 【题型 2】标记重捕法估算生物总体数量 4 【题型 3】样本频率估算总体概率 5 三.题型精析（综合提升） 5 【题型 4】频率稳定值推算总体数量 5 【题型 5】概率大小对比最优决策 7 【题型 6】概率趋势辨析说理题（高频易错） 8 四.同步检测 9 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 10 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 13 一.知识梳理与解读 【知识点一】概率的核心应用场景 概率知识广泛应用于生活决策、统计估算两大核心场景，是连接理论概率与实际生活的重要工具，主要包含：抽奖中奖概率计算、游戏公平性决策、生物种群数量估算、总体数据统计预估四类常见应用。 【要点提示】 ① 古典概型适用于有限、等可能的抽奖、博弈、密码组合等场景； ② 频率估计概率适用于总体量大、无法全面统计的抽样估算场景。 【知识点二】抽奖与中奖概率应用 在抽奖活动中，所有奖券结果等可能，可直接利用古典概率公式计算中奖概率： 【要点提示】 ① 单项中奖概率仅统计对应奖项名额，不可累加其他奖项； ② 总中奖概率需汇总一、二、特等奖等所有获奖名额，避免漏算。 【知识点三】标记重捕法（种群数量估算） 针对鱼塘、山林等生物总体无法逐一统计的场景，采用标记重捕法估算总体数量，是概率在实际统计中的经典应用。 1. 操作步骤：捕获部分个体标记→放回原环境充分混合→再次重捕统计数据； 2. 核心原理：重捕样本中标记个体的占比，近似等于总体中标记个体的占比； 3. 核心公式：，变形得：。 【要点提示】 ① 估算前提：标记不影响生物生存、标记不易脱落、样本充分随机、总体无新增和死亡； ② 重捕样本量越大，估算结果越精准，误差越小。 【知识点四】频率估计概率的统计应用 面对大规模总体（学生、产品、人群等），无法全面普查时，可通过抽样获取样本频率，用稳定频率估计概率，进而推算总体对应数量： 【要点提示】 ① 单次小样本数据波动大，需依靠大量抽样、稳定频率估算； ② 短期局部数据不能判定长期变化趋势，避免以偏概全。 【知识点五】概率的决策应用 通过计算不同方案、不同选择的目标事件概率，对比概率大小，可做出最优生活、游戏、抽奖决策。概率越大，事件发生可能性越高，选择越优。 【要点提示】 概率决策仅判断可能性大小，无法确定单次事件的最终结果。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】抽奖类中奖概率计算 【例题1】（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）为迎端午，某超市举办了促销抽奖活动，并设置了一、二、三等奖．在不透明的抽奖箱里放有4个白球，8个黄球，12个红球和36个蓝球，每个球除颜色外完全相同，顾客摸到白球则商品打七折，摸到黄球则商品打八折，摸到红球则商品打九折，摸到蓝球则商品不打折． （1）活动第一天共抽奖120次，其中抽到商品打九折共18次，则在这120次抽奖中，抽到商品打九折的频率是________； （2）顾客从抽奖箱中任意摸出1个球，抽到商品打折的概率是多少？ （3）若向抽奖箱中再放入4个白球和若干个黄球，此时从抽奖箱中任意摸出1个球，商品打八折的概率是，求放入了多少个黄球？ 【变式1】（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据： 抽奖次数n 100 150 200 800 1000 抽到“中奖”卡片的次数m 38 56 69 241 299 中奖的平率 0.38 0.373 0.345 0.301 0.299 根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽六安·二模）2026年农历马年新春，某商场推出“集生肖福卡，赢新春好礼”活动，设置奋进马、吉祥马、安康马、喜乐马4种福卡，每张福卡被抽到的概率相同．顾客每次抽奖可随机获得1张福卡，抽完后放回，再进行下一次抽奖．顾客连续抽奖2次，则抽到的2张福卡是同一种类的概率是_____． 【变式3】（2026·云南保山·二模）为活跃班级文化，某班开展“趣味抽奖”活动，将学生分为甲、乙两队，并设置2个不透明的抽奖箱．第1个抽奖箱内放了分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外其余都相同）；第2个抽奖箱内放了分别标有数字1，2的两个小球（除标号外其余都相同）． 抽奖规则如下：老师先从第1个抽奖箱内随机摸出一个小球，小球上的数字记为x，再从第2个抽奖箱内随机摸出一个小球，小球上的数字记为y．若，则甲队中奖，否则乙队中奖． （1）请用列表法或树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）你认为这个抽奖规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪个队更容易中奖？ 【题型 2】标记重捕法估算生物总体数量 【例题2】（24-25九年级上·江西萍乡·期末）“养鱼大王”老张为了与销售商签订购销合同，需要对自己池塘中鱼的总重量进行估计．为此，他先从鱼池中捞出条鱼，将每条鱼做上记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出条称得重量为千克，且带有记号的鱼为条．问： （1）老张的鱼塘中估计有多少条鱼？ （2）池塘中的鱼约共重多少千克？ 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在左右，则鱼塘中估计有鱼（   ）条． A．4000 B．5000 C．10000 D．2000 【变式2】（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）某鱼塘原有500条鱼，其中有100条鲤鱼，后该鱼塘放入若干条鱼与原有鱼混养，放入的鱼中鲤鱼占比．此时鱼塘主随意捞出100条鱼，发现其中有25条鲤鱼．则估算放入的鱼共_____条． 【变式3】（2024·福建南平·二模）为了估计一个鱼塘养鱼一个月的收获，养鱼者从鱼塘中打捞100条鱼，测得这些鱼的长度如表1所示，将每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，一个月后再从鱼塘中打捞100条鱼．发现在这100条鱼中有10条鱼是有记号的，并测得这些鱼的长度如表2所示： 表1 长度 13 14 15 16 17 条数 10 20 30 20 20 表2 长度 17 18 19 22 条数 2 2 4 2 （1）估计这个鱼塘有多少条鱼？ （2）设增长长的鱼约增重80克，估计这个鱼塘的鱼一个月能增重多少千克？ 【题型 3】样本频率估算总体概率 【例题3】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于． （1）请估计摸到白球的概率将会接近 ； （2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ 【变式1】（25-26七年级下·云南昆明·期末）从装有豆子的瓶中取出30粒豆子做上标记，然后放回瓶中充分摇匀后，再取出50粒豆子发现带标记的豆子有5粒，则估计此瓶中豆子的粒数为（     ） A．50 B．100 C．200 D．300 【变式2】（25-26八年级下·河北张家口·期末）一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共个，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中红球的个数为______． 【变式3】（25-26九年级下·全国·暑假作业）在一个不透明的盒子里，装有个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他都相同，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复这一过程，共摸球次，其中次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球多少个？ 三.题型精析（综合提升） 【题型 4】频率稳定值推算总体数量 【例题4】（25-26七年级下·陕西西安·期末）在一个不透明的袋子中装有蓝色和红色小球共个，每个小球除颜色外都相同．小明和小亮做摸球试验，将袋子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作一次试验．不断重复上述过程，大量摸球试验后，累计试验结果，将摸到蓝球的频率绘制成如下折线统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）请估计袋子中蓝球的个数是 ； （2）小明和小亮向袋子中再放入个除颜色以外都相同的红球，开始游戏：将袋子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸到蓝球小明获胜，摸到红球小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请你比较概率大小，加以说明． 【变式1】（25-26九年级上·四川达州·阶段检测）如图1，一个长，宽的矩形内部有一不规则图案（阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机向这个矩形内部随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，整理得到如图2所示的折线统计图，由此可估计该不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）奋进小组的同学们展开摸球试验，在一个不透明的口袋中，放入个红球和若干个白球，这些小球除颜色外其余均相同．搅匀后，随机摸出一个球记录下颜色后放回，再搅匀，重复以上操作．奋进小组的同学将白球出现的频率绘制成如下统计图，则袋中白球的个数为______． 【变式3】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）一个不透明的盒子里装有若干个白、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 （1）若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为______；（精确到）； （2）若盒子里共有球20个，则白球估计有______个； （3）在（2）的条件下，又放入a个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求a的值． 【题型 5】概率大小对比最优决策 【例题5】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共30个（除颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 （1）请估计，当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）． （2）试估计袋子中有白球 个． （3）若小明和小颖同学想利用袋子里的小球做游戏，游戏规定：摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由，如果不公平，在不改变袋子中球总数量的前提下，你能通过改变不透明袋子中黑球或白球的颜色，使游戏变得公平吗？请给出一种合理的方案． 【变式1】（2026·河北廊坊·一模）某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）桌面上有3张背面相同的卡片，正面分别写着数字“1”“2”“3”，将卡片背面朝上洗匀．从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中随机抽出一张卡片，抽到的两张卡片上的数字之和为偶数，则小红胜，否则小亮胜．这个游戏_____．（填“公平”或“不公平”） 【变式3】（25-26七年级下·河北保定·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同。小红做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）填空：_____，_____，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为_____．（精确到） （2）某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是_____． A．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于； B．某东西向的路口信号灯按绿灯秒、黄灯秒、红灯秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯； C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． （3）若盒子中一共有个球，小红和小亮用这个盒子来玩游戏，根据试验结果，盒子中有个白球，约定游戏规则：拿出个白球，搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，摸到白球小红胜，摸到黑球则小亮胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 【题型 6】概率综合应用（高频易错） 【例题6】（25-26七年级下·山东济南·期中）一个不透明的盒子中装有个形状和大小完全一样的乒乓球，分别标有到九个数字，小颖和小明同学进行摸球游戏． （1）从盒子中任意摸出个乒乓球，标有的数字是奇数的概率是多少？ （2）游戏规则：小明从盒子中任意摸出个乒乓球，若乒乓球上标有的数字是的倍数则小明获胜，否则小颖获胜．这个游戏公平吗？请说明理由； （3）现将个乒乓球分别放入甲、乙两个不透明的盒子中，甲中放入标有到数字的乒乓球，乙中放入标有到数字的乒乓球．游戏开始后，小颖从甲或乙盒子中任意摸出一个乒乓球，再将乒乓球上的数字输入下列程序中，若输出数字大于可获得奖励，请帮她计算选择哪个盒子获得奖励的概率更大． 【变式1】（25-26九年级上·全国·阶段检测）设a,b是两个任意独立的一位正整数, 则点（a,b）在抛物线y=ax2-bx上方的概率是 （ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的既能使关于的方程有实数根，又能使以为自变量的二次函数，当时，随的增大而减小的概率为_______． 【变式3】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）某地曾破获过一个专门欺诈中学生的赌博团伙，他们打着“真情助学”的招牌，声称自己绝对是贴了钱的．他们的规则是：每个参与者先付元钱，并摇动装有三枚骰子的器皿．然后他可以任意选一个点数（譬如），如果三枚骰子中出现一个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现两个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现三个，那么得到“奖学金”元．这伙人颇具“专业知识”地向人们解释：一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，所以参与者中有一半的人得到双倍的奖金，仅此一项他们就收支相抵．再有不少人得到的三倍、四倍“奖学金”都是他们的“真情付出”．这套“理论”一段时间内蒙蔽了不少中学生，在局部地区造成了很坏的影响．你能应用已有的知识，拆穿这伙骗子的谎言吗？ 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，某商场举行幸运大转盘活动，转盘中个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域即为中奖，小明转动一次转盘，中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 4．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段检测）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）甲乙两人想利用摸球游戏来决定谁去看电影，他们在袋中装了个红球，个黄球、个白球，这个球除颜色外完全相同，任意摸出一个球，若摸到红球，甲去看电影；若摸到黄球，乙去看电影；若摸到白球，两人均不去看电影，这个游戏规则（   ） A．对甲有利 B．对乙有利 C．对双方公平 D．无法判断 6．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 7．（25-26九年级上·河南郑州·期中）二维码成为广大民众生活中不可或缺的一部分．飞飞将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）． A．160 B．240 C．120 D． 8．（2026·贵州遵义·一模）小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2025九年级下·北京·专题练习）事件发生的概率为，大量重复做这种试验，事件平均每次发生的次数是_____． 10．（25-26九年级上·广东汕头·期末）某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是_________． 11．（25-26六年级下·上海松江·期末）小军和姐姐用抛掷骰子的方法决定谁打扫房间，姐姐规定，掷到素数姐姐打扫，否则小军打扫．你觉得姐姐的规定对小军__________．（填“公平”或“不公平”） 12．（25-26九年级上·山西运城·期末）如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小彤帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机投点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为______． 13．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 14．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 15．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 16．（2025·河南濮阳·一模）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______________棵． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某商场节假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品即可参与转盘抽奖．如图，转盘被分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“A”所在区域内，中一等奖；指针落在字母“B”所在区域内，中二等奖；指针落在字母“C”所在区域内，中三等奖；若指针落在字母“D”所在区域内，则未中奖（若指针指向分界线上时，需要重新转动，直到指针指向扇形区域内）．若某顾客转动一次转盘，请回答下列问题： （1）求顾客未获奖的概率； （2）求顾客获得二等奖或三等奖的概率． 18．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． （1）若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； （2）若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 19．（2022·陕西西安·模拟预测）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有，，，转动转盘一次，若指针未指在分界线上，则记为一次有效转动；若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止． （1）小明完成一次有效转动后，求指针所指扇形中的数字是奇数的概率； （2）小明和小颖用转盘做游戏，每人有效转动转盘一次，若两次指针所指数字之和为奇数，则小明胜，否则小颖胜，这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或者列表法说明理由． 20．（25-26八年级下·北京海淀·期末）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，m，3．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜． （1）若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率； （2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.4 概率的简单应用（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】概率的核心应用场景 1 【知识点二】抽奖与中奖概率应用 2 【知识点三】标记重捕法（种群数量估算） 2 【知识点四】频率估计概率的统计应用 2 【知识点五】概率的决策应用 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】抽奖类中奖概率计算 3 【题型 2】标记重捕法估算生物总体数量 6 【题型 3】样本频率估算总体概率 8 三.题型精析（综合提升） 10 【题型 4】频率稳定值推算总体数量 10 【题型 5】概率大小对比最优决策 13 【题型 6】概率趋势辨析说理题（高频易错） 17 四.同步检测 20 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 20 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 25 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 28 一.知识梳理与解读 【知识点一】概率的核心应用场景 概率知识广泛应用于生活决策、统计估算两大核心场景，是连接理论概率与实际生活的重要工具，主要包含：抽奖中奖概率计算、游戏公平性决策、生物种群数量估算、总体数据统计预估四类常见应用。 【要点提示】 ① 古典概型适用于有限、等可能的抽奖、博弈、密码组合等场景； ② 频率估计概率适用于总体量大、无法全面统计的抽样估算场景。 【知识点二】抽奖与中奖概率应用 在抽奖活动中，所有奖券结果等可能，可直接利用古典概率公式计算中奖概率： 【要点提示】 ① 单项中奖概率仅统计对应奖项名额，不可累加其他奖项； ② 总中奖概率需汇总一、二、特等奖等所有获奖名额，避免漏算。 【知识点三】标记重捕法（种群数量估算） 针对鱼塘、山林等生物总体无法逐一统计的场景，采用标记重捕法估算总体数量，是概率在实际统计中的经典应用。 1. 操作步骤：捕获部分个体标记→放回原环境充分混合→再次重捕统计数据； 2. 核心原理：重捕样本中标记个体的占比，近似等于总体中标记个体的占比； 3. 核心公式：，变形得：。 【要点提示】 ① 估算前提：标记不影响生物生存、标记不易脱落、样本充分随机、总体无新增和死亡； ② 重捕样本量越大，估算结果越精准，误差越小。 【知识点四】频率估计概率的统计应用 面对大规模总体（学生、产品、人群等），无法全面普查时，可通过抽样获取样本频率，用稳定频率估计概率，进而推算总体对应数量： 【要点提示】 ① 单次小样本数据波动大，需依靠大量抽样、稳定频率估算； ② 短期局部数据不能判定长期变化趋势，避免以偏概全。 【知识点五】概率的决策应用 通过计算不同方案、不同选择的目标事件概率，对比概率大小，可做出最优生活、游戏、抽奖决策。概率越大，事件发生可能性越高，选择越优。 【要点提示】 概率决策仅判断可能性大小，无法确定单次事件的最终结果。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】抽奖类中奖概率计算 【例题1】（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）为迎端午，某超市举办了促销抽奖活动，并设置了一、二、三等奖．在不透明的抽奖箱里放有4个白球，8个黄球，12个红球和36个蓝球，每个球除颜色外完全相同，顾客摸到白球则商品打七折，摸到黄球则商品打八折，摸到红球则商品打九折，摸到蓝球则商品不打折． （1）活动第一天共抽奖120次，其中抽到商品打九折共18次，则在这120次抽奖中，抽到商品打九折的频率是________； （2）顾客从抽奖箱中任意摸出1个球，抽到商品打折的概率是多少？ （3）若向抽奖箱中再放入4个白球和若干个黄球，此时从抽奖箱中任意摸出1个球，商品打八折的概率是，求放入了多少个黄球？ 【答案】（1）0.15；（2）；（3）放入了6个黄球 【分析】（1）频率频数总次数； （2）概率等于所求情况数与总情况数之比； （3）设放入了个黄球，根据题意列出方程，解方程即可得出结果． 解：（1）解：， 故在这120次抽奖中，抽到商品打九折的频率是； （2）解：从抽奖箱中任意摸出1个球，所有可能的结果有（种）． 因为每个球除颜色外完全相同， 所以每种结果出现的可能性相同． 因为摸到白球、黄球或红球的结果有（种）． 所以抽到商品打折的概率． （3）解：设放入了个黄球． 根据题意，得， 解得． 答：放入了6个黄球． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据： 抽奖次数n 100 150 200 800 1000 抽到“中奖”卡片的次数m 38 56 69 241 299 中奖的平率 0.38 0.373 0.345 0.301 0.299 根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率；利用频率估计概率求解即可． 解：根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是， 故选：C． 【变式2】（2026·安徽六安·二模）2026年农历马年新春，某商场推出“集生肖福卡，赢新春好礼”活动，设置奋进马、吉祥马、安康马、喜乐马4种福卡，每张福卡被抽到的概率相同．顾客每次抽奖可随机获得1张福卡，抽完后放回，再进行下一次抽奖．顾客连续抽奖2次，则抽到的2张福卡是同一种类的概率是_____． 【答案】 【分析】画出树状图，得到连续抽奖2次情况数，再找出符合题意的情况，即可得到概率． 解：设奋进马、吉祥马、安康马、喜乐马4种福卡分别为A、B、C、D， 顾客连续抽奖2次，画树状图如下： 共有16种，其中抽到的2张福卡是同一种类的有4种， 故概率为． 【变式3】（2026·云南保山·二模）为活跃班级文化，某班开展“趣味抽奖”活动，将学生分为甲、乙两队，并设置2个不透明的抽奖箱．第1个抽奖箱内放了分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外其余都相同）；第2个抽奖箱内放了分别标有数字1，2的两个小球（除标号外其余都相同）． 抽奖规则如下：老师先从第1个抽奖箱内随机摸出一个小球，小球上的数字记为x，再从第2个抽奖箱内随机摸出一个小球，小球上的数字记为y．若，则甲队中奖，否则乙队中奖． （1）请用列表法或树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）你认为这个抽奖规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪个队更容易中奖？ 【答案】（1）所有可能出现的结果总数为6 （2）解：这个抽奖规则公平，理由如下： 由（1）可知共有6种等可能的结果，其中的结果有3种，的结果有3种， （甲队中奖）（乙队中奖），                         ∴这个抽奖规则公平． 【分析】（1）根据抽奖规则通过列表列出所有可能出现的结果即可； （2）利用概率公式计算出两队中奖的概率，即可判断． 解：（1）解：列表如下： 1 2 3 1 2                              由列表可知，共有6种等可能的结果，分别为，，，，，， 即所有可能出现的结果总数为6； （2）略 【题型 2】标记重捕法估算生物总体数量 【例题2】（24-25九年级上·江西萍乡·期末）“养鱼大王”老张为了与销售商签订购销合同，需要对自己池塘中鱼的总重量进行估计．为此，他先从鱼池中捞出条鱼，将每条鱼做上记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出条称得重量为千克，且带有记号的鱼为条．问： （1）老张的鱼塘中估计有多少条鱼？ （2）池塘中的鱼约共重多少千克？ 【答案】（1）老张的鱼塘中估计有条鱼；（2）池塘中的鱼约共重千克 【分析】本题主要根据样本百分比估算总体数量，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键． （1）根据样本估算总体数量的方法列分式方程求解即可； （2）根据捞出条称得重量为千克，结合池塘鱼的数量即可求解． 解：（1）解：从鱼池中捞出条鱼，将每条鱼做上记号放入水中，当它们完全混合于鱼群后，又捞出条带有记号的鱼为条， 设老张的鱼塘中有条鱼， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴老张的鱼塘中估计有条鱼； （2）解：捞出条称得重量为千克， ∴（千克）， ∴池塘中的鱼约共重千克． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在左右，则鱼塘中估计有鱼（   ）条． A．4000 B．5000 C．10000 D．2000 【答案】B 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟知总体数目部分数目相应频率是解题的关键．根据总体数目部分数目相应频率求解即可． 解：鱼塘中估计有鱼条， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）某鱼塘原有500条鱼，其中有100条鲤鱼，后该鱼塘放入若干条鱼与原有鱼混养，放入的鱼中鲤鱼占比．此时鱼塘主随意捞出100条鱼，发现其中有25条鲤鱼．则估算放入的鱼共_____条． 【答案】100 【分析】此题考查利用样本估计总体，解分式方程，掌握好相关的计算公式是解题关键． 通过样本中鲤鱼的比例估算整体比例，建立方程求解即可． 解：设放入的鱼共x条，则放入后总鱼数为条，总鲤鱼数为条． 根据样本比例等于整体比例，得方程：， 两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得，． 经检验，是原方程的解． 故答案为：100． 【变式3】（2024·福建南平·二模）为了估计一个鱼塘养鱼一个月的收获，养鱼者从鱼塘中打捞100条鱼，测得这些鱼的长度如表1所示，将每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，一个月后再从鱼塘中打捞100条鱼．发现在这100条鱼中有10条鱼是有记号的，并测得这些鱼的长度如表2所示： 表1 长度 13 14 15 16 17 条数 10 20 30 20 20 表2 长度 17 18 19 22 条数 2 2 4 2 （1）估计这个鱼塘有多少条鱼？ （2）设增长长的鱼约增重80克，估计这个鱼塘的鱼一个月能增重多少千克？ 【答案】（1）1000条；（2）304千克 【分析】本题考查样本估计总体，解分式方程，平均数的应用等． （1）根据样本估计总体列方程求解即可； （2）先计算打捞的100条鱼中每条鱼的平均长度和一个月后打捞有记号的10条鱼中每条鱼的平均长度，再计算这个鱼塘每条鱼平均增长的长度，即可求解． 解：（1）解：设鱼塘有n条鱼，依题意，得 解得， 经检验，是原方程的根， 答：鱼塘共约有1000条鱼. （2）解：打捞的100条鱼中每条鱼的平均长度为 一个月后打捞有记号的10条鱼中每条鱼的平均长度为 这个鱼塘每条鱼平均增长的长度约为cm， 这个鱼塘的鱼一个月约能增重克千克， 所以估计这个鱼塘一个月能增重304千克． 【题型 3】样本频率估算总体概率 【例题3】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于． （1）请估计摸到白球的概率将会接近 ； （2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ 【答案】（1）；（2）盒子里白、黑两种颜色的球分别有15个、45个 【分析】（1）根据“大量反复试验下频率稳定值即概率”即可得出答案； （2）由即可得出答案． （1）解：∵经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于． ∴估计摸到白球的概率将会接近； （2）解：盒子里的白球个数（个）， （个）， 答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有15个、45个． 【变式1】（25-26七年级下·云南昆明·期末）从装有豆子的瓶中取出30粒豆子做上标记，然后放回瓶中充分摇匀后，再取出50粒豆子发现带标记的豆子有5粒，则估计此瓶中豆子的粒数为（     ） A．50 B．100 C．200 D．300 【答案】D 【分析】本题考查用样本估计总体，利用总体中标记豆子的占比与样本中标记豆子的占比相等列等式，求解即可得到估计的总粒数． 解：设此瓶中豆子的粒数为粒， ∵ 摇匀后总体中标记豆子的占比与抽取样本中标记豆子的占比相等， ∴ 可得方程 交叉相乘得 计算得 ， 解得 ， 经检验 是原方程的解，符合题意， 因此估计瓶中豆子粒数为． 【变式2】（25-26八年级下·河北张家口·期末）一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共个，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中红球的个数为______． 【答案】 【分析】根据用频率估计概率，得到摸到白球的概率约为，结合总球数计算白球个数，进而即可求解． 解：通过多次摸球试验后，摸到白球的频率约为， 由频率估计概率可得，估计摸到白球的概率为， 又袋中白球和红球共个， 估计袋中白球的个数为：， 估计袋中红球的个数为． 【变式3】（25-26九年级下·全国·暑假作业）在一个不透明的盒子里，装有个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他都相同，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复这一过程，共摸球次，其中次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球多少个？ 【答案】盒子中大约有白球个 【分析】设盒子中大约有白球个，则共有小球个，根据共摸球次，其中次摸到黑球，列出一元一次方程求解． 解：设盒子中大约有白球个，则共有小球个， 根据题意得：， 整理得：， 解得:． 答：盒子中大约有白球个． 三.题型精析（综合提升） 【题型 4】频率稳定值推算总体数量 【例题4】（25-26七年级下·陕西西安·期末）在一个不透明的袋子中装有蓝色和红色小球共个，每个小球除颜色外都相同．小明和小亮做摸球试验，将袋子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作一次试验．不断重复上述过程，大量摸球试验后，累计试验结果，将摸到蓝球的频率绘制成如下折线统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）请估计袋子中蓝球的个数是 ； （2）小明和小亮向袋子中再放入个除颜色以外都相同的红球，开始游戏：将袋子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸到蓝球小明获胜，摸到红球小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请你比较概率大小，加以说明． 【答案】（1）；（2）游戏对双方公平，理由如下： 共有种等可能的结果，其中摸到蓝球的有种，摸到红球的有种， ∴（小明获胜）；（小亮获胜）； 又∵， ∴游戏对双方公平． 【分析】（1）大量重复试验下摸到蓝球的频率可以估计摸到蓝球的概率，据此求解； （2）确定摸到蓝球的有种，摸到红球的有种，然后根据概率公式计算并比较后即可作出判断． （1）解：观察折线统计图发现随着摸球次数的增多摸出蓝球的频率逐渐稳定在附近， 估计袋子中蓝球的个数是：（个）； （2）略 【变式1】（25-26九年级上·四川达州·阶段检测）如图1，一个长，宽的矩形内部有一不规则图案（阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机向这个矩形内部随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，整理得到如图2所示的折线统计图，由此可估计该不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.4，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.4，即可求得不规则图案的面积． 解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在0.4，于是把0.4作为概率． 设不规则图案的面积为，则有 ， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）奋进小组的同学们展开摸球试验，在一个不透明的口袋中，放入个红球和若干个白球，这些小球除颜色外其余均相同．搅匀后，随机摸出一个球记录下颜色后放回，再搅匀，重复以上操作．奋进小组的同学将白球出现的频率绘制成如下统计图，则袋中白球的个数为______． 【答案】 【分析】本题考查频率与概率的关系，理解“大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近”是解题关键． 根据题意可知白球出现的概率约为，可设白球的个数为个，根据“摸出白球概率=白球个数总球数”列方程求解即可． 解：设白球个数为个，则总球数为个， 根据题意，大量重复试验后，白球出现的频率稳定在，则摸出白球的概率为， 得方程：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴袋中白球个数为个． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）一个不透明的盒子里装有若干个白、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 （1）若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为______；（精确到）； （2）若盒子里共有球20个，则白球估计有______个； （3）在（2）的条件下，又放入a个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求a的值． 【答案】（1）；（2）12；（3）4 【分析】（1）根据当摸球的次数足够多，摸到白球的频率越接近概率，即可得到答案； （2）设白球估计有x个，列方程求解即可； （3）根据题意列方程求解即可． 解：（1）解：当摸球的次数足够多，摸到白球的频率越接近概率，所以从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为； （2）解：设白球估计有x个， 根据题意，得， 解得， 白球估计有12个； （3）解：根据题意，得， 解得 经检验是方程的解． 【题型 5】概率大小对比最优决策 【例题5】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共30个（除颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 （1）请估计，当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）． （2）试估计袋子中有白球 个． （3）若小明和小颖同学想利用袋子里的小球做游戏，游戏规定：摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由，如果不公平，在不改变袋子中球总数量的前提下，你能通过改变不透明袋子中黑球或白球的颜色，使游戏变得公平吗？请给出一种合理的方案． 【答案】（1）；（2）；（3）不公平，合理方案：将袋子中3个黑球换成白球（答案不唯一）. 【分析】（1）根据“频率的稳定性”原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率，注意题目要求“精确到0.1”，不能直接采用单次试验的频率作为结果，需观察频率的稳定值后按精确度要求取值； （2）由第（1）问可知，摸到黑球的频率约为0.6，因此可以估算出黑球的个数，进而估算出白球的个数； （3）游戏公平的判断标准是双方获胜的概率相等，通过计算比较使两种球个数相同即可求解． 解：（1）观察表格中和时的频率分别为：0.603和0.602，非常接近； 可见当 增大时，频率稳定在0.6左右； 当很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6； （2）由（1）知摸到黑球的频率 ， ∵总球数， ∴黑球数， ∴白球数， 故答案为：12； （3）题中说摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，当前黑球数为18个，白球数为12个，所以这个游戏规则不公平． 要使游戏公平，则应该使黑球数白球数． 由于总数30不变，只需将3个黑球换成3个白球，即可实现公平． 【变式1】（2026·河北廊坊·一模）某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出“破浪”队所有等可能的出场顺序，找出满足“破浪”队获胜的情况，再根据概率公式计算概率，即可得到答案． 解：∵“追风”队出场顺序固定为快，中，慢，设“破浪”队的三种龙舟为快，中，慢，对“破浪”队的出场顺序进行列举，所有等可能的结果共6种，分别为：快中慢，快慢中，中快慢，中慢快，慢快中，慢中快． 根据比赛规则，“破浪”队要获得三局两胜，仅有一种出场顺序满足获胜条件，即：“破浪”队慢对“追风”队快（输一局），快对“追风”队中（赢一局），中对“追风”队慢（赢一局）． ∴“破浪”队获胜的概率为 ． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）桌面上有3张背面相同的卡片，正面分别写着数字“1”“2”“3”，将卡片背面朝上洗匀．从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中随机抽出一张卡片，抽到的两张卡片上的数字之和为偶数，则小红胜，否则小亮胜．这个游戏_____．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查了游戏公平性． 通过计算数字之和为偶数和奇数的概率，判断游戏是否公平． 解：总共有3张卡片，每次抽取后放回，因此所有可能的结果数为种， 数字之和为偶数当且仅当两个数字均为奇数或均为偶数， 数字中奇数为1和3，偶数为2， 两个数字均为奇数的情况有种，均为偶数的情况有1种， 故数字之和为偶数的情况共5种，概率为， 数字之和为奇数的概率为， 两者概率不相等，因此游戏不公平． 故答案为：不公平． 【变式3】（25-26七年级下·河北保定·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同。小红做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）填空：_____，_____，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为_____．（精确到） （2）某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是_____． A．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于； B．某东西向的路口信号灯按绿灯秒、黄灯秒、红灯秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯； C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． （3）若盒子中一共有个球，小红和小亮用这个盒子来玩游戏，根据试验结果，盒子中有个白球，约定游戏规则：拿出个白球，搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，摸到白球小红胜，摸到黑球则小亮胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1），，；；（2）A；（3）不公平，理由如下： ∵拿出个白球，那盒子中现在一共有球（个），现有白球（个），黑球（个）， ∴搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，小红胜的概率为，小亮胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 【分析】（1）运用频率频数总数可得的值，再根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值求解即可； （2）求出A、B、C三个选项中事件发生的概率即可求解； （3）根据题意求出现有球的个数、白球和黑球的个数，分别求出小红、小亮胜的概率，对比后即可求解． 解：（1）由题意得，，， 由表格可知，随着试验次数的增加，摸到白球频率逐步稳定在附近， 故从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为； （2）A.掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于的概率为，，故符合题意； B.某东西向的路口信号灯按绿灯秒、黄灯秒、红灯秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯的概率为，，故不符合题意； C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，，故不符合题意； （3）略 【题型 6】概率综合应用（高频易错） 【例题6】（25-26七年级下·山东济南·期中）一个不透明的盒子中装有个形状和大小完全一样的乒乓球，分别标有到九个数字，小颖和小明同学进行摸球游戏． （1）从盒子中任意摸出个乒乓球，标有的数字是奇数的概率是多少？ （2）游戏规则：小明从盒子中任意摸出个乒乓球，若乒乓球上标有的数字是的倍数则小明获胜，否则小颖获胜．这个游戏公平吗？请说明理由； （3）现将个乒乓球分别放入甲、乙两个不透明的盒子中，甲中放入标有到数字的乒乓球，乙中放入标有到数字的乒乓球．游戏开始后，小颖从甲或乙盒子中任意摸出一个乒乓球，再将乒乓球上的数字输入下列程序中，若输出数字大于可获得奖励，请帮她计算选择哪个盒子获得奖励的概率更大． 【答案】（1） （2）解：游戏不公平，理由如下： 由（）可知，标有的数字是奇数的概率是，所以标有的数字是偶数的概率是，即小明获胜的概率是，小颖获胜的概率是，故小颖获胜的概率大于小明获胜的概率，所以游戏不公平； （3）乙盒子获得奖励的概率更大 【分析】（）根据概率公式解答即可求解； （）分别求出两人获胜的概率即可判断求解； （）分别求出甲、乙两个盒子获得奖励的概率即可判断求解； 本题考查了概率，游戏的公平性，掌握概率计算公式是解题的关键． 解：（1）解：从盒子中任意摸出个乒乓球，共有种结果，其中数字是奇数的结果有种， ∴标有的数字是奇数的概率是； （2）略 （3）解：由程序可知，当输入数字，，，，时，甲盒子输出的结果为：，，，，； 当输入数字，，，时，乙盒子输出的结果为：，，，； 甲盒子输出的结果共有种，其中输出数字大于的结果有种，获得奖励的概率为；乙盒子输出的结果共有种，其中输出数字大于的结果有种，获得奖励的概率为， ∵， ∴乙盒子获得奖励的概率更大． 【变式1】（25-26九年级上·全国·阶段检测）设a,b是两个任意独立的一位正整数, 则点（a,b）在抛物线y=ax2-bx上方的概率是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a、b是两个任意独立的一位正整数，得出a，b取1～9，然后求出点（a，b）在抛物线y=ax2-bx的上方的所有情况，再根据概率公式，即可求出答案． 解：∵a、b是两个任意独立的一位正整数， ∴a，b取1～9， ∴代入x=a时，y=a3-ba， ∵点（a，b）在抛物线y=ax2-bx的上方， ∴b-y=b-a3+ba＞0， 当a=1时，b-1+b＞0， ∴b＞，有9个数，b=1，2，3，4，5，6，7，8，9， 当a=2时，b-8+2b＞0， ∴b＞ ，有7个数，b=3，4，5，6，7，8，9， 当a=3时，b-27+3b＞0， ∴b＞ ，有3个数，b=7，8，9， 当a=4时，b-64+4b＞0， ∴b＞ ，有0个数，b在此以上无解， ∴共有19个，而总的可能性为9×9=81， ∴点（a，b）在抛物线y=ax2-bx的上方的概率是； 故选D． 【点拨】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的既能使关于的方程有实数根，又能使以为自变量的二次函数，当时，随的增大而减小的概率为_______． 【答案】 【分析】根据方程有实数根列出关于n的不等式，再根据二次函数的图象列出关于n的不等式，从而求出n的取值范围，找出符合条件的整数解，最后根据概率公式进行计算即可． 解：有实数根， ， ∴， ， 又， 对称轴为：， 时，随增大而减小， ， 综上， 可取0，2， ∴， 故答案为：． 【点拨】此题考查二次函数的性质及概率公式，得到满足条件的n的情况数是解决本题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）某地曾破获过一个专门欺诈中学生的赌博团伙，他们打着“真情助学”的招牌，声称自己绝对是贴了钱的．他们的规则是：每个参与者先付元钱，并摇动装有三枚骰子的器皿．然后他可以任意选一个点数（譬如），如果三枚骰子中出现一个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现两个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现三个，那么得到“奖学金”元．这伙人颇具“专业知识”地向人们解释：一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，所以参与者中有一半的人得到双倍的奖金，仅此一项他们就收支相抵．再有不少人得到的三倍、四倍“奖学金”都是他们的“真情付出”．这套“理论”一段时间内蒙蔽了不少中学生，在局部地区造成了很坏的影响．你能应用已有的知识，拆穿这伙骗子的谎言吗？ 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了概率的应用，正确确定所需结果的结果数是解题的关键． 一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，这个结论是错误的．结果出现个的情况也包括了出现两个，进而包括了个的情况，但奖金不是重复计算；算出投掷次需付出的及得到的资金，比较即可． 解：三枚骰子出现的不同点数情况有种，所以假设在次赌博中，各种情况的机会如下： （1）只有枚出现，其他两枚出现另个数字中的任意一个，共有次， 两枚出现，一枚出现另个数字中的任意一个，共有次； 三枚都出现显然只有次．这样参赌者付出的是元，可期望得到“奖金”元． ∴ 他们的说法是错误的． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可． 解：设瓶子中有豆子粒豆子， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：估计瓶子中豆子的数量约为粒． 故选：． 【点拨】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，某商场举行幸运大转盘活动，转盘中个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域即为中奖，小明转动一次转盘，中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由简单概率公式直接计算即可． 解：根据转盘中个扇形区域中有个红色区域，则中奖的概率为． 3．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性． 解：∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 4．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段检测）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图进而可得答案． 解：转动转盘1次，获得一袋橘子的概率为，获得一袋苹果的概率为，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图如下： ∴转动转盘2次，共9种情况，其中苹果和橘子都获得的有4种情况， ∴转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是， 故选：D． 5．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）甲乙两人想利用摸球游戏来决定谁去看电影，他们在袋中装了个红球，个黄球、个白球，这个球除颜色外完全相同，任意摸出一个球，若摸到红球，甲去看电影；若摸到黄球，乙去看电影；若摸到白球，两人均不去看电影，这个游戏规则（   ） A．对甲有利 B．对乙有利 C．对双方公平 D．无法判断 【答案】C 【分析】分别计算甲、乙获得看电影机会的概率，比较概率大小即可求解． 解：∵袋中共有个除颜色外完全相同的球，其中红球个，黄球个， ∴甲去看电影的概率为 ，乙去看电影的概率为 ， ∵ ， ∴这个游戏规则对双方公平． 6．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的应用．通过列举掷两枚硬币的所有可能结果，计算三人获胜的概率，比较概率大小判断游戏对谁有利． 解：掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能结果为：正正、正反、反正、反反，共4种． ∵ 小明获胜需两枚正面朝上，有1种情况， ∴ P（小明获胜）． ∵ 小颖获胜需两枚反面朝上，有1种情况， ∴ P（小颖获胜）． ∵ 小凡获胜需一枚正面一枚反面，有2种情况， ∴ P（小凡获胜）． ∵， ∴游戏对小凡有利． 故选：C 7．（25-26九年级上·河南郑州·期中）二维码成为广大民众生活中不可或缺的一部分．飞飞将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）． A．160 B．240 C．120 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，理解在大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 解：∵经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴估计此二维码中黑色阴影的面积为， 故选：C． 8．（2026·贵州遵义·一模）小华的书包里有外观完全相同的8个作业本，其中语文作业本3本，数学作业本2本，英语作业本2本，物理作业本1本．小华从书包里随机抽出一本．下列说法正确的是（     ） A．抽到语文作业本的可能性最大 B．抽到数学作业本的可能性最小 C．抽到英语作业本的可能性最大 D．抽到物理作业本的可能性最大 【答案】A 【分析】求出抽到每种作业本的概率，再比较大小即可． 解：∵总共有8个作业本，其中语文3本，数学2本，英语2本，物理1本， ∴， ， ， ， ∵， ∴抽到语文作业本的可能性最大，抽到物理作业本的可能性最小， ∴因此选项A正确，选项B，C，D错误． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2025九年级下·北京·专题练习）事件发生的概率为，大量重复做这种试验，事件平均每次发生的次数是_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了概率的意义及概率的简单应用，熟练掌握大量重复试验中事件发生的平均次数等于试验次数乘以事件发生的概率是解题的关键． 根据概率的意义，在大量重复试验中，事件发生的频率趋近于其概率．因此，计算事件平均每次发生的次数，可直接用试验总次数乘以事件的概率． 解：， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·广东汕头·期末）某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是_________． 【答案】三等奖 【分析】本题考查概率在转盘抽奖中的应用，由奖项比例计算各奖项概率，比较大小即可． 解：一等奖、二等奖、三等奖的比为，总比例为， 获一等奖的概率为，获二等奖的概率为，获三等奖的概率为， 由于，则获奖可能性最大的奖项是三等奖． 故答案为三等奖． 11．（25-26六年级下·上海松江·期末）小军和姐姐用抛掷骰子的方法决定谁打扫房间，姐姐规定，掷到素数姐姐打扫，否则小军打扫．你觉得姐姐的规定对小军__________．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】根据概率公式计算双方获胜的概率，比较概率是否相等即可得出结论． 解：抛掷骰子，共有这种等可能的结果， 其中素数为，共种结果， 因此姐姐打扫的概率为， 不是素数的结果为，共种结果， 因此小军打扫的概率为， 双方概率相等，因此规定对小军公平． 12．（25-26九年级上·山西运城·期末）如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小彤帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机投点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率的应用，掌握概率的含义是解题的关键． 先求出点落在该二维码中黑色区域的频率稳定在，再用总面积乘以即可求解． 解：∵经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右， ∴据此估计点落在该二维码中黑色区域的频率稳定在， ∴该二维码中黑色区域的面积为， 故答案为：． 13．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 【答案】② 【分析】获胜概率大即为方案发生的概率大，因此需要分别计算三种方案发生的概率，这10个数字中有5个奇数，3的倍数为3，6，9，不小于5的数为5，6，7，8，9，10，据此计算概率即可． 解：分别计算三种方案发生的概率： ①奇数的概率为； ②3，6，9是3的倍数，故不是3的倍数的概率为， ③大于等于5的数共有6个，故不小于5的概率为， ， 获胜概率最大的方案为方案②． 14．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 15．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】本题考查的是几何概率，根据图中阴影部分的面积与空白部分的面积相等，可知飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等，所以这个游戏对甲、乙来说公平． 解：由图可知，靶面上阴影部分的面积与空白部分的面积相等， 飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等， 这个游戏对甲、乙来说公平． 16．（2025·河南濮阳·一模）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______________棵． 【答案】1600 【分析】本题考查折线统计图，频率估计概率，利用样本的概率估计总体数量，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据图形可以发现，频率在0.8附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算总体数量即可． 解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.8， ∴这种树苗成活的概率为0.8， ∴这种树苗移植2000棵，成活的大约有：（棵）， 故答案为：1600． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某商场节假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品即可参与转盘抽奖．如图，转盘被分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“A”所在区域内，中一等奖；指针落在字母“B”所在区域内，中二等奖；指针落在字母“C”所在区域内，中三等奖；若指针落在字母“D”所在区域内，则未中奖（若指针指向分界线上时，需要重新转动，直到指针指向扇形区域内）．若某顾客转动一次转盘，请回答下列问题： （1）求顾客未获奖的概率； （2）求顾客获得二等奖或三等奖的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率是解题的关键； （1）由图可知字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为，然后问题可求解； （2）由图可知字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为，然后问题可求解． 解：（1）解：由图可知，字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为， 所以顾客未获奖的概率为． （2）解：由图可知，字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为， 所以顾客获得二等奖或三等奖的概率为． 18．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． （1）若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； （2）若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 【答案】（1）；（2）为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式，证明： 10个数中有3个数为3的倍数，比7小的数有6个， 所以（转出的数是3的倍数）， （转出的数比7小）． 因为， 所以为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式． 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）求出2种猜数方式获胜的概率，比较后即可得出结果． （1）解：因为10个数中有5个奇数， 所以（小阳获胜）． （2）略 19．（2022·陕西西安·模拟预测）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有，，，转动转盘一次，若指针未指在分界线上，则记为一次有效转动；若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止． （1）小明完成一次有效转动后，求指针所指扇形中的数字是奇数的概率； （2）小明和小颖用转盘做游戏，每人有效转动转盘一次，若两次指针所指数字之和为奇数，则小明胜，否则小颖胜，这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或者列表法说明理由． 【答案】（1）；（2）不公平，理由如下： 列表如下： 由表可知，所有等可能的情况数为种，其中两次指针所指数字之和为奇数的有种结果，和为偶数的有种结果， 所以小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为， 由知此游戏不公平． 【分析】（1）根据概率公式求出指针所指扇形中的数字是奇数的概率； （2）列表把所有可能出现的情况表示出来，可知所有等可能的情况数为种，其中两次指针所指数字之和为奇数的有种结果，和为偶数的有种结果，所以游戏不公平． （1）解：在标有数字、、的个扇形中，奇数有、这个， 指针所指扇形中的数字是奇数的概率为； （2）略 20．（25-26八年级下·北京海淀·期末）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，m，3．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜． （1）若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率； （2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值 ． 【答案】（1）列表如下： 3 2 共有6种等可能的结果，其中小明获胜的结果有：，，共2种，小刚获胜的结果有：，，，共3种， ∴小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为． 答：小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为． （2）（答案不唯一） 【分析】对于（1），因为m值确定，所以先通过列表法或树状图列出所有a、b的等可能组合，再分别统计满足的组合数，根据古典概型概率公式计算对应概率． 对于（2），因为要使两人获胜概率相同，所以需满足的组合数等于的组合数，分析a的两个取值分别与乙口袋三个数的大小关系，建立关于m的大小关系条件，选取符合要求的整数m． 解：（1）略 （2）（2）列表如下： m 3 2 共有6种等可能的结果． 要使小明和小刚获胜的概率相同，则m的值应该满足， ∴整数m的值为，0，1中的任意一个． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $