专题 3.5 圆内接四边形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本初中数学讲义聚焦圆内接四边形核心知识点，系统梳理定义、对角互补及外角等于内对角的性质，延伸至圆内接特殊四边形推论（如矩形、正方形）和四点共圆判定规律，构建从基础到拓展的知识支架。 资料以分层题型精析（含入门到拓展压轴7类题型）和同步检测（选择、填空、解答题）为特色，结合中考真题培养学生推理能力与几何直观，课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，提升综合应用能力。

专题 3.5 圆内接四边形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】圆内接四边形及其性质 1 【知识点二】圆内接特殊四边形推论 2 【知识点三】四点共圆判定基础规律 2 二.题型精析 2 【题型1】基础性质直接求值（入门基础） 2 【题型2】外角性质角度计算（基础必会） 5 【题型3】圆内接四边形与圆周角综合（能力提升） 7 【题型4】圆内接特殊图形判定（中档拔高） 10 【题型5】圆内接四边形综合证明（难点突破） 14 【题型6】圆内接四边形综合（拓展压轴） 19 【题型7】四点共圆（拓展压轴） 25 三.同步检测 30 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 30 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 35 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 41 一.知识梳理与解读 【知识点一】圆内接四边形及其性质 1. 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，该圆为四边形的外接圆。 2. 核心性质：圆内接四边形的对角互补（对角和为180°）；四边形的任意一个外角等于它的内对角。 定义 图示 几何语言 圆内接四边形的对角互补（对角和为180°） 【知识点二】圆内接特殊四边形推论 1. 圆内接平行四边形是矩形：平行四边形对角相等，结合圆内接四边形对角互补，可推出四个内角均为90°。 2. 圆内接菱形是正方形：菱形四边相等，结合圆内接对角互补，可证内角为直角，即为正方形。 3. 圆内接矩形的外接圆直径等于矩形对角线：矩形对角线相等且为外接圆直径。 【要点提示】 普通平行四边形、菱形没有外接圆，只有矩形、正方形一定有外接圆；此结论常用于图形判定与几何辨析题型。 【知识点三】四点共圆判定基础规律 四点共圆定义：如果四个点在同一个圆上，就称这四个点四点共圆。1. 若四边形对角互补，则该四边形四个顶点共圆； 2. 若四边形的一个外角等于内对角，则四点共圆； 3. 同斜边的直角三角形，四个顶点共圆（斜边为直径）。 【要点提示】 1. 对角互补是判定四点共圆的重要依据； 2. 常用结论：圆内接平行四边形是矩形、圆内接梯形是等腰梯形、圆内接菱形是正方形； 3. 外角等于内对角，可快速解决圆外角、圆内角角度推导问题。 二.题型精析 【题型1】基础性质直接求值（入门基础） 【例题1】（23-24九年级上·青海海东·期末）如图，四边形内接于，为的直径，连接，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由圆周角定理得出，根据直角三角形两锐角互余，进而得出，根据圆内接四边形的性质求出，即可求解． 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 【变式1】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点、、、分别在圆上，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵在中，点、、、分别在圆上， ∴， ∵， ∴ 【变式2】（25-26九年级上·新疆伊犁·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质计算即可得出结果，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 解：∵， ∴由圆周角定理可得 ∵四边形内接于， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质,同弧或等弧所对的圆周角相等，首先利用等弧所对的圆周角相等得到，然后根据三角形内角和定理求得然后利用圆内接四边形的性质确定答案即可． 解：∵ ∴ 在中 ∵， ∴ ∵四边形内接于 ∴ ∴． 【题型2】外角性质角度计算（基础必会） 【例题2】（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，在中，以为直径的分别交于，交于，连接，． 求证：． 【答案】证明：， ． ，， ， ， ． 【分析】本题综合考查了圆内接四边形性质和等腰三角形的判定与性质，熟练运用相关知识是解答关键，根据等腰三角形性质得出，再根据圆内接四边形性质得出，证出即可证出结论． 解：略 【变式1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形．根据圆周角定理得到，可知，进而可求的度数． 解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，为四边形的外接圆，E为延长线上一点．若，则的度数为________． 【答案】/80度 解：∵为四边形的外接圆， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在的内接四边形中，，点在的延长线上且，连接、，求证：． 【答案】证明见分析． 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，进而即可证明结论成立． 解：证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【题型3】圆内接四边形与圆周角综合（能力提升） 【例题3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，点、、、都在上，，． （1）求的度数； （2）求的度数； 【答案】（1）；（2） 【分析】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理和圆周角定理等知识； （1）根据垂径定理得出，再利用圆周角定理得出的度数: （2）连接，根据圆内接四边形的性质便可求得结果． 解：（1）解：∵点、、、都在上，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为 （2）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 【变式1】（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式2】（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）如图，为的一条弦，且，C为劣弧上一点，连接，则的度数为_____． 【答案】/120度 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 解：在优弧上任取一点，连接，． ， ． 四边形内接于 ， ， ． 【变式3】（2025·四川德阳·模拟预测）如图，是的直径，，为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， ； （2） 【分析】（1）连接，根据圆周角定理求出，求出，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，求出即可； （2）求出，根据三角形的外角性质求出答案即可． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ， ． 【题型4】圆内接特殊图形判定（中档拔高） 【例题4】（2025·上海静安·二模）已知，四边形内接于，． （1）求证：； （2）小明说：四边形一定是等腰梯形，你认为他的说法正确吗？为什么？ （3）如图所示，已知，，求的半径． 【答案】（1）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）小明的说法不正确， 理由如下： ∵， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形内接于， ∴，即， ∴四边形是矩形，即小明的说法不正确． （3） 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）根据同弧所对的圆周角相等可得、，进而证明可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，由等量代换可得，最后根据平行线的判定定理即可证明结论； （2）通过证明四边形是矩形即可证明结论； （3）如图：连接并延长交于点E，连接．由等腰三角形三线合一的形状可得，利用勾股定理可得，设该圆的半径为r，则，最后根据勾股定理列方程求解即可． 解：（1）略 （2）略 （3）解：如图：连接并延长交于点E，连接． ∵， ∴，， ∴， 设该圆的半径为r，则， ∵， ∴，解得：． 【变式1】（2026·江苏苏州·三模）如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得，再根据圆内接四边形的性质得，然后根据三角形外角的性质得，则此题可解． 解：∵四边形是平行四边形，， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， 即， ∴． 【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，四边形是平行四边形，经过点，，，与相交于点，连接，，若，则________°． 【答案】105 【分析】本题考查了平行四边形的性质和圆内接四边形的性质，根据平行四边形的性质求出，根据圆内接四边形的性质得出，代入求出即可． 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：105． 【变式3】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，已知内接于圆．求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵内接于圆， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，矩形的判定，由平行四边形的性质可得，又由圆内接四边形的性质可得，即得，据此即可求证，掌握平行四边形及圆内接四边形的性质是解题的关键． 解：略 【题型5】圆内接四边形综合证明（难点突破） 【例题5】（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知：如图，是半圆的直径，是半圆上一点（不与点重合），以为圆心、为半径画弧交半圆于点，交线段于点．连结． （1）求证：； （2）连结，如果，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）如图，连结、，根据弧、弦、圆心角的关系可推出，再利用圆周角定理，通过证明同位角相等，得到结论； （2）设，由（1）可知，根据等边对等角表示出、，进而得到，然后根据两直线平行同位角相等，表示出，接着由题意知，可得到，最后根据圆内接四边形对角互补，即可求得值，从而求得，根据弧所对圆心角的关系即可证得结论． 解：（1）证明：如图，连结、， ∵以为圆心、为半径画弧交半圆于点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连结， 设，由（1）可知， ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵以为圆心、为半径画弧，交线段于点， ∴， ∴， ∴四边形内接于， ∴， 即， 解得，即， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·山西忻州·期中）如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、、，先根据等腰三角形的性质得到，，由于根据圆周角定理得到点A和点M都在以为直径的圆上，所以． 解：如图，连接、、， ∵，而为的中点， ∴，平分，即， ∵， ∴点和点都在以为直径的圆上， ∴． 【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理和等腰三角形性质，熟练掌握各个定理是解题的关键． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，点M是弦的中点，连接．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】连接，根据圆的内接四边形的性质，圆心角与圆周角关系，垂径定理推论，求解即可． 解：如图，在优弧上任取点F，连接， 则四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ∵点M是弦的中点，， ． 【变式3】（25-26九年级上·江西赣州·期中）【课本再现】在人教版九年级上册课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点，，，在上，求证． 【解决问题】（2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为．求的长． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，根据圆周角定理可得，，即可得证； （2）连接，，过点作于点，由（1）可知，结合得到，，推出，则，进而得到，即可求解． 解：（1）如图①，连接，， 在中，，， ； （2）由（1）可知， ， ，， 如图②，连接，，过点作于点， ， ， ， ， ， ． 【题型6】圆内接四边形综合（拓展压轴） 【例题6】（2026·安徽阜阳·二模）如图，是的直径，弦于点E，G为上一点，延长交于点F，连接和． （1）若，，求的半径； （2）求证：． 【答案】（1）5；（2）见分析 【分析】（1）由垂径定理可得，如图：连接，设圆的半径为r，则，再利用勾股定理构造方程求解即可； （2）如图：连接AC，易得，即，再利用圆的内接四边形的性质即可证明结论． 解：（1）解：∵是的直径，弦于点E，， ∴， 如图：连接，设圆的半径为r，则， ∴，即，解得：， ∴的半径为5． （2）证明：如图：连接， ，是的直径， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，已知，，，顺次在上，若圆心在上，，于点，若，，则的长为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】在上截取，连接，由，得到，得到；再由，得到，而，则，根据圆内接四边形的性质得，易得，从而可证出，得到，即可解答． 解：如图，在上截取，连接， ， ， ， ， ， ∵， ， 又四边形是圆内接四边形， ， ， ， 而， ， ， 圆心在上， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点拨】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质． 【变式2】（2026·陕西·模拟预测）如图，四边形中，，．若四边形面积的最大值为，则对角线的长为___________． 【答案】 【分析】假设线段为定值，根据已知条件可知四点共圆，且线段是圆的直径，根据，可知弧所对的圆心角是，得到，再根据两点之间线段最短可知，当时，最大，从而解出答案． 解： ∵四边形中，， ∴四边形对角互补， ∴四点共圆， ∵， ∴线段是圆的直径，即圆的半径是，假设线段长为定值， 如图所示，连接，以的中点为圆心，长为半径画圆， ， 连接，分别过点作垂直，垂足分别为点， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， ∵， 又∵两点之间线段最短， ∴， ∴当时，最大，即最大，如下图所示， ， 此时， ∴，解得， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）四边形内接于圆O，为直径，连接，已知． （1）求的度数； （2）如图2，过点D作交延长线于点E，连接． ①求证：， ②若，，求的长． 【答案】（1）；（2）①见分析；②5 【分析】本题考查了勾股定理、圆内接四边形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形和圆周角定理的推论，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据等腰三角形的性质，再根据圆内接四边形的性质解答即可； （2）①先得到是等腰直角三角形，即可得到，进而根据角的转换求证即可；②将绕着点B按顺时针方向旋转得到，即可得到，即可求出，然后根据勾股定理解答即可． 解：（1）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：将绕着点B按顺时针方向旋转得到， 则， ∴，，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴． 【题型7】四点共圆（拓展压轴） 【例题7】（23-24九年级下·全国·期中）已知，，求证：点四点共圆． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 过点作，假设点不在上，则点在圆外或圆内，分别根据圆内接四边形的性质讨论即可求证． 【详解】证明：过点作， 假设点不在上，则点在圆外或圆内， 若点在圆内，设交于点，如图， 根据圆内接四边形的性质得， ∵， ∴， ∴这与三角形外角定理矛盾，故点不可能在圆外， 同理可得点不可能在圆外， ∴点在上，即点四点共圆． 【变式1】（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，是的直径，点在同一半圆上，，则的度数为______． 【答案】 【分析】由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质解答即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（2024·吉林长春·模拟预测）两块直角三角板按如图方式放置，、相交于点，给出下面四个结论：①点、、、在同一个圆上；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理，解直角三角形． 根据，即可判断①；根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，最后根据三角形的外角定理，即可判断②；易得为四边形外接圆直径，不是四边形外接圆直径，即可判断③；根据含30度直角三角形的特征得出，再推出，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴点、、、在同一个圆上，故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∵点、、、在同一个圆上， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ∵，点、、、在同一个圆上， ∴为四边形外接圆直径， ∵不经过中点， ∴不是四边形外接圆直径， ∴，故③不正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确，符合题意； 综上：正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【变式3】（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大． 【从特殊验证】 已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？ 小敏的演算纸 综上所述，s的最大值为…… （1）探索情形Ⅰ： ①求证：点A，B，C，D在同一个圆上． ②S的值为______． （2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值． 【向一般进发】 （3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值． 【答案】（1）①证明见解析；②234；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了四点共圆、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握四点共圆的判定、圆内接四边形的性质以及圆周角定理是解题的关键． （1）①连接，取的中点O，连接，证出，由直角三角形的性质及圆的定义可得出结论；②由三角形面积公式可得出答案； （2）由三角形面积公式可得出答案； （3）设，，，，连接，过点C分别作于点E，于点F，证明，，得出，，求出，则可得出答案． 【详解】解：（1）①证明：连接，取的中点O，连接， ， ， 又， ， ， 为的中点， ， 点A，B，C，D在同一个圆上； ②解：， 故答案为：234； （2）解：，， ， 在中，，在中，， ， 即； （3）解：由题意可知，当四边形四顶点共圆时，它的面积最大， 连接，过点C分别作于点E，于点F， ， ， ， ，， ， ， ， 同理可证， ，， ， ∵， ， ， ， ， ， 即四边形面积S的最大值为 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·云南西双版纳·一模）如图，是四边形的外接圆，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可得，根据圆内接四边形对角互补可得，由此可解． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ． 2．（25-26九年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，点、、、在上，，，则等于(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆内接四边形的性质得出，进而根据以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵点、、、在上，， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26九年级上·山东泰安·期末）如图，四边形的顶点O是的圆心，顶点A，C，D均在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角，圆的内接四边形，掌握知识点是解题的关键． 在优弧上取点B，连接，推导出，得到，即可解答． 【详解】解：在优弧上取点B，连接，如图 ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 即． 故选B． 4．（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，点C、D在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆内接四边形的性质求出，由圆周角定理可得，进而可求出的度数． 【详解】解：如图连接， 由圆内接四边形的性质可得：， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选A． 5．（2026·山西阳泉·三模）如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用圆内接四边形的性质和的度数求得的度数，然后利用等边对等角及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·甘肃白银·三模）如图，已知四边形是的内接四边形．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆内接四边形对角互补的性质求出的度数，再利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 和是同弧所对的圆心角与圆周角， ． 7．（2026·山西阳泉·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用圆内接四边形对角互补结合已知角度关系求出的度数，再根据等弧对等弦判定为等腰三角形，最后计算得到的度数． 【详解】∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 8．（2026·广东肇庆·二模）如图，四边形是的内接四边形，是直径，延长与相交于点E，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角是圆心角的一半即可得，根据是直径可知，，根据等腰直角三角形可知，，进而根据角度关系即可求解． 【详解】， ． 是的直径， ， ， ， ． ∵四边形是的内接四边形， ∴ ． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·江苏盐城·一模）如图，为的直径，点，，在上，若，则的度数是______ 【答案】116 【分析】连接，利用求出，进而求出，最后利用圆内接四边形的性质求出即可． 【详解】如图，连接． 是的直径， ． ， ． ． 四边形是的内接四边形， ， ． 10．（25-26九年级下·山东聊城·期中）如图， 四边形内接于，是的直径， 点E在上， ，则的度数为_________． 【答案】 /126度 【分析】连接，由直径所对的圆周角为直角得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 11．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则____ ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，根据圆内接四边形对角互补可得的度数，根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，将沿着弦折叠，点C，D分别在优弧和劣弧上，若，则___________ °． 【答案】115 【分析】本题考查了折叠的对称性、圆的内接四边形对角互补，圆周角定理等知识点．作出弧所对的圆周角，根据内接四边形对角互补求出即可． 【详解】解：作出弧所对的圆周角， ∵，, ∴， ∵沿着弦折叠， ∴， 故答案为：115． 13.（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，，若，则的度数为________． 【答案】/60度 【分析】根据圆内接三角形的性质得到，由圆周角定理得到，据此求解即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， 解得：． 14．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，经过原点，且与轴交于点，点、在上，已知，，则的半径为__________． 【答案】 【分析】先根据圆内接四边形的性质得出，再利用三角形的内角和定理得出，进一步得出，最后利用勾股定理求值即可． 【详解】解：经过原点，且与轴交于点， ． 四边形是圆内接四边形， ． ， ，为的直径， ， ． 在中， ，且为的直径， 的半径为． 15．（25-26九年级上·天津·期末）如图，四边形内接于以为直径的，平分，若四边形的面积是，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质． 过点作，交的延长线于点，证明，从而得到四边形的面积等于的面积，然后证明出是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求出的长度． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点E， ， ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，四边形内接于，延长交于点E，连接．若，，则_______．        【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，直径，得到，进而求出的度数，圆内接四边形的内对角互补，求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形内接于，延长交于点E， ∴，为直径， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，四边形内接于，是的直径，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．先根据圆内接四边形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理求解即可得． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 18．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，是的内接四边形的一个外角，连接，已知． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查圆内接四边形的性质，等角对等边的性质，熟练掌握是解题关键． （1）根据圆内接四边形的性质得出，确定，再由等角对等边即可证明； （2）根据题意得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意得：， ∵， ， ； （2），， ， ∵四边形是圆内接四边形， ． 19．（25-26九年级上·北京·期末）如图，是的内接三角形，延长至点D，平分交于点E，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先根据同弧所对的圆周角相等可得，根据圆内接四边形的对角互补可得，根据邻补角定义可得，根据同角的补角相等可得，等量代换可证，根据等角对等边可证． 【详解】证明：平分， ， ∵， ， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、同弧所对的圆周角相等、等角对等边、角平分线的定义．解决本题的关键是根据图形的性质得到角之间的关系，利用角之间的关系得到边之间的关系． 20．（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）【问题探究】 （1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，最大值为 【分析】本题考查了圆的基本性质（圆周角定理、直径性质）、全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理及弦长最值的应用．解题的关键是通过构造全等三角形转化线段和，结合的固定角度确定固定线段长度，利用直径是最长弦求动态线段的最大值． （1）在上截取线段构造全等三角形，利用圆内接图形的角度关系和等腰三角形性质，推导出的度数； （2）延长至F使，连接，证明，得，可得，由勾股定理的逆定理可得；由及，得为直径圆周角对直径），四边形周长，利用直径是最长弦，得最大值为4米，进而求周长最大值． 【详解】解：（1）如图3所示，延长至E，使，连接， 四边形为的内接四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． ， 即 （2）该四边形的周长存在最大值，最大值为，理由如下： 如图4所示，延长至F，使，连接， ∵ ∴， 从而， 又， 在中，因，， ∴，故， 从而可得，故为直径，， 即，则， 四边形周长 ， 当最大时即为直径时，四边形周长最大值为 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.5 圆内接四边形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】圆内接四边形及其性质 1 【知识点二】圆内接特殊四边形推论 2 【知识点三】四点共圆判定基础规律 2 二.题型精析 2 【题型1】基础性质直接求值（入门基础） 2 【题型2】外角性质角度计算（基础必会） 3 【题型3】圆内接四边形与圆周角综合（能力提升） 4 【题型4】圆内接特殊图形判定（中档拔高） 5 【题型5】圆内接四边形综合证明（难点突破） 6 【题型6】圆内接四边形综合（拓展压轴） 8 【题型7】四点共圆（拓展压轴） 9 三.同步检测 10 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 10 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 13 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 14 一.知识梳理与解读 【知识点一】圆内接四边形及其性质 1. 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，该圆为四边形的外接圆。 2. 核心性质：圆内接四边形的对角互补（对角和为180°）；四边形的任意一个外角等于它的内对角。 定义 图示 几何语言 圆内接四边形的对角互补（对角和为180°） 【知识点二】圆内接特殊四边形推论 1. 圆内接平行四边形是矩形：平行四边形对角相等，结合圆内接四边形对角互补，可推出四个内角均为90°。 2. 圆内接菱形是正方形：菱形四边相等，结合圆内接对角互补，可证内角为直角，即为正方形。 3. 圆内接矩形的外接圆直径等于矩形对角线：矩形对角线相等且为外接圆直径。 【要点提示】 普通平行四边形、菱形没有外接圆，只有矩形、正方形一定有外接圆；此结论常用于图形判定与几何辨析题型。 【知识点三】四点共圆判定基础规律 四点共圆定义：如果四个点在同一个圆上，就称这四个点四点共圆。1. 若四边形对角互补，则该四边形四个顶点共圆； 2. 若四边形的一个外角等于内对角，则四点共圆； 3. 同斜边的直角三角形，四个顶点共圆（斜边为直径）。 【要点提示】 1. 对角互补是判定四点共圆的重要依据； 2. 常用结论：圆内接平行四边形是矩形、圆内接梯形是等腰梯形、圆内接菱形是正方形； 3. 外角等于内对角，可快速解决圆外角、圆内角角度推导问题。 二.题型精析 【题型1】基础性质直接求值（入门基础） 【例题1】（23-24九年级上·青海海东·期末）如图，四边形内接于，为的直径，连接，，求的度数． 【变式1】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点、、、分别在圆上，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·新疆伊犁·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为_____． 【变式3】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数． 【题型2】外角性质角度计算（基础必会） 【例题2】（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，在中，以为直径的分别交于，交于，连接，． 求证：． 【变式1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，为四边形的外接圆，E为延长线上一点．若，则的度数为________． 【变式3】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在的内接四边形中，，点在的延长线上且，连接、，求证：． 【题型3】圆内接四边形与圆周角综合（能力提升） 【例题3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，点、、、都在上，，． （1）求的度数； （2）求的度数； 【变式1】（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）如图，为的一条弦，且，C为劣弧上一点，连接，则的度数为_____． 【变式3】（2025·四川德阳·模拟预测）如图，是的直径，，为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【题型4】圆内接特殊图形判定（中档拔高） 【例题4】（2025·上海静安·二模）已知，四边形内接于，． （1）求证：； （2）小明说：四边形一定是等腰梯形，你认为他的说法正确吗？为什么？ （3）如图所示，已知，，求的半径． 【变式1】（2026·江苏苏州·三模）如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，四边形是平行四边形，经过点，，，与相交于点，连接，，若，则________°． 【变式3】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，已知内接于圆．求证：四边形是矩形． 【题型5】圆内接四边形综合证明（难点突破） 【例题5】（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知：如图，是半圆的直径，是半圆上一点（不与点重合），以为圆心、为半径画弧交半圆于点，交线段于点．连结． （1）求证：； （2）连结，如果，求证：． 【变式1】（24-25九年级上·山西忻州·期中）如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，点M是弦的中点，连接．若，则的度数为________． 【变式3】（25-26九年级上·江西赣州·期中）【课本再现】在人教版九年级上册课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点，，，在上，求证． 【解决问题】（2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为．求的长． 【题型6】圆内接四边形综合（拓展压轴） 【例题6】（2026·安徽阜阳·二模）如图，是的直径，弦于点E，G为上一点，延长交于点F，连接和． （1）若，，求的半径； （2）求证：． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，已知，，，顺次在上，若圆心在上，，于点，若，，则的长为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【变式2】（2026·陕西·模拟预测）如图，四边形中，，．若四边形面积的最大值为，则对角线的长为___________． 【变式3】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）四边形内接于圆O，为直径，连接，已知． （1）求的度数； （2）如图2，过点D作交延长线于点E，连接． ①求证：， ②若，，求的长． 【题型7】四点共圆（拓展压轴） 【例题7】（23-24九年级下·全国·期中）已知，，求证：点四点共圆． 【变式1】（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，是的直径，点在同一半圆上，，则的度数为______． 【变式2】（2024·吉林长春·模拟预测）两块直角三角板按如图方式放置，、相交于点，给出下面四个结论：①点、、、在同一个圆上；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【变式3】（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大． 【从特殊验证】 已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？ 小敏的演算纸 综上所述，s的最大值为…… （1）探索情形Ⅰ： ①求证：点A，B，C，D在同一个圆上． ②S的值为______． （2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值． 【向一般进发】 （3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·云南西双版纳·一模）如图，是四边形的外接圆，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，点、、、在上，，，则等于(　　) A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东泰安·期末）如图，四边形的顶点O是的圆心，顶点A，C，D均在上，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，点C、D在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山西阳泉·三模）如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·甘肃白银·三模）如图，已知四边形是的内接四边形．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·山西阳泉·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·广东肇庆·二模）如图，四边形是的内接四边形，是直径，延长与相交于点E，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·江苏盐城·一模）如图，为的直径，点，，在上，若，则的度数是______ 10．（25-26九年级下·山东聊城·期中）如图， 四边形内接于，是的直径， 点E在上， ，则的度数为_________． 11．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则____ ． 12．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，将沿着弦折叠，点C，D分别在优弧和劣弧上，若，则___________ °． 13.（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，，若，则的度数为________． 14．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，经过原点，且与轴交于点，点、在上，已知，，则的半径为__________． 15．（25-26九年级上·天津·期末）如图，四边形内接于以为直径的，平分，若四边形的面积是，则___________． 16．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，四边形内接于，延长交于点E，连接．若，，则_______．        （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，四边形内接于，是的直径，，求的度数． 18．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，是的内接四边形的一个外角，连接，已知． (1)求证：． (2)若，求的度数． 19．（25-26九年级上·北京·期末）如图，是的内接三角形，延长至点D，平分交于点E，连接，．求证：． 20．（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）【问题探究】 （1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $