专题 3.6 正多边形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学正多边形核心知识，系统梳理定义（边等角等）、与圆的关系（内接正多边形及同心内外圆）、相关概念（中心、半径、边心距、中心角）、角度计算公式（内角、外角、中心角）、周长与面积计算（基于直角三角形模型）及尺规作图（正四边形、六边形等），构建从基础到应用的完整学习支架。 资料亮点在于知识梳理结合要点提示（如反例辨析、直角三角形核心模型）培养数学眼光，题型精析分层设计（基础角度计算到综合题）提升推理能力（数学思维），同步检测题量适中（选择、填空、解答）助力用数学语言表达问题解决。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，巩固知识。

专题 3.6 正多边形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】正多边形的定义 1 【知识点二】正多边形与圆的关系 2 【知识点三】正多边形的相关概念（核心） 2 【知识点四】正多边形的角度计算公式 2 【知识点五】正多边形的周长与面积计算 3 【知识点六】圆内接正多边形的尺规作图 3 二.题型精析 3 【题型 1】正多边形角度计算（基础·必考） 3 【题型 2】已知内角求正多边形边数（基础·进阶） 4 【题型 3】正多边形角度、边长、边心距、面积计算（中档·高频） 5 【题型 4】正多边形尺规作图（中档·应用） 6 【题型 5】正多边形与垂径定理、圆周角定理综合 8 三.同步检测 9 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 13 一.知识梳理解读 【知识点一】正多边形的定义 各边相等、各内角也相等的多边形，叫做正多边形。常见的正多边形有正三角形、正方形、正五边形、正六边形等。 【要点提示】 1. 正多边形必须同时满足边相等、角相等两个条件，二者缺一不可； 2. 反例辨析：菱形各边相等但内角不等，不是正多边形；矩形各角相等但边长不等，不是正多边形； 3. 正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形。 【知识点二】正多边形与圆的关系 1. 定理：把一个圆等分（），依次连接各等分点，所得的多边形是这个圆的内接正边形；这个圆就是正边形的外接圆。 2. 核心结论：任意一个正多边形都有且只有一个外接圆和一个内切圆，且两圆同心。 【要点提示】 1. 圆可以无限等分，因此可以作出任意边数的圆内接正多边形； 2. 正多边形的外接圆与内切圆的圆心重合，统称为正多边形的中心； 3. 只有正多边形具备“内外接圆同心”的性质，普通多边形无此特征。 【知识点三】正多边形的相关概念（核心） 1. 中心：正多边形外接圆的圆心； 2. 半径：正多边形外接圆的半径（中心到顶点的距离）； 3. 边心距：正多边形内切圆的半径（中心到任意一条边的垂直距离）； 4.中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。 【要点提示】 1. 正边形每条边对应的中心角都相等，统一公式：； 2. 正多边形的半径、边心距、半边长构成直角三角形，是所有计算题型的核心模型； 3. 边心距是垂线段长度，可利用垂径定理辅助求解。 【知识点四】正多边形的角度计算公式 设正多边形边数为（，且为整数）： 1. 单个内角：； 2. 单个外角：； 3. 重要等量关系：正多边形的中心角 = 单个外角度数。 【要点提示】 1. 任意多边形外角和恒为，正多边形每个外角相等，可快速求边数； 2. 内角与外角互为邻补角：； 3. 已知内角求边数，可优先求外角，计算更简便。 【知识点五】正多边形的周长与面积计算 设正边形边长为，边心距为，外接圆半径为： 1. 周长公式：； 2. 面积公式：正多边形可拆分为个全等的等腰三角形，总面积； 3. 直角三角形关系：。 【要点提示】 1. 面积公式通用所有正多边形，是中考必考公式； 2. 正六边形为特殊正多边形：边长 = 外接圆半径，可拆分为6个全等的等边三角形，计算可简化； 3. 解题思路：已知半径、边长、边心距中任意一个，可求另外两个，进而求周长、面积。 【知识点六】圆内接正多边形的尺规作图 1. 正四边形（正方形）：作圆的两条互相垂直的直径，顺次连接四个端点即可； 2. 正六边形：以圆的半径为弦长，在圆周上依次截取6个等分点，顺次连接得分圆内接正六边形； 3. 正三角形：截取正六边形间隔的三个分点，即可得到圆内接正三角形。 【要点提示】 1. 尺规作图核心：等分圆周，直径垂直平分、等弧截取是关键； 2. 能通过尺规作图作出的正多边形：正4、6、8、12边形等； 3. 正六边形边长与半径相等，是尺规作图的核心特殊性质。 二.题型精析 【题型 1】正多边形角度计算（基础·必考） 【例题1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，正六边形内接于，求的度数． 【变式1】（24-25九年级上·河南漯河·期中）已知：如图，四边形是的内接正方形，点P是上不同于点B、C的任意一点，则的度数是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式2】（24-25九年级下·山东德州·开学考试）如图，正五边形内接于，则的度数为________． 【变式3】（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2． （1）求的直径的长；（2）求的度数． 【题型 2】已知内角求正多边形边数（基础·进阶） 【例题2】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、． （1）的度数为______． （2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为_________． 【变式1】（2025·山东聊城·三模）如图，点是以点为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．10 D．11 【变式2】（2025·安徽池州·三模）如图，在正多边形中，若，则该多边形的内角和为______ 【变式3】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在正n边形中，，则的值是______． 【题型 3】正多边形角度、边长、边心距、面积计算（中档·高频） 【例题3】（2022·黑龙江绥化·三模）如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为____． 【变式1】（25-26九年级上·云南红河·阶段检测）如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的高是（    ） A．3 B． C．6 D． 【变式2】（2026·上海黄浦·二模）已知是圆和的公共弦，如果弦是圆的内接正方形的一边，也是圆的内接正六边形的一边，那么圆与的半径之比是______． 【变式3】（2026·陕西咸阳·一模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形，连接，若该正六边形的半径为2，则的长为________． 【题型 4】正多边形尺规作图（中档·应用） 【例题4】（2026·甘肃武威·模拟预测）用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： （1）仅用无刻度直尺作图， ①如图1，直角三角板的直角顶点恰好在圆上，作出一条圆的直径； ②如图2，在的正方形网格中，四边都与圆相切，、、、是切点，在圆上作出一个的圆周角（标出角度）； （2）用无刻度直尺和圆规作图，如图3，点在圆上，作一个圆的内接正方形 【变式3】（2025·江苏南京·一模）如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． （1）； （2）． 【题型 5】正多边形与垂径定理、圆周角定理综合 【例题5】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，正六边形内接于． （1）如图1，若半径为2，请直接写出图中阴影部分面积； （2）如图2，若点为上一点，连接，，，探究，，之间数量关系，并说明理由． 【变式1】（2026·河北沧州·模拟预测）如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【变式2】（2026·河北邯郸·一模）我国古代伟大的数学家刘徽于公元年撰《九章算术注》中指出，“周三径一不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立了计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法，如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若，则的长为______． 【变式3】（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． （1）若，求证：M为的中点． （2）若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）正六边形的中心角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 3．（期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 4．（24-25九年级下·江西抚州·阶段检测）如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 5．（2024·福建厦门·二模）如图，是正六边形的中心．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 7．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，将边长均为的正方形和正六边形拼在一起，以公共顶点为圆心，边长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·云南红河·一模）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·上海闵行·三模）已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 10．（2024·上海浦东新·二模）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为______． 11．（2026·福建福州·模拟预测）如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 12．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是2，那么非阴影部分面积是______． 13．（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，是正五边形的外接圆，点F是弧上一点，连接，，则的度数是_______． 14．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，要拧开一个边长的六角形螺帽，扳手张开的口至少要_______． 15．（24.6正多边形与圆（基础练 能力提升练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（沪科版））如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为___________． 16．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知的内接正五边形，点I是的内心，则____________． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形 的边长为 ，求它的中心角、半径和边心距． 18．（23-24九年级上·江西上饶·阶段检测）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），求的大小．    19．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． （1）证明：四边形为平行四边形； （2）若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 20．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，已知和上的一点A． 【实践与操作】 （1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【应用与证明】 （2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.6 正多边形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】正多边形的定义 1 【知识点二】正多边形与圆的关系 2 【知识点三】正多边形的相关概念（核心） 2 【知识点四】正多边形的角度计算公式 2 【知识点五】正多边形的周长与面积计算 3 【知识点六】圆内接正多边形的尺规作图 3 二.题型精析 3 【题型 1】正多边形角度计算（基础·必考） 3 【题型 2】已知内角求正多边形边数（基础·进阶） 7 【题型 3】正多边形角度、边长、边心距、面积计算（中档·高频） 10 【题型 4】正多边形尺规作图（中档·应用） 13 【题型 5】正多边形与垂径定理、圆周角定理综合 18 三.同步检测 23 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 23 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 28 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 34 一.知识梳理解读 【知识点一】正多边形的定义 各边相等、各内角也相等的多边形，叫做正多边形。常见的正多边形有正三角形、正方形、正五边形、正六边形等。 【要点提示】 1. 正多边形必须同时满足边相等、角相等两个条件，二者缺一不可； 2. 反例辨析：菱形各边相等但内角不等，不是正多边形；矩形各角相等但边长不等，不是正多边形； 3. 正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形。 【知识点二】正多边形与圆的关系 1. 定理：把一个圆等分（），依次连接各等分点，所得的多边形是这个圆的内接正边形；这个圆就是正边形的外接圆。 2. 核心结论：任意一个正多边形都有且只有一个外接圆和一个内切圆，且两圆同心。 【要点提示】 1. 圆可以无限等分，因此可以作出任意边数的圆内接正多边形； 2. 正多边形的外接圆与内切圆的圆心重合，统称为正多边形的中心； 3. 只有正多边形具备“内外接圆同心”的性质，普通多边形无此特征。 【知识点三】正多边形的相关概念（核心） 1. 中心：正多边形外接圆的圆心； 2. 半径：正多边形外接圆的半径（中心到顶点的距离）； 3. 边心距：正多边形内切圆的半径（中心到任意一条边的垂直距离）； 4.中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。 【要点提示】 1. 正边形每条边对应的中心角都相等，统一公式：； 2. 正多边形的半径、边心距、半边长构成直角三角形，是所有计算题型的核心模型； 3. 边心距是垂线段长度，可利用垂径定理辅助求解。 【知识点四】正多边形的角度计算公式 设正多边形边数为（，且为整数）： 1. 单个内角：； 2. 单个外角：； 3. 重要等量关系：正多边形的中心角 = 单个外角度数。 【要点提示】 1. 任意多边形外角和恒为，正多边形每个外角相等，可快速求边数； 2. 内角与外角互为邻补角：； 3. 已知内角求边数，可优先求外角，计算更简便。 【知识点五】正多边形的周长与面积计算 设正边形边长为，边心距为，外接圆半径为： 1. 周长公式：； 2. 面积公式：正多边形可拆分为个全等的等腰三角形，总面积； 3. 直角三角形关系：。 【要点提示】 1. 面积公式通用所有正多边形，是中考必考公式； 2. 正六边形为特殊正多边形：边长 = 外接圆半径，可拆分为6个全等的等边三角形，计算可简化； 3. 解题思路：已知半径、边长、边心距中任意一个，可求另外两个，进而求周长、面积。 【知识点六】圆内接正多边形的尺规作图 1. 正四边形（正方形）：作圆的两条互相垂直的直径，顺次连接四个端点即可； 2. 正六边形：以圆的半径为弦长，在圆周上依次截取6个等分点，顺次连接得分圆内接正六边形； 3. 正三角形：截取正六边形间隔的三个分点，即可得到圆内接正三角形。 【要点提示】 1. 尺规作图核心：等分圆周，直径垂直平分、等弧截取是关键； 2. 能通过尺规作图作出的正多边形：正4、6、8、12边形等； 3. 正六边形边长与半径相等，是尺规作图的核心特殊性质。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】正多边形角度计算（基础·必考） 【例题1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，正六边形内接于，求的度数． 【答案】 【分析】由正六边形与圆的性质可得：再求解从而可得答案. 解： 正六边形内接于， 是直径， 【点拨】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正多边形的中心角的计算，直径所对的圆周角是直角”是解题的关键. 【变式1】（24-25九年级上·河南漯河·期中）已知：如图，四边形是的内接正方形，点P是上不同于点B、C的任意一点，则的度数是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①当点在优弧上时（记为点）；②当点在劣弧上时（记为点）；分别利用圆周角定理和圆内接四边形的性质定理即可求解． 解：分两种情况讨论： ①当点在优弧上时（记为点）， 如图，连接、， 四边形是的内接正方形， ， 根据圆周角定理，可得： ， ②当点在劣弧上时（记为点）， 如图， 则， 的度数是或， 故选：． 【变式2】（24-25九年级下·山东德州·开学考试）如图，正五边形内接于，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据正多边形内角公式求出，根据三角形内角和及等边对等角得到，即可求出的度数． 解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴． 【变式3】（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2． （1）求的直径的长； （2）求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 解：（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 【题型 2】已知内角求正多边形边数（基础·进阶） 【例题2】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、． （1）的度数为______． （2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为_________． 【答案】 120° 12 【分析】（1）连接BD，由已知条件证△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60°，从而由圆内接四边形的性质可得∠AED=120°； （2）连接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，结合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，从而可得． 解：（1）连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴； （2）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查正多边形与圆相关知识点，理解并熟练运用基本性质和结论是解题关键． 【变式1】（2025·山东聊城·三模）如图，点是以点为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形与圆，圆周角定理，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，根据圆周角定理得到，由此即可求解． 解：如图所示，连接， ∴， ∴， ∴该正多边形的边数为10， 故选：C． 【变式2】（2025·安徽池州·三模）如图，在正多边形中，若，则该多边形的内角和为______ 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与中心角，正多边形内角和问题，根据，得出该正多边形的中心角为，从而求出该多边形为十边形，然后通过内角和公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵， ∴该正多边形的中心角为， ∴该多边形为十边形， 由得其内角和为， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在正n边形中，，则的值是______． 【答案】12 【分析】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，即可求出n的值． 解：设点O为正n边形外接圆的圆心，连接，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 【题型 3】正多边形角度、边长、边心距、面积计算（中档·高频） 【例题3】（2022·黑龙江绥化·三模）如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为____． 【答案】． 【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可． 解：连接OD,OC,OE, ∵八边形ABCDEFGH是正八边形, ∴∠COD=∠DOE==45°, ∴∠COE=45°+45°=90°, ∴∠CPE=∠COE =45°. 故答案为：45°． 【点拨】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·云南红河·阶段检测）如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的高是（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的周长公式，正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 过点作，连接，根据圆的周长求出半径，得出为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得出相关线段的长度，最后利用勾股定理进行求解即可． 解：如图所示，过点作，连接， 由圆的周长得，， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∴该正六边形的高为， 故选：D． 【变式2】（2026·上海黄浦·二模）已知是圆和的公共弦，如果弦是圆的内接正方形的一边，也是圆的内接正六边形的一边，那么圆与的半径之比是______． 【答案】 【分析】设公共弦，半径为，半径为，根据是内接正方形的边，得出是等腰直角三角形，由勾股定理得，根据是内接正六边形的边，得出是等边三角形，则，即可求解； 解：设公共弦，半径为，半径为， ∵是内接正方形的边，正方形中心角为， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得： ，即，解得， ∵是内接正六边形的边，正六边形中心角为， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【变式3】（2026·陕西咸阳·一模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形，连接，若该正六边形的半径为2，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，交于点，根据正六边形的性质，求出，进而得到垂直平分，进而求出的长即可. 解：连接，交于点，则， ∵正六边形， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴. 【题型 4】正多边形尺规作图（中档·应用） 【例题4】（2026·甘肃武威·模拟预测）用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【答案】如图所示，七边形即为所求． 解：略 【变式1】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： （1）仅用无刻度直尺作图， ①如图1，直角三角板的直角顶点恰好在圆上，作出一条圆的直径； ②如图2，在的正方形网格中，四边都与圆相切，、、、是切点，在圆上作出一个的圆周角（标出角度）； （2）用无刻度直尺和圆规作图，如图3，点在圆上，作一个圆的内接正方形 【答案】（1）①见分析②见分析；（2）见分析 【分析】（1）根据的圆周角所对的弦是直径作出图形； （2）连接交弧于点，连接，，即为所求； （3）作射线交于点，作线段的垂直平分线交于点，，连接，，，，四边形即为所求． 解：（1）解：①如图1中， ∵的圆周角所对的弦是直径， ∴线段即为所求； ②如图2中，连接交弧于点，连接，，即为所求； ∵由题意为正方形的内切圆， ∴过圆心， 由正方形性质知， ∴； （2）解：如图3中，作射线交于点，作线段的垂直平分线交于点，，连接，，，，四边形即为所求． 由作法知，互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∵相等， ∴为矩形； ∵， ∴矩形为正方形． 【点拨】本题考查作图，正方形的判定和性质，正多边形与圆，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【变式3】（2025·江苏南京·一模）如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． （1）； （2）． 【答案】（1）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，是等边的外角圆， ∴， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2） 解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，， 连接， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴． 【分析】本题考查尺规作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是： （1）连接，以为边，在上方作等边，作的外接圆交于点B，连接交于点A即可； （2）连接，以为直径作，以P为圆心，为半径画弧交于Q，连接交于点A，延长交于点B即可． 解：（1）略 （2）略 【题型 5】正多边形与垂径定理、圆周角定理综合 【例题5】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，正六边形内接于． （1）如图1，若半径为2，请直接写出图中阴影部分面积； （2）如图2，若点为上一点，连接，，，探究，，之间数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见分析 【分析】（1）连接，过点O作于点H，易证是等边三角形，得到，易求出，再利用勾股定理求出，再用即可得出结果； （2）在上截取，连接，求得，根据圆周角定理得到，求得，同理，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到． 解：（1）解：连接，过点O作于点H， ∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积为：； （2）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， 多边形是正六边形， ∴， ∴ ∴ 同理 ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在与中， ∴， ∴ ∴． 【点拨】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，不规则图形的面积，正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，正确地作 出辅助线是解题的关键． 【变式1】（2026·河北沧州·模拟预测）如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】根据圆周角定理可得，即正多边形的中心角，进而求得边数，即可求解． 解：如图，连接 ∵ ∴ 依题意，依次连接各等分点得到的图形为正边形，其中，即正十边形 【变式2】（2026·河北邯郸·一模）我国古代伟大的数学家刘徽于公元年撰《九章算术注》中指出，“周三径一不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立了计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法，如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】设正六边形外接圆的圆心为，连接，过作于，利用正多边形的性质可得，，，利用圆周角定理可得，，即得，进而得到，即得到是等腰直角三角形，再利用勾股定理、锐角三角函数求出半径即可求解． 解：设正六边形外接圆的圆心为，连接，过作于，如图，则， 由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ ，即的半径为， ∴的长． 【变式3】（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． （1）若，求证：M为的中点． （2）若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查正方形的性质、正多边形与圆等知识，推导出是解题的关键． （1）由正方形得，可得，由得，由得，从而可得结论； （2）由正方形的面积为4得正方形的边长为2，连接得是等腰直角三角形，可求出． 解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴M为的中点 （2）解：∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， 连接， ∴是等腰直角三角形， ∴，即圆的半径为． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）正六边形的中心角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形中心角的定义，注意准确掌握定义是关键． 根据题意正多边形中心角即为除以正多边形边数即可选出本题答案． 解：正六边形的中心角度数． 故选：B． 2．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的中心角公式，得出，进而判定是等边三角形即可求解． 解：正六边形内接于，的半径为3， ，， 是等边三角形， ． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查圆内接正多边形的性质，熟练掌握圆心角与边数的关系是解决本题的关键． 设边数为，根据所有圆心角之和为，列式求解即可． 解：∵圆内接正多边形每条边所对的圆心角相等，且所有圆心角之和为， ∴设边数为，则， 解得， ∴该正多边形边数为9． 故选：B． 4．（24-25九年级下·江西抚州·阶段检测）如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，求正多边形的中心角，连接，则，可证明是等边三角形，，则可得到，再求出的长即可得到答案． 解：如图所示，连接， ∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴点O到的距离的长为2， 故选：B． 5．（2024·福建厦门·二模）如图，是正六边形的中心．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正六边形的性质，熟练掌握正六边形的有关性质是解题的关键．根据点的坐标求出的长，再根据正六边形的性质求出，进而求出的坐标即可． 解：如图，连接、， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 故选:． 6．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【分析】连接，，根据正边形的性质知，得，则正边形中心角为，即可解决问题．本题主要考查了正边形和圆的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． 解：连接，， 多边形是正边形， ， ， 正边形中心角为， ， 故选：B． 7．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，将边长均为的正方形和正六边形拼在一起，以公共顶点为圆心，边长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，正多边形的性质，扇形面积的计算，根据题意得到，则，再根据扇形面积的计算即可求解． 解：如图所示， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A ． 8．（2026·云南红河·一模）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质；解题的关键是掌握正六边形对顶点连线（长对角线）的长度等于边长的2倍．由正六边形的对称性知对顶点连线经过中心，长度为2倍边长，由直接求得边长为9． 解：设正六边形的边长为， 正六边形的六个顶点均匀分布在圆周上，中心角为， 正六边形的对顶点连线（长对角线）经过中心，长度为边长的2倍， 为正六边形的一组对顶点， ， ， ， ． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·上海闵行·三模）已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【答案】 【分析】先利用内角与外角互为邻补角求出外角的度数，再根据多边形外角和定理求出正多边形的边数，最后根据正多边形中心角的性质计算中心角度数． 解：该正多边形的一个内角为， 该正多边形的一个外角为， 任意多边形的外角和为， 该正多边形的边数， 正多边形的中心角和为， 该正多边形的中心角为． 10．（2022·上海浦东新·二模）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为______． 【答案】10 【分析】用除以单个中心角的度数即可得到正多边形的边数． 解：根据正多边形中心角与边数的关系，得： 该正多边形的边数为：． 11．（2026·福建福州·模拟预测）如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 【答案】 【分析】作正七边形的外接圆，证明得出，再证明，求出，然后根据求解即可． 解：如图，作正七边形的外接圆， ∵正七边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是2，那么非阴影部分面积是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正多边形的性质，正八边形面积的求法是解题关键． 先将正八边形延长每一边构成一个大正方形，然后用大正方形的面积减去四个等腰直角三角形的面积；再用正八边形的面积减去小正方形的面积即可． 解：∵正方形面积是2， ∴其边长为：， 如图，将正八边形的每一条边延长可得正方形， ∵正八边形的每个内角为， ∴， ∴为等腰直角三角形， 在中，， ， ∴正八边形的面积为： ， ∴非阴影部分面积是． 故答案为：． 13．（21-22九年级下·北京·开学考试）如图，是正五边形的外接圆，点F是弧上一点，连接，，则的度数是_______． 【答案】 【分析】根据中心角定义求出和的度数，然后根据圆周角定理求解即可． 解：连接，，， ∵是正五边形的外接圆， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，要拧开一个边长的六角形螺帽，扳手张开的口至少要_______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆、菱形的判定与性质，解直角三角形的应用等知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，运用锐角三角函数进行求解是解此题的关键．设正六边形的中心是，其一边是，连接、、、，交于，则，得出，则四边形是菱形，得出，，由，即可得出结论． 解：设正六边形的中心是，其一边是，连接、、、，交于，如图所示： ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24.6正多边形与圆（基础练 能力提升练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（沪科版））如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为___________． 【答案】36 【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，如图，连接，．求出，再利用圆周角定理求解即可． 解：如图，连接，． ，，分别是，，与的切点， ，， ， ， ， ， 故答案为：36． 16．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知的内接正五边形，点I是的内心，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和定理，三角形内角和及内心，正多边形与圆，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得，多边形内角和定理得到，根据三角形内角和定理得到，因为点为三角形的内心，所以，所以． 解：根据题意得， 正五边形的内角和为， ∴， ∵， ∴， ∵点为的内心， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形 的边长为 ，求它的中心角、半径和边心距． 【答案】等边三角形 的中心角为 ，半径为 ，边心距为 【分析】设等边三角形 的中心为点 ，过点 作 于点 ，连接 ，，再解直角三角形即可. 解：如图， 设等边三角形 的中心为点 ，过点 作 于点 ，连接 ，，则 ，，． ． ． 设 ，则 ． 在 中，， 即 ． 解得 （负值已舍去）． ，． 等边三角形 的中心角为 ，半径为 ，边心距为 ． 【点拨】本题考查的是正多边形的中心角、半径和边心距，锐角三角函数的应用，熟记概念是解本题的关键. 18．（23-24九年级上·江西上饶·阶段检测）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），求的大小．    【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 解：如图，连接， 是正五边形， ， ． 19．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． （1）证明：四边形为平行四边形； （2）若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：∵六边形是正六边形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【分析】本题考查正多边形的概念，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，扇形面积的计算，根据正六边形的概念确定相等的角和线段，以及角的大小是解题关键． （1）根据正六边形的概念，得到正六边形的每个内角相等，每条边相等，从而证明三角形全等，再利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据正六边形的概念，确定的度数，进而确定的度数和的长，再通过作差法计算阴影部分的面积即可． 解：（1）略 （2）解：如图，连接，，， ∵是正六边形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 20．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，已知和上的一点A． 【实践与操作】 （1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【应用与证明】 （2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1）见分析；（2）矩形，见分析 【分析】本题考查了作图——画正多边形，矩形的判定以及圆的相关性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）由题意可知，因此，故，进而求得四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，因此可得，再由，得，因此，故可证得四边形是矩形． 解：（1）如图，首先作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）四边形是矩形．理由如下： 如图，连接， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $