广东省深圳市2026-2027学年高二数学上学期开学模拟卷

**基本信息** 深圳市高二数学开学模拟卷，以复数、立体几何等知识为载体，融入工厂抽样、电影票房统计等现实情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数运算、向量投影、概率互斥|第3题分层抽样结合工厂职工调查，体现应用意识| |填空题|3题/15分|电路概率、向量范围、解三角形|第12题电路图概率计算，考查数学建模| |解答题|5题/77分|解三角形、立体几何体积、统计方差、概率策略|17题电影票房频率分布直方图分析，强化数据观念；19题围棋比赛概率策略，发展逻辑推理|

广东省深圳市2026-2027学年高二数学上学期开学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数运算以及共轭复数定义即可求解. 【详解】由题得，， 所以，故. 2．已知点，，．则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出、的坐标，再结合投影向量的计算公式求解即可． 【详解】由题可知，， 则在上的投影向量为 ． 3．某工厂共有男职工1200人，女职工800人，现按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全厂职工中抽出一个容量为200的样本进行健康调查．若样本按比例分配，则应抽取男职工的人数为（    ） A．80 B．100 C．120 D．200 【答案】C 【详解】因为工厂男职工女职工， 所以抽取的男职工人数人. 4．已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则，是异面直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，则或与相交或，是异面直线，故A错误； 对于B，若，，则或与相交或，是异面直线，故B错误； 对于C，，，则或，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确. 5．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式及三角形面积公式即可求解． 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以，则，， 的面积为． 6．已知三棱锥中，平面ACD，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A．8π B．12π C．24π D．40π 【答案】A 【详解】在中，，，，所以， 所以. 又平面，所以三棱锥可补成长方体， 为长方体的体对角线，也就是三棱锥外接球直径. 如图，    设三棱锥外接球半径为，则. 所以三棱锥外接球的表面积为：. 7．如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用共面向量定理求出，再由三角形面积求得，结合向量数量积的运算律与基本不等式即可求得的最小值. 【详解】因，，可得， 因三点共线，故，解得，故， 又因的面积为，，则，解得. 由两边取平方， 可得， 因，当且仅当时等号成立， 即当时，取得最小值为. 8．某小组有两名男生和两名女生，从中任选两人参加演讲比赛，则下列事件中，与事件“恰有一名男生被选中”互斥但不对立的是（    ） A．恰有一名女生被选中 B．被选中的学生的性别相同 C．被选中的学生均是男生 D．至少有一名女生被选中 【答案】C 【详解】从两名男生和两名女生中，任选两人参加演讲比赛，按性别情况可以分三类， 分别是：①两名男生②两名女生③一名男生一名女生， 事件“恰有一名男生被选中”对应③，即一名男生一名女生； 对于A，“恰有一名女生被选中”对应③，与目标事件③相同，可同时发生， 不是互斥事件，故A错误； 对于B，“被选中的学生的性别相同”对应①和②，与目标事件③不能同时发生， 是互斥事件，但目标事件不发生，该事件一定发生，是对立事件，故B错误； 对于C，“被选中的学生均是男生”对应①，与目标事件③不能同时发生，是互斥事件， 但存在②，使得两个事件可同时不发生，故不是对立事件， 所以目标事件与该事件是互斥但不对立事件，故C正确； 对于D，“至少有一名女生被选中”对应②和③，与目标事件可同时发生， 不是互斥事件，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】对于A：由得，解得，故A正确； 对于B：由复数模的性质可得，故B正确； 对于C：则，展开得 ，化简得， 故两复数向量垂直，非， 如，满足，但，故C错误； 对于D：只代表模长相等，如，模均为1，但，故D错误． 10．的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级：日均值在，空气质量为二级：日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：）变化的折线图，关于日均值说法正确的是（   ） A．这10天的日均值的第75百分位数为60 B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C．这10天的日均值的中位数为41 D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 【答案】ABD 【分析】选项A，根据百分位数定义求结论即可判断.选项B判断极差相关选项，分别找出前5天数据的最大值、最小值，后5天数据的最大值、最小值，用最大值减最小值得到对应极差后比较. 选项C判断中位数相关选项，将10个数据从小到大排序后，取第5和第6项的平均值即为中位数，选项D判断方差相关选项，可通过数据波动程度定性比较. 【详解】首先从折线图提取10天的PM2.5日均值，按日期顺序为：30,41,32,34,40,80,78,60,45,48， 将全部数据从小到大排序得：30,32,34,40,41,45,48,60,78,80，逐一判断选项： 选项A：因为，故，不是整数，向上取整得到位置为， 排序后第项为，因此第百分位数为，选项A正确. 选项B：前5天数据为，极差为； 后5天数据为，极差为，显然，B正确. 选项C：10个数据的中位数是第5项和第6项的平均值， 即，C错误. 选项D：前5天数据全部集中在区间，波动程度很小； 后5天数据分布在区间，数值差异大，波动程度远高于前5天， 因此前5天的方差小于后5天的方差，D正确. 11．正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内（含边界）一动点，则下列结论正确的为（    ）    A．存在唯一的点，使得平面 B．过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C．动点到平面的距离的最大值为 D．若直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为 【答案】BD 【分析】对于A，根据面面平行的判定定理及面面平行的性质证明即可；对于B，根据平面的性质判断截面形状，结合面积公式求解即可；对于C，根据动点到平面的距离等于动点到的距离乘以平面与平面的夹角的正弦值，结合线面垂直的判定定理、线面垂直的性质、二面角的定义及三角形相似求解即可；对于D，判断动点的轨迹与底面内（含边界）相交的部分，结合弧长公式求解即可. 【详解】对于A，取中点，连接.    正方体中，因为，分别是，的中点， 所以，. 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 又平面，，所以平面平面. 由面面平行的性质得，当点在线段上运动时，平面，故A错误. 对于B，连接，，易知，则为梯形，且，，，共面， 所以过，，三点的平面截正方体所得截面为梯形. 在中，，同理可得. 所以为等腰梯形，又，， 所以，B正确. 对于C，过点作，交的延长线于点，连接.    正方体中，平面， 因为平面，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以，则即为平面与平面的夹角. 易知，则，所以， 在中，. 动点到平面的距离等于动点到的距离乘以平面与平面的夹角的正弦值. 过点作，交于点，易知，当点与点重合时，点到的距离取得最大值，即. 易知，则，所以， 所以动点到平面的距离的最大值为，C错误. 对于D，因为平面，所以即为直线与平面所成角，则， 在中，， 所以动点的轨迹为在平面上，以点为圆心，以为半径的圆. 又，所以点的轨迹与正方形的交点在边，上，设为点，， 则即为点的轨迹与底面内（含边界）相交的部分.    在中，，则， 同理可得，所以， 由弧长公式得，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，、闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为____________. 【答案】/ 【分析】若灯亮，则开关闭合，开关、至少闭合一个，利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件开关闭合，事件开关闭合，事件开关闭合， 若灯亮，则开关闭合，开关、至少闭合一个， 故所求事件的概率为. 13．已知，，，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】令，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，根据条件，利用数量积的运算，可得，进而可得，再由二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图，令，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为，，则，设， 则，所以，则， 又， 所以， 当时，取到最小值，最小值为， 所以的取值范围为. 14．在中，，的平分线交于点，为的中点．若，，则__________． 【答案】 【分析】先通过面积法与角平分线定理联立解出三角形的两腰边长，接着用余弦定理算出底边长度，最后直接代入中线定理求得目标中线长. 【详解】由题意得，且， 即， 代入得，即， 在中由正弦定理得，即， 在中由正弦定理得，即， 所以，由题意得，即， ，所以， 不妨设，此时点位于和之间，且有， 所以， ， 所以，因此，即，代入， 得，解得，进而， ， 设，，且， ， ， 则有， ， 整理得， 因为，将其代入到上式， 则有，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在锐角中，角所对边分别为，且满足. (1)求； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式以及余弦定理和正弦定理得到，进而化简得到，最后求出角度即可. （2）利用两角差的正弦公式并结合题意得到，，最后利用正弦定理得到，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，左式 ， 所以由余弦定理和正弦定理，可得右式， 故， 而为锐角三角形，， 故，故，故. （2）因为，所以， 所以，，， 所以，即，， 由正弦定理可得，所以， 得到， 所以． 16．（15分） 如图，正三棱柱中（底面是正三角形且侧棱与底面垂直的棱柱是正三棱柱），底面边长为，若为的中点．    (1)求证：直线平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1) （1）连结交于，连结， 在中，，分别为和的中点，则， 平面，平面， 平面. (2). 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明； （2）根据线面垂直的判定定理和性质定理证得，再利用可求得，最后用转换顶点法求三棱锥的体积. 【详解】（1）略； （2）    取中点为，连结，， ，则， 平面平面，平面平面，且平面， 平面，平面，则， 又，，面,面 面，， 则，可得. ，面，面，面，. 17．（15分） 2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值以及样本年龄的众数． (2)从样本中年龄为的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取多少人？ (3)若样本中年龄在的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差． 【答案】(1)，众数为 (2)4人 (3) 【分析】（1）利用所有小长方形的面积和为计算可得的值，然后根据众数概念求解即可； （2）利用分层抽样的概念求解即可； （3）由平均数和方差公式计算即可. 【详解】（1）由题意可得，解得， 由频率分布直方图可知：众数为. （2）由频率分布直方图可知年龄为的三组观众频率之比为：， 所以按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取（人） （3）由频率分布直方图可知的频率为，的频率为， 所以， ． 18．（17分） 如图，在多面体中，是边长为的等边三角形，平面，，，，，记的中点为． (1)证明：平面； (2)设为棱上的动点， （i）若，求到的距离； （ii）求与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)如图，取的中点，连接，. 平面，，，平面，平面. 为的中点，为的中点，， 在直角梯形中，，. ，，，； 平行四边形是平行四边形. . 平面，平面，平面平面. 是等边三角形，为的中点，. 平面平面，平面，平面. ，平面. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）取中点，连接，，根据中位线性质得四边形是平行四边形，求得；由平面证得平面平面，再证得平面，从而得到平面. （2）（i）过点分别作，，分别求出，，根据余弦定理求出 值，再求出的值，从而求出点到的距离； （ii）由余弦定理求出的值，再根据体积相等，解得的值，从而求出与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）（i）如图，过点分别作，，垂足分别为点，；取中点，连接，，，. 是边长为2的等边三角形，为的中点，，，. ，； ，，，，. 在中，. ，平面，平面. 在中，； 在中，. 在中，； . 在中，. 即点到的距离为. （ii）如图，过点作平面，垂足为点，连接，则为与平面所成角； 分别过点，作，，，垂足分别为，，. 则，，，. 在中，； 在中，； 在中，； ，即为等腰三角形. 是的中点，，. ，. 为棱上的动点，设，. 在中，. 在中，； 在中，； 在中，； . .，. 由（1）得平面，则平面. ，即，解得. 在中，. ，当时，取得最大值，即. 即与平面所成角的正弦值的最大值为. 19．（17分） 某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛．已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为．其中，，且每局比赛相互独立．决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束． (1)假设． （i）求“两局结束比赛且乙获胜”的概率； （ii）求比赛结束时乙获胜的概率； (2)若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略． 【答案】(1)（i）；（ii） (2)乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲 【分析】（1）（i）根据题意，结合独立事件的概率乘法公式，即可求解；（ii）根据题意，得到，代入计算，即可得到答案； （2）设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，事件为“第一局乙对甲最终乙获胜”，分①第一局乙获胜，第二局乙获胜；②第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜；③第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜，三种情况讨论，结合概率的乘法和互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】（1）（i）乙连胜两局获胜最终获胜的概率为； （ii）比赛结束时乙获胜的概率为 . （2）设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，事件为“第一局乙对甲最终乙获胜”， 则事件包含3种情况：①第一局乙获胜，第二局乙获胜； ②第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜； ③第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜， 所以， 同理可得, 所以 因为，所以，即， 所以乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市2026-2027学年高二数学上学期开学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，．则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．某工厂共有男职工1200人，女职工800人，现按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全厂职工中抽出一个容量为200的样本进行健康调查．若样本按比例分配，则应抽取男职工的人数为（    ） A．80 B．100 C．120 D．200 4．已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则，是异面直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 6．已知三棱锥中，平面ACD，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A．8π B．12π C．24π D．40π 7．如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．某小组有两名男生和两名女生，从中任选两人参加演讲比赛，则下列事件中，与事件“恰有一名男生被选中”互斥但不对立的是（    ） A．恰有一名女生被选中 B．被选中的学生的性别相同 C．被选中的学生均是男生 D．至少有一名女生被选中 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 10．的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级：日均值在，空气质量为二级：日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：）变化的折线图，关于日均值说法正确的是（   ） A．这10天的日均值的第75百分位数为60 B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C．这10天的日均值的中位数为41 D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 11．正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内（含边界）一动点，则下列结论正确的为（    ） A．存在唯一的点，使得平面 B．过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C．动点到平面的距离的最大值为 D．若直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，、闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为____________. 13．已知，，，则的取值范围为__________． 14．在中，，的平分线交于点，为的中点．若，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在锐角中，角所对边分别为，且满足. (1)求； (2)若，，求的面积. 16．（15分） 如图，正三棱柱中（底面是正三角形且侧棱与底面垂直的棱柱是正三棱柱），底面边长为，若为的中点． (1)求证：直线平面； (2)若，求三棱锥的体积． 17．（15分） 2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值以及样本年龄的众数． (2)从样本中年龄为的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取多少人？ (3)若样本中年龄在的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差． 18．（17分） 如图，在多面体中，是边长为的等边三角形，平面，，，，，记的中点为． (1)证明：平面； (2)设为棱上的动点， （i）若，求到的距离； （ii）求与平面所成角的正弦值的最大值． 19．（17分） 某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛．已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为．其中，，且每局比赛相互独立．决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束． (1)假设． （i）求“两局结束比赛且乙获胜”的概率； （ii）求比赛结束时乙获胜的概率； (2)若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $