精品解析：广东省深圳科学高中2025-2026学年高二上学期开学质量检测数学试题

深圳科学高中2025-2026学年高二第一学期开学质量检测（数学） 命题人：李博 审题人：姚俊杰 一、单选题 1. 已知复数，其中i是虚数单位，则z的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 2. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A. B. C. D. 12 4. 某羽毛球俱乐部有队和队，其中队有名学员，队有名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从队中抽取了名学员，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，两两垂直，则球的体积为 A. B. C. D. 6. 已知中，，，若满足上述条件的三角形有两个，则的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方形ABCD的边长为3，点E是边BC上的一点，且，点P是边DC上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，下面说法正确的是（ ） A. B. 是锐角三角形 C. 的外接圆半径为 D. 的内切圆半径为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点使得平面 B. 直线与平面所成角正弦值为 C. 的最小值为 D. 若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 三、填空题 12. 若关于x的方程无解，则实数k的取值范围是____________. 13. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 14. 已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 四、解答题 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且. （1）求的值； （2）若，求的值. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，，为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的大小； （3）求点到平面的距离. 17. 已知函数（为常数，）． （1）当取何值时，函数为奇函数； （2）当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围． 18. 新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．合肥六中为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求1800名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图． （2）学校建议，本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值（结果精确到）． （3）已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值． 19. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳科学高中2025-2026学年高二第一学期开学质量检测（数学） 命题人：李博 审题人：姚俊杰 一、单选题 1. 已知复数，其中i是虚数单位，则z的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简，可得的虚部. 【详解】解：，则的虚部为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题计算的关键是复数的运算法则.本题考查了复数的计算，属于简单题. 2. 函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为的定义域为，且在内单调递增， 可知在内单调递增， 且， 所以函数的唯一一个零点所在的区间是. 故选：B. 3. 如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜二测画法还原，可求各边长度和周长. 【详解】由题可作出图形，如下图所示： 由，可知，，， 所以， 故的周长为. 4. 某羽毛球俱乐部有队和队，其中队有名学员，队有名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从队中抽取了名学员，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样可得出关于的等式，解之即可. 【详解】根据分层抽样可得，解得． 故选：D． 5. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，两两垂直，则球的体积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由题意可构造以为过一顶点的三条棱的长方体，则该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，由于长方体的体对角线即为其外接球的直径，由此可得球半径，从而可求得球的体积． 详解：∵三棱锥中两两垂直， ∴以为过同一顶点的三条棱构造长方体，该长方体的外接球即为三棱锥的外接球． 又是边长为的正三角形， ∴， ∴长方体的体对角线为，即球的直径为， ∴球的体积为． 故选A． 点睛：关于球的内接几何体的问题，往往涉及到求球的体积或表面积，求解的关键是确定球心的位置和求出球的半径．当球外接于正方体（或长方体），即正方体（或长方体）的顶点均在球面上时，则正方体（或长方体）的体对角线长等于球的直径． 6. 已知中，，，若满足上述条件的三角形有两个，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出示意图，点C在射线上移动，从点B向射线引垂线BD，则点C应该在点D的两侧，进而得到答案. 【详解】如图，点C在射线上移动，从点B向射线引垂线，垂足为D，由题意可知， 若三角形有两个，则点C应在点D的两侧（如：），而AB=2，所以BC的范围是. 故选：B. 7. 已知正方形ABCD的边长为3，点E是边BC上的一点，且，点P是边DC上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立直角坐标系，用坐标表示数量积，转化为二次函数求最值. 【详解】以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则， 设，则，， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故选：C． 8. 已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出指定区间对应的相位范围，再利用余弦函数零点列式求解. 【详解】当时，， 由在区间上恰好有3个零点，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 二、多选题 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，下面说法正确的是（ ） A. B. 是锐角三角形 C. 的外接圆半径为 D. 的内切圆半径为 【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦定理角化边即可求解判断A；由大边对大角结合余弦定理求出最大角余弦值即可求解判断B；由余弦定理求出，接着求出即可由正弦定理求解判断C；由和即可求解判断D. 【详解】对于A，由正弦定理（R为外接圆半径） 得，故A正确； 对于B，因为，所以， 又，所以，所以为钝角三角形，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以外接圆直径为，所以外接圆半径为，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为r，则， 又，所以，故D正确. 故选：AD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点使得平面 B. 直线与平面所成角正弦值为 C. 的最小值为 D. 若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用面面平行的判定推理平面平面，然后利用直线与平面相交判断A；利用定义法作出线面角，并在直角三角形中求出线面角的正弦判断B；把三角形与三角形置于同一平面内，利用余弦定理求出线段长判断C；先利用线面垂直的判定推理平面，取棱的中点利用面面平行的判定推理得平面平面，进而平面，从而求出点的轨迹为正六边形，求解周长即可判断D． 【详解】对于A：先证平面平面，由正方体性质可知，且， 且，所以四边形和均为平行四边形， 所以，，因为平面， 在平面外，所以平面，平面， 又平面，，所以平面平面， 又为的中点，为线段上动点（包括端点）， 所以直线与平面相交，从而直线与平面相交，故A错误； 对于B：连接，则，由平面，平面， 得，又，，平面， 则平面，过作交于，连接， 于是平面，是直线与平面所成的角，，，所以，故B正确； 对于C，把三角形与三角形置于同一平面内，连接， 则的最小值为， 在中，，， ， 由余弦定理得，C正确； 对于D，由正方体的性质知平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以，平面， 所以平面，平面，所以， 同理可得，平面，故平面； 如图， 取棱的中点分别为， 连接，可得六边形为正六边形， 而，平面，平面，故平面， 同理可证平面，，，平面， 故平面平面，所以平面， 即过点且与垂直的平面截正方体所得截面即为正六边形，边长为， 其周长为，所以点的轨迹为正六边形，则点的轨迹长度为，D正确． 故选：BCD 三、填空题 12. 若关于x的方程无解，则实数k的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知与没有交点，利用辅助角公式结合正弦函数值域分析求解. 【详解】由题意可知：与没有交点， 因为， 且，可得， 可知，所以实数k的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中，且点M为BC边上的中点， 设内切圆的圆心为， 由于，故， 设内切圆半径为，则： ， 解得：，其体积：. 故答案为：. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 14. 已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先可得的周期为，方程的解，即为与的交点横坐标，画出与的图象，数形结合即可判断. 【详解】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图， 方程的解，即为与的交点横坐标， 且当时， 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为： 四、解答题 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由切化弦，通分化简，结合即可求解； （2）由得：，再结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为在中，，，则， 由，则. 【小问2详解】 由题意，， 又由余弦定理可得，， 由得：， 整理可得， 即， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，，为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的大小； （3）求点到平面的距离. 【答案】 （1）取的中点，连接、、． 为正三角形，， 平面平面，平面， ， 四边形是矩形， 、、均为直角三角形 由勾股定理可求得： ，， 又平面 ； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、、，根据面面垂直的性质可知平面，从而，由勾股定理可求得，又，满足线面垂直的判定定理则平面，根据线面垂直的性质可知； （2）由（Ⅰ）可知，，根据二面角平面角的定义可知是二面角的平面角，然后在三角形中求出此角即可； （3）设点到平面的距离为，连接，则根据等体积得，建立关于的等式解之即可得到点到平面的距离． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知， 是二面角的平面角 二面角为 （3）设点到平面的距离为，连接，则 ， 而， 在中，由勾股定理可求得 ，所以： 即点到平面的距离为. 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离常用的方法有：（1）几何法：找作证指求；（2）向量法：利用向量中点到平面的距离公式求解；（3）等体积法：根据体积相等求出点到平面的距离. 17. 已知函数（为常数，）． （1）当取何值时，函数为奇函数； （2）当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义直接构造方程求解即可； （2）根据指数函数和对勾函数单调性可求得，令，将问题转化为方程在上有根，结合单调性可求得结果. 【小问1详解】 若为奇函数，则， 即， ，，，解得：. 【小问2详解】 当时，，， ， 当时，，又在上单调递增， 当时，， 令，则方程在上有实根， 在上有实根，又在上单调递增， ，. 18. 新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．合肥六中为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求1800名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图． （2）学校建议，本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值（结果精确到）． （3）已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图各小矩形面积和为1及频率、频数的关系求解. （2）根据频率分布直方图求第70百分位数可得； （3）根据方差的求法，方差转化为，进而可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得物理测试成绩在的频率为 ， 频数为， 所以1800名学生中物理测试成绩在内的频数为270，补全频率分布直方图如图所示． 【小问2详解】 易得前两段频率之和为，前三段频率之和， 则有 满足，所以（分） 【小问3详解】 成绩在的频数为270人，， 成绩在的频数为540人，， 所以的学生成绩的平均值为， 由方差公式知，， 所以该班成绩的方差为： 所以的最大值为． 19. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等体积法运算即可得解； （2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h， 则， 解得， 所以点A到平面的距离为； 【小问2详解】 取的中点E,连接AE,如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面， 所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得，所以，，所以， 则,所以的中点， 则，, 设平面的一个法向量，则， 可取， 设平面的一个法向量，则， 可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $