2.1 等式与不等式的性质讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦等式与不等式的性质这一核心知识点，先系统梳理等式的对称性、传递性、可加性等基本性质，再延伸至不等式的对称性、传递性、同向可加性等，进而通过作差法、作商法等比较大小方法，结合待定系数法求取值范围，最后落实到不等式证明，构建从基础到应用的学习支架。 该资料以“糖水不等式”等现实情境引入，培养学生用数学眼光观察生活，通过作差法步骤分解、待定系数法规范流程等训练数学思维中的推理能力，例题涵盖选择、填空、解答题，课中辅助教师分层教学，课后练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

等式与不等式的性质 知识点一：等式的性质 条件 结论 性质 如果a=b 那么b=a 对称性 如果a=b，b=c 那么a=c 传递性 如果a=b 那么a±c=b±c 可加性 如果a=b 那么ac=bc 可乘性 如果a=b，c≠0 那么 可除性 知识点二：不等式的性质 条件 结论 性质 如果a>b 那么b<a 对称性 如果a>b，b>c 那么ac 传递性 如果a>b 那么a±c>b±c 可加性 如果a>b， 那么 可乘性 如果a>b，c>d 那么a＋c>b＋d. （a - d > b - c） 同向可加性 如果a>b>0，c>d>0 那么ac>bd. （ > ） 同向同正可乘性 如果a>b>0 那么anbn(n∈N，n≥1) 可乘方性 如果a>b>0 (n∈N，n≥2) 可开方性 如果a>b，ab>0 那么< 倒数法则 （了解）糖水不等式：若a>b>0，m>0，则 ＜ ＜ (b－m>0) （真分式越加越大，越减越小） ＜ ＜ (b－m>0) （假分式越加越小，越减越大） 解释：a克糖水中含有b克糖，再添加m克糖，糖水变甜了，去掉m克糖，糖水变淡了；同取倒数则不等式方向改变。 例1.下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 例2.下列说法中，错误的是（ ） A．若，则一定有 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例3.已知互不相等的正数a、b、c满足，则下列不等式中可能成立的是(       )． A． B． C． D． 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围（待定系数法） 例题.已知，且，则 的取值范围是 第一步：，并化简该式 第二步：列方程组，求出m，n的值． 第三步：分别求出的取值范围． 第四步：合并第三步的结果，即得z的取值范围 解：设，则解得 由已知得， 则.即. 例4．已知，，则的取值范围是(  ) A． B． C． D． 例5.设2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，求a+b，a﹣b，，ab，的取值范围． 例6.已知，，则的范围是_________，的范围是________． 知识点三：作差法比大小 对任意两个实数a、b ①；②；③． 作差比较法的四个步骤 例7．今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a元斤、b元斤(a≠b)，王大妈每周购买10元的白菜，李阿姨每周购买8斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 例8.比较下列两式大小： (1)与 (2)与 例9.已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小. 知识点四：作商法比大小 作商法：作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 例10.设，比较与的大小. 例11.已知，则的大小关系为_______． 知识点五：其它方法比大小 1、中间量法：也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 2、平方法：对两式先平方，再比较大小． 3、分子分母有理化。 例12.比较大小：．（用，或填空） 例13.已知，试比较和的大小. 例14.已知a>0，b>0，M＝，N＝，则M与N的大小关系为（　　） A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定 知识点六：不等式证明 例15.如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明榶水不等式； (2)已知是三角形的三边，求证：． 例16.证明不等式 (). 课后练习 1.若a，b为实数，下列命题正确的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.已知，试比较与的大小. 4.（多选）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 5.实数满足，． （1）求实数的取值范围； （2）求的取值范围． 6.设，，，则有（ ） A． B． C． D．m，n的大小不定 7.已知，，则（ ） A． B． C． D．，大小不确定 8．设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 等式与不等式的性质 知识点一：等式的性质 条件 结论 性质 如果a=b 那么b=a 对称性 如果a=b，b=c 那么a=c 传递性 如果a=b 那么a±c=b±c 可加性 如果a=b 那么ac=bc 可乘性 如果a=b，c≠0 那么 可除性 知识点二：不等式的性质 条件 结论 性质 如果a>b 那么b<a 对称性 如果a>b，b>c 那么ac 传递性 如果a>b 那么a±c>b±c 可加性 如果a>b， 那么 可乘性 如果a>b，c>d 那么a＋c>b＋d. （a - d > b - c） 同向可加性 如果a>b>0，c>d>0 那么ac>bd. （ > ） 同向同正可乘性 如果a>b>0 那么anbn(n∈N，n≥1) 可乘方性 如果a>b>0 (n∈N，n≥2) 可开方性 如果a>b，ab>0 那么< 倒数法则 （了解）糖水不等式：若a>b>0，m>0，则 ＜ ＜ (b－m>0) （真分式越加越大，越减越小） ＜ ＜ (b－m>0) （假分式越加越小，越减越大） 解释：a克糖水中含有b克糖，再添加m克糖，糖水变甜了，去掉m克糖，糖水变淡了；同取倒数则不等式方向改变。 例1.下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】举反例排除ABC；利用作差法即可判断D. 【详解】A选项，当时，，故A错误； B选项，当，，，时，，，故B错误； C选项，当，，，时，，故C错误； D选项，若，，则，即，故D正确． 故选：D. 例2.下列说法中，错误的是（ ） A．若，则一定有 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】对A举反例即可判断；对B和D，利用不等式基本性质即可判断；对C，利用作差法即可判断. 【详解】对于A，若，则，故A错误. 对于B，由，可知，所以，所以.故B正确. 对于C，，因为， 所以，所以.故C正确. 对于D，因为，所以.又，所以.故D正确. 故选：A. 例3.已知互不相等的正数a、b、c满足，则下列不等式中可能成立的是(       )． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则，得，排除A、D． 若，则，得，即，排除C． B是可能的，如：，，.故选B 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围（待定系数法） 例题.已知，且，则 的取值范围是 第一步：，并化简该式 第二步：列方程组，求出m，n的值． 第三步：分别求出的取值范围． 第四步：合并第三步的结果，即得z的取值范围 解：设，则解得 由已知得， 则.即. 例4．已知，，则的取值范围是(  ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以，，所以， 所以的取值范围是，故选D. 例5.设2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，求a+b，a﹣b，，ab，的取值范围． 【解析】解：∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴3＜﹣b＜4，， ∴﹣2＜a+b＜0，5＜a﹣b＜7，∵，∴1， 即﹣1，∵6＜﹣ab＜12，∴﹣12＜ab＜﹣6，∵9＜b2＜16，， ∴38，综上：﹣2＜a+b＜0，5＜a﹣b＜7，﹣1，﹣12＜ab＜﹣6，38． 例6.已知，，则的范围是_________，的范围是________． 【答案】 【解析】，，两个不等式相加可得，解得， 设， 所以，，解得，， 因为，， 由不等式的基本性质可得. 故答案为：；. 知识点三：作差法比大小 对任意两个实数a、b ①；②；③． 作差比较法的四个步骤 例7．今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a元斤、b元斤(a≠b)，王大妈每周购买10元的白菜，李阿姨每周购买8斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】由题意可得，，，， ，， ， ．故选：C． 例8.比较下列两式大小： (1)与 (2)与 【解析】（1）由， 所以. （2）由， 所以． 例9.已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小. 【答案】 【解析】∵ . 又a，b均为正实数， 当时，； 当时，， 则. 综上所述，. 知识点四：作商法比大小 作商法：作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 例10.设，比较与的大小. 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】法一：作商法 ， ， ， . 法二：作差法 （2）， ， ， 则， . 例11.已知，则的大小关系为_______． 【答案】≥ 【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果. 【详解】法一：作商法 因为， 则 由 所以 故答案为： 知识点五：其它方法比大小 1、中间量法：也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 2、平方法：对两式先平方，再比较大小． 3、分子分母有理化。 例12.比较大小：．（用，或填空） 此类题是方法是，若a+b=c+d，则两个数越接近，其根式和越大. 【答案】< 例13.已知，试比较和的大小. 【解析】， 又， 所以 , 所以. 例14.已知a>0，b>0，M＝，N＝，则M与N的大小关系为（　　） A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定 【答案】B 【分析】平方后作差比较大小即可. 【详解】， ∴M<N. 故选：B. 知识点六：不等式证明 例15.如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明榶水不等式； (2)已知是三角形的三边，求证：． 【解析】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 所以原不等式成立． 例16.证明不等式 (). 【答案】证明见解析. 【解析】证明：因为， 所以， 所以 两边同除以4，即得，当且仅当时，取等号. 课后练习 1.若a，b为实数，下列命题正确的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，当时，满足，不满足，故A不正确； 对于B，当时，满足，不满足，故B不正确； 对于C，当时，满足，不满足，故C 不正确； 对于D，若，则，故D正确.故选D. 2.下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A：当时，显然不成立，故A错误； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，故D错误. 3.已知，试比较与的大小. 【解析】由， 因为，，可得， 所以. 4.（多选）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，所以，A正确； 因为，所以，解得，B错误； 因为，，所以，C正确； ，，所以， D错误.故选：AC. 5.实数满足，． （1）求实数的取值范围； （2）求的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）由，，两式相加得，，则， 由，得，又，两式相加得，，即； （2）设，则，解得， ∴， ∵，∴，则． 6.设，，，则有（ ） A． B． C． D．m，n的大小不定 【答案】A 【分析】利用作差法即可比较大小. 【详解】由已知，所以 ，所以 又因为，且，所以. 故选：A 7.已知，，则（ ） A． B． C． D．，大小不确定 【答案】B 8．设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 学科网（北京）股份有限公司 $