2.1 等式性质与不等式性质 暑假预习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1 等式性质与不等式性质 知识点1、用不等式(组)表示不等关系 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题． 【注意】常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 知识点2、基本事实 文字表示 符号表示 如果a－b是正数，那么a＞b a－b＞0⇔a＞b 如果a－b等于0，那么a＝b a－b＝0⇔a＝b 如果a－b是负数，那么a＜b a－b＜0⇔a＜b 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 【注意】利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． 知识点3、重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)等号成立的充要条件是“a＝b”，其变形ab≤≥体现两数积、两数平方和、两数和的平方三者之间的关系． 知识点4、等式的性质与不等式的性质 不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a． (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c． (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c． (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc． (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d． (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd． (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)． 【注意】 1．不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算． 2．应用不等式一定要搞清不等式成立的前提条件． 考点一　用不等式表示不等关系 考点二　作差法比较代数式的大小 考点三　作商法比较代数式的大小 考点四　由不等式的性质比较数(式)大小 考点五　由不等式的性质证明不等式 考点六　利用不等式求值或取值范围 考点一　用不等式表示不等关系 1．（25-26高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 2．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱. (1)据此安排，两种货箱的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货箱的运费是万元，每节型货箱的运费是万元，哪种方案的运费最少？ 考点二　作差法比较代数式的大小 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（），两次加油后，请问谁的加油方式单价低?（     ） A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲 6．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 7．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 8．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，判断M，N的关系? 考点三　作商法比较代数式的大小 9．（25-26高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________． 10．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 11．（25-26高三·全国·一轮复习）若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接） 12．（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 考点四　由不等式的性质比较数(式)大小 13．（2026高二下·浙江·学业考试）已知，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 14．（2026高二下·浙江温州·学业考试）（多选）已知，，则（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·山东烟台·阶段检测）已知a、b、 ， ，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·江苏镇江·期末）（多选）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点五　由不等式的性质证明不等式 19．（25-26高三·全国·一轮复习）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 20．（2026·云南保山·二模）（多选）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且，则 21．（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 22．（第01讲不等式的基本性质（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）已知，求证:. 考点六　利用不等式求值或取值范围 23．（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 26．（25-26高三下·山西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高一上·安徽宿州·阶段检测）已知实数，满足， ，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围为___________． 1．（25-26高二下·广西柳州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东广州·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·上海·三模）“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 5．（25-26高一上·全国期末）若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖北荆门·阶段检测）已知，则的范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河南南阳·期末）（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·山东潍坊·期中）（多选）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 9．（2026·河南·三模）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 10．（25-26高一上·浙江温州·期末）（多选）已知，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 11．（2026·上海·模拟预测）在命题：①；②；③中，真命题的序号为__________ 12．（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 13．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 14．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，则的取值范围是___________ 15．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 16．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 17．（2026高一·全国·专题练习）已知均为正实数，且，求证：． 18．（2026高一·全国·专题练习）试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 等式性质与不等式性质 知识点1、用不等式(组)表示不等关系 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题． 【注意】常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 知识点2、基本事实 文字表示 符号表示 如果a－b是正数，那么a＞b a－b＞0⇔a＞b 如果a－b等于0，那么a＝b a－b＝0⇔a＝b 如果a－b是负数，那么a＜b a－b＜0⇔a＜b 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 【注意】利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． 知识点3、重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)等号成立的充要条件是“a＝b”，其变形ab≤≥体现两数积、两数平方和、两数和的平方三者之间的关系． 知识点4、等式的性质与不等式的性质 不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a． (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c． (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c． (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc． (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d． (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd． (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)． 【注意】 1．不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算． 2．应用不等式一定要搞清不等式成立的前提条件． 考点一　用不等式表示不等关系 考点二　作差法比较代数式的大小 考点三　作商法比较代数式的大小 考点四　由不等式的性质比较数(式)大小 考点五　由不等式的性质证明不等式 考点六　利用不等式求值或取值范围 考点一　用不等式表示不等关系 1．（25-26高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【分析】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可. 【详解】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错误； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错误； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错误. 故选：C. 2．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可. 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 3．（2026高三·全国·专题练习）限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由限速40km/h，可知汽车的速度v小于或等于40km/h，即. 4．（2026高一·全国·专题练习）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱. (1)据此安排，两种货箱的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货箱的运费是万元，每节型货箱的运费是万元，哪种方案的运费最少？ 【答案】(1)三种 (2)安排型货箱30节，型货箱20节时运费最少 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货箱的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货箱的运费，得出方案三运费最少. 【详解】（1）设安排两种货箱分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货箱28节，型货箱22节； 方案二，安排型货箱29节，型货箱21节； 方案三，安排型货箱30节，型货箱20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货箱分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货箱分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货箱30节，型货箱20节时，运费最少，为31万元. 考点二　作差法比较代数式的大小 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（），两次加油后，请问谁的加油方式单价低?（     ） A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲 【答案】D 【分析】分别计算甲、乙的平均加油单价，再比较即可. 【详解】甲两次总花费元，甲两次总加油量升， 因此甲的平均单价. 设油箱容积为升，即乙每次加油量为升，则乙两次总花费元，乙两次总加油量升， 因此乙的平均单价. . 因为，所以，因此，即. 6．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】利用作差法可判断. 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 7．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ， ； （2）， ． 8．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，判断M，N的关系? 【答案】当或时，； 当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，. 【详解】由. ①当时，，即； ②当时，，即； ③当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，，即. 综上所述，当或时，； 当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，. 考点三　作商法比较代数式的大小 9．（25-26高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________． 【答案】 【分析】由，，且，得到，再分和讨论求解. 【详解】因为，，且，所以， 当时，由，，可得，所以． 当时，由，，可得，所以． 综上可得，． 故答案为：． 10．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1）， 所以. （2）由，得，，， 因此， 所以. 11．（25-26高三·全国·一轮复习）若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接） 【答案】 【分析】法一：通过作商法可判断，法二：通过作差法可判断； 【详解】方法一（作商法）：因为， 所以， 所以． 方法二（作差法）：，即． 故答案为： 12．（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 考点四　由不等式的性质比较数(式)大小 13．（2026高二下·浙江·学业考试）已知，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，B，由，可得，故A错误，B正确； 对于C，由，易得，故C错误； 对于D，因，则得，故D错误. 14．（2026高二下·浙江温州·学业考试）（多选）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】已知，，则， ，故，A正确； ，则， ， ， ，故B正确； 取，满足，， 此时，即， 故不恒成立，故C错误； ，则， ， 则，故，故D正确． 15．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 16．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】实数满足， ，，A项错误； ，但是正负不确定，B项错误； ，但是正负不确定，C项错误； ，所以，D项正确. 17．（25-26高二下·山东烟台·阶段检测）已知a、b、 ， ，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，当时，满足，，则，故A错误； 对于B，由，得，则，故B正确； 对于C,D，当时，，，故C,D错误. 18．（25-26高一上·江苏镇江·期末）（多选）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A：当时， ，故A错误； 对于B：因为，则，故得，故B正确； 对于 C：若取，，满足， 因，，，显然不满足，故 C错误； 对于D：由，得且， 因，可得，故D正确. 考点五　由不等式的性质证明不等式 19．（25-26高三·全国·一轮复习）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取特值寻找ABD的反例,使用同正可乘性验证C即可. 【详解】当，时，ABD显然错误； 由可得，由不等式性质可得，，故C正确. 20．（2026·云南保山·二模）（多选）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BCD 【详解】对于A，，若，则，故A为假命题； 对于B，，，又，，故B为真命题； 对于C，，则，，故C为真命题； 对于D，且，则，，故D为真命题． 21．（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质及特值法逐项分析判断即可. 【详解】对于A：，，则，故，A正确. 对于B：当，，，时，，故B错误. 对于 C：因为，所以，所以，C正确. 对于D：当，，，时，，，故，D错误. 22．（第01讲不等式的基本性质（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）已知，求证:. 【答案】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 【分析】利用不等式的性质及作差法比较，即可得到结论． 【详解】略. 考点六　利用不等式求值或取值范围 23．（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A， ，即 ，故A正确； 对于B，由 ，得 ， 所以，即 ，故B正确； 对于C，当 时，得 ， 所以 ，即 ， 所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故C错误； 对于D，当 时，得 ，所以 ， 即 ，所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故D正确. 24．（25-26高一上·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则. 25．（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 26．（25-26高三下·山西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简，再应用不等式性质计算求解. 【详解】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则则的取值范围是. 故选：D. 27．（25-26高一上·安徽宿州·阶段检测）已知实数，满足， ，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可通过设，求出和的值，再结合已知不等式的范围求出的取值范围． 【详解】设，将其展开可得，， 可得，解得，， 所以， 由题可得，， 所以，即 故选：A． 28．（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】由于， 则，所以, 即, 则的取值范围为; 故答案为： 1．（25-26高二下·广西柳州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一验证即可求解. 【详解】对于A，由，所以，故A错误； 对于B，由，所以，，所以，故B错误； 对于C，若，由，所以，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 2．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于ABD，不妨设，满足， A选项，，故，A错误； B选项，，故，B错误； D选项，，故，D错误； 对于C，，则，，C正确. 3．（25-26高二下·广东广州·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性. 【详解】因为，根据不等式的性质有，所以充分性成立， 当时，满足，但不成立，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4．（2026·上海·三模）“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【详解】若“”，则“”，所以“”“”； 若“”，则或，即或； 所以“”推不出“”； 所以“”是“”的充分非必要条件. 5．（25-26高一上·全国期末）若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，，此时，错误. 对B：若，，则有，， 此时，错误. 对C：， 由，故，，，故， 即，正确. 对D：若，，则，， 此时，错误. 6．（25-26高一上·湖北荆门·阶段检测）已知，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的范围，再结合不等式性质可求的范围. 【详解】因为，所以， 当时，，即， 当时，，即， 综上可知， 故选：B. 7．（25-26高二下·河南南阳·期末）（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，则得，故A正确； 对于B，若取，满足， 此时，不满足，故B错误； 对于C，由题意得，因为， 所以，故C正确； 对于D，由题意得，因为，所以， 则，故D正确. 8．（25-26高一下·山东潍坊·期中）（多选）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】根据不等式的性质，可通过特殊值法、作差法逐一验证选项的正确性. 【详解】对于选项A，取，满足，但，故选项A不正确； 对于选项B，因为，，所以，故选项B正确； 对于选项C，因为，所以，又，由不等式的性质，得，故选项C正确； 对于选项D，当，时，，故选项D正确. 9．（2026·河南·三模）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】对于选项A，可根据已知不等式判断的取值情况，再结合不等式性质判断与的大小关系； 对于选项B，可根据不等式两边同时平方的性质判断与的大小关系； 对于选项C，可通过作差法比较与的大小； 对于选项D，可根据不等式的性质求出的取值范围． 【详解】选项A，已知 ，因为 ，当 时，，不满足 ，所以 ，则 ． 不等式 两边同时除以 ，不等号方向不变，可得 ． 当 时，满足 ，但此时 ，所以选项A错误． 选项B，已知 ，因为 和 都有意义，所以 ． 不等式两边同时平方，不等号方向不变，可得 ，即 。 因为函数 在 上单调递增，所以由 可得 ，选项B正确。 选项C， ， 因为 ，所以 ，，则 ， 所以 ，即 ，选项C错误． 选项D，已知 ，不等式两边同时乘以 ，不等号方向改变，可得 ， 又因为 ，根据不等式的性质，两个不等式相加，不等号方向不变， 可得 ，即 ，选项D正确． 10．（25-26高一上·浙江温州·期末）（多选）已知，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较和作商比较法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，由，所以，所以A正确； 对于B，因为，由不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C，由， 因为，可得，且，， 所以，即，所以，所以C错误； 对于D，由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以D正确. 故选：ABD. 11．（2026·上海·模拟预测）在命题：①；②；③中，真命题的序号为__________ 【答案】②③ 【分析】根据不等式的性质，逐一进行检验. 【详解】对于命题①，且时，若，有，命题①为假命题； 对于命题②，且时，由可得，即， 所以，得且，即，命题②为真命题； 对于命题③，且时，有且， 所以，满足，命题③为真命题. 12．（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 【答案】 【详解】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件， 则利润为元（）， 则，化简得. 销售量为非负，结合提价要求得， 故. 13．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 14．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】先根据的范围求出的范围，再与的范围相加，从而得到的取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 即的取值范围为． 故答案为： 15．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）利用不等式的性质求解； （2）利用作差法比较大小. 【详解】（1）由①，②，得， 由②得：③， 由①+③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故，，. （2） 因为，，则，故． 16．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式性质求出范围. （2）将用表示出，再利用不等式的性质求出范围. 【详解】（1）由，得， 当时，，则，即， 当时，，因此， 所以的取值范围是. （2）依题意，， 由，得， 则，所以的取值范围是. 17．（2026高一·全国·专题练习）已知均为正实数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的基本性质，结合已知条件，利用作差法计算证明结论． 【详解】，， ， 又， ，故， ，，， ，即． 18．（2026高一·全国·专题练习）试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）两数大小即为的大小，平方后可得它们的大小关系； （2）利用作商法结合分母有理化可得它们大小关系； 【详解】（1） 理由：， 由于，且 所以，即， 因此. （2） 理由： 因为，所以即得， 即，又， 故. 【点睛】比较含无理数的式子之间的大小关系适合用作差法或作商法. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $