精品解析：山东省东营市2025-2026学年第二学期期末学业质量评价高二数学试题

秘密★启用前 2025—2026学年第二学期期末学业质量评价 高二数学试题 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上． 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知等差数列的公差为，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数的极大值点 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零 3. 若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的回归直线方程为，则样本点的残差为（ ） A. B. 1.8 C. D. 2.5 4. 已知等比数列的公比为，则“”是“为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在东营市“河海交汇，湿地油城”主题展示活动中，主办方从全市精选多处具有地方特色的旅游景点，并划分为“滨海赶海”“城市休闲”“玩水乐园”“人文景区”四大主题板块，甲乙两位游客各自随机选择一个主题体验，事件：甲和乙至少一人选择“玩水乐园”，事件：甲和乙选择的主题不同，则（ ） A. B. C. D. 6. 若存在使得，则称是函数的一个“好点”，则下列函数中，不存在“好点”的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的各项均为正数，，是函数的两个极值点，则（ ） A. 4052 B. 2027 C. 2026 D. 1013 8. 一个盒子中装有大小相同、质地均匀的6个小球，这6个小球分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从盒中有放回地任取一个球并记下编号，共取4次，得到一组编号组成的数据，若该组数据的平均数为3，则（ ） A. 中位数可能为5 B. 极差可能为1 C. 众数可能为2 D. 方差可能为6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 一组数据1，3，3，4，5，6，7，8的第40百分位数为4 B. 对于回归直线方程，若每增加1个单位，一定增加0.5个单位 C. 若事件，满足，则事件，是对立事件 D. 若事件，满足，则事件，相互独立 10. 已知函数，，则下列正确的是（ ） A. 若，则 B. 若函数在区间上单调递增，则 C. 当时，函数的单调递减区间为 D. 当时，函数的两个极值点，满足 11. 已知数列满足（是自然对数的底数），且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为________． 13. 已知函数的导函数为，且，则_______． 14. 已知数列中，，其余项由如下规则生成：若为奇数，有的概率为，有的概率为；若为偶数，有的概率为，有的概率为，则是偶数的概率为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 函数，． （1）若，求函数的单调区间； （2）判断函数的零点个数． 16. 已知公差不为零的等差数列的前5项和为35，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 17. 某校引入智能学情诊断系统做学情测评，待检测样本为100名学生，其中拔尖生25人，待提升学生75人．对每位学生进行独立测评：被测学生实际为拔尖生时，精准识别出拔尖生的概率为；被测学生实际为待提升学生时，精准识别出待提升学生的概率为． （1）从这100名学生中随机抽选2人，求抽到的2人均是拔尖生的概率； （2）现从100名学生中随机抽选3人进行测评，每次抽选1人，测评后返回人群，用随机变量表示测评中识别判断正确的次数，求随机变量的分布列及数学期望． 18. 已知函数的定义域为，直线与曲线相切．若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”． （1）证明：直线是函数的“上切线”； （2）若函数有“上切线”且有“下切线”，求的取值范围； （3）若直线既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，求的取值范围． 19. 满足且的正态分布称为标准正态分布，其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果，那么令，则可以证明，即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布．某市为鼓励居民节约用电，实行阶梯电价制度．根据统计，该市居民月用电量（单位：度）服从正态分布． （1）为制定阶梯电价方案，需了解月用电量的分布情况，求（）； （参考数据：若，，） （2）若，函数（），证明：曲线是中心对称图形； （3）若某小区一共有户住户，其电表编号为（，，，…，），国家电网工作人员随机读取该小区所有住户的电表数据，每户读取时长为1分钟，已知某幢楼单元有户住户，记随机变量表示单元最后一户住户读取结束所用的时长（从第1户开始读取到最后一个单元住户读取结束所用的总时长），证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 2025—2026学年第二学期期末学业质量评价 高二数学试题 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上． 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知等差数列的公差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的定义求解即可. 【详解】因为等差数列的公差为，所以. 故选：C. 2. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数的极大值点 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点、最值点、切线斜率的正负． 【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时， 函数在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，故A错误，B正确； ∴在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确； ∴函数在处的导数大于，切线的斜率大于零，故D不正确. 故选：B 3. 若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的回归直线方程为，则样本点的残差为（ ） A. B. 1.8 C. D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】先将样本点的横坐标代入回归直线方程求得预测值，再根据残差等于实际观测值减去预测值计算即可. 【详解】由已知回归直线方程为，将代入方程，可得预测值， 又实际观测值，因此残差为 . 4. 已知等比数列的公比为，则“”是“为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】等比数列首项时，， 因为，所以为递增数列， 所以推不出为递减数列； 若数列的通项公式为，此数列为递减数列， 公比，不满足，所以为递减数列推不出； 所以等比数列的公比为，“”是“为递减数列”的既不充分也不必要条件. 5. 在东营市“河海交汇，湿地油城”主题展示活动中，主办方从全市精选多处具有地方特色的旅游景点，并划分为“滨海赶海”“城市休闲”“玩水乐园”“人文景区”四大主题板块，甲乙两位游客各自随机选择一个主题体验，事件：甲和乙至少一人选择“玩水乐园”，事件：甲和乙选择的主题不同，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查条件概率的计算，通过计数事件A、事件AB包含的基本事件数，结合条件概率公式求解即可. 【详解】甲乙各自从4个主题中随机选择1个，共有种等可能的基本事件。 事件的对立事件为“甲乙都不选择‘玩水乐园’”，此时每人有3种可选主题，共种基本事件，因此， 表示“至少一人选玩水乐园且两人选择的主题不同”，分两类：①甲选玩水乐园、乙选其他主题，共3种； ②乙选玩水乐园、甲选其他主题，共3种，因此， 根据古典概型下的条件概率公式，代入得. 6. 若存在使得，则称是函数的一个“好点”，则下列函数中，不存在“好点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对A，由， 因为，，所以方程有解， 即函数存在“好点”； 对B，由， 因为，所以方程有两个不相等的实根， 即函数有两个“好点”； 对C，由， 因为，，所以方程无解， 即函数无“好点”； 对D，由， 设，，因为在上连续，且， 所以在上单调递增，又，， 所以只在内有一个零点. 即函数只有1个“好点”，位于区间内. 7. 已知等比数列的各项均为正数，，是函数的两个极值点，则（ ） A. 4052 B. 2027 C. 2026 D. 1013 【答案】A 【解析】 【分析】利用韦达定理得到等比数列两项的乘积，结合等比数列下标和性质化简对数运算. 【详解】由题意得， 因为是函数的两个极值点，所以， 因为是各项均为正数的等比数列，所以， 所以 8. 一个盒子中装有大小相同、质地均匀的6个小球，这6个小球分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从盒中有放回地任取一个球并记下编号，共取4次，得到一组编号组成的数据，若该组数据的平均数为3，则（ ） A. 中位数可能为5 B. 极差可能为1 C. 众数可能为2 D. 方差可能为6 【答案】C 【解析】 【分析】设四次数据为，且，由题可得，对于A，由题可得，据此可判断选项正误；对于B，由题可得，据此可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，设，由题可得，然后结合可判断选项正误. 【详解】设四次数据为，且，由题可得. 对于A，若中位数为5，则， 注意到，则， 又，则，从而，这与矛盾，故A错误； 对于B，若极差为1，则，结合， 则，，， 令，，分别为时，均不为整数， 这与矛盾，故B错误； 对于C，取可满足题意，故C正确； 对于D，设，则， 得到， 若方差为6，则，易得中至少有1个为， 否则与题设不符. 取，则， 结合，， 可得只有三种可能性， 但均不满足，故D错误. 【点睛】关键点睛：本题涉及数据平均数，中位数，极差，众数，方差计算方法，关键在于将题设条件转化为与相关数据有关的等式，结合反证法，举特例等手段判断可能性. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 一组数据1，3，3，4，5，6，7，8的第40百分位数为4 B. 对于回归直线方程，若每增加1个单位，一定增加0.5个单位 C. 若事件，满足，则事件，是对立事件 D. 若事件，满足，则事件，相互独立 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据百分位数计算规则，算出，非整数时向上取整，对应位置的数据即为第百分位数；对B，回归直线斜率刻画的是预报值的平均变化，不是真实值的确定性变化，据此判断选项正误；对C，对立事件需要同时满足互斥且概率之和为 1，仅有概率和为 1 不能判定两事件对立；对D：利用条件概率公式展开与，令二者相等化简，推导出完成判定. 【详解】对于A：该组数据共8个，已从小到大排序，计算得，不是整数，向上取整为4， 即第40百分位数为第4个数据4，故A正确； 对于B：回归直线方程中的是的估计值，每增加1个单位时，平均增加0.5个单位，并非一定增加0.5个单位，故B错误； 对于C：对立事件需要同时满足两个条件：①互斥（），②， 仅给出无法推出是对立事件，故C错误； 对于D：根据条件概率公式，，， 可得，化简得，即相互独立，故D正确. 10. 已知函数，，则下列正确的是（ ） A. 若，则 B. 若函数在区间上单调递增，则 C. 当时，函数的单调递减区间为 D. 当时，函数的两个极值点，满足 【答案】AD 【解析】 【分析】先对函数求导，再根据导数的性质来分析函数的单调性、极值点，进而对选项逐一判断. 【详解】对函数求导得，若，则，解得，所以A选项正确； 若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立， 令，则在上单调递增，要使在上恒成立， ，解得，所以B选项错误； 当时，，令，即，解得，所以函数的单调递减区间为，所以C选项错误； 令，即，若函数有两个极值点，，则和为的两根， 当时，，， 所以，所以D选项正确. 11. 已知数列满足（是自然对数的底数），且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于B，利用数学归纳法判断选项正误；对于A，由B分析结合单调性可判断选项正误；对于C，注意到，然后由对任意不为0的，成立可判断选项正误；对于D，由可判断选项正误. 【详解】对于B，注意到，假设，则， 则由数学归纳法可得对一切，，故B正确； 对于A，，构造函数，， 则， 从而在上单调递减，在上单调递增，由B分析可得， 则，故A正确； 对于C，， 由A分析可得对任意不为0的均成立，则， 则，从而，故C错误； 对于D，易得当时，，故D错误； 【点睛】关键点睛：本题涉及数列，导数，数学归纳法.对于数列不等式问题，常见处理手段有数学归纳法，放缩，构造函数等. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为________． 【答案】10 【解析】 【详解】展开式的通项公式为， 令的次数，此时的次数为，符合要求. 故的系数为. 13. 已知函数的导函数为，且，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】由求导得， 令，则得，解得， 所以，. 14. 已知数列中，，其余项由如下规则生成：若为奇数，有的概率为，有的概率为；若为偶数，有的概率为，有的概率为，则是偶数的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先依次推导、的奇偶性对应的概率，再结合的奇偶性计算为偶数的总概率. 【详解】由题意可得，若为奇数，则为偶数的概率为，为奇数的概率为； 若为偶数，则为偶数的概率为，为奇数的概率为； 已知为奇数，因此，。 ； ； . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 函数，． （1）若，求函数的单调区间； （2）判断函数的零点个数． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点. 【解析】 【分析】（1）利用函数求导，由导函数的符号即可确定函数的单调区间； （2）根据函数的零点定义，将函数的零点个数问题转化为求函数与直线的交点个数，利用求导判断函数的单调性与极值，图象趋势情况，数形结合即可求得参数在不同取值情况下函数的零点个数. 【小问1详解】 当时，，则， 由可得，由可得或， 故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 【小问2详解】 由可得，依题意，函数的零点个数即函数与直线的交点个数. 因，当时，，当或时，， 则函数在上单调递增；在和上单调递减， 且当时，，当时，，， 故当或时，两函数有1个交点；当时，两函数有2个交点；当时，两函数有3个交点； 即当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点. 16. 已知公差不为零的等差数列的前5项和为35，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，利用等差数列通项与前项和的基本量运算，以及等比中项的概念列方程求解即得通项公式； （2）由已知，得到数列的前项和的表达式，先利用分组求和，再利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 设数列的公差为， 由  得 ， 即 ①. 由  成等比得， 化简得， 即 ， 将其代入①，解得 . 故数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，， 已知当为奇数时， ；当为偶数时， . 则 . 不妨设， 则， 两式相减，可得  故， 从而. 17. 某校引入智能学情诊断系统做学情测评，待检测样本为100名学生，其中拔尖生25人，待提升学生75人．对每位学生进行独立测评：被测学生实际为拔尖生时，精准识别出拔尖生的概率为；被测学生实际为待提升学生时，精准识别出待提升学生的概率为． （1）从这100名学生中随机抽选2人，求抽到的2人均是拔尖生的概率； （2）现从100名学生中随机抽选3人进行测评，每次抽选1人，测评后返回人群，用随机变量表示测评中识别判断正确的次数，求随机变量的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率计算公式求解. （2）先利用全概率公式求从100名学生中随机抽选1人，能精确识别的概率，再利用二项分布求概率的分布列和期望. 【小问1详解】 设事件：从这100名学生中随机抽选2人，抽到的2人均是拔尖生， 则. 【小问2详解】 从100名学生中随机抽选1人，能精确识别的概率为：. 由题意，取值为0,1,2,3， 所以，，，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为. 18. 已知函数的定义域为，直线与曲线相切．若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”． （1）证明：直线是函数的“上切线”； （2）若函数有“上切线”且有“下切线”，求的取值范围； （3）若直线既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，求的取值范围． 【答案】（1）对求导可得，，， 所以直线是函数的切线， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以直线是函数的“上切线”. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证直线是函数的切线，令，要证直线是函数的“上切线”，只需先证恒成立即可； （2）根据“上切线”和“下切线”的定义，得到关于的不等式，进而求出的取值范围； （3）根据是函数和的公切线，设的切点为，可得，令 ，利用导函数分析函数单调性和最值，即可求的取值范围． 【小问1详解】 对求导可得，，， 所以直线是函数的切线， 令 ，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以直线是函数的“上切线”； 【小问2详解】 因为是函数的“上切线”， 所以对一切恒成立， 即 ， 化简得 对恒成立， 当时，不恒成立， 当时，则需，解得； 因为是函数的“下切线”， 所以对一切恒成立， 即 ， 化简得 对恒成立， 当时，不恒成立， 当时，则需，解得； 综上可得. 【小问3详解】 设的切点为，，则切线斜率， 所以的切线方程为，即， 因为直线既是函数的“下切线”， 所以即恒成立，且， ， 令 ，则，令 ，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以 ，即， 又直线也是函数的“上切线”， 所以即恒成立， 因为直线是函数的切线， 所以，即有且只有一个实数根， 所以 ，所以， 所以 ， 令 ， 则， 令 ，则 ， 所以 在上单调递增， 又，所以当时，，当时，， 又，所以当时，，当时，， 所以 在上单调递增，在上单调递减， 所以 ，所以，所以. 19. 满足且的正态分布称为标准正态分布，其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果，那么令，则可以证明，即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布．某市为鼓励居民节约用电，实行阶梯电价制度．根据统计，该市居民月用电量（单位：度）服从正态分布． （1）为制定阶梯电价方案，需了解月用电量的分布情况，求（）； （参考数据：若，，） （2）若，函数（），证明：曲线是中心对称图形； （3）若某小区一共有户住户，其电表编号为（，，，…，），国家电网工作人员随机读取该小区所有住户的电表数据，每户读取时长为1分钟，已知某幢楼单元有户住户，记随机变量表示单元最后一户住户读取结束所用的时长（从第1户开始读取到最后一个单元住户读取结束所用的总时长），证明：． 【答案】（1） （2）已知，（）， 则，因为标准正态分布关于轴对称， 所以，即， 所以， 所以曲线关于点成中心对称图形； （3）由题可知的取值为， 表示第户是单元的最后一户住户的概率， 从户中选户，其中第户是单元的最后一户住户， 那么前户中有户是单元的住户， 所以， 根据期望的定义，则， 因为，所以， 由组合数的性质，可得 则. 【解析】 【分析】（1）先做标准化变换转为标准正态分布，再利用标准正态对称性求出概率； （2）由定义（），结合正态分布的性质进行证明； （3）先写出对应的组合概率，代入期望公式，利用组合恒等变形证明. 【小问1详解】 已知，令，则由题可知， 当时，，当时，， 所以， 因为标准正态分布关于轴对称，所以，； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $