精品解析：山东省东营市2024-2025学年高二下学期7月期末质量监测数学试题

2024—2025学年度第二学期期末质量监测 高二数学 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. （ ） A. 25 B. 35 C. 70 D. 1050 【答案】C 【解析】 【分析】运用组合公式进行计算 【详解】，故C正确. 故选：C. 2. 如图，线段AB是函数的图像，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的定义，结合图像即可求解； 【详解】因为， 根据图像， 所以. 故选：D. 3. 若数列，m，x，n，是等比数列，则x是（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出公比，利用等比数列的性质及等比中项得到方程，求出. 【详解】设公比为，则，且，解得. 故选；D 4. 为了解某校学生体重（单位：kg）的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示，估计这个学校学生体重的第三四分位数为（ ） A. 51 B. 58 C. 59 D. 58.5 【答案】B 【解析】 【分析】第三四分位数，即75百分位数，利用百分位数的定义进行求解即可. 【详解】第三四分位数，即75百分位数，， 故将10名学生体重从小到大排序，选取第8个数作为第三四分位数，即58. 故选：B 5. 5名同学分成两组参加志愿服务活动，其中甲、乙不同组的分法种数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据5名同学分成两组，有1和4分组以及2和3分组这两种情况即可求解. 【详解】5名同学分成两组，有1和4分组以及2和3分组这两种情况， 若甲在1人组，乙在4人组，这是1种情况， 若甲在4人组，乙在1人组，这又1种情况， 所以1和4分组时甲、乙不同组的方案数为种， 若甲在2人组，乙在3人组，那么从剩下3人中选1人与甲一组， 根据组合数公式，则种情况， 若甲在3人组，乙在2人组， 同样从剩下3人中选1人与乙一组，也有种情况， 所以2和3分组时甲、乙不同组的方案数为种， 根据分类加法计数原理，将两种分组情况的方案数相加，可得甲、乙不同组的分配方案共有种． 故选：D. 6. 设随机变量服从标准正态分布，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据变量符合正态分布，且对称轴为，得到应用所给条件即可求出结果. 【详解】服从标准正态分布， ∴ ， 故选：C. 7. 袋中有2个白球，3个红球，从中随机连续抽取4次，每次取一个球.若每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为X，则X的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出X的可能取值和对应的概率，先计算出期望，再利用公式计算出方差. 【详解】X的可能取值为2，3， ，， 故，. 故选：A 8. 某区块链公司开发了一种“分形存储”技术.当用户上传一个大型文件时，为确保数据安全，系统会将文件分割成一系列连续的数据块，同时为每个数据块生成动态验证码.已知数据块大小（单位：TB）按上传顺序构成等差数列，第一个数据块大小为100TB，此后每个数据块比前一个数据块减少5TB.验证码数量（单位：个）按上传顺序构成等比数列，第一个数据块生成4个验证码，此后每个数据块的验证码数量是前一个数据块验证码数量的3倍.若系统要求总验证码数量不能超过1000000个，用户上传的大型文件最大为（参考数据：，）（ ） A. 820TB B. 825TB C. 827TB D. 851TB 【答案】B 【解析】 【分析】分别分析数据块大小的等差数列和验证码数量的等比数列，先根据等比数列的前项和求出满足验证码数量限制的最大项数，再利用等差数列的前项和求出文件的最大大小. 【详解】由题意， 设数据块大小构成的等差数列为， 首项，公差， 根据等差数列通项公式可得. 由于数据块大小不能为负，令，解得. 设验证码数量构成的等比数列为， 首项，公比， ∴. 由题意，，即. ∴. ∵为正整数且取最大值， ∴. 要求用户上传大型文件的最大大小，即求等差数列的前11项和， ∴. 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数求导数错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由导数的四则运算及简单复合函数的求导，逐个判断即可 【详解】A：，故A错误，符合题意； B：，故B错误，符合题意； C：，故C错误，符合题意； D：，故C正确，不符合题意； 故选：ABC. 10. 某中学对1000名学生的竞赛成绩进行统计分析，按照，，，，分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 图中的x值为0.020 B. 得分在80分及以上的人数为400 C. 这组数据的极差一定为50 D. 这组数据的平均数的估计值为77 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据频率之和为1得到方程，求出；B选项，先计算出得分在80分及以上频率，进而得到得分在80分及以上的人数；C选项，从频率分布直方图中无法确定具体的成绩数值，C错误；D选项，利用中间值作代表，利用平均数的定义计算即可. 【详解】A选项，频率之和为1，故， 解得，A正确； B选项，得分在80分及以上的频率为， 故得分在80分及以上的人数为，B正确； C选项，从频率分布直方图中无法确定具体的成绩数值，故无法确切求出极差的大小， 只能进行极值的估计，C错误； D选项，利用中间值作代表，， 这组数据的平均数的估计值为77，D正确. 故选；ABD 11. 已知等比数列的公比为，且，则下列命题正确的是（   ） A. 若为单调递增数列，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则且 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得，可判断A；对于B，由题意可得，计算可判断B；对于C，利用，计算可判断C；利用，计算可判断D. 【详解】对于A，因为为单调递增数列，，所以，故A正确． 对于B，由，得， 得，故B正确． 对于C，令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以，当且仅当时取到等号， 所以， 则，得或，故C错误． 对于D，令，则， 当时，，即函数在上为减函数， 当，，即函数在上为增函数， 所以，所以，当且仅当时取到等号， 则， 当且仅当时取等号，所以， 即，且，故D正确． 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 的二项展开式中项的系数为______ 【答案】84 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式，由指定项经计算即得. 【详解】的二项展开式的通项：， 由得，， 所以展开式中项系数为84. 故答案为：84 13. 对任意，函数不存在极值点的充要条件是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出导数，可得出，从而可求解出实数a的取值范围. 【详解】，, 由于函数不存在极值点， 无实根或有两个相等的实根. ①时，原方程化为，不成立，原方程无解，符合题意； ②时，为一元二次方程， 故,解得： 综上所述， 故答案为： 14. 一个箱子里有10个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球4个，黄色小球3个，蓝色小球2个，绿色小球1个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为X，则________，数学期望________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】①把四种情况对应概率相加即可 ②（方法一）用表示红色，黄色，蓝色，绿色小球被取到，分别求出各自对应概率及数学期望，最后相加即可 （方法二）分别列出的所有可能取值，分别计算出，，，再计算期望即可. 【详解】①：. ②：（方法一） 设，则服从两点分布，，，, 设，则也从两点分布，，，, 设，则也从两点分布，，， 设，则也从两点分布，，， ， （方法二）， ， ， . 故答案为： ； 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某人工智能公司从某年起连续年的利润情况如下表所示. 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）计算出与之间的相关系数（精确到），并求出关于的回归直线方程； （2）根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第年和第年的利润. 参考公式：样本的回归直线为，其中，，，，，. 【答案】（1）相关系数约为，回归方程为. （2）第、年的利润约为亿元、亿元. 【解析】 【分析】（1）求出、的值，将参考数据代入相关系数公式，可求出相关系数的值，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归直线方程； （2）将、分别代入回归直线方程，可得结果. 【小问1详解】 由题中数据可得， ， ， 因此， ，， 故回归直线方程为. 【小问2详解】 在回归直线方程中令，得. 令，得， 因此预测第、年的利润约为亿元、亿元. 16. 已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3. （1）求数列，的通项公式； （2）数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列性质得到方程组，求出，，求出公差和首项，得到通项公式，并根据等比数列通项公式求出； （2）计算出，利用错位相减法求和，得到答案. 【小问1详解】 为等差数列，故， 因为，，所以， 整理得，解得或， 当时，，当时，， 因，所以，，故， 此时，所以， 因为等比数列的首项，公比为3，得. 【小问2详解】 由题，， ， ， 两式相减得 ， 故. 17. 已知，函数. （1）当时，求函数在点的切线方程； （2）若， ①求； ②求证：对，都有. 【答案】（1）. （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）①解法一：分析可知，结合函数的最值与极值的关系可知为函数的极大值，可得出，求出的值，再利用结合函数极值点的定义验证即可； 解法二：求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合可求得实数的值； ②由①得，当且仅当时，等号成立，进而可得出，利用不等式的基本性质、累加法以及等比数列的求和公式可证得结论成立. 【小问1详解】 函数的定义域为. 当时，，，，， 所以所求切线方程为，即. 【小问2详解】 ①解法一：因为，由题意可知，所以， 又因为函数为可导函数，故函数在处取得极大值， 因为，则，所以，解得， 且当时，，，令得，列表如下： 增 极大值 减 此时，函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得最大值，合乎题意，故； 解法二：因为，该函数的定义域为，且， 当时，， 则在上单调递增，且， 当时，，不合乎题意； 当时，令，得， 令，得. 所以，函数在上单调递增，在上单调递减. 所以，. 由题，可得，令，. 当时，，上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以，则. ②由①知，当时，，即，当且仅当时，等号成立. 令，得， 所以，，，，， 累加得， ， 所以. 18. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求的前n项和； （3）若对恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出，求出并验证即可求解； （2）求出即可求解； （3）根据对恒成立求出关于的不等式，分和两种情况即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以当时，， 当时，， 故， 验证，当时，，符合， 故数列的通项公式为，； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 故； 【小问3详解】 因为对恒成立， 所以，令， 则当时，， 当时，，， 因为，，，，，， 所以， 当时，数列递减， 所以， 故实数k的取值范围是. 19. 某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第i次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第i次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. （1）求该操作员第二次降落成功的概率； （2）记该操作员前两次降落成功的次数为X，求X的分布列和数学期望； （3）设第i次降落成功的概率为，求证：. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，再利用全概率公式即可求解； （2）可取值为，分别求出相应的概率，从而可列出分布列，求出期望值； （3）当时，整理可得，再结合数列知识由递推公式数列的构建等比数列，从而可求解. 【小问1详解】 设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，. 由全概率公式得 ， 该操作员第二次降落成功的概率为. 【小问2详解】 由题意得，，，，. 的所有取值为0，1，2， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 【小问3详解】 由题意得， 当时， 即， 整理得，又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故，即，易知单调递增 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期期末质量监测 高二数学 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. （ ） A. 25 B. 35 C. 70 D. 1050 2. 如图，线段AB是函数的图像，则（ ） A. B. C. 3 D. 3. 若数列，m，x，n，是等比数列，则x是（ ） A. B. 8 C. D. 4. 为了解某校学生体重（单位：kg）的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示，估计这个学校学生体重的第三四分位数为（ ） A. 51 B. 58 C. 59 D. 58.5 5. 5名同学分成两组参加志愿服务活动，其中甲、乙不同组的分法种数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 设随机变量服从标准正态分布，已知，则（ ） A B. C. D. 7. 袋中有2个白球，3个红球，从中随机连续抽取4次，每次取一个球.若每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为X，则X的方差为（ ） A. B. C. D. 8. 某区块链公司开发了一种“分形存储”技术.当用户上传一个大型文件时，为确保数据安全，系统会将文件分割成一系列连续的数据块，同时为每个数据块生成动态验证码.已知数据块大小（单位：TB）按上传顺序构成等差数列，第一个数据块大小为100TB，此后每个数据块比前一个数据块减少5TB.验证码数量（单位：个）按上传顺序构成等比数列，第一个数据块生成4个验证码，此后每个数据块的验证码数量是前一个数据块验证码数量的3倍.若系统要求总验证码数量不能超过1000000个，用户上传的大型文件最大为（参考数据：，）（ ） A. 820TB B. 825TB C. 827TB D. 851TB 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数求导数错误的是（ ） A B. C. D. 10. 某中学对1000名学生的竞赛成绩进行统计分析，按照，，，，分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 图中的x值为0.020 B. 得分在80分及以上的人数为400 C. 这组数据的极差一定为50 D. 这组数据的平均数的估计值为77 11. 已知等比数列的公比为，且，则下列命题正确的是（   ） A. 若为单调递增数列，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则且 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 的二项展开式中项的系数为______ 13. 对任意，函数不存在极值点充要条件是________. 14. 一个箱子里有10个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球4个，黄色小球3个，蓝色小球2个，绿色小球1个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为X，则________，数学期望________. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某人工智能公司从某年起连续年的利润情况如下表所示. 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 59 （1）计算出与之间的相关系数（精确到），并求出关于的回归直线方程； （2）根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第年和第年的利润. 参考公式：样本的回归直线为，其中，，，，，. 16. 已知等差数列满足公差，，.等比数列首项，公比为3. （1）求数列，的通项公式； （2）数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 17. 已知，函数. （1）当时，求函数在点的切线方程； （2）若， ①求； ②求证：对，都有. 18. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求的前n项和； （3）若对恒成立，求实数k的取值范围. 19. 某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第i次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第i次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. （1）求该操作员第二次降落成功的概率； （2）记该操作员前两次降落成功的次数为X，求X的分布列和数学期望； （3）设第i次降落成功的概率为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$