精品解析：山东省青岛第十七中学2025-2026学年高二下学期期末测试数学试题

数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，. 2. 已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量平行的坐标表示得出的方程，求解的值，再分别判断充分性和必要性是否成立，从而确定与的条件关系. 【详解】 若平面向量，，则等价于， 又因为，所以， 化简可得：，解得或. 若，则一定满足，充分性成立， 若，还可以取，不能推出，必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件，选A. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解分式不等式得到集合A的范围，再结合集合B的范围判断二者的运算结果和包含关系即可。 【详解】对不等式移项得，整理得，等价于，解得或， 即. 已知，，故A错误； ，故B错误； 的所有元素均属于，且中存在小于0的元素不属于， 因此，C正确，D错误. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦公式计算化简，再结合同角三角函数关系计算求解. 【详解】已知，， 则，， 所以， 则. 5. 设是定义在上的奇函数，，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性对称性得到函数的周期，再利用周期性对称性即可求解. 【详解】由于，， 则. 故选：A 6. Margalef丰富度指数是用于衡量群落中生物种类丰富程度的一个指标，其中S和N分别表示群落中的生物种数和生物个体总数．如果某生物群落一年后的生物种类数S没有改变，生物个体总数由变为，Margalef丰富度指数由1.8提高到4.5，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意列出方程组，再由对数的运算性质可得. 【详解】由题意可得， 两式相除可得， 所以. 故选：C. 7. 如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题设易得为等边三角形，可得，，进而得到，再结合平面向量数量积的运算律求解即可. 【详解】由，为中点，则， 因为，，所以为等边三角形， 则，，而，则， 由，， 所以 . 故选：B. 8. 设函数（其中，均大于0），若，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得定义域为：，然后分与两种情况结合，可得，最后由基本不等式可得答案. 【详解】定义域为：. 或，若，此时， 为使，则，则此时； 若，则此时，为使，则， 则此时，综上可得. 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量的坐标为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由向量模的计算公式可得答案；对于B，由数量积的运算律计算可得答案；对于C，由向量投影向量计算公式可得答案；对于D，由向量减法坐标计算公式可得答案. 【详解】由题可得，，，， 对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，在上的投影向量为，由B分析可得， 又， 则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点中心对称 C. D. 在区间上单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】AB选项，利用正弦型函数的性质结合图像判断最小正周期和对称性；C选项求出函数值的范围判断；D选项，结合正弦单调性，分析在区间上的单调性. 【详解】函数的最小正周期是， 函数图象轴上及上方部分不变，轴下方的部分翻折到上方，得函数的图象， 则的最小正周期是，A选项正确； 函数的图象都在轴上及轴上方，不可能关于轴上的点中心对称，B选项错误； ，正弦函数在上单调递增， ，有，C选项错误； 时，， 所以函数在上单调递增，且在上恒成立， 结合图像的翻折可知，在区间上单调递减，D选项正确. 故选：AD 11. 函数，的定义域为，为偶函数且恒大于0，，，，，则（ ） A. B. C. D. 对于任意，点到直线与的距离之积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过赋值法求出、，推导与的奇偶性及核心恒等式；利用递推关系分析的指数型性质验证B选项；通过函数方程展开推导三倍角形式验证C选项；利用点到直线距离公式结合核心恒等式验证D选项. 【详解】令，代入，得. 令，代入，得，即. 由，得. 结合得，又，得，故A错误. 令，代入， 得，即. 令，代入， 得，由、， 得，结合，得，即为奇函数. 因此，即. 由与，得， 解得. ， 因此 ，，故B正确. ， 代入 ，得，故C正确. 点到直线的距离为， 到直线的距离为， 距离之积为：，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知等差数列的前项和为，且，，则______. 【答案】14 【解析】 【分析】解法一：因为，且为等差数列，可以得到，求解即可. 解法二：因为为等差数列，所以为等差数列，设，则，，三项成等差数列，再通过等差中项的性质求解即可. 【详解】因为，且，则， 于是，则，. 解法2 由于为等差数列，设，则，，三项成等差数列， 于是，则，，. 故答案为：14. 13. 已知函数，若，则实数_________． 【答案】 【解析】 【分析】易知当时无解；当时，利用导数研究函数的性质可得在上有且仅有唯一的零点，进而根据求解即可. 【详解】， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，，则， 当时，，且时，；时，； 所以在上有且仅有唯一的零点. 所以当时，，则，解得. 综上，. 故答案为：e 14. 已知实数，，…，，满足，且（，3，4，…，10），则当时，的最大值为__________． 【答案】13 【解析】 【分析】设连续段长度为，先把该连续段的和记为，再利用相邻两项差的限制，估计该连续段左右两侧各项的最小可能值，从而得到的上界．最后构造等号成立的数列，说明最大值可以取到． 【详解】设某一连续段为其项数为因为，所以． 记 若，则把所有同时变为，条件和均不变， 而该连续段的和变为． 因此只需讨论的情况． 设该连续段左边有项，右边有项，则 由相邻两项差的绝对值不超过，对于连续段内的项，有 所以从而 同理，从右端向左估计，也有 对左边项，由相邻项差的限制可得，因此左边项的和不小于 对右边项，同理可得右边项的和不小于 所以整个数列的和满足 又因为，所以． 于是 由于，且在固定时，的最大值出现在一边为， 另一边为时，所以 因此 整理得即 当时， 上式右端分别为 所以任意连续段和的绝对值都不超过． 下面说明可以取到． 取 则且 同时 故所求最大值为 15. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线，，，则三棱锥体积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求得母线长，以及长度，从而确定为底面圆直径；再求三角形面积的最大值，即可求得三棱锥体积的最大值. 【详解】由圆锥性质知是圆锥的高，底面圆， 已知，因此母线长. 同理. 由，得中. 因为，则底面圆直径为，因此是底面圆的直径. 三棱锥的高，因此体积. 是圆上以为斜边的三角形，点到的最大距离为底面圆的半径， 因此​的最大值为. 则的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）求的值； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明：在中，由余弦定理，得 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式化简可得，结合余弦定理化简，从而解得，结合正弦定理即可求解； （2）根据利用余弦定理化简可得，结合三角函数的图像与性质即可求解. 【小问1详解】 由，得，整理，得. 在中，由余弦定理，得. 把代入上式，得， 因为，所以. 在中，由正弦定理，得 【小问2详解】 略 17. 已知函数. （1）当，求的单调性； （2）若曲线经过点，且在处的切线为.证明：除切点外，曲线在直线的下方. 【答案】（1）在单调递减，在单调递增； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求得，利用导数直接判断函数的单调性即可； （2）根据过点，求得参数，再求在切点处的切线的方程，通过作差构造函数，通过证明，即可证明. 【小问1详解】 当，，定义域为，， 故当，，单调递减；当，，单调递增， 故的单调性是：在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 ，又其过点，则，解得； 此时，定义域为，，又，， 故曲线在点处的切线的方程为：，即； 要证：除切点外，曲线在直线的下方， 即证：，也即，当且仅当时，取得等号； 令，定义域为，， 故当，，单调递增；当，，单调递减； 故当时，取得极大值，也是最大值， 故，也即，当且仅当时，取得等号， 故除切点外，曲线在直线的下方，即证. 18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 （1）求函数的解析式； （2）将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，且其图象关于轴对称，求在上的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据五点法，完善表格，列式计算求解； （2）根据题意求得函数，求导，根据二倍角公式化简结合正弦函数性质计算求解. 【小问1详解】 根据五点法完善表格部分数据如下： 0 0 2 0 0 由题意知，解得，， 又，解得，所以． 【小问2详解】 因为为偶函数， 所以 ， ， 又，所以时，. ，， 所以，即， 又，所以 . 则，解得. 所以在上的解集为. 19. 如图，在四棱锥中，底面，交于，，，，，为中点． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）连接， 因为， 所以 ，则 ， 又 ，则 ，则，即为线段的中点． 因为为中点，所以为的中位线，则 ， 又平面平面 ，故平面 （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以平面 ，因为 ，为线段的中点． 所以且，所以 ， 以为原点，的方向分别为 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系, 易知 ， 所以 ， 所以 设平面的法向量为 ， 则 ，所以 ，解得 ， 令，则，所以， 设与平面所成角为， 则 ， 所以与平面所成的正弦值为 ． 20. 已知向量，，函数，的所有大于0的零点构成递增数列． （1）写出的前6项； （2）记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式化简可得，令，结合正弦函数的图象性质可得或，取其中的正数构成递增数列可得结果； （2）由错位相减法求和可得结果. 【小问1详解】 由题意 ． 由，得． 所以或． 即或，取其中的正数构成递增数列． 知的前6项为． 【小问2详解】 由（1）知，所以． 所以．① ．② ①－②，得 ． 所以. 21. 已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． （1）若，判断是否是中的元素，请说明理由； （2）若，求a的取值范围； （3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】（1）不是； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【小问1详解】 （1），，则不是中的元素. 【小问2详解】 法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 【小问3详解】 对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 设是定义在上的奇函数，，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. Margalef丰富度指数是用于衡量群落中生物种类丰富程度的一个指标，其中S和N分别表示群落中的生物种数和生物个体总数．如果某生物群落一年后的生物种类数S没有改变，生物个体总数由变为，Margalef丰富度指数由1.8提高到4.5，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数（其中，均大于0），若，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量的坐标为 D. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点中心对称 C. D. 在区间上单调递减 11. 函数，的定义域为，为偶函数且恒大于0，，，，，则（ ） A. B. C. D. 对于任意，点到直线与的距离之积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知等差数列的前项和为，且，，则______. 13. 已知函数，若，则实数_________． 14. 已知实数，，…，，满足，且（，3，4，…，10），则当时，的最大值为__________． 15. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线，，，则三棱锥体积的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）求的值； （2）证明：． 17. 已知函数. （1）当，求的单调性； （2）若曲线经过点，且在处的切线为.证明：除切点外，曲线在直线的下方. 18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 （1）求函数的解析式； （2）将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，且其图象关于轴对称，求在上的解集． 19. 如图，在四棱锥中，底面，交于，，，，，为中点． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 20. 已知向量，，函数，的所有大于0的零点构成递增数列． （1）写出的前6项； （2）记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前n项和． 21. 已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． （1）若，判断是否是中的元素，请说明理由； （2）若，求a的取值范围； （3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $