四川省达州市渠县第二中学2026-2027学年八年级上学期开学自测数学模拟试题

**基本信息** 融合科技（AI图标）、文化（“葭生池中”古算题）与生活情境（无人机配送），梯度设计检测基础（实数运算）与综合能力（动态几何最值）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8题32分|轴对称图形、科学记数法、三角形全等判定|以国产AI软件图标考轴对称，结合杨万里诗句考科学记数法| |填空|10题40分|勾股定理应用、中点坐标公式、幂的运算|“葭生池中”古算题体现文化传承，中点坐标公式结合坐标几何| |解答|8题78分|动态几何最值、赵爽弦图、旋转全等|无人机配送问题考勾股定理应用，赵爽弦图综合几何与代数|

四川省达州市渠县第二中学2026-2027学年八年级上学期开学自测数学模拟试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列国产AI软件图标属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．宋朝•杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为0.0000352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（　　） A．3.52×10﹣5 B．0.352×10﹣5 C．3.52×10﹣6 D．35.2×10﹣6 3．下列各式正确的为（　　） A． B． C． D． 4．若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣4） B．（4，﹣2） C．（﹣4，2） D．（﹣2，4） 5．在平面直角坐标系中，点M在第二象限，且点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2） 6．根据下列已知条件，不能画出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° B．AB＝3，BC＝6，CA＝8 C．AB＝6，BC＝10，∠B＝60° D．AB＝4，∠A＝60°，∠B＝45° 7．李老师童心未润，拿着如图所示的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚—咚咚，咚—咚，咚咚咚—咚”表示的动物是“狗（DOG）”，那么若听到“咚咚咚—咚咚，咚咚咚咚咚一咚咚咚，咚一咚咚咚”时，表示的动物是（　　） A．蚂蚁 B．狐狸 C．猪 D．猫 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则DE+EF+FD的最小值是（　　） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．比较大小：________ ．（填“＞”“＜”或“＝”） 10．“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝ 　　 ． 11．若（x+1）2＝64，则x＝ 　　 ． 12．在平面直角坐标系中，点M（1，2）和点N（5，8）的中点坐标为　　 ． 13．若实数m，n满足|n+2|＝0，则m+n的值为 　　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）计算（或解方程）： （1）； （2）2（x+1）2﹣18＝0； （3）（﹣2x）3•x2﹣（﹣x3）2÷x； （4）（x+2）（x﹣2）+（2x+1）（x﹣3）． 15．（8分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2，． 16．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题： （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）在y轴上有一个动点P，若PA+PB的和最小，请在图形中画出点P． 17．（10分）一架快递无人机自仓库地面处垂直起飞到点A，沿水平正东方向匀速飞行一段距离到点B，随后再次垂直上升90米到点C并悬停执行配送任务．此时，地面操控者发现点A与无人机之间的直线距离恰好比无人机水平飞行的距离多30米．求该无人机水平飞行的距离为多少米？ 18．（12分）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF． （1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时： ①如图1，若EG⊥FG，则∠DFG的度数为　　 ，则∠P的度数为　　 ； ②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+∠G的度数； （2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．已知x+3y﹣2＝0，那么3x•27y的值为 　9　 ． 20．16的算术平方根是 　4　 ． 21．已知正方形的边长为5，当边长增加x时，其面积增加y，那么y与x之间的函数关系式是x2+10x ． 22．如图，△ABC的面积为2cm2．AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P．则△PBC的面积是　1cm2 ． 23．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MB平分∠ABO．其中正确的有　　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）我国最早对勾股定理进行证明的是数学家赵爽，他用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成了一个大正方形，如图所示，人们称这个图为“赵爽弦图”，连接BF，若S△ABF＝12.5，AB﹣EF＝6，求正方形ABCD的面积． 25．（10分）如图，解放广场的草坪上有AO，OC，CD，DA，AC五条小路，且∠AOC＝∠ADC＝90°，AD＝7m，DC＝24m，CO＝15m． （1）求小路AO的长度； （2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点O处，小狗从点O开始以2m/s的速度在小路上沿O→C→A的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，设奔跑中小狗的位置为点Q，小狗奔跑的时间为ts； ①当小狗在小路CA上奔跑时，求出淇淇与小狗的最近距离，并求此时t的值； ②当△OCQ为等腰三角形时，求t的值． 26．（12分）（1）问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD，则 ①线段AD、BE之间的数量关系是 AD＝BE ；②∠BEC＝　120°　 ； （2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度； （3）探究发现：如图3，点P为等边三角形ABC内一点，且∠BPC＝150°，∠DPB＝30°，BP＝6，CP＝4，DP＝8，求AD的长． 参考答案 四川省达州市渠县第二中学2026-2027学年八年级上学期开学自测数学模拟试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列国产AI软件图标属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A，C，D不是轴对称图形，B是轴对称图形， 故选：B． 2．宋朝•杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为0.0000352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（　　） A．3.52×10﹣5 B．0.352×10﹣5 C．3.52×10﹣6 D．35.2×10﹣6 【解答】解：0.0000352＝3.52×10﹣5． 故选：A． 3．下列各式正确的为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：算术平方根，立方根，平方根的相关知识点进行判断如下： A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意． 故选：D． 4．若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣4） B．（4，﹣2） C．（﹣4，2） D．（﹣2，4） 【解答】解：设点P的坐标为（x，y）， |x|＝2，|y|＝4， 解得：x＝±2，y＝±4， ∵点P在第二象限， ∴x＝﹣2，y＝4， ∴点P的坐标为（﹣2，4）， 故选：D． 5．在平面直角坐标系中，点M在第二象限，且点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2） 【解答】解：∵点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为3， ∴|x|＝3，|y|＝2， ∵点M在第二象限， ∴M坐标符号为（﹣，+）， ∴M（﹣3，2）； 故选：B． 6．根据下列已知条件，不能画出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° B．AB＝3，BC＝6，CA＝8 C．AB＝6，BC＝10，∠B＝60° D．AB＝4，∠A＝60°，∠B＝45° 【解答】解：根据全等三角形的判定定理逐一判断， A．已知两边和一边的对角，不能画出唯一的△ABC，所以该选项错误，符合题意； B．可根据SSS，画出唯一的△ABC，所以该选项正确，不符合题意； C．可根据SAS，画出唯一的△ABC，所以该选项正确，不符合题意； D．可根据ASA，画出唯一的△ABC，所以该选项正确，不符合题意； 故选：A． 7．李老师童心未润，拿着如图所示的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚—咚咚，咚—咚，咚咚咚—咚”表示的动物是“狗（DOG）”，那么若听到“咚咚咚—咚咚，咚咚咚咚咚一咚咚咚，咚一咚咚咚”时，表示的动物是（　　） A．蚂蚁 B．狐狸 C．猪 D．猫 【解答】解：由题意知，咚咚﹣咚咚对应（2，2），咚﹣咚对应（1，1），咚咚咚﹣咚对应（3，1）． ∴咚咚咚—咚咚对应（3，2），表示A，咚咚咚咚咚一咚咚咚对应（5，3），表示N，咚一咚咚咚对应（1，3），表示T， ∴此时，表示的动物是蚂蚁． 故选：A． 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则DE+EF+FD的最小值是（　　） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【解答】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM． ∴DF＝FM，DE＝EN，CD＝CM，CD＝CN， ∴CD＝CM＝CN， ∵∠MCA＝∠DCA，∠BCN＝∠BCD，∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠MCD+∠NCD＝180°， ∴M、C、N共线， ∵DF+DE+EF＝FM+EN+EF， ∵FM+EN+EF≥MN， ∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小， 最小值为MN＝2CD， ∵CD⊥AB， ∴， ∴CD2.4， ∴DE+EF+FD的最小值为4.8． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．比较大小： 　＜　 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【解答】解：∵4＜5＜9， ∴23， ∴4＜25， ∴2， 故答案为：＜． 10．“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝ 　12　 ． 【解答】解：设BC＝x，则BD＝BA＝x+1， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB2＝AC2+BC2， 即（x+1）2＝52+x2， 解得x＝12， 即BC＝12， 故答案为：12． 11．若（x+1）2＝64，则x＝ 　7或﹣9　 ． 【解答】解：∵（x+1）2＝64， ∴， ∴x+1＝8或x+1＝﹣8， x＝7或﹣9． 故答案为：7或﹣9． 12．在平面直角坐标系中，点M（1，2）和点N（5，8）的中点坐标为　（3，5）　 ． 【解答】解：用中点坐标公式来计算：若两点坐标为A（x1，y1）B（x2，y2）， 则它们的中点坐标为：（，）， 已知点M（1，2）和点N（5，8）， 代入公式：•横坐标：3， 纵坐标：5， ∴中点坐标为（3，5）． 故答案为：（3，5）． 13．若实数m，n满足|n+2|＝0，则m+n的值为 　1　 ． 【解答】解：∵实数m，n满足|n+2|＝0， ∴m﹣3＝0，n+2＝0， ∴m＝3，n＝﹣2， ∴m+n＝3﹣2＝1． 故答案为：1． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）计算（或解方程）： （1）； （2）2（x+1）2﹣18＝0； （3）（﹣2x）3•x2﹣（﹣x3）2÷x； （4）（x+2）（x﹣2）+（2x+1）（x﹣3）． 【解答】解：（1）原式； （2）原方程移项可得： 2（x+1）2＝18， （x+1）2＝9， x+1＝±3， x＝±3﹣1， x1＝2，x2＝﹣4； （3）原式＝（﹣8x3）•x2﹣x6÷x＝﹣8x5﹣x5＝﹣9x5； （4）原式＝x2﹣4+2x2﹣6x+x﹣3＝3x2﹣5x﹣7． 15．（8分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2，． 【解答】解：原式＝x2y2﹣x2+xyy2 ＝xyy2； 当x＝﹣2，y时， 原式＝﹣2（）2＝﹣1． 16．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题： （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）在y轴上有一个动点P，若PA+PB的和最小，请在图形中画出点P． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1的坐标为（﹣2，4）； （2）△ABC的面积＝2×42×14×13×1＝3.5； （3）连接BA1交y轴于P点，如图， ∵PA＝PA1， ∴PA+PB＝PB+PA1＝BA1， ∴此时PA+PB的值最小． 故点P即为所求作． 17．（10分）一架快递无人机自仓库地面处垂直起飞到点A，沿水平正东方向匀速飞行一段距离到点B，随后再次垂直上升90米到点C并悬停执行配送任务．此时，地面操控者发现点A与无人机之间的直线距离恰好比无人机水平飞行的距离多30米．求该无人机水平飞行的距离为多少米？ 【解答】解：设该无人机水平飞行的距离为x米， ∵无人机自仓库地面处垂直起飞到点A，沿水平正东方向匀速飞行一段距离到点B，随后再次垂直上升90米到点C并悬停执行配送任务．此时，地面操控者发现点A与无人机之间的直线距离恰好比无人机水平飞行的距离多30米． ∴AB＝x米，AC＝（x+30）米，BC＝90米， 在Rt△ABC中，BC＝90，AC2＝AB2+BC2， ∴（x+30）2＝x2+902， 解得；x＝120， 答：该无人机水平飞行的距离为120米． 18．（12分）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF． （1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时： ①如图1，若EG⊥FG，则∠DFG的度数为　50°　 ，则∠P的度数为　45°　 ； ②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+∠G的度数； （2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系． 【解答】解：（1）①如图，分别过点G、P作GN∥AB，PM∥AB， ∴∠BEG＝∠EGN＝40°， ∵AB∥CD， ∴NG∥CD， ∴∠NGF＝∠GFD， ∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD， 同理可得：∠EPF＝∠BEP+∠PFD， ∵EG⊥FG， ∴∠EGF＝90°， ∴∠NGF＝90°﹣40°＝50°＝∠GFD， 由条件可知， ∴． 故答案为：50°，45°； ②如图，过点Q作QR∥CD， 由条件可知∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD， 设∠GFD＝∠QFD＝α， ∵QR∥CD，AB∥CD， ∴AB∥CD∥QR， ∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°， 由条件可知∠DFQ+∠FQR＝180°， ∴a+∠FQR＝180°， ∴a+∠FQE＝80°， ∴∠FQE＝80°﹣α， 由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝40°+α， ∴∠FQE+∠G＝80°﹣α+40°+α＝120°． （2）如图，在AB的上方有一点O，FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA， 设H为线段GE的延长线上一点，则∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA， 设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α， 如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD， ∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝∠OEH+∠AEH＝2α， ∴∠EOF＝∠TOF﹣∠TOE＝β﹣2α， 由（1）可知：∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β， 由条件可知β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，即α+β＝80°， ∴2α+2β＝160°， ∵∠OEA＝2α，∠OFC＝β， ∴∠OEA+2∠OFC＝160°． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．已知x+3y﹣2＝0，那么3x•27y的值为 　9　 ． 【解答】解：∵x+3y﹣2＝0， ∴x+3y＝2， ∴3x•27y＝3x•（33）y＝3x•33y＝3x+3y＝32＝9． 故答案为：9． 20．16的算术平方根是 　4　 ． 【解答】解：4． 故答案为：4 21．已知正方形的边长为5，当边长增加x时，其面积增加y，那么y与x之间的函数关系式是x2+10x ． 【解答】解：根据题意得y＝（x+5）2﹣52＝x2+10x+25﹣25＝x2+10x， 故答案为：x2+10x． 22．如图，△ABC的面积为2cm2．AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P．则△PBC的面积是　1cm2 ． 【解答】解：如图，AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P，延长AP交BC于点E， ∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中， ， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝EP，即点P是AE的中点， ∴BP，CP分别为△ABE，△ACE的中线， ∴， ∵S△PBC＝S△BPE+S△CPE，， ∴， 故答案为：1cm2． 23．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MB平分∠ABO．其中正确的有　①②　 ． 【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，∠OAC＝∠OBD， 故①正确，符合题意； 由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD， ∴∠AMB＝∠AOB＝40°， 故②正确，符合题意； 作OG⊥MC于点G，OH⊥MB于H，如图所示， 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴MO平分∠BMC， ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB， ∴OA＝OC，与OA＞OC矛盾， ∴③错误； ∵没有条件可以证明MB平分∠ABO， ∴④错误； ∴正确的有：①②． 故答案为：①②． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）我国最早对勾股定理进行证明的是数学家赵爽，他用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成了一个大正方形，如图所示，人们称这个图为“赵爽弦图”，连接BF，若S△ABF＝12.5，AB﹣EF＝6，求正方形ABCD的面积． 【解答】解：由题意得，AF＝BG， ∵S△ABF＝12.5， ∴， ∴AF＝BG＝5， ∵AB﹣EF＝6， ∴EF＝AB﹣6， ∴AG＝AB﹣6+5＝AB﹣1， 在Rt△ABG中， ∵AB2﹣AG2＝BG2， 即AB2﹣（AB﹣1）2＝52， ∴AB＝13， ∴S正方形ABCD＝169， 25．（10分）如图，解放广场的草坪上有AO，OC，CD，DA，AC五条小路，且∠AOC＝∠ADC＝90°，AD＝7m，DC＝24m，CO＝15m． （1）求小路AO的长度； （2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点O处，小狗从点O开始以2m/s的速度在小路上沿O→C→A的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，设奔跑中小狗的位置为点Q，小狗奔跑的时间为ts； ①当小狗在小路CA上奔跑时，求出淇淇与小狗的最近距离，并求此时t的值； ②当△OCQ为等腰三角形时，求t的值． 【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∠D＝90°，AD＝7m，DC＝24m，则由勾股定理可得（cm）， 在Rt△ACO中，∠O＝90°，AC＝24m，CO＝15m，则由勾股定理可得（cm）， ∴小路AO的长度20m； （2）①由点到直线距离垂线段最短，过O作OB⊥AC于点B，如图所示： ∴在Rt△ACO中，，则20×15＝25OB， 解得OB＝12m， 在Rt△BOC中，∠OBC＝90°，OC＝15m，OB＝12m，则由勾股定理可得（cm）， ∴小狗跑的路程为OC+CB＝15+9＝24（m）， ∵小狗以2m/s的速度奔跑， ∴小狗奔跑的时间为t＝24÷2＝12s； ②由①知，当OB⊥AC时，BC＝9m，OB＝12m， ∵CO＝15m， ∴△OCQ为等腰三角形分为三种情况：OC＝OQ；QO＝QC；CO＝CQ； 当OC＝OQ＝15m时，如图所示： 由等腰三角形性质可知CQ＝2BC＝18m， ∴小狗跑的路程为OC+CQ＝15+18＝33（m）， ∵小狗以2m/s的速度奔跑， ∴小狗奔跑的时间为t＝33÷2＝16.5s； 当QO＝QC时，过点Q作QE⊥OC于E，如图所示： 由等腰三角形性质可知∠OQE＝∠CQE， ∵∠AOC＝90°， ∴QE∥OA， ∴∠OAC＝∠EQC，∠AOQ＝∠OQE， ∴∠OAQ＝∠AOQ，则， ∴小狗跑的路程为， ∵小狗以2m/s的速度奔跑， ∴小狗奔跑的时间为； 当QC＝OC＝15m时，小狗跑的路程为OC+CQ＝15+15＝30（m）， ∵小狗以2m/s的速度奔跑， ∴小狗奔跑的时间为t＝30÷2＝15s； ∴当△OCQ为等腰三角形时，t的值为13.75s或15s或16.5s． 26．（12分）（1）问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD，则 ①线段AD、BE之间的数量关系是 AD＝BE ；②∠BEC＝　120°　 ； （2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度； （3）探究发现：如图3，点P为等边三角形ABC内一点，且∠BPC＝150°，∠DPB＝30°，BP＝6，CP＝4，DP＝8，求AD的长． 【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°． ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）． ∴AD＝BE； 故答案为：AD＝BE； ②由①得：△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠BEC． ∵△DCE为等边三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝60°． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC＝120°． ∴∠BEC＝120°． 故答案为：120°； （2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°． ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）． ∴AD＝BE＝AE﹣DE＝15﹣7＝8，∠ADC＝∠BEC， ∵△DCE为等腰直角三角形 ∴∠CDE＝∠CED＝45°． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC＝135°． ∴∠BEC＝135°． ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°． ∴AB17； （3）把△BPC绕点C逆时针旋转60°得△AEC，连接PE，如图所示： 则△AEC≌△BPC， ∴CE＝CP，∠PCE＝60°，AE＝BP＝6，∠AEC＝∠BPC＝150°， ∴△PCE是等边三角形， ∴∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝4， ∴∠AED＝∠AEC﹣∠PEC＝90°， ∵∠BPD＝30°， ∴∠DPC＝150°﹣30°＝120°， 又∵∠DPE＝∠DPC+∠EPC＝120°+60°＝180°， 即D、P、E在同一条直线上， ∴DE＝DP+PE＝8+4＝12， 在Rt△ADE中，AD6， 即AD的长为6． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $