1.2 集合间的基本关系 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合间的基本关系，系统梳理子集、真子集、集合相等的定义与判定，空集的特殊性质，子集个数规律，以及由集合关系求参数的方法，构建从元素从属关系到集合包含关系的学习支架。 该资料突出数形结合，通过Venn图直观展示集合关系培养几何直观（数学眼光），强调分类讨论（先空集后非空）发展推理意识（数学思维），例题与易错提示助学生用数学语言精准表达。课中辅助教学，课后助力回顾强化，弥补知识盲点。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 集合间的基本关系 [学习要点] １．结合实例理解子集、真子集、集合相等的核心定义，能独立判断两个集合间的包含与相等关系 ２．掌握Venn图的表示方法，能借助图形直观理解集合间的关系，建立数形结合的思维（重点） ３．理解空集的概念与特殊性质，明确空集与子集、真子集的关联，能熟练计算集合的子集、真子集个数（难点） ４．能根据集合间的包含关系求解参数的取值与范围，掌握分类讨论思想，形成“先空集、后非空”的解题习惯 [课前引入] 我们已经知道实数之间存在相等、大小等关系，类似地，集合与集合之间也有对应的包含、相等关系。本节课我们将从元素与集合的从属关系出发，延伸到集合与集合的包含关系，系统学习子集、真子集、集合相等的判定方法，并利用这些关系解决参数求解问题，为后续集合运算的学习打好基础。 一、子集 核心知识点 Venn图 在数学中，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图示称为Venn图。它可以直观展示集合间的包含关系，是数形结合思想在集合中的典型应用。 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 易错提示 判断子集的核心是“任意元素都满足”，只要存在一个元素不在中，就不是的子集； 子集只描述包含关系，不要求的元素更少，两个集合相等也满足子集关系。 例1.判断下列各题中集合是否为集合的子集，并说明理由： (1) ，； (2)，。。 例2.已知集合M={x|x=3m-1，m∈Z}，集合N={x|x=3n+2，n∈Z}，则M，N之间的关系为　　　　. 二、真子集 核心知识点 1. 真子集的定义 如果集合，但存在元素且，就称集合是集合的真子集。 记法：（或） 读法：“真包含于”（或“真包含”） 通俗理解：真子集是“真正的子集”，两个集合不相等，的元素比更多。 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与 读法 记作（或），读作“真包含于”（或“真包含”） 图示 2. 空集的概念与性质 定义：不含任何元素的集合叫做空集，记作。 核心性质： ① 空集是任何集合的子集，即； ② 空集是任何非空集合的真子集，即若，则； ③ 空集只有1个子集，就是它本身。 易混辨析： 与不同：没有元素，含有一个元素0，因此。 3. 子集个数规律 若一个集合含有个元素，则： 所有子集的个数为； 真子集的个数为（去掉集合自身）； 非空真子集的个数为（去掉空集和集合自身）。 例3.写出集合{a,b,c}的所有子集，并分别指出其中的真子集和非空真子集。 例4.（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 例5．（2026·山东济南·模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．4 B．7 C．8 D．16 三、集合相等 核心知识点 1. 定义 如果集合的任意一个元素都是集合的元素，同时集合的任意一个元素都是集合的元素，就称集合与集合相等，记作。 2. 等价判定 且 也就是说，两个集合相等当且仅当它们互相包含，本质是两个集合的元素完全一致，与元素的排列顺序无关。 3. 判定方法 列举法表示的集合：直接对比所有元素是否完全相同； 描述法表示的集合：可通过双向证明包含关系，或化简后对比元素的共同特征。 例6.判断下列各组中的两个集合是否相等，并说明理由： (1) ，； (2) ，。 四、由集合间的关系求参数的值（范围） 核心知识点 1. 题型分类 有限集含参：已知包含关系，根据元素对应关系列方程求解； 无限集（区间型）含参：已知包含关系，借助数轴分析端点位置，列不等式组求解。 2. 解题步骤与注意事项 优先讨论空集：空集是任何集合的子集，是最容易遗漏的情况； 非空情况再根据包含关系列方程或不等式； 求出参数后必须验证：有限集验证元素互异性，区间集验证端点是否可取等。 3. 思想方法：分类讨论思想、数形结合思想（数轴法）。 例７.已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}.是否存在实数m使得A⊆B，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 例８.（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 课堂小结 1. 知识框架 子集、真子集、集合相等的定义与判定 空集的特殊性质与易混点 子集、真子集的个数公式 由集合包含关系求参数的方法 2. 方法归纳 集合关系判定：元素对比法、双向包含法 子集计数：分类列举法、公式法 参数求解：分类讨论（先空集后非空）、数形结合（数轴法） 3. 常见误区 忽略空集是任何集合的子集，漏解空集情况； 混淆“属于”（元素与集合）与“包含于”（集合与集合）的符号； 区间型集合求参数时，错误处理端点的等号； 计算子集个数时忘记空集或集合自身。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 集合间的基本关系 [学习要点] １．结合实例理解子集、真子集、集合相等的核心定义，能独立判断两个集合间的包含与相等关系 ２．掌握Venn图的表示方法，能借助图形直观理解集合间的关系，建立数形结合的思维（重点） ３．理解空集的概念与特殊性质，明确空集与子集、真子集的关联，能熟练计算集合的子集、真子集个数（难点） ４．能根据集合间的包含关系求解参数的取值与范围，掌握分类讨论思想，形成“先空集、后非空”的解题习惯 [课前引入] 我们已经知道实数之间存在相等、大小等关系，类似地，集合与集合之间也有对应的包含、相等关系。本节课我们将从元素与集合的从属关系出发，延伸到集合与集合的包含关系，系统学习子集、真子集、集合相等的判定方法，并利用这些关系解决参数求解问题，为后续集合运算的学习打好基础。 一、子集 核心知识点 Venn图 在数学中，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图示称为Venn图。它可以直观展示集合间的包含关系，是数形结合思想在集合中的典型应用。 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 易错提示 判断子集的核心是“任意元素都满足”，只要存在一个元素不在中，就不是的子集； 子集只描述包含关系，不要求的元素更少，两个集合相等也满足子集关系。 例1.判断下列各题中集合是否为集合的子集，并说明理由： (1) ，； (2)，。。 【答案】(1) 12的正约数有1,2,3,4,6,12，因此。 集合中的元素2,4,6都属于，因此。 (2) 正方形的四条边一定相等，因此任意一个正方形都属于“四条边相等的四边形”，因此。 例2.已知集合M={x|x=3m-1，m∈Z}，集合N={x|x=3n+2，n∈Z}，则M，N之间的关系为　　　　. 【答案】M=N 【详解】设x∈M，则存在m∈Z，有x=3m-1=3(m-1)+2，因为m∈Z，所以m-1∈Z，所以x=3(m-1)+2∈N，故M⊆N； 设x∈N，则存在n∈Z，有x=3n+2=3(n+1)-1，因为n∈Z，所以n+1∈Z，所以x=3(n+1)-1∈M，故N⊆M， 综上所述，M=N. 二、真子集 核心知识点 1. 真子集的定义 如果集合，但存在元素且，就称集合是集合的真子集。 记法：（或） 读法：“真包含于”（或“真包含”） 通俗理解：真子集是“真正的子集”，两个集合不相等，的元素比更多。 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与 读法 记作（或），读作“真包含于”（或“真包含”） 图示 2. 空集的概念与性质 定义：不含任何元素的集合叫做空集，记作。 核心性质： ① 空集是任何集合的子集，即； ② 空集是任何非空集合的真子集，即若，则； ③ 空集只有1个子集，就是它本身。 易混辨析： 与不同：没有元素，含有一个元素0，因此。 3. 子集个数规律 若一个集合含有个元素，则： 所有子集的个数为； 真子集的个数为（去掉集合自身）； 非空真子集的个数为（去掉空集和集合自身）。 例3.写出集合{a,b,c}的所有子集，并分别指出其中的真子集和非空真子集。 【答案】按元素个数从少到多依次列举： 不含元素的子集：∅ 含1个元素的子集：{a},{b},{c} 含2个元素的子集：{a,b},{a,c},{b,c} 含3个元素的子集：{a,b,c} 因此所有子集为：∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}，共8个； 真子集为：∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}，共7个； 非空真子集为：{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}，共6个。 例4.（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为集合A的元素的个数为，故集合A的所有真子集的个数为. 例5．（2026·山东济南·模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】D 【详解】集合，集合有4个元素， 所以集合的子集个数为. 三、集合相等 核心知识点 1. 定义 如果集合的任意一个元素都是集合的元素，同时集合的任意一个元素都是集合的元素，就称集合与集合相等，记作。 2. 等价判定 且 也就是说，两个集合相等当且仅当它们互相包含，本质是两个集合的元素完全一致，与元素的排列顺序无关。 3. 判定方法 列举法表示的集合：直接对比所有元素是否完全相同； 描述法表示的集合：可通过双向证明包含关系，或化简后对比元素的共同特征。 例6.判断下列各组中的两个集合是否相等，并说明理由： (1) ，； (2) ，。 【答案】(1) 两个集合相等。 理由：设，则，因为，所以，因此，故； 同理，设，则，因为，所以，因此，故。 由且，可得。 (2) 两个集合相等。 理由：解方程得或，因此，与集合B的元素完全一致，故。 四、由集合间的关系求参数的值（范围） 核心知识点 1. 题型分类 有限集含参：已知包含关系，根据元素对应关系列方程求解； 无限集（区间型）含参：已知包含关系，借助数轴分析端点位置，列不等式组求解。 2. 解题步骤与注意事项 优先讨论空集：空集是任何集合的子集，是最容易遗漏的情况； 非空情况再根据包含关系列方程或不等式； 求出参数后必须验证：有限集验证元素互异性，区间集验证端点是否可取等。 3. 思想方法：分类讨论思想、数形结合思想（数轴法）。 例７.已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}.是否存在实数m使得A⊆B，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】因为A⊆B，如图所示，此时B≠， 所以 即 所以m不存在. 即不存在实数m使A⊆B. 例８.（2025高一上·福建厦门·专题练习）已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，分和进行讨论； （2）由的子集有两个得出只含有一个元素，分和进行讨论. 【详解】（1）若，则， 若，则，不符合题意， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （2）若的子集有两个，则集合只含有一个元素， 若，则，符合题意； 若，，解得. 综上所述，实数的取值集合为. 课堂小结 1. 知识框架 子集、真子集、集合相等的定义与判定 空集的特殊性质与易混点 子集、真子集的个数公式 由集合包含关系求参数的方法 2. 方法归纳 集合关系判定：元素对比法、双向包含法 子集计数：分类列举法、公式法 参数求解：分类讨论（先空集后非空）、数形结合（数轴法） 3. 常见误区 忽略空集是任何集合的子集，漏解空集情况； 混淆“属于”（元素与集合）与“包含于”（集合与集合）的符号； 区间型集合求参数时，错误处理端点的等号； 计算子集个数时忘记空集或集合自身。 学科网（北京）股份有限公司 $