1.2集合间的基本关系讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.2 集合间的基本关系·讲义

人教A版必修第一册　第一章　集合与常用逻辑用语

一、课标要求与教材位置

课程标准对本节的要求：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解空集的含义；能使用Venn图表达集合间的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用。三个层级读清楚——包含与相等是"理解"，空集是"了解"，Venn图是工具性要求。

本节承接1.1：上一节研究元素与集合的关系（∈、∉），这一节把目光抬高一层，研究集合与集合的关系（⊆、⊊、＝）。两套符号并立，正是本节最大的易错源头，教学中要反复对照。往后看，1.3节的交并补运算建立在包含关系之上（A∪B＝B当且仅当A⊆B一类问题是月考常客），1.4节的充分必要条件用"小范围推大范围"的集合观点解释最直观，本节的Venn图和数轴表示法会一直用到高三。

考试中的落点：子集个数计算、判断包含关系、由包含关系求参数（含空集讨论），是高一上学期考试的三大题源；其中"含参数、需讨论空集"的题几乎每次大考都设一道，专收不讨论空集的学生。

二、知识精讲

（一）从三组集合引入子集

教材给出三组集合让学生观察共性：(1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；(2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；(3)E＝{x|x是两条边相等的三角形}，F＝{x|x是等腰三角形}。前两组的共性明显：A的每个元素都在B里，C的每个成员都在D里。由此给出定义：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作"A包含于B"（或"B包含A"）。定义里的"任意一个"四个字是命门——判断A⊆B，要逐个检查A的元素是否都在B里，有一个不在就不成立；反过来B里可以有A没有的元素。第(3)组两个集合的元素完全一样，引出集合相等，见（三）。

（二）符号与Venn图

⊆的开口方向与∈一致：开口朝大的一方。书写时提醒学生⊆下面有一横（允许相

等），与后面的⊊区分。用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。A⊆B画成小圈A整个落在大圈B内部。Venn图是本章的核心工具，从这一节开始就要求学生自己动手画，1.3节做交并补、以后做容斥问题全靠它。数轴是Venn图在数集上的变体：区间型集合的包含关系画数轴比画圈好用，端点实心空心当场立规矩。

（三）集合相等

第(3)组集合E＝{x|x是两条边相等的三角形}与F＝{x|x是等腰三角形}，元素完全相同（等腰三角形的定义就是有两条边相等的三角形），E＝F。用子集语言重述：如果A⊆B，且B⊆A，那么A＝B；反过来也对。这个"互相包含则相等"的说法1.1节已从元素角度见过，本节升级成符号表述，它是今后证明两个集合相等的标准路径（分别证明两个方向的包含），高三还会用到，这里先埋下。

（四）真子集

如果集合A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⊊B（或B⊋A），读作"A真包含于B"（或"B真包含A"）。与子集的区别一句话说清：A⊆B允许A＝B，A⊊B不允许——真子集是"包含且不相等"。由A⊊B可推出A⊆B，反过来推不出。教学中用N、Z、Q、R的包含链当练习：N⊊Z⊊Q⊊R，每一环都能举出"在外不在内"的见证元素（－1、1/2、√2），顺带复习1.1的常用数集。

（五）空集

方程x²＋1＝0没有实数根，它的实数根组成的集合不含任何元素。我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A对任何集合A成立。"规定"两个字要向学生交代清楚：∅⊆A没法按定义逐元素检查（∅里没有元素可查），数学上直接规定它成立，这样"子集"的理论才完整（也可以从反面讲给优生听：说A不是B的子集，得在A里找到一个不在B里的元素，∅里找不出任何元素，所以永远驳不倒∅⊆B）。由规定进一步得到：空集是任何非空集合的真子集——"非空"二字不能丢，∅不是∅自己的真子集。

三个长相接近的对象必须当堂辨清：0是一个元素；{0}是含一个元素0的集合；∅是不含任何元素的集合。正确的关系：0∈{0}，0∉∅，∅⊆{0}，∅⊊{0}，∅≠{0}。判断空集还要防"伪空集"：{0}不是空集（它有元素0），{x|x＞8且x＜5}才是空集（没有数同时满足两个条件）。

（六）两条性质

性质一：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A（按定义，A的任意元素当然在A里）。性质二（传递性）：对于集合A、B、C，如果A⊆B且B⊆C，那么A⊆C。传递性用Venn图三个套圈一画即明，也是后面推理链条的雏形。

（七）子集的罗列与个数规律

教材例1：写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。解答：子集有∅，{a}，{b}，{a，b}，共4个；真子集是去掉{a，b}本身的前3个。罗列方法要落成口诀：先写空集，再按元素个数从少到多写（一个元素的、两个元素的……），最后写集合本身——按这个顺序写，不重不漏。学生的两大漏项恰是头尾：漏∅、漏本身。

变式：写出{a，b，c}的所有子集——∅；{a}，{b}，{c}；{a，b}，{a，c}，{b，c}；{a，b，c}，共8个。对照{a，b}的4个、单元素集{a}的2个（∅和{a}）、∅的1个（只有∅自己），引导学生归纳：含n个元素的集合，子集共2ⁿ个，真子集2ⁿ－1个，非空真子集2ⁿ－2个。★规律的道理可以给优生讲一层：每个元素都有"选"与"不选"两种情况，n个元素相乘得2ⁿ（乘法原理的第一次亮相，选择性必修的计数原理正式讲）。

（八）数轴：区间型集合包含关系的工具

形如{x|a≤x≤b}的区间型集合，判断包含关系靠数轴：把两个集合画在同一条数轴上，B⊆A就是B的整段落在A的整段之内，翻译成端点不等式就是"B的左端点不小于A的左端点，且B的右端点不大于A的右端点"。三条操作规矩现在立好：一是端点实心空心分清（≤画实心点，＜画空心圈）；二是含参数的端点在数轴上标字母，端点能否取等要单独验证——把参数的临界值代回原集合检查，最稳妥；三是画完数轴再列不等式组，不画图直接列式最容易把方向写反。这套数轴功夫在第二章解不等式、以后解含参恒成立问题里一直要用，本节是第一次系统训练。

区间型含参问题的完整流程（题型四的骨架）：第一步问B能不能是空集——左端点大于右端点时B＝∅，而∅⊆A恒成立，这一支单独成立；第二步在B≠∅的前提下画数轴列端点不等式组；第三步解出后与"B非空"的条件取公共部分，再与第一支取并。三步的顺序不能乱，第一步漏掉是本节丢分之王。

三、概念辨析与易错点

1．∈与⊆是两套符号，各管一层：∈∉连接元素与集合，⊆⊊＝连接集合与集合。{0}⊆{0，1，2}对，{0}∈{0，1，2}错（{0}是集合，不是{0，1，2}的元素）；1∈{1，