1.2集合间的基本关系讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合间的包含（子集、真子集）、相等关系，空集含义及子集个数规律，系统梳理Venn图与数轴表示方法。承接1.1元素与集合关系，为1.3交并补运算及1.4充要条件学习奠基，构建从元素到集合关系的完整知识支架。 该资料以三组具体集合实例引入抽象概念，培养数学眼光，通过定义中“任意一个”元素检查等逻辑推理发展数学思维，借助Venn图、数轴直观表达强化数学语言。课中助力教师突破空集讨论等易错点，课后题型精练及详解帮助学生查漏补缺，巩固知识应用。

1.2 集合间的基本关系·讲义 人教A版必修第一册　第一章　集合与常用逻辑用语 一、课标要求与教材位置 课程标准对本节的要求：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解空集的含义；能使用Venn图表达集合间的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用。三个层级读清楚——包含与相等是"理解"，空集是"了解"，Venn图是工具性要求。 本节承接1.1：上一节研究元素与集合的关系（∈、∉），这一节把目光抬高一层，研究集合与集合的关系（⊆、⊊、＝）。两套符号并立，正是本节最大的易错源头，教学中要反复对照。往后看，1.3节的交并补运算建立在包含关系之上（A∪B＝B当且仅当A⊆B一类问题是月考常客），1.4节的充分必要条件用"小范围推大范围"的集合观点解释最直观，本节的Venn图和数轴表示法会一直用到高三。 考试中的落点：子集个数计算、判断包含关系、由包含关系求参数（含空集讨论），是高一上学期考试的三大题源；其中"含参数、需讨论空集"的题几乎每次大考都设一道，专收不讨论空集的学生。 二、知识精讲 （一）从三组集合引入子集 教材给出三组集合让学生观察共性：(1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；(2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；(3)E＝{x|x是两条边相等的三角形}，F＝{x|x是等腰三角形}。前两组的共性明显：A的每个元素都在B里，C的每个成员都在D里。由此给出定义：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作"A包含于B"（或"B包含A"）。定义里的"任意一个"四个字是命门——判断A⊆B，要逐个检查A的元素是否都在B里，有一个不在就不成立；反过来B里可以有A没有的元素。第(3)组两个集合的元素完全一样，引出集合相等，见（三）。 （二）符号与Venn图 ⊆的开口方向与∈一致：开口朝大的一方。书写时提醒学生⊆下面有一横（允许相等），与后面的⊊区分。用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。A⊆B画成小圈A整个落在大圈B内部。Venn图是本章的核心工具，从这一节开始就要求学生自己动手画，1.3节做交并补、以后做容斥问题全靠它。数轴是Venn图在数集上的变体：区间型集合的包含关系画数轴比画圈好用，端点实心空心当场立规矩。 （三）集合相等 第(3)组集合E＝{x|x是两条边相等的三角形}与F＝{x|x是等腰三角形}，元素完全相同（等腰三角形的定义就是有两条边相等的三角形），E＝F。用子集语言重述：如果A⊆B，且B⊆A，那么A＝B；反过来也对。这个"互相包含则相等"的说法1.1节已从元素角度见过，本节升级成符号表述，它是今后证明两个集合相等的标准路径（分别证明两个方向的包含），高三还会用到，这里先埋下。 （四）真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⊊B（或B⊋A），读作"A真包含于B"（或"B真包含A"）。与子集的区别一句话说清：A⊆B允许A＝B，A⊊B不允许——真子集是"包含且不相等"。由A⊊B可推出A⊆B，反过来推不出。教学中用N、Z、Q、R的包含链当练习：N⊊Z⊊Q⊊R，每一环都能举出"在外不在内"的见证元素（－1、1/2、√2），顺带复习1.1的常用数集。 （五）空集 方程x²＋1＝0没有实数根，它的实数根组成的集合不含任何元素。我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A对任何集合A成立。"规定"两个字要向学生交代清楚：∅⊆A没法按定义逐元素检查（∅里没有元素可查），数学上直接规定它成立，这样"子集"的理论才完整（也可以从反面讲给优生听：说A不是B的子集，得在A里找到一个不在B里的元素，∅里找不出任何元素，所以永远驳不倒∅⊆B）。由规定进一步得到：空集是任何非空集合的真子集——"非空"二字不能丢，∅不是∅自己的真子集。 三个长相接近的对象必须当堂辨清：0是一个元素；{0}是含一个元素0的集合；∅是不含任何元素的集合。正确的关系：0∈{0}，0∉∅，∅⊆{0}，∅⊊{0}，∅≠{0}。判断空集还要防"伪空集"：{0}不是空集（它有元素0），{x|x＞8且x＜5}才是空集（没有数同时满足两个条件）。 （六）两条性质 性质一：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A（按定义，A的任意元素当然在A里）。性质二（传递性）：对于集合A、B、C，如果A⊆B且B⊆C，那么A⊆C。传递性用Venn图三个套圈一画即明，也是后面推理链条的雏形。 （七）子集的罗列与个数规律 教材例1：写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。解答：子集有∅，{a}，{b}，{a，b}，共4个；真子集是去掉{a，b}本身的前3个。罗列方法要落成口诀：先写空集，再按元素个数从少到多写（一个元素的、两个元素的……），最后写集合本身——按这个顺序写，不重不漏。学生的两大漏项恰是头尾：漏∅、漏本身。 变式：写出{a，b，c}的所有子集——∅；{a}，{b}，{c}；{a，b}，{a，c}，{b，c}；{a，b，c}，共8个。对照{a，b}的4个、单元素集{a}的2个（∅和{a}）、∅的1个（只有∅自己），引导学生归纳：含n个元素的集合，子集共2ⁿ个，真子集2ⁿ－1个，非空真子集2ⁿ－2个。★规律的道理可以给优生讲一层：每个元素都有"选"与"不选"两种情况，n个元素相乘得2ⁿ（乘法原理的第一次亮相，选择性必修的计数原理正式讲）。 （八）数轴：区间型集合包含关系的工具 形如{x|a≤x≤b}的区间型集合，判断包含关系靠数轴：把两个集合画在同一条数轴上，B⊆A就是B的整段落在A的整段之内，翻译成端点不等式就是"B的左端点不小于A的左端点，且B的右端点不大于A的右端点"。三条操作规矩现在立好：一是端点实心空心分清（≤画实心点，＜画空心圈）；二是含参数的端点在数轴上标字母，端点能否取等要单独验证——把参数的临界值代回原集合检查，最稳妥；三是画完数轴再列不等式组，不画图直接列式最容易把方向写反。这套数轴功夫在第二章解不等式、以后解含参恒成立问题里一直要用，本节是第一次系统训练。 区间型含参问题的完整流程（题型四的骨架）：第一步问B能不能是空集——左端点大于右端点时B＝∅，而∅⊆A恒成立，这一支单独成立；第二步在B≠∅的前提下画数轴列端点不等式组；第三步解出后与"B非空"的条件取公共部分，再与第一支取并。三步的顺序不能乱，第一步漏掉是本节丢分之王。 三、概念辨析与易错点 1．∈与⊆是两套符号，各管一层：∈∉连接元素与集合，⊆⊊＝连接集合与集合。{0}⊆{0，1，2}对，{0}∈{0，1，2}错（{0}是集合，不是{0，1，2}的元素）；1∈{1，2}对，1⊆{1，2}错。判断先问"左边是元素还是集合"。 2．0、{0}、∅三者：0∈{0}；∅⊆{0}且∅⊊{0}；∅≠{0}；0∉∅。四条全部考过选择题。 3．"空集是任何集合的真子集"是错误说法，必须加"非空"二字：空集是任何非空集合的真子集；∅⊆∅成立，但∅⊊∅不成立。 4．写子集最易漏∅和集合本身；写真子集只去掉本身，∅仍要保留（对非空集合而言）。 5．个数公式对号：子集2ⁿ个，真子集2ⁿ－1个，非空真子集2ⁿ－2个。审题看清问的是哪一种，"非空真子集"丢2个。 6．含参数的包含问题，B⊆A必须先讨论B＝∅：区间型集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，当m＋1＞2m－1时B就是空集，此时B⊆A自动成立。漏掉这一支是本节丢分最集中的地方，与1.1的"漏验互异性"并列为第一章两大天坑。 7．⊆的方向：开口朝大。N⊆Z对，Z⊆N错。让学生把包含链N⊊Z⊊Q⊊R抄进笔记，方向感靠这条链养成。 8．A⊆B不等于"A的元素比B少"：A＝B时也有A⊆B。元素个数相同的两个集合也可能互不包含（{1，2}与{2，3}）。 四、题型归纳 题型一　判断集合间的关系 例：判断下列各组集合的关系，用⊆、⊊或＝表示：(1)A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的正约数}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|x²－1＝0}，B＝{－1，1}。 解析：(1)B＝{1，2，4，8}，A中的元素3不在B中，A不是B的子集；B中的4、8也不在A中，B也不是A的子集——两个集合互不包含（有的集合之间没有包含关系，这一点要专门点破）。(2)等边三角形都是等腰三角形，且等腰三角形中存在不等边的（如腰为2底为3的三角形），故A⊊B。(3)解方程得A＝{－1，1}＝B。方法点拨：判断关系先把描述法集合具体化（能列举的列举、区间的画数轴），再逐个元素查"任意"与"存在"。 题型二　写出所有子集、真子集 例：写出集合{0，1，2}的所有子集，并指出其中的真子集。解析：按"先空集、再一元、再二元、最后本身"的顺序：∅；{0}，{1}，{2}；{0，1}，{0，2}，{1，2}；{0，1，2}。共8个子集，去掉{0，1，2}本身，其余7个是真子集。方法点拨：写完数一遍个数对不对（2³＝8），用个数公式自检，漏项当场暴露。 题型三　子集个数计算 例：(1)集合{x|x²＝1}的子集有几个？(2)满足{1}⊊M⊆{1，2，3}的集合M有几个？ 解析：(1)先具体化：{x|x²＝1}＝{－1，1}，含2个元素，子集2²＝4个。(2)M必须真包含{1}（M含1且不等于{1}），又是{1，2，3}的子集，逐一罗列：{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共3个。方法点拨：第(2)类"夹逼型"问题，罗列比套公式可靠；★优生可给公式思路——1必选、去掉{1}本身，相当于在{2，3}里做非空选择，2²－1＝3个。 变式：已知集合A的子集恰有16个，则A含几个元素？——由2ⁿ＝16得n＝4。反向使用公式的小题月考出现过，顺带训练"2的幂"的敏感度（2、4、8、16、32要形成条件反射）。再变：满足∅⊊M⊊{1，2，3}的M有几个？——非空真子集，2³－2＝6个，把三类个数公式再对一次号。 题型四　由包含关系求参数（★） 例：已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围。 解析：分两种情况。第一种，B＝∅：当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B是空集，∅⊆A成立。第二种，B≠∅：此时m≥2，且B的两端都要落进A里，即m＋1≥－2且2m－1≤7，解得m≥－3且m≤4，与m≥2取公共部分得2≤m≤4。综上，m≤4。方法点拨：三步走——先问B能不能是空集、空集时是否合题；再在B非空的前提下画数轴比端点；最后两支取并。数轴上端点能否重合要单独盯（本题端点重合时仍满足⊆，等号保留）。 变式（★端点取等的辨析）：同样的A、B，若把条件改成B⊊A，求m的范围。——B＝∅时∅⊊A对非空集合A成立，这一支保留（m＜2）；B≠∅时在B⊆A的基础上还须A中存在不属于B的元素，本题2≤m≤4时B的区间长度2m－1－(m＋1)＝m－2≤2，恒短于A的长度9，B不可能填满A，故结论不变，仍为m≤4。这道变式的价值在过程：让优生体会⊆改⊊后"哪一支要重新检查"，而答案恰好不变，反过来考验的是敢不敢下"不变"的结论。 题型五　∈与⊆混合判断（★） 例：判断下列各式是否正确：①∅⊊{0}；②0∈∅；③∅＝{0}；④{0}∈{0，1，2}；⑤{0}⊆{0，1，2}；⑥任何集合都有真子集。 解析：①对，空集是非空集合{0}的真子集；②错，∅不含任何元素；③错，{0}含元素0，不是空集；④错，{0}是集合，与{0，1，2}的关系应用⊆；⑤对；⑥错，∅没有真子集。方法点拨：此类题逐式过三关——左边是元素还是集合？该用哪套符号？空集的规定用对没有？ 五、与考试的对应 月考、期中的三大题源：子集个数（选择题送分位，但"非空真子集"设坑）、∈与⊆混合判断（选择题）、含参数包含关系（解答题或压轴填空，空集讨论是采分点）。高考层面，集合题偶尔直接考子集个数或包含判断；更多是隐性使用——1.4节把"充分条件"翻译成"小集合包含于大集合"之后，包含关系成为处理充要条件求参数问题的通用框架，那类题高考真题里年年有。本节的数轴比端点、空集分支讨论，是那套方法的全部基本功。 六、初高中衔接与教学提醒 1．空集是学生遇到的第一个"由规定产生"的数学对象，会有人追问"为什么∅⊆A"。备好两个层次的回答：对全体讲"这是规定，为使理论完整"；对优生讲反证的角度（驳不倒即成立）。不回避，也不纠缠。 2．两套符号的混淆不会一节课解决，本节先立规矩（判断前先问左边是元素还是集合），此后每次作业讲评都点一次，大约两周成型。 3．数轴表示区间型集合从本节含参题开始训练：端点实心空心、参数端点单独讨论，规矩现在立，第二章解不等式直接受益。 4．⊊的印刷体与手写体提醒：书上真子集符号有的版本印作"⫋"，与⊊同义，学生手写用⊊即可，考试两种都认。 5．题型四（含参）普通班只要求做到"记得讨论空集＋会画数轴"，端点等号的细抠放到讲评课；优生班课后作业B组直接练。 6．子集罗列的顺序口诀（先空集、按个数从少到多、最后本身）要求当堂会用，当堂检测就考。 七、题型精练（附详解） 1．下列各式中正确的是（　　） A．∅∈{0}　　B．∅⊆{0}　　C．0⊆{0}　　D．{0}＝∅ 2．集合{x|x²＝1}的子集个数为（　　） A．2　　B．3　　C．4　　D．8 3．设M＝{1，2，3}，N＝{1}，则下列关系正确的是（　　） A．N∈M　　B．M⊆N　　C．N⊊M　　D．1⊆M 4．下列集合中是空集的是（　　） A．{0}　　B．{x|x＞8，且x＜5}　　C．{x∈N|x²－1＝0}　　D．{x|x＞4} 5．已知a∈R，集合{2，9}＝{1－a，9}，则a＝（　　） A．－1　　B．1　　C．3　　D．－3 6．含有3个元素的集合的非空真子集个数为（　　） A．8　　B．7　　C．6　　D．5 7．用适当的符号（∈、∉、⊆、⊊、＝）填空： a＿＿{a}；∅＿＿{a}；{a}＿＿{a，b}；N＿＿R；{x|x²－3x＋2＝0}＿＿{1，2}。 8．满足{2}⊊M⊆{1，2，3}的集合M共有＿＿＿＿个。 9．（解答题）写出集合A＝{x∈N|x＜3}的所有子集，并指出其中的真子集。 10．（解答题）已知集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|a＋1≤x≤2a}，若B⊆A，求实数a的取值范围。 11．已知集合A的子集恰有16个，则A中元素的个数为＿＿＿＿。 12．下列四个说法中，正确的个数是（　　） ①任何集合都有真子集；②若A⊊B，则A⊆B；③∅⊊∅；④若A⊆B且B⊆C，则A⊆C。 A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 参考答案与详解 1．B。空集是任何集合的子集，∅⊆{0}正确；A项∅不是{0}的元素（{0}的元素只有0）；C项0是元素，与集合{0}之间不能用⊆；D项{0}含一个元素，不是空集。 2．C。{x|x²＝1}＝{－1，1}，含2个元素，子集2²＝4个。误选A是把"元素个数"当成"子集个数"；误选D是把元素个数记成了3。 3．C。N的元素1在M中，且M中的2不在N中，N⊊M。A项N是集合，不能用∈；B项方向反了；D项1是元素，不能用⊆。 4．B。没有实数同时大于8又小于5，B是空集。A项含元素0；C项{x∈N|x²－1＝0}＝{1}（－1∉N），含元素1；D项含无穷多个元素。 5．A。由集合相等，两集合元素完全相同，9对9，故1－a＝2，a＝－1。检验：a＝－1时{1－a，9}＝{2，9}，成立。 6．C。子集2³＝8个，非空真子集去掉∅和本身，8－2＝6个。误选B是只去掉本身（那是真子集个数）。 7．a∈{a}；∅⊊{a}（填⊆也对，⊊更精确）；{a}⊊{a，b}；N⊊R；解方程知{x|x²－3x＋2＝0}＝{1，2}，填＝。 8．3个。M含2、真包含{2}、又是{1，2，3}的子集：{2，1}，{2，3}，{1，2，3}。 9．解：A＝{x∈N|x＜3}＝{0，1，2}。按先空集、按元素个数从少到多的顺序，所有子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，共2³＝8个。真子集为去掉{0，1，2}本身的其余7个。 10．解：分两种情况。当B＝∅时，a＋1＞2a，解得a＜1，此时∅⊆A成立。当B≠∅时，a≥1，且需a＋1≥1且2a≤4，解得a≥0且a≤2，与a≥1取公共部分得1≤a≤2。综上，a≤2。（不讨论B＝∅只能得到1≤a≤2，丢掉a＜1整支，这是本题的采分点。） 11．4个。由2ⁿ＝16得n＝4。反向使用子集个数公式。 12．B。①错，∅没有真子集；②对，真子集是子集的特殊情形；③错，∅⊆∅成立但∅⊊∅不成立（真子集要求不相等）；④对，传递性。正确的是②④，共2个。 学科网（北京）股份有限公司 $