1.3 集合的基本运算 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合的基本运算核心知识点，从实数运算类比引入，系统讲解并集、交集的定义、性质及运算，借助Venn图与数轴直观分析，再拓展全集与补集概念，进而综合交并补运算及含参问题，构建从概念到应用的学习支架。 该资料突出数形结合，用Venn图和数轴培养几何直观（数学眼光），通过分类讨论（先空集后非空）和德摩根定律训练逻辑推理（数学思维），符号与图形语言转化提升表达能力（数学语言）。含高考真题及模拟例题，课中辅助教师授课，课后助学生回顾方法、查漏补缺，避免忽略空集等误区。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 集合的基本运算 [学习要点] 1． 准确理解并集、交集、全集、补集的核心概念，能独立完成两个集合的并、交、补基本运算（重点） 2． 熟练运用 Venn 图与数轴两种数形结合工具，直观分析集合的关系与运算结果，建立形数对应的思维（难点） 3． 能根据集合运算的结果逆向推导参数的值或取值范围，掌握分类讨论思想，形成 “先空集、后非空” 的解题习惯 4． 理解并运用集合运算的基本性质与德摩根定律，能完成交、并、补的混合综合运算，提升逻辑推理能力 [导语] 实数之间有加、减、乘、除四则运算，类似地，集合与集合之间也存在对应的运算规则。本节课我们将从 “合并公共元素” 两个基础角度出发，学习并集与交集运算，再引入全集的概念拓展出补集运算，逐步掌握集合的三类基本运算，并利用运算关系解决参数求解问题，为后续函数定义域、值域等内容的学习打好工具基础。 一、并集的运算 核心知识点 1． 并集的定义 由所有属于集合A 或 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作，读作 “A 并 B”。 符号语言： 图形语言（Venn 图）：两个封闭曲线覆盖的全部区域。 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B={x|x∈A，或x∈B} 图形语言 性质 A∪B=B∪A，A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=A⇔B⊆A，A⊆A∪B 2． 对 “或” 的三层理解 并集中的 “或” 不同于日常语言，它包含三种情况： ① 且；② 且；③ 且。 3． 并集的运算性质 交换律： 自反性： 空集性质： 包含等价性： 包含关系：， 4． 注意事项 并集仍然是一个集合，最终结果必须满足元素互异性，重复元素只能保留一次； 无限区间集合求并集时，可借助数轴直观覆盖范围，重点关注端点值的取舍。 例1.计算下列各组集合的并集： (1) 已知，，求； (2) 设集合，，求。 例2.集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则A∪B等于( ) A.{x|x≥2} B.{x|2≤x<3} C.{x|3≤x<4} D.{x|2<x<4} 二、交集的运算 核心知识点 1． 交集的定义 由所有属于集合A 且 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作，读作 “A 交 B”。 符号语言： 图形语言（Venn 图）：两个封闭曲线重叠的公共区域。 文字语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B={x|x∈A，且x∈B} 图形语言 性质 A∩B=B∩A，A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 2． 交集的运算性质 交换律： 自反性： 空集性质： 包含等价性： 包含关系：，， 3． 注意事项 交集仍然是一个集合，由两个集合的全部公共元素组成； 若两个集合没有公共元素，不能表述为 “没有交集”，正确结论是它们的交集为空集，即。 例3.(1)已知集合，，求； (2) 平面内直线上的点集为，直线上的点集为，用集合运算表示两直线的位置关系，并求交点。 例4. 若，，求。 例5. （2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 三、并集与交集的综合运算 核心知识点 1． 运算优先级：有括号先计算括号内的集合，无括号时交、并运算从左到右依次进行。 2． 核心转化关系 ：并集等于更大的集合，等价于较小集合是较大集合的子集； ：交集等于更小的集合，等价于较小集合是较大集合的子集。 3． 常用方法 有限元素集合：用 Venn 图分区域标注元素，直观分析公共部分与全部部分； 区间型集合：用数轴标注范围，通过区间重叠与覆盖判断运算结果。 例6. 已知集合，，。 求：(1) ；(2) ；(3) 。 四、集合交、并集运算中的含参问题 核心知识点 1． 解题核心思路 将集合的运算结果转化为集合间的包含关系，再通过列方程或不等式组求解参数。 2． 通用解题步骤 ① 转化关系：如，两集合无公共元素； ② 分类讨论：优先讨论集合为空集的情况，再分析非空情况，避免漏解； ③ 数形结合：区间型集合借助数轴分析端点位置，列出不等式组； ④ 验证结果：代入检验端点是否可取、集合元素是否满足互异性。 例7. 已知集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|a<x<4}，若A∪B=R，则实数a的取值范围是( ) A.3≤a<4 B.-1<a<4 C.a≤-1 D.a<-1 例8. 已知集合，。 (1) 若，求实数a的取值范围； (2) 若，求实数a的取值范围。 五、全集与补集 核心知识点 1． 全集 定义：含有所研究问题中涉及的所有元素的集合，称为全集，通常记作。 特点：全集不是固定不变的，会随着研究问题的范围变化而变化，是一个相对概念。 2． 补集 文字语言：对于集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，简称A的补集，记作。 符号语言： 图形语言（Venn 图）：全集矩形内，集合A以外的阴影区域。 3． 补集的核心性质 从属关系：； 特殊补集：，； 双重补集：（补集的补集是自身）； 互补性：，。 4． 注意事项 补集不能脱离全集单独存在，全集不同，同一个集合的补集结果也不同； 求补集前必须先明确全集，且保证集合A是全集U的子集。 例9 (1) 设全集，，，求和； (2) 设全集为，集合，求。 六、交集、并集、补集的综合运算 核心知识点 1． 运算顺序：先计算括号内的补集，再计算交集，最后计算并集；同级运算从左到右依次进行。 2． 德摩根定律（补集运算的核心结论） 补集的交集等于并集的补集： 补集的并集等于交集的补集： 可通俗记忆为：“交补 = 补并，并补 = 补交”。 3． 常用方法 有限元素集合：Venn 图分区域标注元素，逐一对应运算结果； 区间型集合：数轴法，分段标注补集、交集、并集的范围。 例10.（2026·福建厦门·模拟预测）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 例10. 已知全集，，，。 求：(1) ；(2) ；(3) 。 七、由集合间的运算求参数的值（范围） 核心知识点 1． 题型特点 结合补集、交集、并集的混合运算给出条件，求解参数的值或取值范围，是集合运算的综合应用，也是本节的核心考点。 2． 解题通法 ① 先根据运算性质化简条件，转化为集合的包含关系； ② 分空集、非空两类讨论，优先考虑空集，避免漏解； ③ 有限集结合韦达定理、元素对应关系列方程；区间集借助数轴列不等式组； ④ 结果回代验证，确保符合题意与集合元素的互异性。 例11. 设全集U=R，集合A={x|x2+4x+a=0}，B={x|x2+bx-2=0}. 例12. 已知全集，集合，。 (1) 若，求实数m的取值范围； (2) 若，求实数m的取值范围。 例13. 已知集合，，且，求的值。 课堂小结 1. 知识框架 并集、交集的定义、性质与基础运算 全集与补集的概念、性质与运算 交、并、补的混合运算与德摩根定律 由集合运算结果求解参数的通用方法 2. 方法归纳 有限集运算：列举法、Venn 图分区域法 无限区间运算：数轴分析法 含参问题：分类讨论思想（先空集后非空）、转化与化归思想（运算关系转包含关系） 3. 常见误区 忽略空集是任何集合的子集，漏解空集的情况； 求并集时忽略元素互异性，重复书写相同元素； 区间集合求参数时，端点等号的取舍判断错误； 求补集时忽略全集范围，默认全集为实数集导致出错。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 集合的基本运算 [学习要点] 1． 准确理解并集、交集、全集、补集的核心概念，能独立完成两个集合的并、交、补基本运算（重点） 2． 熟练运用 Venn 图与数轴两种数形结合工具，直观分析集合的关系与运算结果，建立形数对应的思维（难点） 3． 能根据集合运算的结果逆向推导参数的值或取值范围，掌握分类讨论思想，形成 “先空集、后非空” 的解题习惯 4． 理解并运用集合运算的基本性质与德摩根定律，能完成交、并、补的混合综合运算，提升逻辑推理能力 [导语] 实数之间有加、减、乘、除四则运算，类似地，集合与集合之间也存在对应的运算规则。本节课我们将从 “合并公共元素” 两个基础角度出发，学习并集与交集运算，再引入全集的概念拓展出补集运算，逐步掌握集合的三类基本运算，并利用运算关系解决参数求解问题，为后续函数定义域、值域等内容的学习打好工具基础。 一、并集的运算 核心知识点 1． 并集的定义 由所有属于集合A 或 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作，读作 “A 并 B”。 符号语言： 图形语言（Venn 图）：两个封闭曲线覆盖的全部区域。 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B={x|x∈A，或x∈B} 图形语言 性质 A∪B=B∪A，A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=A⇔B⊆A，A⊆A∪B 2． 对 “或” 的三层理解 并集中的 “或” 不同于日常语言，它包含三种情况： ① 且；② 且；③ 且。 3． 并集的运算性质 交换律： 自反性： 空集性质： 包含等价性： 包含关系：， 4． 注意事项 并集仍然是一个集合，最终结果必须满足元素互异性，重复元素只能保留一次； 无限区间集合求并集时，可借助数轴直观覆盖范围，重点关注端点值的取舍。 例1.计算下列各组集合的并集： (1) 已知，，求； (2) 设集合，，求。 【答案】(1) 根据并集定义，合并两个集合的全部元素，重复元素只保留一次： 。 (2) 在数轴上分别标注两个集合的范围，取全部覆盖的区间： 。 例2.集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则A∪B等于( ) A.{x|x≥2} B.{x|2≤x<3} C.{x|3≤x<4} D.{x|2<x<4} 【答案】A 【详解】由B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3}，得A∪B={x|x≥2}. 二、交集的运算 核心知识点 1． 交集的定义 由所有属于集合A 且 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作，读作 “A 交 B”。 符号语言： 图形语言（Venn 图）：两个封闭曲线重叠的公共区域。 文字语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B={x|x∈A，且x∈B} 图形语言 性质 A∩B=B∩A，A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 2． 交集的运算性质 交换律： 自反性： 空集性质： 包含等价性： 包含关系：，， 3． 注意事项 交集仍然是一个集合，由两个集合的全部公共元素组成； 若两个集合没有公共元素，不能表述为 “没有交集”，正确结论是它们的交集为空集，即。 例3.(1)已知集合，，求； (2) 平面内直线上的点集为，直线上的点集为，用集合运算表示两直线的位置关系，并求交点。 【答案】(1) 两个集合的公共区间为，因此：。 (2) 两直线的交点同时属于两条直线，因此交点集合为。 联立方程，解得， 因此，两直线相交于点。 例4. 若，，求。 【答案】集合B中满足的元素为 0, 2, 4，因此。 例5. （2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，所以 三、并集与交集的综合运算 核心知识点 1． 运算优先级：有括号先计算括号内的集合，无括号时交、并运算从左到右依次进行。 2． 核心转化关系 ：并集等于更大的集合，等价于较小集合是较大集合的子集； ：交集等于更小的集合，等价于较小集合是较大集合的子集。 3． 常用方法 有限元素集合：用 Venn 图分区域标注元素，直观分析公共部分与全部部分； 区间型集合：用数轴标注范围，通过区间重叠与覆盖判断运算结果。 例6. 已知集合，，。 求：(1) ；(2) ；(3) 。 【答案】(1) 取两个集合的全部覆盖范围：； (2) 取两个集合的公共范围：； (3) 先计算括号内：， 再与C取并集：。 四、集合交、并集运算中的含参问题 核心知识点 1． 解题核心思路 将集合的运算结果转化为集合间的包含关系，再通过列方程或不等式组求解参数。 2． 通用解题步骤 ① 转化关系：如，两集合无公共元素； ② 分类讨论：优先讨论集合为空集的情况，再分析非空情况，避免漏解； ③ 数形结合：区间型集合借助数轴分析端点位置，列出不等式组； ④ 验证结果：代入检验端点是否可取、集合元素是否满足互异性。 例7. 已知集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|a<x<4}，若A∪B=R，则实数a的取值范围是( ) A.3≤a<4 B.-1<a<4 C.a≤-1 D.a<-1 【答案】C 【详解】利用数轴，若A∪B=R，则a≤-1. 例8. 已知集合，。 (1) 若，求实数a的取值范围； (2) 若，求实数a的取值范围。 【答案】(1) 若，借助数轴可知，B的左端点必须在 - 2 左侧（含端点）才能覆盖全部实数， 即。 因此实数a的取值范围是。 (2) 分两种情况讨论： ① 当时，天然满足，此时； ② 当时，要使两集合无公共元素，需满足，不等式组无解。 综上，实数a的取值范围是。 五、全集与补集 核心知识点 1． 全集 定义：含有所研究问题中涉及的所有元素的集合，称为全集，通常记作。 特点：全集不是固定不变的，会随着研究问题的范围变化而变化，是一个相对概念。 2． 补集 文字语言：对于集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，简称A的补集，记作。 符号语言： 图形语言（Venn 图）：全集矩形内，集合A以外的阴影区域。 3． 补集的核心性质 从属关系：； 特殊补集：，； 双重补集：（补集的补集是自身）； 互补性：，。 4． 注意事项 补集不能脱离全集单独存在，全集不同，同一个集合的补集结果也不同； 求补集前必须先明确全集，且保证集合A是全集U的子集。 例9 (1) 设全集，，，求和； (2) 设全集为，集合，求。 【答案】(1)由题意得全集， 从全集中去掉A的元素得：； 从全集中去掉B的元素得：。 (2) 根据补集定义，实数集中去掉区间的剩余部分为： 。 六、交集、并集、补集的综合运算 核心知识点 1． 运算顺序：先计算括号内的补集，再计算交集，最后计算并集；同级运算从左到右依次进行。 2． 德摩根定律（补集运算的核心结论） 补集的交集等于并集的补集： 补集的并集等于交集的补集： 可通俗记忆为：“交补 = 补并，并补 = 补交”。 3． 常用方法 有限元素集合：Venn 图分区域标注元素，逐一对应运算结果； 区间型集合：数轴法，分段标注补集、交集、并集的范围。 例10.（2026·福建厦门·模拟预测）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 例10. 已知全集，，，。 求：(1) ；(2) ；(3) 。 【答案】先求两个集合的补集：，。 (1) 取两个补集的公共部分：； (2) 先算并集：， 再求补集：； 注：本小题结果与 (1) 完全一致，验证了德摩根定律：。 (3) 先算括号内交集：， 再与取并集：。 七、由集合间的运算求参数的值（范围） 核心知识点 1． 题型特点 结合补集、交集、并集的混合运算给出条件，求解参数的值或取值范围，是集合运算的综合应用，也是本节的核心考点。 2． 解题通法 ① 先根据运算性质化简条件，转化为集合的包含关系； ② 分空集、非空两类讨论，优先考虑空集，避免漏解； ③ 有限集结合韦达定理、元素对应关系列方程；区间集借助数轴列不等式组； ④ 结果回代验证，确保符合题意与集合元素的互异性。 例11. 设全集U=R，集合A={x|x2+4x+a=0}，B={x|x2+bx-2=0}. (1)若集合A中恰有一个元素，求实数a的值；(2)若(∁UA)∩B={2}，(∁UB)∩A={-3}，求A∪B. 【答案】(1)因为集合A中恰有一个元素，所以Δ=16-4a=0，解得a=4. (2)为(∁UA)∩B={2}，所以2∈B，则4+2b-2=0，解得b=-1. 因为(∁UB)∩A={-3}，所以-3∈A，则9-12+a=0，解得a=3.则A={x|x2+4x+3=0}={-1，-3}， B={x|x2-x-2=0}={-1，2}， 检验可知(∁UA)∩B={2}，(∁UB)∩A={-3}成立.所以A∪B={-3，-1，2 例12. 已知全集，集合，。 (1) 若，求实数m的取值范围； (2) 若，求实数m的取值范围。 【答案】先求A的补集：。 (1) 由，可得。 分两种情况讨论： ① 当时，满足条件，此时，解得； ② 当时，需满足，不等式组无解。 综上，实数m的取值范围是。 (2) 由，可得。 此时B不能为空集，需满足： 解得。 因此实数m的取值范围是。 例13. 已知集合，，且，求的值。 【答案】因为，所以且。 将代入A的方程：，解得； 将代入B的方程：，解得。 因此。 课堂小结 1. 知识框架 并集、交集的定义、性质与基础运算 全集与补集的概念、性质与运算 交、并、补的混合运算与德摩根定律 由集合运算结果求解参数的通用方法 2. 方法归纳 有限集运算：列举法、Venn 图分区域法 无限区间运算：数轴分析法 含参问题：分类讨论思想（先空集后非空）、转化与化归思想（运算关系转包含关系） 3. 常见误区 忽略空集是任何集合的子集，漏解空集的情况； 求并集时忽略元素互异性，重复书写相同元素； 区间集合求参数时，端点等号的取舍判断错误； 求补集时忽略全集范围，默认全集为实数集导致出错。 学科网（北京）股份有限公司 $