1.3 集合的基本运算【重点•题型】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合的基本运算核心知识点，系统梳理并集、交集、全集与补集的概念、性质及Venn图表示，通过7类重难点题型构建从概念理解到综合应用的学习支架。 特色在于借助Venn图直观呈现集合关系培养几何直观（数学眼光），分层题型设计锻炼逻辑推理（数学思维），符号与图表结合提升数学表达（数学语言）。课中辅助教师高效教学，课后助力学生通过典型例题巩固知识，查漏补缺。

专题1.3 集合的基本运算 【知识点1、并集】 1．并集的概念 一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示： （1） （2） （3） 由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集． 注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的． 2．并集的性质 对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得： （1），； （2）； （3）； （4）． 【知识点2、交集】 1．交集的概念 一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：___________（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示： （1）A与B相交（有公共元素） （2），则 （3）A与B相离（） 注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素． 2．交集的性质 （1）； （2）； （3）； （4）． 【知识点3、全集与补集】 1．全集的概念 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．学+科网 说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集． 2．补集的概念 对于一个集合A，由全集U中___________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示： 说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是 全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个 概念． （2）若，则或，二者必居其一． 3．全集与补集的性质 设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的定义可得： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 重难点题型1 并集 1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.9 【知识点】并集的概念及运算、列举法表示集合 【详解】由题，，则． 2．（25-26高一下·江苏常州·期末）已知集合，，则集合中元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】并集的概念及运算 【详解】由于,所以集合中元素个数为 3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】并集的概念及运算 【详解】集合， 则. 4．（25-26高一上·四川广安·期中）已知集合，，则______ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算 【分析】求出集合，利用并集的运算求解. 【详解】，， ，. 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则___________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算 【分析】利用集合的并集定义计算即得. 【详解】因，则. 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海·阶段检测）若，，则___________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据题意结合集合的并集运算求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故答案为：. 重难点题型2 交集 1．（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】交集的概念及运算 【详解】由，而， 则. 2．（25-26高二下·浙江丽水·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】交集的概念及运算 【详解】由交集的定义可知，. 3．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】交集的概念及运算 【详解】由，得，所以. 因此. 4．（25-26高二下·上海·期中）已知集合，，则____________. 【答案】 【难度】0.95 【知识点】交集的概念及运算 【详解】已知，， 两个集合的公共元素为和，因此. 5．（25-26高一上·山西晋城·期末）已知集合或，集合，则___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算 【分析】利用交集的定义求解即可. 【详解】因为或，， 则或, 故答案为： 6．（25-26高一上·吉林长春·期末）已知集合，，则______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意有：， 故答案为：. 重难点题型3 全集和补集 1．（25-26高二下·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】补集的概念及运算 【分析】本题首先可根据题意确定集合和集合中包含的元素，然后根据补集的相关性质即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则. 2．（2026·北京大兴·三模）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】补集的概念及运算 【详解】由，， 所以． 3．已知全集 ，集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】补集的概念及运算 【分析】由补集的概念即可求解. 【详解】由全集，集合， 则 . 4．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知全集，，则_________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】补集的概念及运算 【分析】利用补集运算即可求解. 【详解】由，，可得， 故答案为： 5．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）已知全集，集合，则________（用区间表示）. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】补集的概念及运算 【分析】利用补集的意义求解即可. 【详解】因为，，所以. 故答案为：. 6．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，则_____ 【答案】 【难度】0.94 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据给定条件，利用补集的定义直接求解. 【详解】集合，所以. 故答案为： 7．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）设集合{小于7的质数}，，则___________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】补集的概念及运算 【分析】先确定集合，再利用补集的概念运算即可. 【详解】易知，所以. 故答案为： 重难点题型4 交、并、补的混合运算 求解集合的基本运算问题需掌握“3种技巧”(1)先"简"后"算"：进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的性质特征，如区分数集与点集等. （2)遵“规“守“矩”：定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素”；并集的运算中“并”是合并的意思；补集的运算要关注“你有我无”的元素.（3)借“形”助“数"：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图或数轴使抽象问题直观化，用数轴表示时要注意端点值的取舍. 1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）（多选题）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】交并补混合运算 【分析】本题考查集合的交、并、补基本运算，需根据各类运算的定义逐一计算各选项判断正误 【详解】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. 2．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、交并补混合运算 【详解】由，则， 而，则， 若，则，，此时，不满足题意，故， 同理可得，又，则. 3．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 【答案】(1)； (2)； (3)或； 【难度】0.88 【知识点】交并补混合运算、并集的概念及运算 【详解】（1）由，，可得. （2）因为，，所以. （3）因为，或， 或. 4．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知集合， (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2)或. 【难度】0.92 【知识点】交并补混合运算、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】（1）解不等式求出集合，根据交集、并集定义直接计算即可； （2）先求出两集合的补集，再由并集运算可得结果. 【详解】（1）易知，又， 所以； （2）易知或，； 因此或. 5．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知全集，集合，， (1)求，； (2)求． 【答案】(1)，. (2)． 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】（1）利用集合并集、交集的定义求解即可； （2）利用补集、交集的定义求解即可. 【详解】（1）利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图． 则，. （2）依题意：或，或， 所以． 6．（25-26高一上·山东济南·期中）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】交并补混合运算、补集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】（1）由交集的定义即可得解； （2）由补集的定义即可得解； （3）由补集与并集的定义即可得解. 【详解】（1），，. （2），. （3），. 又因为，所以. 重难点题型5 根据集合的交、并、补集求参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若， 且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围. 常采用数形结合的思想，借助数轴解答. 1．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、交并补混合运算 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据交集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即a的取值范围为． 2．（24-25高二下·江苏·阶段检测）已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数、根据交并补混合运算确定集合或参数、交并补混合运算 【分析】（1）当时，求出集合，利用交集的定义可得出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）由题意可知，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，，则， 所以，则. （2）因为，则， 当时，，解得，合乎题意； 当时，即时，有，解得，即. 综上，，即实数的取值范围是. 3．（24-25高一上·山东枣庄·阶段检测）设集合. (1)若，求； (2)是否存在实数，使得，若存在，求实数的取值范围，否则说明理由. 【答案】(1)或 (2)不存在，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、并集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】（1）把代入，利用集合的并集、交集的定义求解即得. （2）假定实数存在，再结合集合的包含关系，列式求解即得. 【详解】（1）当时，，而，因此， 所以或. （2）由，得， 由，解得不存在. 所以不存在实数，使得. 故a不存在. 4．（24-25高一上·山西晋中·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合中仅有一个整数元素，求. 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】（1）求出，根据题意列出不等式组，即可求得答案； （2）根据题意讨论整数元素可能是和，列出相应的不等式求出m的范围，结合集合的并集运算，即可求得答案. 【详解】（1）由题意， 知或，, 因为，故，解得； （2）中的整数元素为， 而集合中仅有一个整数元素， 当该整数元素为时，， 此时，则； 当该整数元素为时，， 此时，则. 重难点题型6 韦恩图 1、对于离散型数集或抽象几何的运算，常借助Venn图求解，数形结合思想的应用； 2、解决集合交、并、补运算的技巧：如果所给集合是有限集，则先把集合中的运算意义列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义求解．在解答过程中常常借助Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象切解答时不易出错． 1．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】补集的概念及运算、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】确定全集中的元素，根据可确定，再结合图中阴影部分的含义即可得答案. 【详解】全集, 又因为，所以,而 所以阴影部分表示的集合是即为， 故选：B. 2．若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用Venn图求集合、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】根据韦恩图所表示的集合为，按照并集和补集的运算求解即可. 【详解】集合，则 则图中阴影部分表示的集合是. 故选：D. 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）（多选题）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、利用Venn图求集合 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 4．（多选题）如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】利用Venn图求集合、根据交并补混合运算确定集合或参数、交并补混合运算 【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】根据图中阴影可知：阴影中的元素属于集合但不属于集合，故符合要求， 故选：BD 5．已知，，，则图中阴影部分所表示的集合为______. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用Venn图求集合、根据交并补混合运算确定集合或参数 【解析】由韦恩图知阴影部分为，根据已知集合，应用集合的交补运算求集合即可. 【详解】由图知：阴影部分为，而， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查了集合的基本运算，根据韦恩图写出目标集合的表达式，根据已知条件结合交补运算求集合，属于简单题. 6．（25-26高一上·上海·阶段检测）设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是______________．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】先分析出图中的阴影部分表示的集合，再求出集合，从而求出图中阴影部分的集合． 【详解】图中的阴影部分表示的集合为且， 又，， 图中的阴影部分表示的集合且． 故答案为：． 重难点题型7 集合的新定义问题 1．（25-26高一上·四川内江·阶段检测）（多选题）对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题中，为真命题的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．对任意，，都有 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】集合新定义 【分析】根据集合新定义，结合集合的交集、并集、补集之间的元素关系逐项判断即可. 【详解】对于A，因为⊕，所以,，故，故A错误； 对于B，，且⊕，则,， 即与是相同的，所以，故B正确； 对于C，，且⊕，则,， 故，且中元素不能出现在中，故，故C正确； 对于D，⊕,， 其中，， 故⊕，,， 而⊕,，故⊕⊕，故D正确． 故选：BCD． 2．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】集合新定义、判断元素与集合的关系 【分析】通过对进行赋值及利用两个性质可判断各个选项. 【详解】由于0不能作除数，所以，A正确；由性质①，取可得，B正确； 因为，所以，由性质①，即，C正确； 假设若，则，取可得与矛盾，D错误. 故选：D 3．（25-26高一上·全国·课后作业）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、集合新定义 【详解】解法1  因为，所以，故A符合；因为，所以，故B不符合；因为，所以，故C符合；，所以，故D符合. 解法2  因为，所以且，则且（k，），所以，即，所以.又，所以（c，），即，即，所以.当时，；当时，；当时，. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（江苏徐州市2025-2026学年第二学期期末抽测高二数学试卷）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.92 【知识点】交集的概念及运算 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】，则． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据并集定义求解. 【详解】，， 所以． 3．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知全集，集合，则集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.9 【知识点】补集的概念及运算 【详解】因为全集，则集合为. 4．（25-26高三上·北京东城·期中）全集，集合，图中阴影部分表示集合为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用Venn图求集合、交并补混合运算 【分析】由Venn图可知，阴影部分表示集合，进而可求解. 【详解】由Venn图可知，阴影部分表示集合， 由， 得， 所以或， 故选：D 5．（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】集合新定义、根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【详解】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. 6．设非空集合，定义且，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】集合新定义、交并补混合运算 【分析】根据新定义运算求得正确答案. 【详解】依题意可知， 则，， 所以. 故选：D 二、多选题 7．（25-26高一上·广东·阶段检测）（多选题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.94 【知识点】判断两个集合的包含关系、交并补混合运算 【分析】先化简集合B，结合选项验证即可. 【详解】对于A，由可知，故A正确； 对于B，由得，于是，故B正确； 对于C，由得，故C错误； 对于D，或，故或，故D错误. 故选：AB. 8．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）（多选题）已知集合，，，则下面结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据交集，并集，补集的定义即可求解. 【详解】由题意，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 9．已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算 【分析】由一元一次不等式和一元二次不等式的解法分别求出集合A、B的元素，再进行集合交、并、补的运算得出答案. 【详解】集合，集合， 对于A选项：，故A正确； 对于B选项：，故B错误； 对于C、D选项：，，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． 10．如图，是全集，是的两个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、利用Venn图求集合 【分析】由题阴影部分对应的集合为在M中不在N中，然后利用集合关系确定即可. 【详解】由题可知阴影部分在集合中，而不在集合中， 故阴影部分所表示的元素属于，不属于(属于的补集)， 即； 由题可知阴影部分所表示的元素属于，不属于，即； 所以阴影部分对应的集合为或. 故选：BC. 三、填空题 11．（2026·上海·模拟预测）若集合，自然数集为，则______． 【答案】 【难度】0.92 【知识点】常用数集或数集关系应用、交集的概念及运算 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】因为集合， 所以． 12．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知集合，则___________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】并集的概念及运算 【详解】由题意得：. 13．（25-26高二·全国·暑假作业）设全集，集合，则_______． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】补集的概念及运算 【详解】根据补集的定义可得． 14．（25-26高二上·湖北十堰·期中）如图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况，设事件“参加数学兴趣小组”，事件“参加语文兴趣小组”，事件“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生，则事件所代表的区域是________（填区域编号）. 【答案】4 【难度】0.94 【知识点】利用Venn图求集合 【分析】结合事件所表示的意义和韦恩图求出答案. 【详解】事件表示喜欢数学兴趣小组，且喜欢语文兴趣小组， 但不喜欢英语兴趣小组，故表示的区域为4. 故答案为：4 四、解答题 15．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）已知全集，集合，集合．求： (1)，； (2)，． 【答案】(1) (2)， 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、交并补混合运算、并集的概念及运算 【分析】（1）根据集合的交集与并集的概念计算即可； （2）根据交并补混合运算即可得结论. 【详解】（1）因为集合，集合， 所以； （2）由于全集， 则，则， 又，所以. 16．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、交集的概念及运算 【分析】(1)根据集合包含关系列出不等式组，求出实数m的取值范围； (2)分与进行讨论，列出不等关系，求出实数m的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以. （2），因为， 所以当时，则，解得，符合题意； 当时，则或，解得 综上所述实数m的取值范围是． 17．已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.65 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、交并补混合运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）根据集合运算的定义计算； （2）由已知得，再由集合包含的关系得出不等式，从而得出结论． 【详解】（1）由已有，或， ∴； （2）∵，∴， 若，则，则，满足题意； 若，则，解得，∴， 综上，的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 集合的基本运算 【知识点1、并集】 1．并集的概念 一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示： （1） （2） （3） 由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集． 注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的． 2．并集的性质 对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得： （1），； （2）； （3）； （4）． 【知识点2、交集】 1．交集的概念 一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：___________（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示： （1）A与B相交（有公共元素） （2），则 （3）A与B相离（） 注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素． 2．交集的性质 （1）； （2）； （3）； （4）． 【知识点3、全集与补集】 1．全集的概念 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．学+科网 说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集． 2．补集的概念 对于一个集合A，由全集U中___________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示： 说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是 全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个 概念． （2）若，则或，二者必居其一． 3．全集与补集的性质 设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的定义可得： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 重难点题型1 并集 1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知集合则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏常州·期末）已知集合，，则集合中元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川广安·期中）已知集合，，则______ 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则___________． 6．（25-26高一上·上海·阶段检测）若，，则___________. 重难点题型2 交集 1．（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·浙江丽水·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，，则 （    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·上海·期中）已知集合，，则____________. 5．（25-26高一上·山西晋城·期末）已知集合或，集合，则___________． 6．（25-26高一上·吉林长春·期末）已知集合，，则______． 重难点题型3 全集和补集 1．（25-26高二下·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·北京大兴·三模）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知全集 ，集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知全集，，则_________. 5．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）已知全集，集合，则________（用区间表示）. 6．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，则_____ 7．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）设集合{小于7的质数}，，则___________. 重难点题型4 交、并、补的混合运算 求解集合的基本运算问题需掌握“3种技巧”(1)先"简"后"算"：进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的性质特征，如区分数集与点集等. （2)遵“规“守“矩”：定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素”；并集的运算中“并”是合并的意思；补集的运算要关注“你有我无”的元素.（3)借“形”助“数"：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图或数轴使抽象问题直观化，用数轴表示时要注意端点值的取舍. 1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）（多选题）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 4．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知集合， (1)求； (2)求. 5．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知全集，集合，， (1)求，； (2)求． 6．（25-26高一上·山东济南·期中）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 重难点题型5 根据集合的交、并、补集求参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若， 且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围. 常采用数形结合的思想，借助数轴解答. 1．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 2．（24-25高二下·江苏·阶段检测）已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 3．（24-25高一上·山东枣庄·阶段检测）设集合. (1)若，求； (2)是否存在实数，使得，若存在，求实数的取值范围，否则说明理由. 4．（24-25高一上·山西晋中·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合中仅有一个整数元素，求. 重难点题型6 韦恩图 1、对于离散型数集或抽象几何的运算，常借助Venn图求解，数形结合思想的应用； 2、解决集合交、并、补运算的技巧：如果所给集合是有限集，则先把集合中的运算意义列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义求解．在解答过程中常常借助Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象切解答时不易出错． 1．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 2．若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）（多选题）图中阴影部分用集合符号可以表示为（   ） A． B． C． D． 4．（多选题）如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 5．已知，，，则图中阴影部分所表示的集合为______. 6．（25-26高一上·上海·阶段检测）设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是______________．    重难点题型7 集合的新定义问题 1．（25-26高一上·四川内江·阶段检测）（多选题）对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题中，为真命题的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．对任意，，都有 2．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 3．（25-26高一上·全国·课后作业）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（江苏徐州市2025-2026学年第二学期期末抽测高二数学试卷）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知全集，集合，则集合为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·北京东城·期中）全集，集合，图中阴影部分表示集合为（  ） A． B． C．或 D．或 5．（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．设非空集合，定义且，则集合（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一上·广东·阶段检测）（多选题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）（多选题）已知集合，，，则下面结论正确的有（   ） A． B． C． D． 9．已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，是全集，是的两个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（2026·上海·模拟预测）若集合，自然数集为，则______． 12．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知集合，则___________． 13．（25-26高二·全国·暑假作业）设全集，集合，则_______． 14．（25-26高二上·湖北十堰·期中）如图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况，设事件“参加数学兴趣小组”，事件“参加语文兴趣小组”，事件“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生，则事件所代表的区域是________（填区域编号）. 四、解答题 15．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）已知全集，集合，集合．求： (1)，； (2)，． 16．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 17．已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $