1.1 集合的概念 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合的概念，以小学初中接触的“自然数的集合”等概念为基础，系统梳理元素与集合的定义、确定性互异性无序性三大特征，明确元素与集合的“属于/不属于”关系及常用数集符号，掌握列举法与描述法的规范表示及适用场景，为后续集合运算与函数学习搭建基础支架。 资料以学习要点明确重难点，通过实例抽象（如例1判断集合构成）培养数学眼光，结合含参问题（如例2互异性验证）训练数学思维，规范符号与表示法（如常用数集符号、描述法代表元素）提升数学语言能力。课中助力教师突出关键，课后通过知识框架与易错提示帮助学生查漏补缺，强化理解。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 [学习要点] 1.结合生活实例与已学数学知识，抽象理解元素与集合的核心含义，掌握集合元素确定性、互异性、无序性三大特征，能独立判断一组对象能否构成集合，并运用元素特征解决含参数的集合基础问题（重点） 2.理解元素与集合的 “属于”“不属于” 两种从属关系，规范掌握对应符号的书写与读法；熟记常用数集的专用符号，能快速判断元素与各类数集的从属关系（重点） 3.掌握列举法与描述法两种集合表示方法的书写规范，明确二者的适用场景与核心差异；能根据集合的元素特征选择恰当的表示方法，准确区分数集与点集，完成两种表示方法的相互转化（重难点） [课前引入] 在小学与初中阶段，我们已经接触过“自然数的集合”“到定点距离等于定长的点的集合”等概念。本节我们将系统学习集合的定义、元素特征、元素与集合的关系，以及集合的规范表示方法，为后续集合运算与函数学习打下基础。 一、元素与集合的概念 核心知识点 1. 基础定义 元素：研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母 表示。 集合：由一些元素组成的总体叫做集合（简称集），常用大写拉丁字母 表示。 2. 集合元素的三大特征 确定性：集合中的元素必须是明确可判定的，任意一个对象是否属于该集合有唯一确定的结论；标准模糊、无法明确判断的对象不能构成集合。 互异性：同一集合中的元素互不相同，不会重复出现相同元素。 无序性：集合中的元素无顺序要求，只要元素完全一致，无论排列顺序如何，都视为同一个集合。 3. 集合相等 若两个集合的构成元素完全相同，则称这两个集合相等。 易错提示 判断一组对象能否构成集合，核心依据是确定性； 求解含参数的集合问题时，求出参数后必须代入验证互异性，避免集合出现重复元素。 例1.（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 例2.若集合A中含有两个元素4和，则实数a的取值范围为________。 二、元素与集合之间的关系 核心知识点 1. 元素与集合的两种基本关系 关系 定义 符号表示 读法 属于 若是集合中的元素 属于集合 不属于 若不是集合中的元素 不属于集合 2. 常用数集及符号记法 数集名称 非负整数集（自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 （或） 3. 判断元素与集合关系的方法 · 直接法：集合元素已明确列举时，直接核对元素是否出现即可； · 推理法：集合用描述法表示时，推导对象是否满足集合元素的共同特征。 易错提示 属于自然数集，但不属于正整数集； 已知元素属于含参数的集合时，需分情况讨论参数取值，最终必须验证集合元素的互异性。 例3.(多选) 下列关系式中，正确的是 (　　) A. B. C. D. 例4.已知集合A中含有两个元素和，若，则实数________。 三、集合的表示法 核心知识点 角度1：列举法 1. 定义：将集合的所有元素一一列举出来，并用花括号包裹的表示方法。 2. 书写规范 · 元素之间用逗号分隔； · 元素数量较少时，直接全部列举，不考虑元素顺序； · 元素数量多且有明确规律时，可写出部分元素体现规律，后加省略号，如正整数集可写为。 3. 注意事项 · 花括号本身已包含“所有、全体”的含义，括号内禁止再出现“全体”“所有”等表述； · 适用场景：元素个数有限且数量少，或元素有清晰规律的无限集。 角度2：描述法 1. 定义：通过描述集合元素的共同特征来表示集合，基本形式为，其中为代表元素，为元素满足的共同特征。 2. 书写要点 · 先明确代表元素：区分数集（代表元素为数，如）与点集（代表元素为有序数对，如）； · 若可通过上下文明确，则可省略不写。 3. 注意事项 · 花括号内禁止重复使用“所有”“全体”等表述； · 适用场景：元素个数无限、无法一一列举的集合。 易错提示 数集与点集是完全不同的集合：是数集，是点集，二者不相等； 描述法中代表元素判断错误是高频易错点，解题时需先识别代表元素类型。 例5.用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合. 例6.用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 例7.用适当的方法表示下列集合： (1)大于0.5且不大于6的自然数构成的集合； (2)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数的集合； (3)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； (4)不等式x-2>6的解集； 课堂小结 1. 知识框架 元素与集合的基本概念 元素与集合的“属于/不属于”关系 常用数集的符号记忆 集合的两种表示方法：列举法、描述法 2. 方法归纳 判断集合构成：确定性原则 元素关系判断：直接法、推理法 含参集合问题：分类讨论 + 互异性验证 3. 常见误区 遗漏自然数集中的； 求解含参集合时忽略元素互异性； 混淆列举法与描述法的适用场景，错判数集与点集。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 [学习要点] 1.结合生活实例与已学数学知识，抽象理解元素与集合的核心含义，掌握集合元素确定性、互异性、无序性三大特征，能独立判断一组对象能否构成集合，并运用元素特征解决含参数的集合基础问题（重点） 2.理解元素与集合的 “属于”“不属于” 两种从属关系，规范掌握对应符号的书写与读法；熟记常用数集的专用符号，能快速判断元素与各类数集的从属关系（重点） 3.掌握列举法与描述法两种集合表示方法的书写规范，明确二者的适用场景与核心差异；能根据集合的元素特征选择恰当的表示方法，准确区分数集与点集，完成两种表示方法的相互转化（重难点） [课前引入] 在小学与初中阶段，我们已经接触过“自然数的集合”“到定点距离等于定长的点的集合”等概念。本节我们将系统学习集合的定义、元素特征、元素与集合的关系，以及集合的规范表示方法，为后续集合运算与函数学习打下基础。 一、元素与集合的概念 核心知识点 1. 基础定义 元素：研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母 表示。 集合：由一些元素组成的总体叫做集合（简称集），常用大写拉丁字母 表示。 2. 集合元素的三大特征 确定性：集合中的元素必须是明确可判定的，任意一个对象是否属于该集合有唯一确定的结论；标准模糊、无法明确判断的对象不能构成集合。 互异性：同一集合中的元素互不相同，不会重复出现相同元素。 无序性：集合中的元素无顺序要求，只要元素完全一致，无论排列顺序如何，都视为同一个集合。 3. 集合相等 若两个集合的构成元素完全相同，则称这两个集合相等。 易错提示 判断一组对象能否构成集合，核心依据是确定性； 求解含参数的集合问题时，求出参数后必须代入验证互异性，避免集合出现重复元素。 例1.（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【答案】C 【详解】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意； 对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意； 对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。 故选：C. 例2.若集合A中含有两个元素4和，则实数a的取值范围为________。 【答案】 【详解】本题考查集合元素的互异性。集合中的元素必须互不相同，因此两个元素不能相等，即，解得。 二、元素与集合之间的关系 核心知识点 1. 元素与集合的两种基本关系 关系 定义 符号表示 读法 属于 若是集合中的元素 属于集合 不属于 若不是集合中的元素 不属于集合 2. 常用数集及符号记法 数集名称 非负整数集（自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 （或） 3. 判断元素与集合关系的方法 · 直接法：集合元素已明确列举时，直接核对元素是否出现即可； · 推理法：集合用描述法表示时，推导对象是否满足集合元素的共同特征。 易错提示 · 属于自然数集，但不属于正整数集； · 已知元素属于含参数的集合时，需分情况讨论参数取值，最终必须验证集合元素的互异性。 例3.(多选) 下列关系式中，正确的是 (　　) A. B. C. D. 【答案】AB 【详解】对于选项 A，是分数，属于有理数，因此正确； 对于选项 B，是无理数，不属于有理数集，因此正确； 对于选项 C，0 是自然数，但不是正整数，因此错误； 对于选项 D，，6 是自然数，因此错误。 例4.已知集合A中含有两个元素和，若，则实数________。 【答案】或 【详解】因为，所以需分两种情况讨论，同时保证集合元素满足互异性： ① 当时，解得。 此时，集合，两个元素互不相同，符合题意； ② 当时，解得。 此时，集合，两个元素互不相同，符合题意。 综上，实数a的值为 1 或 - 2。 三、集合的表示法 核心知识点 角度1：列举法 1. 定义：将集合的所有元素一一列举出来，并用花括号包裹的表示方法。 2. 书写规范 · 元素之间用逗号分隔； · 元素数量较少时，直接全部列举，不考虑元素顺序； · 元素数量多且有明确规律时，可写出部分元素体现规律，后加省略号，如正整数集可写为。 3. 注意事项 · 花括号本身已包含“所有、全体”的含义，括号内禁止再出现“全体”“所有”等表述； · 适用场景：元素个数有限且数量少，或元素有清晰规律的无限集。 角度2：描述法 1. 定义：通过描述集合元素的共同特征来表示集合，基本形式为，其中为代表元素，为元素满足的共同特征。 2. 书写要点 · 先明确代表元素：区分数集（代表元素为数，如）与点集（代表元素为有序数对，如）； · 若可通过上下文明确，则可省略不写。 3. 注意事项 · 花括号内禁止重复使用“所有”“全体”等表述； · 适用场景：元素个数无限、无法一一列举的集合。 易错提示 数集与点集是完全不同的集合：是数集，是点集，二者不相等； 描述法中代表元素判断错误是高频易错点，解题时需先识别代表元素类型。 例5.用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合. 【答案】(1)A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} (2)B={0，1} 【详解】(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}. (2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={0，1}. 例6.用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）比1大又比10小的所有有理数组成的集合可表示为； （2）正偶数组成的集合是． （3）函数的图象上所有的点组成的集合是． 例7.用适当的方法表示下列集合： (1)大于0.5且不大于6的自然数构成的集合； (2)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数的集合； (3)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； (4)不等式x-2>6的解集； 【答案】(1)用列举法可表示为{1，2，3，4，5，6}. (2)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为{12，21，13，31，23，32}. (3)用描述法可表示为{x|x=2n+1，且x<1 000，n∈N}. (4)用描述法可表示为{x|x>8}. 课堂小结 1. 知识框架 元素与集合的基本概念 元素与集合的“属于/不属于”关系 常用数集的符号记忆 集合的两种表示方法：列举法、描述法 2. 方法归纳 判集合构成：确定性原则 元素关系判断：直接法、推理法 含参集合问题：分类讨论 + 互异性验证 3. 常见误区 遗漏自然数集中的； 求解含参集合时忽略元素互异性； 混淆列举法与描述法的适用场景，错判数集与点集。 学科网（北京）股份有限公司 $