专题1.1 集合的概念 知识解读•题型专练 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合的概念这一核心知识点，系统梳理元素与集合的定义、元素的确定性互异性无序性特性、元素与集合的属于关系及常用数集符号，进而过渡到列举法、描述法等集合表示方法，构建从概念理解到应用的递进学习支架。 资料以8大题型为框架，每个知识点匹配例题及多地期中真题变式，如通过“判断能否构成集合”培养抽象能力（数学眼光），“元素特性求参”训练逻辑推理（数学思维），“集合表示法”强化数学语言表达。课中助力教师精准教学，课后练习覆盖不同层次，帮助学生查漏补缺。

专题1.1 集合的概念【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型1 对集合概念的理解】 1 【题型2 判断是否为同一集合】 3 【题型3 集合中元素特性的求参问题】 5 【题型4 判断元素与集合的关系】 6 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 8 【题型6 集合中的元素个数问题】 9 【题型7 列举法表示集合】 11 【题型8 描述法表示集合】 12 【课后练习】 13 知识点1 集合的概念 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【题型1 对集合概念的理解】 【例1】（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【答案】C 【分析】利用集合元素的确定性，逐项判断可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意； 对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意； 对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。 故选：C. 【变式1-1】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【答案】C 【分析】根据集合元素的特性，判断每个选项，即可得答案. 【详解】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意； 对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解， 具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意； 对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意； 对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性， 能构成集合，D不符合题意； 故选：C 【变式1-2】（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 【答案】D 【分析】根据集合的意义，逐项判断即可. 【详解】对于A，中国古代四大发明可以明确可知，故可以构成集合； 对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合； 对于C，关于方程的实数解有明确的解，可以构成集合； 对于D，中国著名的数学家，对著名没有明确的标准，不可以构成集合. 故选：D. 【变式1-3】（25-26高一上·云南保山·期中）下列各组对象能构成集合的是（   ） A．所有游泳高手 B．2024年高考数学难题 C．某校所有高个子的男生 D．小于的正整数 【答案】D 【分析】利用集合的性质中的确定性判断得解. 【详解】选项A，所有游泳高手，不具有确定性，不能构成集合，故选项A不正确； 选项B，2024年高考数学难题，不具有确定性，不能构成集合，故选项B不正确； 选项C，某校所有高个子的男生，不具有确定性，不能构成集合，故选项C不正确； 选项D，小于的正整数，具有确定性，能构成集合，故选项D正确. 故选：D. 【题型2 判断是否为同一集合】 【例2】（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的概念及分类对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，是坐标系内不同的两个点，故不表示同一集合，A错误； B选项，是同一个集合，B正确； C选项，是点集，是数集，不是同一集合，C错误； D选项，为点集，为数集，D错误. 故选：B 【变式2-2】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（多选）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】对A，两个集合的元素不相同，不是同一集合； 对B，两个集合都是2和3两个元素，是同一集合， 对C，集合的元素是点（或有序实数对），集合的元素是实数，不是同一集合， 对D，两个集合都是由大于2的实数构成，是同一集合， 故选：BD． 【变式2-3】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（多选）下列各组集合表示的不是同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】根据同一个集合概念进行判断即可. 【详解】A中，都是点集， 和是不同的点，则是不同的集合，所以A是； B中，都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，所以B不是； C中，表示函数的定义域，表示函数的值域，表示的范围相同，是同一个集合，所以C不是； D中，是数集，是点集，则是不同的集合，所以D是. 故选：AD 【题型3 集合中元素特性的求参问题】 【例3】（25-26高一上·广西南宁·期中）若}，则的值为（   ） A．1或－1 B．0 C．－1 D．2 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，结合互异性即可求解. 【详解】因为，所以或， 若，则，不满足元素的互异性，排除； 若，则或1（舍去），，此时集合为，符合题意， 故选：C 【变式3-1】（25-26高一上·上海·期中）已知，则__________． 【答案】 【分析】直接根据元素与集合的关系进行求解即可. 【详解】已知， 则当时，，满足的条件； 当时，解得：， 此时集合不满足集合的互异性，故舍去. 故答案为： 【变式3-2】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【分析】分和讨论即可. 【详解】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意， 则. 故选：B. 【变式3-3】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知集合，若，则___________． 【答案】 【分析】分情况讨论元素与集合间的关系，解方程即可. 【详解】因为，， 当时，则，此时，不符题意： 当时，解得（舍去）或，若，则，符合题意； 综上所述，， 故答案为：. 【知识点2 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【题型4 判断元素与集合的关系】 【例4】（25-26高一上·广东广州·期中）（多选）下列表示不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由元素和集合的关系依次判断各选项即可. 【详解】，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误. 故选：AD. 【变式4-1】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程求得集合，由此确定正确答案. 【详解】由得，解得或， 故，故，，. 故选：C 【变式4-2】（25-26高一上·宁夏中卫·阶段检测）若集合 ，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系判断. 【详解】由题意，得集合, ，，，空集是任何集合的子集. 故选： 【变式4-3】（25-26高一上·天津·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合间的关系求解． 【详解】对于A项，集合中有一个元素为0，而不是空集，故A项错误； 对于B项，集合里的元素是一个点，是点集， 而集合里的元素是两个数，是数集，它们是不相等的，故B项错误； 对于C项，是有理数，则，故C项错误； 对于D项，0是自然数，则，故D项正确． 故选：D 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 【例5】（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，注意集合中元素的互异性. 【详解】因为，， 当时，则，此时，不符题意； 当时，解得或（舍去）， 若，则，符合题意， 综上所述，. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知集合，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合与元素的包含关系求解即可. 【详解】因为集合，， 所以，解得， 故选：D 【变式5-2】（24-25高一上·四川成都·阶段检测）若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论参数对应的元素，结合集合元素互异性确定参数取值集合即可. 【详解】当，则，显然集合元素不满足互异性； 当，则，此时集合为，满足； 当，即或，（其中舍）， 若，此时集合为，满足； 若，此时集合为，满足； 综上，的取值集合为. 故选：D 【变式5-3】（25-26高一上·广东清远·期中）已知集合，若，则_____ 【答案】 【分析】将代入方程，可得出的值. 【详解】由题意可知代入方程的一根，则，解得. 故答案为：. 【题型6 集合中的元素个数问题】 【例6】（25-26高一上·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据给定定义求出中的所有元素即可. 【详解】，当时，； 当时，；时，， 因此，所以中元素个数为5. 故选：C 【变式6-1】（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合，集合，若，则集合含有的元素个数为__________． 【答案】3 【分析】根据集合的描述法计算求解即可. 【详解】因为集合，集合， 且， 则 则集合含有的元素个数为3. 故答案为：3. 【变式6-2】（25-26高一上·河南·阶段检测）设集合，则中的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据集合的元素求出集合的元素，再统计集合中的元素个数． 【详解】， 或，解得或， ，故中共有4个元素． 故选：C． 【变式6-3】（25-26高三上·河北·期中）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据集合新定义计算即可求解. 【详解】若，， 则可能为，所以的元素个数为3. 故选：C. 【知识点3 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【题型7 列举法表示集合】 【例7】（25-26高一上·上海·期中）集合用列举法表示为________． 【答案】/ 【详解】可化为，由，有，解得. 又由，得可能取值为，，． ，得，满足条件；，，不满足条件； ，得，满足条件．综上，集合用列举法表示为． 【变式7-1】（25-26高二上·湖南·阶段检测）将集合用列举法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的表示方法求解. 【详解】因为，且， 所以符合要求的的所有取值为， 所以集合用列举法表示是. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·上海·期中）用列举法表示集合：________． 【答案】; 【分析】解方程求出集合即可. 【详解】解得， 故答案为： 【题型8 描述法表示集合】 【典例8】（24-25高一上·上海嘉定·阶段检测）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 【答案】(1)有限集； (2)，无限集； (3)，无限集. 【分析】由集合的表示方法以及相关概念，可得答案. 【详解】（1）有限集. （2），无限集. （3），无限集. 【变式8-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）能被整除余的自然数组成的集合可以用描述法表示为__________． 【答案】 【分析】根据被整除余的自然数为，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】由题意，设被除的商为，余数为， 可表示为， 所以被除余的自然数组成的集合为. 故答案为：. 【变式8-2】（25-26高一上·吉林·阶段检测）选择适当方法表示下列集合： (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)二次函数的图象上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可． 【详解】（1）利用列举法表示集合； （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合． 课后练习 【课后练习】 1．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）下列各项中能表示集合的是（    ） A．温柔的老师 B．所有偶数 C．漂亮的花朵 D．好玩的玩具 【答案】B 【分析】由集合中元素的确定性判断. 【详解】由集合的性质可知，B中所有偶数都是确定的，可以构成集合. 而ACD中研究对象都不确定，不能构成集合. 故选：B 2．（25-26高一上·天津·期中）下列表述中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数集和点集的区别可判断A，根据空集的定义可判断B，根据自然数集和有理数集的定义可判断CD. 【详解】是点集，是数集，故A错误； 是含有元素0的集合，空集是不含任何元素的集合，故B错误； 0是自然数，所以，故C正确； 是有理数，故，故D错误. 故选：C 3．（2025高一上·江苏南通·专题练习）下列四组集合中集合相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A，两个集合中元素对应的坐标不同，所以A错误； 选项B，集合是数集，集合是点集，不相等，所以B错误； 选项C，两个集合研究的对象不同，集合是上的点，集合是，不相等，所以C错误； 选项D，两个集合元素相同，集合元素有无序性，所以相等，所以D正确. 故选：D. 4.（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【详解】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 5．（25-26高一上·北京·阶段检测）集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程组即可. 【详解】得，故集合为 故选：C 6．（25-26高一上·北京·阶段检测）以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知集合的元素为点的坐标，结合选项分析判断. 【详解】因为函数的图象可以看成函数的图象上的点的集合， 即集合的元素为点的坐标，所以“函数的图象”的集合表示. 故选：C. 7．（25-26高一上·广东清远·阶段检测）（多选）下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据，，及的范围，对各选项进行判定即可． 【详解】表示实数集，故，故A正确； 表示有理数集，，故B错误； 表示正整数集，，故C错误； 表示整数集，，故D正确． 故选：BC 8．（24-25高一上·山东淄博·阶段检测）（多选）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】AC 【分析】分和两种情况进行讨论. 【详解】集合只有一个元素， 所以方程只有一个实数解. 若，方程 只有一解； 若，方程只有一个实数解，所以 . 故选：AC 9．（25-26高一上·上海·期中）用列举法表示方程的解集为_______． 【答案】 【分析】根据题意，求得方程的解，进而得到答案. 【详解】由方程，即，解得或， 所以方程的解集为. 故答案为：. 10．（25-26高一上·河南信阳·开学考试）用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； (2)被3除余1的所有自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表述集合用列举法即可表示； （2）根据表述集合用描述法即可表示； （3）根据表述集合用描述法即可表示. 【详解】（1）用列举法：. （2）用描述法：. （3）用描述法：. 11．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 集合的概念【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型1 对集合概念的理解】 1 【题型2 判断是否为同一集合】 2 【题型3 集合中元素特性的求参问题】 2 【题型4 判断元素与集合的关系】 3 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 3 【题型6 集合中的元素个数问题】 4 【题型7 列举法表示集合】 4 【题型8 描述法表示集合】 5 【课后练习】 6 知识点1 集合的概念 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【题型1 对集合概念的理解】 【例1】（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【变式1-1】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【变式1-2】（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 【变式1-3】（25-26高一上·云南保山·期中）下列各组对象能构成集合的是（   ） A．所有游泳高手 B．2024年高考数学难题 C．某校所有高个子的男生 D．小于的正整数 【题型2 判断是否为同一集合】 【例2】（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（多选）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（多选）下列各组集合表示的不是同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型3 集合中元素特性的求参问题】 【例3】（25-26高一上·广西南宁·期中）若}，则的值为（   ） A．1或－1 B．0 C．－1 D．2 【变式3-1】（25-26高一上·上海·期中）已知，则__________． 【变式3-2】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【变式3-3】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知集合，若，则___________． 【知识点2 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【题型4 判断元素与集合的关系】 【例4】（25-26高一上·广东广州·期中）（多选）下列表示不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·宁夏中卫·阶段检测）若集合 ，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·天津·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型5 根据元素与集合的关系求参数】 【例5】（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 【变式5-1】（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知集合，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·四川成都·阶段检测）若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·广东清远·期中）已知集合，若，则_____ 【题型6 集合中的元素个数问题】 【例6】（25-26高一上·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-1】（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合，集合，若，则集合含有的元素个数为__________． 【变式6-2】（25-26高一上·河南·阶段检测）设集合，则中的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-3】（25-26高三上·河北·期中）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【知识点3 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【题型7 列举法表示集合】 【例7】（25-26高一上·上海·期中）集合用列举法表示为________． 【变式7-1】（25-26高二上·湖南·阶段检测）将集合用列举法表示是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·上海·期中）用列举法表示集合：________． 【题型8 描述法表示集合】 【典例8】（24-25高一上·上海嘉定·阶段检测）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 【变式8-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）能被整除余的自然数组成的集合可以用描述法表示为__________． 【变式8-2】（25-26高一上·吉林·阶段检测）选择适当方法表示下列集合： (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)二次函数的图象上所有的点组成的集合． 课后练习 【课后练习】 1．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）下列各项中能表示集合的是（    ） A．温柔的老师 B．所有偶数 C．漂亮的花朵 D．好玩的玩具 2．（25-26高一上·天津·期中）下列表述中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高一上·江苏南通·专题练习）下列四组集合中集合相等的是（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 5．（25-26高一上·北京·阶段检测）集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·北京·阶段检测）以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·广东清远·阶段检测）（多选）下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·山东淄博·阶段检测）（多选）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 9．（25-26高一上·上海·期中）用列举法表示方程的解集为_______． 10．（25-26高一上·河南信阳·开学考试）用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； (2)被3除余1的所有自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合. 11．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $