专题3.1 函数的概念及其表示（10类必考点）讲义-2026年初升高暑期数学自救计划（人教A版必修第一册）

专题3.1 函数的概念及其表示 【知识梳理】 1 【考点1：函数关系的判断】 3 【考点2：求函数值】 6 【考点3：已知函数值求自变量或参数】 7 【考点4：区间的概念与运算】 8 【考点5：求具体函数的定义域】 10 【考点6：求抽象函数的定义域】 11 【考点7：常见函数（一次、二次、反比例函数等）的值域】 13 【考点8：复杂函数（根式型、分式型函数）的值域】 15 【考点9：函数解析式的求法】 18 【考点10：判断两个函数是否为同一函数】 21 【知识梳理】 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}． 4．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 5．求函数值域的一般方法 方法 步骤 观察法 第一步 观察函数中的特殊函数； 第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 分离常数法 第一步 观察函数类型，型如； 第二步 对函数变形成形式； 第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域. 配方法 第一步 将二次函数配方成； 第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 换元法 第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联； 第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 基本不等式法 第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数； 第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域. 6．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 7．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 8．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 9．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 10．求函数解析式的方法 【考点1：函数关系的判断】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【分析】根据函数的概念，集合中任意一个元素，集合中都有唯一的元素与之对应，选项和分别可以举出反例，即可判断是错误的；选项和满足概念条件. 【详解】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数. 选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 2．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）（多选）下列对应为集合B到C的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合函数定义，逐项判断是否满足集合中每个元素，集合中都有唯一确定的元素与之对应即可得. 【详解】对A：令，则，集合中有两个元素与对应，不符，故A错误； 对B：任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故B正确； 对C：时，集合有唯一元素与之对应， 时，集合有唯一元素与之对应， 时，集合有唯一元素与之对应， 故任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故C正确； 对D：任意元素，则，又因为，有， 即集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故D正确； 故选：BCD. 3．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）（多选）下列能够表示集合到集合的函数关系的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的概念判断各选项即可. 【详解】对于A，在中，当时，对应的函数值为，与集合不对应，故A错误； 对于B，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故B正确； 对于C，在中，当时，对应的函数值为，与集合不对应，故C错误； 对于D，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故D正确. 故选：BD. 4．（25-26高一上·全国·阶段检测）（多选）下列y关于x的关系不是函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的定义可判断AC中的关系为函数关系，BD中的关系不是函数关系. 【详解】对于A，因为，所以该关系是函数关系； 对于B，当时，没有对应的值，但题干函数定义域包括，所以该关系不是函数关系； 对于C，因为任意的x值，有唯一的y值与之对应，所以该关系是函数关系； 对于D，因为当时，有两个值与之对应，所以该关系不是函数关系． 故选：BD． 5．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）（多选）下列对应关系能表示从集合到集合的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数的定义一一判断即可. 【详解】对于A：，又， 所以，，， 所以满足从集合到集合的函数，故A正确； 对于B：，又， 因为，所以当时，在集合中对应两个元素、，不符合函数的定义，故B错误； 对于C：，又， 所以，，， 所以满足从集合到集合的函数，故C正确； 对于D：，又， 当时， 所以不满足从集合到集合的函数，故D错误； 故选：AC 【考点2：求函数值】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则_______________． 【答案】2 【详解】 2．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）若函数，则__________. 【答案】 【分析】将自变量代入解析式求函数值即可. 【详解】由题设. 故答案为： 3．（25-26高一上·山东济南·阶段检测）已知，则___________ 【答案】2 【分析】令，即可求解. 【详解】令， 可得， 故答案为：2 4．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知二次函数满足，则_____. 【答案】14 【分析】令，可得，代入运算即可. 【详解】令，可得， 所以. 故答案为：14. 5．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，则的值为__________. 【答案】 【详解】因为函数，，所以， 故. 【考点3：已知函数值求自变量或参数】 1．（专题12函数的表示方法（七类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【详解】 令，解得， 所以. 故选：A. 2．（25-26高一上·天津红桥·期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据函数值列式，求自变量的值即可. 【详解】根据题意：. 故选：A 3．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，代入解方程即得. 【详解】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于. 故选：C 4．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数，若，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据直接代入解析式，计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 即，则，解得. 故选：C 5．（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据点在函数上计算求参即得解析式，再代入计算求解. 【详解】由得，又，得， 所以，故，解得． 故选：B． 【考点4：区间的概念与运算】 1．（25-26高一上·山东济南·期中）区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用区间表示括号的意义即可作出判断. 【详解】根据区间表示括号的意义可知区间对应的不等式是， 故选：A. 2．（2026·上海长宁·二模）已知集合，，则______. 【答案】 【详解】集合，，则. 3．（25-26高二上·上海·期末）不等式的解集可用区间表示为_____. 【答案】 【分析】利用绝对值的性质去绝对值，解不等式即可. 【详解】由，得到，解得. 故答案为： 4．（25-26高一上·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为______. 【答案】 【分析】利用一次不等式的解法和区间的概念可得出原不等式的解集. 【详解】解不等式得，故原不等式的解集为. 故答案为：. 5．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知集合，，若，则实数a的取值范围为____. 【答案】 【分析】分类讨论，结合交集关系确定参数范围. 【详解】由区间的定义知， 当时，则，，满足题意； 当时，则，，满足题意； 当时，则，为离散集合，显然不合题意. 综上，. 故答案为： 【考点5：求具体函数的定义域】 1．（25-26高一下·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 【答案】C 【分析】根据根式有意义及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意知，， 又恒成立， 所以函数的定义域为. 2．（2026高三·全国·专题练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据具体函数定义域的求法求解即可. 【详解】由条件可得：， 所以的定义域为． 3．（25-26高二下·山西大同·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得且， 故定义域为 4．（第二章函数与基本初等函数（综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）函数的定义域为______．（用区间表示） 【答案】 【详解】依题意可知，解得且， 所以的定义域为. 5．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）（1）求函数的定义域． （2）已知函数的定义域是R，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据分式、根式及指数幂的性质求定义域即可； （2）问题化为在上恒成立，分类讨论研究恒成立，即可得. 【详解】（1）由函数解析式知， 故函数的定义域为； （2）由函数的定义域为，即在上恒成立， 当时，显然，满足要求， 当时，只需恒成立，则， 综上，的取值范围为. 【考点6：求抽象函数的定义域】 1．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数的定义域的求解方法，列出不等式，即可求解，得到答案． 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为， 即，因此，解得． 所以的定义域为. 2．（25-26高一上·安徽·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数定义域的求法求解. 【详解】由题意得，，解得. 故选：A. 3．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）若函数的定义域是，则函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域列式求解. 【详解】函数的定义域是，则在函数中，，解得且， 所以所求定义域为. 故选：C 4．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合抽象函数的定义域列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数的定义域为，函数有意义， 得，解得， 所以所求定义域为. 故选：D 5．（25-26高三上·四川南充·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出的定义域，结合函数列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意可知函数的定义域为，即， 故，则的定义域为， 则对于，需满足， 即的定义域为， 故选：C 【考点7：常见函数（一次、二次、反比例函数等）的值域】 1．（2026高一上·上海·专题练习）函数的值域为______． 【答案】 【分析】利用配方法可求得该函数的值域． 【详解】因为，所以， 因此，函数的值域为． 故答案为：． 2．（2026·四川达州·二模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域和值域求得集合，，然后根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由于集合表示函数的定义域，可知， 集合表示函数的值域，可知， 因此，故A正确. 3．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，可得的单调性，进而可得的单调性，代入数据，分析计算，即可得答案. 【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的最小值为. 故选：A 4．（专题11函数定义域和值域的求法（十一类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）（多选）（多选）下列函数中，值域不是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 【答案】ABC 【分析】分别求出各函数的值域即可判断. 【详解】因为， 所以函数值域为，故A符合题意； 因为时，，故B符合题意； 因为时，函数的值域为集合， 不是区间，故C符合题意； 因为，所以函数的值域为，故D不符合题意. 故选：ABC． 5．（2026高一·全国·专题练习）（多选）（多选题）（2026高一上·浙江舟山·月考）下列函数定义域和值域相同的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的定义域、值域对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A：的定义域是，值域是，不符合题意，A错误； 对于B：的定义域和值域都是，符合题意，B正确； 对于C：的定义域是，值域是，不符合题意，C错误； 对于D：的定义域和值域都是，符合题意，D正确. 【考点8：复杂函数（根式型、分式型函数）的值域】 1．（2026高三·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】注意到，即， 消去3得：，故设， 因为，所以 此时， 在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 由三角函数的对称性知，最小值在时取得，为，所以值域是. 2．（25-26高二下·云南曲靖·期末）函数的值域为__________． 【答案】 【分析】利用换元法、配方法，结合反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】令， 因为函数在上单调递减， 所以，且， 所以函数的值域为. 3．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，的值域分别为集合，则集合的关系是_______________． 【答案】 【分析】分别求得集合的取值范围即可得出结果. 【详解】已知函数，因为，所以，因此， 所以的值域为，即， 由于函数，因为且，所以且， 因此且，所以的值域为， 即且， 所以集合的关系是. 5．（25-26高二下·河南开封·期末）已知函数的图象过点和点． (1)求实数，的值； (2)求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到且，联立方程组，即可求解； （2）由函数，确定的定义域为，法一：化简函数为，令，转化为关于的方程有正实数根，求得函数的值域；法二：当时，化简，结合基本不等式和，进而求得函数的值域. 【详解】（1）由题意得，即， 解得． （2）由（1）知，所以的定义域为． 法一：由得， 令，当时，， 当时，，关于的方程有正实数根，，且，，，所以， 所以的值域为． 法二：由题意可得， 当时，， 因为，当且仅当时，取等号， 所以，即， 所以的值域为． 【考点9：函数解析式的求法】 1．（2026高三下·全国·竞赛）已知多项式 满足对任意非零实数，则 _________. 【答案】2026 【分析】根据为多项式，再结合，可知函数为一次函数，设出解析式求解. 【详解】因为多项式的正次项仅来自，对比右侧正次项仅为，可知 最高次为1，因此为一次多项式， 设，则， 对比系数得，所以，因此. 2．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数对于任意的x都有，求的解析式． 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）由题意，是一次函数，则设，代入复合函数解析式，令对应系数相等，即可求解参数值； （2）将x替换为，得，方程思想，求出解析式. 【详解】（1）设，则， ∴，∴，解得，或， ∴或． （2）∵对于任意的x都有， ∴将x替换为，得， 联立方程组：， 消去，可得. 3．（25-26高一上·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用代入法可得出的解析式； （2）利用换元法可求出函数的解析式； （3）由得出，结合方程组法可得出函数的解析式. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，令，则， 所以，故； （3）因为①（且），所以②， 联立①②可得. 4．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）（1）已知为二次函数，且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知（），求的解析式. 【答案】（1）；（2），；（3），. 【分析】（1）已知函数类型，设，，代入已知条件可求的值. （2）利用换元法求函数的解析式，注意自变量的取值范围. （3）用代替，构造函数方程，解方程组可得的解析式. 【详解】（1）由题意，可设，. 由. 由， 所以. 所以. （2）设，则且. 所以，. 所以，. （3）因为①. 用代替，可得②. ①②得：，. 5．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【答案】(1) (2) (3)或 ． 【分析】（1）用换元法，令，代入求出后即可得； （2）用替换已知式中的，然后解方程组可得； （3）设，代入已知条件求解. 【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 【考点10：判断两个函数是否为同一函数】 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中哪个与函数是同一个函数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域是, 值域是, A.    函数的定义域是，所以A错误； B.    函数的定义域是，所以B错误； C.    函数与的对应法则不同，所以C错误； D.    函数，与函数是同一个函数, 所以D正确. 2．（25-26高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，， 所以表示同一函数，D正确. 3．（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 4．（24-25高一上·广西河池·期中）（多选）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ 的定义域为，，定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项B： ∵ 的定义域为，化简后为，而的定义域为，二者定义域不同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 对于选项C： ∵ 的定义域为，的定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项D： ∵ ，定义域为；的定义域为，化简后为，二者定义域和对应法则均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 综上，正确选项为A、C. 5．（25-26高二下·吉林长春·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【分析】根据函数的概念和性质依次判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不表示同一函数，故A错误； 对于B，由，可得，所以函数的值域为，故B正确； 对于C，由，得，联立解得，故C正确； 对于D，由函数的定义域为，得，则，可得的定义域为，故D正确． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 函数的概念及其表示 【知识梳理】 1 【考点1：函数关系的判断】 3 【考点2：求函数值】 4 【考点3：已知函数值求自变量或参数】 4 【考点4：区间的概念与运算】 5 【考点5：求具体函数的定义域】 5 【考点6：求抽象函数的定义域】 6 【考点7：常见函数（一次、二次、反比例函数等）的值域】 7 【考点8：复杂函数（根式型、分式型函数）的值域】 7 【考点9：函数解析式的求法】 8 【考点10：判断两个函数是否为同一函数】 10 【知识梳理】 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}． 4．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 5．求函数值域的一般方法 方法 步骤 观察法 第一步 观察函数中的特殊函数； 第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域. 分离常数法 第一步 观察函数类型，型如； 第二步 对函数变形成形式； 第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域. 配方法 第一步 将二次函数配方成； 第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 换元法 第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联； 第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 基本不等式法 第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数； 第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域. 6．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 7．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 8．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 9．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 10．求函数解析式的方法 【考点1：函数关系的判断】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 2．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）（多选）下列对应为集合B到C的函数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）（多选）下列能够表示集合到集合的函数关系的是（  ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·阶段检测）（多选）下列y关于x的关系不是函数关系的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）（多选）下列对应关系能表示从集合到集合的函数是（    ） A． B． C． D． 【考点2：求函数值】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则_______________． 2．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）若函数，则__________. 3．（25-26高一上·山东济南·阶段检测）已知，则___________ 4．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知二次函数满足，则_____. 5．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，则的值为__________. 【考点3：已知函数值求自变量或参数】 1．（专题12函数的表示方法（七类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（25-26高一上·天津红桥·期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D．0 3．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 4．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数，若，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D．4 【考点4：区间的概念与运算】 1．（25-26高一上·山东济南·期中）区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·上海长宁·二模）已知集合，，则______. 3．（25-26高二上·上海·期末）不等式的解集可用区间表示为_____. 4．（25-26高一上·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为______. 5．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知集合，，若，则实数a的取值范围为____. 【考点5：求具体函数的定义域】 1．（25-26高一下·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 2．（2026高三·全国·专题练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·山西大同·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（第二章函数与基本初等函数（综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）函数的定义域为______．（用区间表示） 5．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）（1）求函数的定义域． （2）已知函数的定义域是R，求实数a的取值范围． 【考点6：求抽象函数的定义域】 1．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）若函数的定义域是，则函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·四川南充·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【考点7：常见函数（一次、二次、反比例函数等）的值域】 1．（2026高一上·上海·专题练习）函数的值域为______． 2．（2026·四川达州·二模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（专题11函数定义域和值域的求法（十一类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）（多选）（多选）下列函数中，值域不是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 5．（2026高一·全国·专题练习）（多选）（多选题）（2026高一上·浙江舟山·月考）下列函数定义域和值域相同的是（ ） A． B． C． D． 【考点8：复杂函数（根式型、分式型函数）的值域】 1．（2026高三·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·云南曲靖·期末）函数的值域为__________． 3．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，的值域分别为集合，则集合的关系是_______________． 5．（25-26高二下·河南开封·期末）已知函数的图象过点和点． (1)求实数，的值； (2)求函数的值域． 【考点9：函数解析式的求法】 1．（2026高三下·全国·竞赛）已知多项式 满足对任意非零实数，则 _________. 2．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数对于任意的x都有，求的解析式． 3．（25-26高一上·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 4．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）（1）已知为二次函数，且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知（），求的解析式. 5．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【考点10：判断两个函数是否为同一函数】 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中哪个与函数是同一个函数（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25高一上·广西河池·期中）（多选）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·吉林长春·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $