第09讲 函数的概念及其表示 讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

第09讲 函数的概念及其表示 1.能用集合与对应关系理解高中函数严谨定义，区分初中变量定义与高中集合定义的差别。 2.掌握函数三大构成要素，熟练求解各类常见函数定义域、计算函数值，会判断两个函数是否完全相同。 3.吃透函数三种表达形式，能根据场景灵活选用解析法、列表法、图象法表示函数。 4.理解分段函数含义，可完成分段函数求值、简单画图与基础应用，明晰分段区间边界规则 一、函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 二、同一个函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同． 三、区间 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2．其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 四、函数的表示方法 五、分段函数 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集； 各段函数的定义域的交集是空集． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象 考点一、函数关系的判断 例1　(1)已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． (2)（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 跟踪训练1　(1)（多选）已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． （2）（多选）若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    考点二、求函数的定义域 例2　(1)求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； (2)若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2　(1)求抽象函数的定义域. ①已知函数，求函数的定义域； ②已知函数的定义域为，求的定义域. (2)①求函数 的定义域； ②求 的定义域； ③若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域 考点三、求函数的值域 例3　(1)填空： ①已知，，求值域_____； ②已知，，求值域_____； ③已知求值域_____. (2)求下列函数的值域： ①，； ②； ③，； ④． 跟踪训练3 (1)求下列函数的值域： ①； ②． ③． （2）分别求下列函数的值域： ①； ②； ③； ④． 考点四、同一个函数的判定 例4 (1)判断下列各组函数是否为相等函数： ①，； ②，； ③，． (2)试判断下列各组函数是否表示同一个函数． ①与； ②与； ③与； ④，与，． 跟踪训练4 (1)试判断下列各组函数是否表示同一个函数． ①与； ②与； ③与； ④，与，. (2)试判断下列函数是否为同一函数. ①，； ②，； ③，； ④，. 考点五、求函数解析式 例5 (1)（换元法）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． (2)（配凑法）若函数，则（    ） A． B． C． D． （3）（待定系数法）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． （4）（构造方程组法）定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 跟踪训练5 （1）求下列函数的解析式： ①已知函数满足：； ②已知一次函数在上满足：； ③已知函数满足：. （2）①已知，求的解析式． ②已知是一次函数，并且，求． ③函数满足方程，且，求． 考点六、函数的图象 例6 (1)已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． (2)作出下列各函数的图象： (1)； (2). 跟踪训练6 （1）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 （2）已知函数，.    (1)在图1同一坐标系中画出函数，的图象： (2)，用表示，中的最小者，记作，分别用图象法（图2）和解析法表示函数. 考点七、分段函数 例7 (1)已知函数的解析式为.    (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)解不等式； (2)心理学研究表明，学生在课堂上课时间段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与x的函数关系为：. (1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ (2)试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小； (3)若一个数学难题，需要至少56的接受能力（即）以及12分钟时间，请问：老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？说明你的理由. 跟踪训练7 （1）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． （2）据百度百科，罗伯特纳维利斯是一位意大利教师，他的主要成就是于1905年发明了家庭作业.对于数学学科来说，家庭作业通常有选择题、填空题、解答题三种题型构成，据某位专家量化研究发现，适量的家庭作业量有利于学习成绩的提升，过少或过多的家庭作业均不利于学习成绩的提升.这位专家把一个选择题量化为1.0，一个填空题约量化为1.6，一个解答题约量化为4.2.于是数学学科的家庭作业量可以用一个正实数来量化.家庭作业量对应的关联函数家庭作业量对应的学习成绩提升效果可以表达为坐标轴轴，直线以及关联函数所围成的封闭多边形的面积与的比值(即).通常家庭作业量使得认为是最佳家庭作业量. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）成都七中高一某班的数学学科家庭作业通常是一个课时对应练习题(6个选择题、4个填空题及3个解答题)，问这个班级的数学学科家庭作业量是否是最佳家庭作业量？ 一、单选题 1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．若函数的定义域为，则实数a不可能等于（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 7．（多选）下列说法正确的是（    ） A．和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 8．（多选）狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（    ） A．定义域为R B． C．， D．不等式的解集为 三、填空题 9．函数的值域是__. 10．函数的值域为______. 四、解答题 11．（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 12．已知是一次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，求函数在上的值域． 13．已知函数 (1)求，； (2)若，求实数的值； (3)在所给的坐标系中作出函数在区间内的图像． 14．已知，． (1)求的值； (2)若函数，求的定义域； (3)若函数，求的值域． 15.若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 0 1 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示． （1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； （2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，　 　，　 　；（填“＞”，“＝”或“＜”） ②当函数值时，求自变量x的值； ③在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求的值； ④若直线与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 函数的概念及其表示 1.能用集合与对应关系理解高中函数严谨定义，区分初中变量定义与高中集合定义的差别。 2.掌握函数三大构成要素，熟练求解各类常见函数定义域、计算函数值，会判断两个函数是否完全相同。 3.吃透函数三种表达形式，能根据场景灵活选用解析法、列表法、图象法表示函数。 4.理解分段函数含义，可完成分段函数求值、简单画图与基础应用，明晰分段区间边界规则 一、函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 二、同一个函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同． 三、区间 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2．其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 四、函数的表示方法 五、分段函数 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集； 各段函数的定义域的交集是空集． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象 考点一、函数关系的判断 例1　(1)已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D (2)（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【分析】根据函数的概念，集合中任意一个元素，集合中都有唯一的元素与之对应，选项和分别可以举出反例，即可判断是错误的；选项和满足概念条件. 【详解】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数. 选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 跟踪训练1　(1)（多选）已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐一判断即可. 【详解】由从集合到集合的函数关系，得集合中的每个元素，按照给定法则，在集合中有唯一元素与之对应， 对于A，当时，，A不是； 对于B，由，得，则对每个，有唯一，B是； 对于C，当时，，C不是； 对于D，由，得，则对每个，有唯一，D是. 故选：BD （2）（多选）若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    【答案】AD 【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，由于实数包含所有的整数，故A中的每个元素在B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故A正确； 对于B，当在A中取非整数的元素时，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误； 对于C，若取，则有，从而有2个和一个对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，由图可知对于A中的所有元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故D正确. 故选：AD. 考点二、求函数的定义域 例2　(1)求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式有意义求解即可. （2）根据分式有意义求解即可. （3）根据分式及二次根式有意义求解即可. （4）根据分式及零指数幂有意义求解即可. 【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （2）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （3）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为． （4）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域是. (2)若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数的定义域的求解方法，列出不等式，即可求解，得到答案． 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为， 即，因此，解得． 所以的定义域为. 跟踪训练2　(1)求抽象函数的定义域. ①已知函数，求函数的定义域； ②已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数解析式可知，可得出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数的定义域； （2）根据题意，可知，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数的定义域，从而得出的定义域． 【详解】（1）解：由， 得，解得：， ∴函数的定义域为； （2）解：∵函数的定义域为， ∴，则， 即函数的定义域为， 由，得， ∴的定义域为． (2)①求函数 的定义域； ②求 的定义域； ③若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由根号下的二次式大于零解不等式，得出定义域范围； （2）分别考虑零次幂的底数不为零与分母不为零，联立得到定义域； （3）将代入已知的定义域区间，解出的范围. 【详解】（1）要使函数有意义，即， 解不等式得或， 故函数的定义域为； （2）由题意得，即， 故所求函数的定义域为. （3）由，得， 故的定义域为. 考点三、求函数的值域 例3　(1)填空： ①已知，，求值域_____； ②已知，，求值域_____； ③已知求值域_____. 【答案】 【详解】（1）函数，在上单调递增， 由，得， 所以函数，的值域. （2）函数，，由二次函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 所以函数，的值域为. （3）， 当时，，由反比例函数的性质可知， 当时，，则，有，即，. 的值域为 (2)求下列函数的值域： ①，； ②； ③，； ④． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 跟踪训练3 (1)求下列函数的值域： ①； ②． ③． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式求解即可； （2）设，结合二次函数的性质求解即可； （3）利用分离常数法求解即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． （2）分别求下列函数的值域： ①； ②； ③； ④． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用分离常数法、换元法，以及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）， ，所以， 故函数的值域为． （2）令（），则， 则（）， 结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4， 所以函数的值域为. （3）∵， 则，即原函数值域为， （4）， 因为, 即函数值域为． 考点四、同一个函数的判定 例4 (1)判断下列各组函数是否为相等函数： ①，； ②，； ③，． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)是 【分析】运用函数的定义域和对应关系完全相同，才是相等函数，对（1）（2）（3）一一判断，即可得到结论． 【详解】（1）的定义域为，的定义域为，所以不是； （2）的定义域为，的定义域为，所以不是； （3）与的定义域、对应关系均相同，所以是相等函数． (2)试判断下列各组函数是否表示同一个函数． ①与； ②与； ③与； ④，与，． 【答案】(1)不是，原因见详解 (2)不是，原因见详解 (3)是，原因见详解 (4)不是，原因见详解 【分析】（1）求两个函数的定义域即可求解； （2）根据两个函数的对应关系即可求解； （3）求两个函数的定义域和对应关系即可求解； （4）根据两个函数的对应关系即可求解． 【详解】（1）函数，定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，所以它们不是同一个函数． （2）因为，，对应关系不同，所以它们不是同一个函数． （3）因为定义域为，，两个函数的对应关系、定义域均相同，所以它们是同一个函数． （4）因为，，，，两个函数的对应关系不同，所以它们不是同一个函数． 跟踪训练4 (1)试判断下列各组函数是否表示同一个函数． ①与； ②与； ③与； ④，与，. 【答案】（1）不是；（2）不是；（3）是；（4）不是. 【分析】（1）求两个函数的定义域即可求解； （2）根据两个函数的对应关系即可求解； （3）求两个函数的定义域和对应关系即可求解； （4）根据两个函数的对应关系即可求解； 【详解】（1）函数，定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，所以它们不是同一个函数； （2）因为，，对应关系不同，所以它们不是同一个函数． （3）因为定义域为，，两个函数的对应关系、定义域均相同，所以它们是同一个函数； （4）因为，，，，两个函数的对应关系不同，所以它们不是同一个函数． (2)试判断下列函数是否为同一函数. ①，； ②，； ③，； ④，. 【答案】（1）（2）（3）不同；（4）相同. 【分析】分别判断每组函数的定义域和对应关系是否相同. 【详解】（1）f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，定义域不同，所以不是同一函数； （2），，对应关系不同，所以不是同一函数； （3）显然对应关系不同，所以不是同一函数； （4）定义域和对应关系相同，所以是同一函数. 考点五、求函数解析式 例5 (1)（换元法）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求解函数解析式即可. 【详解】令，可得，由题意得，则， 因为，所以， 则，故D正确. 故选：D (2)（配凑法）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接通过配凑法即可得结果. 【详解】， ， 所以. （3）（待定系数法）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. （4）（构造方程组法）定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据，想到令得到关于与的方程组，解方程组得到抽象函数的解析式，进而可求函数值. 【详解】因为，① 令，可得.② ①②得，所以.所以. 故选：B. 跟踪训练5 （1）求下列函数的解析式： ①已知函数满足：； ②已知一次函数在上满足：； ③已知函数满足：. 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）由配凑法求解即可； （2）由待定系数法求解即可； （3）通过构造方程组求解即可. 【详解】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 所以或； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. （2）①已知，求的解析式． ②已知是一次函数，并且，求． ③函数满足方程，且，求． 【答案】（1），；（2）或；（3），. 【分析】（1）利用换元法求函数的解析式； （2）利用待定系数法求函数的解析式； （3）用代替，构造函数方程，求函数的解析式. 【详解】（1）设，则，，且， 所以，. 用代替，得：，. （2）因为为一次函数，可设，. 所以， 又， 所以或. 所以或. （3）因为① 用代替，得② ①②得：，. 考点六、函数的图象 例6 (1)已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 【答案】(1)； (2) 定义域为，值域为. 【详解】（1）当， ；当，. 故； （2）略 (2)作出下列各函数的图象： (1)； (2). 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析. 【分析】（1）（2）写出函数的分段形式，再结合一次函数、二次函数的性质画出函数图象. 【详解】（1）由，其函数图象如下， （2）由， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，函数图象如下， 跟踪训练6 （1）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 【答案】(1)，最大值为4 (2) (3)或 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. （2）已知函数，.    (1)在图1同一坐标系中画出函数，的图象： (2)，用表示，中的最小者，记作，分别用图象法（图2）和解析法表示函数. 【答案】(1)    (2)，  ； 【分析】（1）根据解析式直接作出图像即可； （2）根据的定义可得解析式和图象. 【详解】（1）图象如下图所示，    （2）令，即， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 则当时，；当时，；当时，； ； 图象法表示如下：    考点七、分段函数 例7 (1)已知函数的解析式为.    (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)解不等式； 【答案】(1)  ，最大值为 (2)或 【分析】（1）由解析式即可画出图象，由图即可得最大值； （2）分、及讨论即可得. 【详解】（1）根据分段函数的解析式， 画出函数的图象如图：    由图可得，当时，取得最大值4； （2）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. (2)心理学研究表明，学生在课堂上课时间段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与x的函数关系为：. (1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ (2)试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小； (3)若一个数学难题，需要至少56的接受能力（即）以及12分钟时间，请问：老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？说明你的理由. 【答案】(1)开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟 (2)接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟 (3)不能，当时，由解得， 当时，因为，满足要求 ， 当时，由解得， 当时，因为，不满足要求 ， 因为分钟<12分钟 所以老师不能在所需接受能力的状态下讲完这个难题. 【分析】 （1）根据分段函数求最大值； （2）根据分段函数解析式求函数值； （3）分3段求出的解. 【详解】（1）由题意可知，当时，， 所以当时，的最大值为60， 当时，， 当时，，， 当时，， 所以开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟. （2），，， 则接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟. （3）略. 跟踪训练7 （1）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 【答案】(1)， (2)或4 (3)作图见解析，值域为 【分析】（1）根据自变量的范围代入对应的解析式即可求解； （2）分类讨论的范围即可； （3）画出分段函数的图象，数形结合即可求出值域． 【详解】（1）因为函数， 所以，， 所以； （2）①当时，， 解得，不满足，故舍去； ②当时，，解得， 又因为，所以， ③当时，，解得， 综上所述，的值为或4； （3）函数的图象，如下图所示： 由图象可知，函数的值域为． （2）据百度百科，罗伯特纳维利斯是一位意大利教师，他的主要成就是于1905年发明了家庭作业.对于数学学科来说，家庭作业通常有选择题、填空题、解答题三种题型构成，据某位专家量化研究发现，适量的家庭作业量有利于学习成绩的提升，过少或过多的家庭作业均不利于学习成绩的提升.这位专家把一个选择题量化为1.0，一个填空题约量化为1.6，一个解答题约量化为4.2.于是数学学科的家庭作业量可以用一个正实数来量化.家庭作业量对应的关联函数家庭作业量对应的学习成绩提升效果可以表达为坐标轴轴，直线以及关联函数所围成的封闭多边形的面积与的比值(即).通常家庭作业量使得认为是最佳家庭作业量. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）成都七中高一某班的数学学科家庭作业通常是一个课时对应练习题(6个选择题、4个填空题及3个解答题)，问这个班级的数学学科家庭作业量是否是最佳家庭作业量？ 【答案】（1）；；（2）；（3）是最佳. 【解析】（1）根据三角形面积公式计算可得，由即可求得； （2）利用分段函数依次计算可得的解析式； （3）根据已知计算可得成都七中高一某班的家庭作业量，进而计算，与30作比较即可得出结果. 【详解】解：（1） （2）当时， 当时， 当时， 当时， 所以 （3）成都七中高一某班的家庭作业量为 所以这个班级的数学学科家庭作业量是最佳家庭作业量. 一、单选题 1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使函数有意义，则， 所以函数定义域为. 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． 3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析各个阶段的路程与时间之间的关系可排除其它选项． 【详解】由这一过程中汽车的速度变化可知，速度由小变大→保持匀速→由大变小， 速度由小变大时，路程随时间变化的曲线上升得越来越快，曲线显得越来越陡峭； 匀速行驶时，路程随时间变化的曲线上升速度不变； 速度由大变小时，路程随时间变化的曲线上升得越来越慢，曲线显得越来越平缓， 故排除选项B、C、D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解出的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求的定义域. 【详解】因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为. 故选：B. 5．已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】设，则，根据分段函数分类讨论计算推得，再由，同法讨论计算即得的值. 【详解】设，则， 当时，，不合题意； 当时，由，解得，不合题意； 当时，由，解得，因，则， 即，若，则，不合题意； 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得，不合题意. 综上，可得. 故选：D. 6．若函数的定义域为，则实数a不可能等于（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】问题化为在上恒成立，结合二次函数的性质求参数范围，即可得. 【详解】由题意，在上恒成立，显然时不等式恒成立， 当时，情况如下： 若，此时不等式为在上不恒成立， 若，则，可得.， 综上，. 故选：D 二、多选题 7．（多选）下列说法正确的是（    ） A．和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【分析】根据函数的概念和性质依次判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不表示同一函数，故A错误； 对于B，由，可得，所以函数的值域为，故B正确； 对于C，由，得，联立解得，故C正确； 对于D，由函数的定义域为，得，则，可得的定义域为，故D正确． 8．（多选）狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（    ） A．定义域为R B． C．， D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】根据狄利克雷函数解析式逐项分析即可． 【详解】对于A选项，因为，即的取值范围在有理数和非有理数中，合起来就是全体实数，所以A正确； 对于B选项，，所以，，所以，所以，所以B错误； 对于C选项，无论是有理数还是无理数，都只取0或1，而0和1均为有理数， 所以恒成立，所以C正确； 对于D选项，当时，不等式为，此时， 因此上的所有有理数都是不等式的解， 同样当时，不等式为，没有无理数解， 所以不等式的解集为区间内的所有有理数，所以D错误． 三、填空题 9．函数的值域是__. 【答案】 【分析】利用配凑法化简，结合基本不等式求解. 【详解】当时，函数 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即函数的值域为. 10．函数的值域为______. 【答案】 【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. 四、解答题 11．（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助待定系数法，设，结合题目所给条件计算即可得； （2）借助方程组法，由可得，即可求出. 【详解】（1）设， 由，知，， 又由， 得， 即， 所以，解得， 所以； （2）由， 得， ，得， 即， 故的解析式是. 12．已知是一次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先分离常数，再根据反比例函数的性质即可得解. 【详解】（1）设， 则， 所以，解得， 所以； （2）， 因为，所以，所以， 所以， 所以函数在上的值域为． 13．已知函数 (1)求，； (2)若，求实数的值； (3)在所给的坐标系中作出函数在区间内的图像． 【答案】(1)，； (2)2或0； (3) 【分析】（1）代入求值即可； （2）分与两种情况，列出方程，求出实数的值，去掉不合要求的解． （3）根据分段函数解析式即可作出函数图象. 【详解】（1）易知， （2）当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或（舍）， 综上可得或0； （3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示： 14．已知，． (1)求的值； (2)若函数，求的定义域； (3)若函数，求的值域． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据函数解析式计算可得； （2）首先求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则计算可得； （3）首先求出的解析式，再根据二次函数的性质及不等式的性质计算可得. 【详解】（1）因为，, 所以，，， 所以； （2）因为， 所以，所以，解得且， 所以的定义域为， 对于函数，令且，解得且， 所以函数的定义域为； （3）因为，， 所以，又， 所以，所以的值域为. 15.若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 0 1 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示． （1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； （2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，　 　，　 　；（填“＞”，“＝”或“＜”） ②当函数值时，求自变量x的值； ③在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求的值； ④若直线与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）①，；②或；③；④. 【分析】（1）描点连线即可； （2）①观察函数图象，结合已知条件即可求得答案； ②把y=2代入y=|x-1|进行求解即可； ③由图可知时，点关于x=1对称，利用轴对称的性质进行求解即可； ④观察图象即可得答案. 【详解】（1）如图所示： （2）①，， A与B在上，y随x的增大而增大，； ，， C与D在上，且在单调递增，， 故答案为，； ②当时，，， 当时，，或（舍去）； 综上：当时，或； ③，在的右侧， 时，点关于对称， ，； ④由图象可知，. 学科网（北京）股份有限公司 $