24.4 一元二次方程的应用第2课时 (课件) 2026-2027学年冀教版九年级上册数学

该初中数学课件聚焦一元二次方程的图形问题应用，先通过回顾列方程解决实际问题的步骤搭建基础，再以长方形游乐场围栅栏、折叠长方体文件盒等实例引入新知，构建从旧知到应用的学习支架。 其亮点在于以生活场景为载体，通过几何直观和空间观念引导学生抽象数量关系，培养推理能力与模型意识。例题涵盖矩形、圆形等图形，归纳解题步骤并强调结果检验，既提升学生应用意识，也为教师提供清晰教学路径。

第二十四章 一元二次方程 24.4 一元二次方程的应用 第2课时 图形问题 冀教版九年级上册 列方程解决实际问题的一般步骤有哪些？ 审、设、列、解、检、答 回顾复习 导入新知 知识点 几何问题与一元二次方程 ① 例1 如图，某小区要在小区内墙边的空地上修建一个长方形的儿童游乐场.游乐场的一面靠墙（墙长22 m），另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.若所围成的游乐场的面积为700 ㎡，求这个长方形游乐场的长和宽. 分析：问题中的等量关系为： 游乐场的长×宽=700. 只要能用同一个字母表示出游 乐场的长和宽即可. 3 解：设长方形游乐场与墙平行一边的长为x m， 则另一边的长为m. 依题意，得x·=700. 化简，得x²-90x+1 400=0. 解得x1=70，x2=20. 由于墙长22 m，x1=70不合题意，应舍去. 当x=20时，==35. 答：这个长方形游乐场的长和宽分别是35 m和20 m. 注意：结果应符合已知条件 例2 如图1所示的是一张面积为1 836 cm2的长方形薄纸板，纸板的四角上由实线围成的是边长相等的正方形．如果按图1中的实线剪开，虚线折叠，恰好将其折叠成一个长为26 cm、宽为18 cm的长方体形文件盒，如图2所示，那么这个文件盒的厚度为多少厘米? 分析：问题中的等量关系为：长方形薄纸板的长×宽=1836.只要把长方形薄纸板的长和宽用正方形的边长表示出来就可以了. 5 例2 如图1所示的是一张面积为1 836 cm2的长方形薄纸板，纸板的四角上由实线围成的是边长相等的正方形．如果按图1中的实线剪开，虚线折叠，恰好将其折叠成一个长为26 cm、宽为18 cm的长方体形文件盒，如图2所示，那么这个文件盒的厚度为多少厘米? 解：这个文件盒的厚度为x cm. 依题意，得（2×18+3x)(26+2x）=1836. 整理，得x2+25x-150=0. 解得x1=5，x2=-30. x2=-30不合题意，应舍去. 答：这个文件盒的厚度为5cm. 6 归纳 注意 在解出方程后要注意检验结果是否符合题意或实际情况，要把不符合实际情况的方程的根舍去. 利用一元二次方程解决几何问题的方法 （1）审，设，列，解，检，答； （2）把实际问题中的已知量和未知量归结到某一个几何图形中，利用几何知识寻找它们之间的关系，列出方程求解. 7 图形问题 步骤 应用 审、设、列、解、检、答 几何问题：与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要涉及三角形、四边形等，解题时经常用到三角形的三边关系、三角形全等、面积、勾股定理等内容. 课堂小结 8 1.［教材P 66练习T 1变式］一个直角三角形的两条直角边长相差 ， 面积是.设这个直角三角形较长的直角边长为 ，依题意，可 列出方程为( ) D A. B. C. D. 随堂练习 9 2.将一条长为 的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形， 使这两个正方形的面积之和为 ，则较短的那段铁丝的长为____ . 24 10 3.如图，把小圆形场地的半径增加 得到大圆形场地，大圆形场地的 面积是原来场地面积的2倍.求小圆形场地的半径. 解：设小圆形场地的半径为，则大圆形场地的半径为 . 由题意，得 ， 解得， （舍去）. 答：小圆形场地的半径为 . 11 4.如图①，在宽为 ，长为 的矩形耕地上修建同样宽 的三条道路，剩余部分作为试 验田，且试验田的面积为 B A. B. C. D. ，设道路宽为 ，从图②的思考方式出发列出的方程是( ) 12 5.在一幅长、宽 的矩形画 （如图①）的四周镶宽度相同的银色 纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）. 如果要使整幅挂图的面积是 ， 求银色纸边的宽. 13 解：设银色纸边的宽为 ， 由题意，得 ， 整理，得 ， 解得（舍去）， . 答：银色纸边的宽为 . 6.［教材例2变式］如图，有一段长为 的篱笆，利用一面墙围成 一个矩形花圃，设花圃的宽为（其中），用含 的代数式表示的长为__________.若花圃面积刚好为 ，则此 时的长为___ . 3 15 7.某村准备在山脚下，围一块面积为 的 矩形茶园.如图，茶园一面靠墙，墙长 ，另 外三面用 长的篱笆围成，其中一边开有一 扇 宽的门.求这个茶园的长和宽. 解：设为 ， 则为 ， 根据题意，得，解得， . 当时， ，不符合题意，舍去； 当时， ，符合题意. 答：这个茶园的长和宽分别为， . 16 8.有一矩形的长为，宽为 ，现将矩形的长缩短、宽加长同样的 长度，且变化后的新矩形的面积为.设原矩形的长缩短 ，则下 列说法正确的是( ) D A.依题意，原矩形的宽变化为 B.依题意，可列方程为 C. 的值为1或3 D.变化后的新矩形的宽为 17 9.如图，在宽，长 的矩形地面上修筑同样宽的道路 （图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为 .则 道路的宽为___ . 2 （第9题） 18 10. 如图，小欣利用宽度相等的纸卡（阴影部分）制作了一个长为，宽为的宫格画画框，空白处的宽度 相同，若图中空白处的面积为，则纸卡的宽为___ . 2 （第10题） 19 11. 如图，阳光小区搭建了一个矩形车棚，中间用垂直于墙的栅栏隔开，分别停放自行车和电动车.车棚一边利用小区后墙（可利用墙长为），其他的边用总长为 的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个 的出口. 20 （1）若车棚占地面积为 ，试求出车棚的长和宽. 解：设为，则为 ， 根据题意，得 ， 解得， . 当时， （不合题意，舍去）， 当时， . 答：车棚的长为，宽为 . 21 （2）若小区拟用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成占地面积为 的车棚吗？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由. 解：不能围成占地面积为 的车棚.理由如下： 设为，则为 ， 根据题意，得 ， 整理，得 . ， 原方程无解， 不能围成占地面积为 的车棚. 22 12. 如图，在矩形 中，，，点从点出发沿 以的速度向点移动，同时，点从点出发沿 以的速度向点移动，, 两点移动到终点时停止.连接， . 23 （1）运动时间为几秒时，的长为 ？请说明理由. 解：设运动时间为时，的长为，则 ， . 由题易知 . ， . 四边形是矩形， ， 由勾股定理得 . 即 ， 解得，， 运动时间为或时，的长为 . 24 （2）运动时间为几秒时， 为直角？请直接写出结果. 解：或 . 25 $