基础集训13 解三角形-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦解三角形基础回归，以题构建“定理应用-形状判断-实际建模”逻辑链，适配新高考I卷一轮复习，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|单选1-5、填空12-13|边长/角度直接计算|从正弦/余弦定理概念生成到面积公式推导| |定理应用|单选3、6、8，多选9-11|解的个数判断、形状判定、实际问题|由定理适用条件拓展至解的存在性分析| |综合应用|解答15-19|面积/周长最值、角平分线综合|整合定理与函数思想，构建“量关系-空间形式”转化模型|

2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺： 苍穹精品工作室 基础集训13 解三角形部分 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1. 本试卷为2027届高考数学一轮复习抓基础用，要求回归课本，题型难度类似2027年新高考I卷 2. 本试卷测试范围：解三角形部分 3. 本试卷适用于新高考I卷地区 一、单选题 1．已知的三边长分别为，且面积，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用余弦定理和三角形面积公式，结合已知等量关系列方程得，即可得. 【详解】由，且，又， 所以，得，即， 因为，则. 2．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】在中，对于角，由余弦定理得：， 代入已知，可得： ， 因为，所以. 3．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则此三角形的解的情况是（    ） A．无解 B．一解 C．两解 D．无法确定 【答案】B 【分析】通过正弦定理确定，即可求解. 【详解】根据正弦定理，代入已知条件，，， 得： ， 由题意：，又，所以， 即只有一个解， 因此该三角形只有一解. 4．已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由及余弦定理， 得， 化简得， 所以是直角三角形，. 5．在中，角的对边分别为，若，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】应用正弦定理计算求解. 【详解】由正弦定理得. 6．如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．小时后 B．小时后 C．小时后 D．小时后 【答案】B 【分析】根据图形判断台风移动方向及城市与台风中心的位置关系，结合方向角并利用余弦定理解三角形可得. 【详解】设该城市在小时后开始受到台风侵袭. 小时后台风中心到达点处，如图， 因为，台风的速度为，因此，. 又由方向角可得. 在中，，，， 由余弦定理， ，， 即，解得或. 根据题意可得为该城市刚开始受到台风侵袭时间，为该城市受台风侵袭结束时间. 因此该城市开始受到台风侵袭的时间为小时后. 7．的内角，，所对的边分别为，，，，，，则边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 因为所以， 所以. 由余弦定理，， 所以. 8．在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正余弦定理进行边角转化得到角的余弦值，结合锐角三角形，求出角的大小，以及角或角的取值范围；根据边和角，结合正弦定理将，表示为对应角的正弦函数，将周长转化为关于角或角的三角函数，结合三角函数的单调性即可求出周长的取值范围. 【详解】在中，，得. 由正弦定理得，； 由余弦定理得，； ，得. 是锐角三角形，，得； ，解得. ，，由正弦定理得； ，. . ，； ，得，即. ，即周长的取值范围为. 二、多选题 9．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】AC 【详解】由余弦定理，得， 即，解得或． 10．在中内角的对边分别为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，，且有两解，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用正弦定理和正弦函数、余弦函数的单调性，结合选项，逐项分析、判断，即可求解. 【详解】设外接圆的半径为， 对于A，若，由正弦定理得，则，所以A正确； 对于B，若，可得， 因为，可得或， 即或，所以是直角三角形或钝角三角形，所以B不正确； 对于C，若为锐角三角形，可得，所以， 因为，可得， 则且， 所以，所以C正确； 对于D，若，，可得， 要使得有两解，则满足，即的取值范围是，所以D正确. 11．在中，内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（    ） A．若是锐角三角形，则 B．若是直角三角形，则 C．若，则是钝角三角形 D．当，，时，若为的内心，则的面积为 【答案】ACD 【分析】利用诱导公式结合正弦函数单调性可判断A选项；取可判断B选项；利用正弦定理、同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式可判断C选项；利用正弦定理、余弦定理可求出的其它元素，可求出的面积，再利用面积公式计算出的值，结合的面积可求得的面积. 【详解】对于A选项，因为是锐角三角形，则，则，即， 因为正弦函数在上为增函数，所以， 同理可得，， 由不等式的基本性质可得，故A正确； 对于B选项，若是直角三角形，不妨设为直角，则， 此时为锐角，且，显然，故B错误； 对于C选项，由及正弦定理可得， 所以，故、均为锐角， 由可得，即， 解得，，故，， 所以 ，故角为钝角，即为钝角三角形，故C正确； 对于D选项，因为，，，则， 由，所以，可得， 即，即，解得，则， 此时，故，， 因为，则，故，则， 设内切圆圆的半径为，则， 故，故D正确. 三、填空题 12．在中，角的对边分别为，已知，点在边上，且满足，则的长为__________． 【答案】或 【详解】根据正弦定理： ， 或， 点在边上，且满足， ， 当时，， 是直角三角形，故， ； 当时，， ， ，即， 解得，故． 综上，或． 13．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则______． 【答案】 【详解】根据正弦定理，已知，. 设，根据余弦定理，已知， 代入得，，，. 14．已知中，角，，的对边分别为，，．若，，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】先得到，由正弦定理，余弦定理和基本不等式得到，进而得到的最大值 【详解】，， 故， 由正弦定理得， 即，， 由正弦定理得，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以，故， 故，最大值为. 四、解答题 15．在锐角中，内角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）将等式左边用平方差公式展开，化简后与余弦定理的标准形式对照，可得 的值，从而求出 的大小； （2）由内角和求出角，利用正弦定理求出边，再代入面积公式即可求得三角形面积． 【详解】（1）由已知， 整理得， 由余弦定理， 所以，因为，所以，又为锐角，所以. （2）因为，，由(1)知，则， 由正弦定理得， 所以． （） 16．记的内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)若，求； (2)若的面积为，求，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系式以及正弦定理即可求解； （2）由三角形的面积公式以及余弦定理即可求解. 【详解】（1）由题意，， 由正弦定理得． （2）因为，所以， 由余弦定理得，所以． 17．在中，角的对边分别为，. (1)求； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过余弦定理直接求角； （2）先求，再利用两角和的正弦公式求，最后用正弦定理求边长，进而计算面积. 【详解】（1）由余弦定理： 已知，即，代入， 得： 又，故. （2）已知，且，则：， 由，得：， 由正弦定理， ， 所以 18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由正弦定理和辅助角公式得，求出； （2）由正弦定理和余弦定理得，开方可得答案 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又，所以，所以， 即，， 又，所以，所以，所以； （2）由（1）知，，又， 则由正弦定理得． 由余弦定理可得，所以， 所以， 根据正弦定理得，， 因为，则，所以， 所以． 19．记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若， （i）求周长的最大值； （ii）当为锐角三角形时，设与的平分线交于点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用余弦定理进行边角互化即可得到，再用余弦定理求解即可； （2）（i）应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围；（ii）应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得由，利用三角函数即可求面积的取值范围. 【详解】（1）已知，由余弦定理. ​, 代入已知等式得：，即， 再由余弦定理 又，所以. （2）（i）由 (1) 知​，由余弦定理, 得到 由代入上式得到 设三角形周长， 由基本不等式， 令则 因，故，当且仅当时取等号， 此时周长最大值. （ii）为锐角三角形，，故，且 解得， 分别平分，则； 在中，由正弦定理 在中，由正弦定理, 即 则 由得到，， 所以 , 所以 由，则，故， 因此面积取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺： 苍穹精品工作室 基础集训13 解三角形部分 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1. 本试卷为2027届高考数学一轮复习抓基础用，要求回归课本，题型难度类似2027年新高考I卷 2. 本试卷测试范围：解三角形部分 3. 本试卷适用于新高考I卷地区 一、单选题 1．已知的三边长分别为，且面积，则等于（   ） A． B． C． D． 2．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则此三角形的解的情况是（    ） A．无解 B．一解 C．两解 D．无法确定 4．已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A的值为（   ） A． B． C． D． 5．在中，角的对边分别为，若，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D． 6．如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．小时后 B．小时后 C．小时后 D．小时后 7．的内角，，所对的边分别为，，，，，，则边长为（     ） A． B． C． D． 8．在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 10．在中内角的对边分别为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，，且有两解，则的取值范围是 11．在中，内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（    ） A．若是锐角三角形，则 B．若是直角三角形，则 C．若，则是钝角三角形 D．当，，时，若为的内心，则的面积为 三、填空题 12．在中，角的对边分别为，已知，点在边上，且满足，则的长为__________． 13．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则______． 14．已知中，角，，的对边分别为，，．若，，则的最大值为__________． 四、解答题 15．在锐角中，内角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 16．记的内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)若，求； (2)若的面积为，求，． 17．在中，角的对边分别为，. (1)求； (2)若，，求的面积. 18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，且，求的值． 19．记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若， （i）求周长的最大值； （ii）当为锐角三角形时，设与的平分线交于点，求面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $