基础集训03 三角函数与解三角形专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数与解三角形基础回归，以新高考I卷为模板，构建从概念到应用的逻辑链条，强化数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-5、多选9-10|三角函数定义、图像变换、周期性|从函数性质到图像应用，形成概念-性质-图像逻辑链| |解三角形|单选2-3、6-7、填空12-13|正余弦定理应用、面积计算、形状判断|以定理为核心，连接边长、角度与面积的数量关系| |综合应用|解答15-17|三角恒等变换、函数最值、实际问题|整合运算能力与模型意识，解决多条件综合问题| |创新拓展|单选8、解答18-19|费马点、立体几何、新定义问题|拓展空间观念与创新意识，衔接跨学科应用|

2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺： 苍穹精品工作室 基础集训03 三角函数，解三角形部分 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1. 本试卷为2027届高考数学一轮复习抓基础用，要求回归课本，题型难度类似2027年新高考I卷 2. 本试卷测试范围：三角函数，解三角形部分 3. 本试卷适用于新高考I卷地区 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为， 所以，， ，，则，， 因此. 2．（本题5分）在中，角，，所对的边分别为，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，，则， 因为， 则. 3．（本题5分）在中，，，，是边上的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量中线定理，结合数量积的定义求解即可. 【详解】   在中，，，，是边上的中点， 所以， ， 因为，，， 所以， 所以， 因此. 4．（本题5分）将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象. 5．（本题5分）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算的最小正周期，再结合绝对值翻折对正弦函数周期的影响求解即可. 【详解】对于，最小正周期为， 的图像是将的图像中位于轴下方的部分沿轴翻折得到， 翻折后函数周期变为原周期的， 因此的最小正周期. 6．（本题5分）在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】B 【详解】因为， 由余弦定理可知 即， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以是等腰或直角三角形. 7．（本题5分）已知在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用正弦定理将条件转化为边的关系，再利用余弦定理消去推出 为定值，由基本不等式得的最大值，最后将面积用表示，进而求最大值. 【详解】根据正弦定理，已知等式可化为， 由余弦定理得， 已知 ，代入得. 由基本不等式 ，得 ，当且仅当时取等号. 由，得， 则面积为 ， 当取最大值3时，取最大值为. （重点 费马点）8．（本题5分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知，，分别是三个内角，，的对边，且1，点为的费马点．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用三角形内角关系与三角恒等变换化简给定等式，推导出角的度数，结合费马点性质得到点与三顶点连线两两夹角为，再将所求向量数量积之和转化为含面积与费马点到三顶点距离两两乘积之和的表达式，最终结合已知条件算出结果. 【详解】在中，，因此， 所以，整理得， 又，可得， 在三角形中，因此，即，显然的三个内角都小于. 根据费马点定义，此时点满足两两夹角为， 即任意两个向量的夹角都是，因此： ， 同理，， 因此待求式可写为：， 的面积可拆分为三个小三角形面积之和：， 已知，，因此， 因此：，解得：， 所以. 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度h（单位：）由关系式确定．则（   ） A．小球在开始振动（即）时， B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2 C．经过往复运动一次 D．每秒钟小球能往复振动次 【答案】BCD 【分析】对于A：令，代入运算求解即可；对于BCD：根据简谐运动的振幅、周期和频率分析判断即可. 【详解】因为， 对于选项A：当时，则，故A错误； 对于选项B：因为振幅，所以小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2，故B正确； 对于选项CD：因为函数的最小正周期，频率， 所以经过往复运动一次，每秒钟小球能往复振动次，故CD正确. 10．（本题6分）已知点，是函数图象相邻的两个最低点，则下列选项正确的是（    ） A．的最小正周期为8 B． C．的图像关于点中心对称 D．在区间内的零点个数为1 【答案】BD 【详解】对于A，由题可知该函数的最小正周期，A错误； 对于B，因为，所以， 将代入得， 而，B正确； 对于C，由B选项可知， 所以的图象不关于点中心对称，C错误； 对于D，由题可知，，因为，所以， 所以，则， 令，则，即， 所以，所以， 因，则，即得函数在区间内的零点只有2， 故在区间内的零点个数为1，D正确. 11．（本题6分）在中，角的对边分别为，若的外接圆半径为，且，则（    ） A． B．的面积为 C．当时， D．当最小时， 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理求出的值判断A；由面积公式求出其面积判断B；利用已知条件及三角恒等变换可求得或判断C；由题意可得，由三角恒等变换得，从而得，整理得，求出等号成立时的条件判断D. 【详解】A，由正弦定理可得 所以，故A正确； B，因为，故B正确； C，当时，， 又，所以， 又，所以， 即，整理得， 即，所以， 因为，所以， 所以或，得或， 当时，，此时； 当时，，此时，故C错误； D，因为，要使最小，则最小， 因为,, 所以， 因为, 因为，所以， 即，整理得， 当且仅当时，等号成立，此时最小，即最小，故D正确. 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）潮汕电影《给阿嬷的情书》在全国热映，吸引许多游客到电影取景地“打卡”.小明同学发现，电影在揭阳的三个主要取景地——揭西县棉湖镇（点A）、榕城区登岗镇（点B）、揭阳古城（点C）构成三角形区域，他借助地图测得，，，则约为________.（结果保留整数，参考数据：） 【答案】 39 【分析】已知三角形两边长度及两边夹角，直接运用余弦定理求解第三边长度即可. 【详解】在中，根据余弦定理：， 代入已知条件，，，且， 所以 因此，结合参考数据， 得：. 13．（本题5分）在中，为边的中点，，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】通过，，平方得到，再结合余弦定理和基本不等式即可求解. 【详解】设 ，，，为中点， 则，， 两式平方相加得： 代入，， 得：， 再由余弦定理： ​ 代入 ，， 得： 由基本不等式 ，得 ，当且仅当 ​ 时等号成立， 因为 ​，所以当时，取得最小值， 即的最小值为 . 14．（本题5分）在中，，依次为边上的点，且，设，，，，，则的值为_______． 【答案】 【分析】利用正弦定理求解，先求解，再取倒数. 【详解】设， 由，故 ， 在由正弦定理得，在由正弦定理得， ，可得， 分别在 ，，由正弦定理得，所以， 同理可得， 所以 ， 在中，由正弦定理，得 ， 所以， 所以. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知α为锐角，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以，又为锐角，解得. （2）因为，所以解得. 得到. 16．（本题15分）在中，角，，对应的边分别为，，，，． (1)若，求； (2)当为何值时，的面积最大？并求出的最大值． 【答案】(1) (2)当为时，取得最大值． 【分析】（1）根据正弦定理及三角形内角和求解即可. （2）根据余弦定理及三角形面积公式，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理，得， 因为，所以． 故． （2）由（1）可得， 由余弦定理得，即． 又，则， 所以，当且仅当时，等号成立． 则． 因此，当为时，取得最大值． 17．（本题15分）已知函数，. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间， (3)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 【答案】(1) (2) (3)最小值，此时；最大值，此时 【详解】（1）因为， 所以函数的最小正周期. （2）令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为. （3）因为，则， 可得，即， 当，即时，函数取到最大值； 当，即时，函数取到最小值. 18．（本题17分）如图，在三棱锥中，平面，垂足为O，点O在内.记二面角的大小为，二面角的大小为，二面角的大小为. (1)记的面积为，的面积为，若，求； (2)若三棱锥各面的面积相等，求； (3)若，，两两垂直，求. 【答案】(1) (2)1 (3)2 【分析】（1）作出辅助线，得到； （2）推导出； （3）推出，再根据三棱锥的体积得到方程，求出，代入求值即可 【详解】（1）过作⊥于点，连接， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 又⊥，，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因此，为直角三角形，， ，， 故，同理可得， 故， （2）三棱锥各面的面积相等，， 又， 故； （3）设，，故， 而，，故， 设，故， 所以， 同理可得， 所以， ，其中三边长为， 故， 故， 所以， 又，所以， 所以， 故 . 19．（本题17分）对于函数，若在其定义域内存在，对于常数有成立，则称函数为“跃点”函数，并称为函数的“跃点”． (1)若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； (2)若，，求证：“”是“对任意，函数为‘跃点’函数”的充要条件； (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2025个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的实数和正整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)由题意得“对任意，为‘跃点’函数”等价于： 对任意实数，关于的方程都有解， 所以当时，方程有解，即 所以， 反之，当时，， 则, 等价于, 显然，是此方程的解，故此方程对任意实数都有实数解． 综上所述，“”是“对任意， 为‘跃点’函数”的充要条件． (3)． 【分析】（1）根据跃点函数定义，解得，利用三角化简求值域即可； （2）先将对任意 ， 为 跃点函数等价转化为对于任意实数，关于 的方程都有解，然后利用取特殊值证明“”的必要性，利用三角函数的诱导公式证明充分性； （3）由跃点定义代入函数化简为，问题转化为该方程在上解的个数等于，因函数周期为，结合图象分类讨论即可． 【详解】（1）（1）由已知得存在实数， 使得. 所以. （2）略． （3）令， 由已知得，， 化简得， 函数的最小正周期为， 根据该函数在上的图象分析： ①当时，函数在上有个“”跃点，故不可能有个跃点； ②当时，函数在上有个跃点，此时， ③当或时，函数在上有个跃点，故 综上，所有符合条件的分别为：． 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺： 苍穹精品工作室 基础集训03 三角函数，解三角形部分 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1. 本试卷为2027届高考数学一轮复习抓基础用，要求回归课本，题型难度类似2027年新高考I卷 2. 本试卷测试范围：三角函数，解三角形部分 3. 本试卷适用于新高考I卷地区 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知，，若，，则（     ） A． B． C． D． 2．（本题5分）在中，角，，所对的边分别为，，，，则（     ） A． B． C． D． 3．（本题5分）在中，，，，是边上的中点，则（     ） A． B． C． D． 4．（本题5分）将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 7．（本题5分）已知在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． （重点 费马点）8．（本题5分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知，，分别是三个内角，，的对边，且1，点为的费马点．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度h（单位：）由关系式确定．则（   ） A．小球在开始振动（即）时， B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2 C．经过往复运动一次 D．每秒钟小球能往复振动次 10．（本题6分）已知点，是函数图象相邻的两个最低点，则下列选项正确的是（    ） A．的最小正周期为8 B． C．的图像关于点中心对称 D．在区间内的零点个数为1 11．（本题6分）在中，角的对边分别为，若的外接圆半径为，且，则（    ） A． B．的面积为 C．当时， D．当最小时， 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）潮汕电影《给阿嬷的情书》在全国热映，吸引许多游客到电影取景地“打卡”.小明同学发现，电影在揭阳的三个主要取景地——揭西县棉湖镇（点A）、榕城区登岗镇（点B）、揭阳古城（点C）构成三角形区域，他借助地图测得，，，则约为________.（结果保留整数，参考数据：） 13．（本题5分）在中，为边的中点，，则的最小值为___________． 14．（本题5分）在中，，依次为边上的点，且，设，，，，，则的值为_______． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知α为锐角，且． (1)求的值； (2)求的值． 16．（本题15分）在中，角，，对应的边分别为，，，，． (1)若，求； (2)当为何值时，的面积最大？并求出的最大值． 17．（本题15分）已知函数，. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间， (3)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 18．（本题17分）如图，在三棱锥中，平面，垂足为O，点O在内.记二面角的大小为，二面角的大小为，二面角的大小为. (1)记的面积为，的面积为，若，求； (2)若三棱锥各面的面积相等，求； (3)若，，两两垂直，求. 19．（本题17分）对于函数，若在其定义域内存在，对于常数有成立，则称函数为“跃点”函数，并称为函数的“跃点”． (1)若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； (2)若，，求证：“”是“对任意，函数为‘跃点’函数”的充要条件； (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2025个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的实数和正整数的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $