26.4 实际问题与二次函数第2课时利润最值问题课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的利润最值问题，通过商品调价（涨价、降价）案例导入，结合知识回顾二次函数最值公式，搭建从旧知到实际应用的学习支架，帮助学生理解销售中的数量关系。 其亮点是以实际问题（如民宿定价、服饰销售）为载体，引导学生抽象出二次函数模型，培养数学眼光和模型意识。通过归纳解题步骤（建函数、定范围、求最值）强化数学思维，结合中考题和拓展题提升应用能力。学生能提升分析问题能力，教师可直接使用丰富例题和分层练习，提高教学效率。

第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 第2课时 利润最值问题 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 二次函数的最值在销售问题中的应用 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 建立二次函数模型解决“每每型”问题 8. 对接中考 1. 会运用二次函数的性质解决商品销售中的最大利润问题. 2. 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. 学习目标 知识回顾 一般地，当，抛物线有最低点，二次函数有最小值，即当 时， . 当时，抛物线有最高点，二次函数有最大值，即当 时， . 求函数最值问题的方法有：公式法和配方法，但注意实际问题自变量的取值范围，有必要时结合函数的增减性来求最值. 新课导入 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 销售模式：降价或涨价都可以哦！ 利润问题几个量之间的关系 1.总价、单价、数量的关系： 2.利润、售价、进价的关系： 3.总利润、单件利润、数量的关系： 总价＝单价×数量 利润＝售价－进价 总利润＝单件利润×数量 探究 新课讲解 知识点1 二次函数的最值在销售问题中的应用 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 模式一：涨价销售 ①每件涨价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，则每件商品的利润为(20+x)元，每星期卖出(300-10x)件，所得的利润为y=(20+x)(300-10x)，即y=-10x2+100x+6 000. ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，销量不能为负，故300-10x ≥0，且x ≥0，因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ 10x2+100x+6 000，当=5时，10×52+100×5+6 000=6 250. 即定价为65 元时，最大利润是 6 250 元. 探究 新课讲解 探究 模式二：降价销售 ①每件降价x元，每星期售出商品的利润 y 元，则每件商品的利润为(20-x)元，每星期卖出(300+20x)件，所得的利润为y=(20-x)(300+20x)，即y=-20x2+100x+6 000. ②自变量 x 的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此售价不能低于成本，故20-x ≥0，且 x ≥0，因此自变量的取值范围是 0 ≤x ≤20. ③降价多少元时，利润最大，是多少？ 20x2+100x+6 000，当 =2.5 时， 即定价为 57.5 元时，20×(2.5) 2+100×2.5+6 000=6 125，最大利润是 6 125元. 综合涨价和降价两种情况可知，定价为65 元时，利润最大. 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 新课讲解 求解最大利润问题的一般步骤： (1)建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润总售价总成本”或“总利润单件利润×销售量”. (2)结合实际意义，确定自变量的取值范围. (3)在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式法求出最大利润，也可以画出函数的图象，利用图象的性质求出. 归纳 新课讲解 例 1. 为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业.王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房.根据合作社提供的房间单价 x (元)和游客居住房间数 y (间)的信息，乐乐绘制出 y 与 x 的函数图象如图所示. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式. (2)合作社规定每个房间价格不低于 60 元且不超过 150 元，对于 游客所居住的每个房间，合作社每天需要支出 20 元的各种费用， 房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？ 解：(1) 设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)， 根据题意得解得 故y与x之间的函数关系式是y=-0.5x+110. (70,75) (80,70) (2) 设合作社每天获得的利润为w元，由(1)可知游客居住房间数为， 则. 因为，所以当120时，w取得最大值，此时5 000， 故当房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元. 新课讲解 例 2. 某民族服饰店销售一款苗族服饰，成本为50元/件，在销售过程中发现销售量 (件)与售价 (元/件，售价不低于成本价)满足如图所示的一次 函数关系.物价部门规定：该服饰每件售价不得超过90元. (1) 求与 之间的函数解析式. (2) 该服饰每件售价为多少元时，民族服饰店获得的利润 (元)最大？此时的最大利润为多少元？ (2) 由题意可得 . ， 当时，随 的增大而增大. ， 当时， 该服饰每件售价为90元时，民族服饰店获得的利润 （元）最大，最大利润为2 400元. 解：(1) 设与之间的函数解析式为 ， 把，分别代入上式，得 解得 该服饰成本为50元/件，售价不低于成本价且每件售价不得超过90元， . 与之间的函数解析式为 . 新课讲解 练一练 1. 某种商品进价为每件20元，售价为每件 元（，为整数），销量为 件，利润最大时售价为每件____元. 解：设所获利润为 元，由题意， 得 ，， 为整数， 当时， 取得最大值，最大值为25元. 25 新课讲解 练一练 2. 某公司每月生产产品4万件和同类新型产品若干万件.产品每件销售利润200元，且在产品销售量每月不超过3万件时，每月4万件产品能全部销售，产品的每月销售量（万件）与每件销售利润（元）之间的函数关系图象如图所示. (1) 求与的函数关系式； (2) 在保证产品全部销售的情况下，产品每件利润定为多少元时公司销售产品和产品每月可获得总利润最大，最大利润是多少？ 解：(1) 设与的函数关系式，其图象经过点， . (2) 根据题意得， ∵ ，即，∴ ∵ 时，w随x的增大而减小， ∴当时，有最大值. 当时，(万元). 新课讲解 知识点2 建立二次函数模型解决“每每型”问题 例 A. B. C. D. 3. 兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利10元，每天可售出50斤.经市场调查发现，若每斤降价1元，每天可多售出10斤.设每斤降价元，每天盈利元，则与 之间的函数关系式为 ( ) B 解：每斤降价元， 每斤盈利元， 每斤降价1元，多售出10斤， 每斤降价元，多售出斤， 销售量为 斤， . 新课讲解 例 4. 某商品的进价为每件35元，当售价为每件50元时，每个月可以卖出210件.若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖7件（每件售价不能高于70元）.设每件商品的售价上涨元（ 为正整数），每个月的销售利润为 元. (1) 若上涨5元，每个月可卖出_____件，则每个月的销售利润为_______元. (2) 求与之间的函数关系式并直接写出自变量 的取值范围. (3) 每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 175 3 500 解：(2) 由题意得 . 每件售价不能高于70元，且 为正整数， ，解得 ， （且 为整数）. (3) 二次函数 图象的对称轴为直线 . ， 二次函数的图象开口向下. 根据二次函数图象的对称性可知，当或 时，二次函数取到最大值， 为 （元）， 当售价定为每件57元或58元时，每个月的利润最大，最大的月利润是3 542元. 新课讲解 练一练 1. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是每件30元，当售价为每件40元时，每天可以售出60件.经调查发现，每件的售价每降价1元，每天可以多售出10件.则当每件的售价定为____元时，每天的利润最大. 38 解：设该款巴小虎吉祥物每件降价元，每天的利润为 元，则每天售出的数量是 件，根据题意得， ， 当时， 的值最大，此时每件的售价为38元. 新课讲解 练一练 2. 某商场经营一种小商品，已知购进时单价是20 元，调查发现：当销售单价是30 元时，月销售量为240 件，而销售单价每上涨1 元，月销售量就减少10 件.设销售单价上涨x元时，当月销售量为y 件. (1) y 与x 之间的函数解析式是_________________. (2) 设月销售利润为w 元，求w 与x 的函数解析式. (3) 物价部门规定该商品的利润率不得高于70%，当销售单价定为多少时，才能使当月的利润最大？最大利润是多少？ 解：(2) w=(30+x-20)(-10x+240)=-10x2+140x+2 400. (3) 由题意得30+x-20≤20×70%，解得x≤4. w=-10x2+140x+2 400=-10(x-7)2+2 890. ∵-10<0，∴当x<7时，w随x的增大而增大.∴当x=4时，w最大，最大值为-10×(4-7)2+2 890=2800. ∴销售单价为30+4=34(元). 因此，当销售单价定为34元时，才能使当月的利润最大，最大利润是2 800元. 课堂小结 数学问题 利用二次函数的图象和性质求解 最值问题 二次函数模型 实际问题的答案 实际问题 构建 抽象 利用二次函数解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、检、答. 当堂小练 1. 生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元.预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一.当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 解：设该商品的产量为x件，生产这种商品的利润为W元. 根据题意，得W=(50-10﹣)x-500=﹣(x-160)2+2 700. ∵50-10﹣>0，∴0<x<320. ∵﹣<0， ∴当x=160时，W取得最大值，W最大值=2 700. 答：当产量为160件时，生产这种商品的利润最大，最大利润是2 700元. 当堂小练 2. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 ( ) C A. 60元 B. 65元 C. 70元 D. 75元 当堂小练 3. 当进价为80元/件的某衬衣定价为100元/件时，每月可卖出2 000件，售价每上涨1元，月销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数 （件）与衬衣售价 （元/件）之间的函数关系式为_________________，每月利润（元）与衬衣售价 （元/件）之间的函数关系式为________________________________. 当堂小练 4. 某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40件. 若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？ 解：设每件应降价x元，每天的利润为y元， 由题意得：y=(20-x)(40+10x) =-10x2+160x+800 =-10(x-8)2+1440 (0＜x＜20). 当x=8时，y取最大值1440. 即当每件降价8元时，每天的盈利最多。 当堂小练 每件的售价 元 … 25 28 31 … 日销售量 件 … 15 12 9 … (2) 由题意得 ， ， 当时， 有最大值，最大值为400， 当每件玩具的售价定为20元时，可使日销售额最大，最大为400元. 5. 某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量 (件)与每件的售价 (元)满足一次函数关系，部分数据如下表： 解：(1) 设与之间的函数解析式为 ， 将，；，分别代入，得 解得 与之间的函数解析式为 . (1) 求与之间的函数解析式(不要求写出自变量 的取值范围)； (2) 当每件玩具的售价定为多少元时，可使日销售额 (元)最大？最大为多少元？ 当堂小练 6. 旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2 100元.旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元.当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？ 解：设旅行团的人数为x,旅行社可获得的营业额为W元. 当0≤x≤20时，W=2 100x. ∵W随x的增大而增大， ∴当x=20时，W取得最大值，最大值为42 000； 当x>20时，W=[-30(x-20)+2 100]x=-30(x-45)2+60 750, ∴当x=45时，W取得最大值，最大值为60 750. ∵60 750>42 000, ∴当x=45时，W取得最大值60 750. 答：当旅行团的人数为45时，旅行社可获得最大营业额，最大营业额是60 750元. 当堂小练 7. 某公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售.根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价 元，每天的销售利润为 元. (1) 求与 之间的函数关系式； (2) 每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 解：(1) 由题意，得 . (2) 每辆轮椅的利润不低于180元，，解得 . ， 当时，随 的增大而增大， 当时， 取得最大值，最大值为 . 答：每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12 240元. 对接中考 1. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品. 已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30 元，当售价为40 元时，每天可以售出60 件，经调查发现，售价每降价1 元，每天可以多售出10 件. (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是__________件. (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是 630 元？ (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ (60+10x) 解：(2) 设该款巴小虎吉祥物降价 x 元. 根据题意得(40-30-x)(60+ 10x)=630. 整理，得x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3. ∵要让利于游客，∴ x=1 舍去. ∴该款巴小虎吉祥物降价3元，文旅公司每天的利润是630元. (3) 设该款巴小虎吉祥物降价x 元.根据题意得 W=(40-30-x)(60+10x)=(10-x)(60+10x)=-10x2+40x+600=-10(x-2)2+640. ∵ -10<0 ，∴当x=2 时，W取最大值为640，此时售价为38 元. ∴当售价为38 元时，每天的利润最大，最大利润是640 元. 对接中考 2. 某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量 （单位：件）与销售单价 （单位：元）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示. (1) 求这段时间内与 之间的函数解析式. (2) 在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：(1) 设这段时间内与之间的函数解析式为 . 把， 分别代入，可得解得 这段时间内与之间的函数解析式为 . (2) 销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务， ， ，即 解得 . 设获得的利润为 元，则 ， 对应图象的对称轴为直线 . ， 二次函数图象开口向下， 当时，随 的增大而增大. ， 当时， 取最大值，最大利润为 （元）. 答：销售单价为116元时，商场获得的利润最大，最大利润是7 920元. 拓展与延伸 1. 某酒店有150间标准房，当标准房价格为每间120元时，每天都满客.市场调查表明标准房价格在每间 元范围内（含120元，170元）浮动时，每提高10元，日均入住数量减少8间.如果不考虑其他因素，该酒店将标准房价格提高到每间_____元时，客房的日营业收入最大. 150 解：设标准房价格每间提高个10元，日营业收入为 元， 则标准房价格为每间元，日均入住数量为 间. 根据题意，得 ， 该函数图象的对称轴为直线 函数的图象开口向下， 该函数有最大值，且距离对称轴越远，函数值越小. ，且 为整数，是离对称轴最近的点的横坐标， 当时， 最大，此时标准房价格为每间 （元）. 拓展与延伸 2. 某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额 （万元）与销售量（吨）的函数解析式为 ；成本（万元）与销售量 （吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中 是其顶点. (1) 求出成本关于销售量 的函数解析式. (2) 当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ 解：(1) ， 为抛物线的顶点， 可设抛物线的解析式为 . 将代入 ， 得， ， 关于的函数解析式为 . (2) ， 当时，取最小值，最小值为 . ， 当时， ， 此时 . 答：成本最低时，所获利润为0.75万元. 拓展与延伸 2. 某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额 (万元)与销售量(吨)的函数解析式为 ；成本(万元)与销售量 (吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中 是其顶点. (1) 求出成本关于销售量 的函数解析式. . (3) 当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？ (注：利润 销售额-成本) 解：(3) 设当销售量为吨时，利润为 万元. 则 . ，且 ， 时， 取最大值，最大值是7. 答：当销售量为3吨时，可获得最大利润，最大利润是7万元． $