26.4实际问题与二次函数（第2课时 生活中的最值问题）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决生活中的最值问题，通过“如何定价获得最大利润”的导入问题，结合利润公式梳理数量关系，衔接几何图形面积最值的知识回顾，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“分析情境—建立模型—限定范围—求解最优”的完整流程培养数学建模思想，分涨价、降价情境分类讨论并验证自变量范围，结合护眼台灯、文旅纪念品等实例，让学生用数学语言表达现实问题，提升运算能力与应用意识，助力教师高效开展教学，帮助学生形成严谨的数学思维。

26.4实际问题与二次函数 第二课时 生活中的最值问题 第二十六章 二次函数 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 熟记商品销售利润等核心公式；能在涨价、降价情境中精准建立利润的二次函数解析式；能结合自变量实际范围，利用二次函数顶点公式求解最大利润与最优售价；能对比不同调价方案选择最优销售策略. 经历“分析销售情境—梳理数量关系—建立函数模型—限定变量范围—求解最值方案”的完整探究过程，掌握二次函数解决优化问题的通用流程，提升综合建模与最值运算能力. 感受二次函数在商业销售、生活优化中的实用价值，体会数学模型解决实际决策问题的优势，培养严谨的数学思维和理性的方案决策意识，提升数学应用素养. 基本方法 构建二次函数模型 1.二次函数求几何图形最大面积问题的步骤： 知识回顾 （1)分析变量，列出关系式； （2）确定自变量取值范围； （3）确定所得的函数； （4）检验x的值是否在自变量取值范围内； （5）解决提出的实际问题. 知识回顾 1.某广场有一个长为，宽为 的矩形花园，根据需要将它的长缩短，宽增加，要使修改后的花园面积达到最大，则 的值为( ) C A.1 B.1.5 C.2 D.4 练一练 设修改后的花园面积为S，则： S =（20-x）(16+x) = －（x－2）2 + 324 = -x2 + 4x + 320 解析： ∵a = -1<0，抛物线开口向下， ∴顶点为最大值点，坐标（2，324） ∴，∴S有最大值 知识回顾 1.二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？ 最小值 最大值 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. x y O x y O 看图像 a＞0 a＜0 导入新课 如何定价才能获得最大利润？ 还记得销售问题中利润计算的公式吗？ （1）利润=售价－进价 （2）总利润=单件利润×销售量 商场销售经验： 商品涨价利润会升高，但销量会降低； 降价销量升高，但单件利润降低。 新知探究 探究点1 调价情境下的利润变化规律 议一议 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整单价（单价为整数）： 每涨价1元，则每星期要少卖出10件； 每降价1元，则每星期可多卖出20件. （1）调整价格有几种情况？ （2）本问题我们要分几种情况讨论？ 若安排涨价，如何定价利润最大 活动1 两种情况 涨价 降价 两种情况 若安排降价，如何定价利润最大 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 进价/元 售价/元 数量/件 利润/元 现价 40 60 300 涨价 40 60+x 300-10x 降价 40 60-m 300+20m 新知探究 探究点1 调价情境下的利润变化规律 议一议 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整单价（单价为整数）： 每涨价1元，则每星期要少卖出10件； 每降价1元，则每星期可多卖出20件. （3）若每件涨价x元或降价m元，填写下表 活动1 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整单价（单价为整数）： 每涨价1元，则每星期要少卖出10件； 每降价1元，则每星期可多卖出20件. 活动1 新知探究 探究点1 调价情境下的利润变化规律 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ （4）设每件涨价x元，利润为y元，试确定y随x变化的函数解析式. 议一议 利润=（单件售价－单件进价）×销量 解：每件涨价x元时，每星期要少卖10x件， 单件售价－单件进价= 60+x － 40 销售数量=300－10x件， ∴所得利润： y=(60+x－40)(300－10x） 整理得：y=-10x²+100x+6 000 怎样确定x的取值范围？ 方法一 ∵ ∴ 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整单价（单价为整数）： 每涨价1元，则每星期要少卖出10件； 每降价1元，则每星期可多卖出20件. 活动1 新知探究 探究点1 调价情境下的利润变化规律 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ （4）设每件涨价x元，利润为y元，试确定y随x变化的函数解析式. 议一议 利润=销售总额－进货总额=单价售价×销量－单价进价×销量 解：每件涨价x元时，单价售价是（ 60+x ）， 每星期要少卖10x件，实际卖出数量= 件， 销售总额= 元， 进货总额= 元. ∴所得利润： ， 整理得： ， 方法二 （300－10x） (60+x)（300－10x） 40(300－10x） y=(60+x)(300－10x）－40(300－10x) y=-10x²+100x+6 000 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整单价（单价为整数）： 每涨价1元，则每星期要少卖出10件； 每降价1元，则每星期可多卖出20件. 活动1 新知探究 探究点1 调价情境下的利润变化规律 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ （5）设每件涨价x元，利润为y元，x取何值时，y有最大值？最大值是多少？ 议一议 y=－10x²+100x+6 000， ∵y=－10x²+100x+6 000 =－10(x2-10x)+6000 =－10(x-5)2+6250 ∴抛物线顶点坐标为 ， ∵a=-10＜0，开口 ， ∴当x=_______时，y取得最大值 (5,6250) ∴在涨价的情况下，商品的单价上涨 元时， 利润最大，为 元. 向下 5 y随x变化的函数解析式： 5 6250 配方 新知探究 探究点1 调价情境下的利润变化规律 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整单价（单价为整数）： 每涨价1元，则每星期要少卖出10件； 每降价1元，则每星期可多卖出20件. 活动1 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 议一议 （6）根据以上探究过程，考虑在降价的情况下，最大利润是多少？ 解：设每件降价m元，利润为y2. 由题意得：y2=(60-m–40)(300+20m) 整理得：y2=-20m2+100m+6000 ∴0≤m≤20且m为整数 ∵ =-20(m2-5m)+6000 =-20(m-2.5)2+6125 ∴抛物线y2=-20m2+100m+6000顶点坐标为 ，且开口 。 ∴当m=_______时，y1取得最大值 ∵m为整数， 所以当m=_______时，y1取得最大值， 所以商品的单价下降 元时，利润最大，为 元. (2.5,6125) 6120 2.5 2或3 向下 2或3 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整单价（单价为整数）： 每涨价1元，则每星期要少卖出10件； 每降价1元，则每星期可多卖出20件. 活动1 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 新知探究 探究点1 调价情境下的利润变化规律 （7）根据以上讨论及现在的销售状况，你知道如何定价才能使利润最大了吗？ 议一议 ∵ 6250 ＞6125 ∴在涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元. 在涨价的情况下， y=－10(x-5)2+6250 ∴商品的单价上涨5元时， 利润最大，为6250元. 此时定价为：60+5=65（元） 在降价的情况下，y=-20(m-2.5)2+6125 （ 0≤m≤20且m为整数） ∴商品的单价降价2元或3元时， 利润最大，为6125元. 此时定价为：60-2=58（元）或 60-3=57（元） 新知探究 探究点2 归纳通用解题步骤 议一议 1、求解最大利润问题的要点 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； 涨价:要保证销售量≥0； 降件:要保证单件利润≥0 （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式法求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 新知探究 探究点2 归纳通用解题步骤 归一归 ① 辨情境：区分涨价/降价，梳理单件利润、销量变化； ② 建模型：根据总利润公式列二次函数解析式； ③ 定范围：根据销量、价格非负确定自变量范围； ④ 求最值：利用顶点公式求最值，验证顶点是否在取值范围. 2、在实际问题中，求商品的最大利润的一般步骤： 典例分析 例1.小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于进价，而每件的利润不高于成本价的． (1)设小明每月获得利润为（元），求每月获得利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得1500元的利润？ (3)当销售单价定为多少元时，每月可获行最大利润？ 解：（1）由题意，得： 化简得： ， ， ． （2）解：令， 即， 解得：． ， ， 答：当销售单价定为20元时， 每月可获得利润1500元； 典例分析 例1.小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于进价，而每件的利润不高于成本价的． (1)设小明每月获得利润为（元），求每月获得利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得1500元的利润？ (3)当销售单价定为多少元时，每月可获行最大利润？ （3）解：由（1）得： ，． 对称轴:直线． ， 抛物线开口向下． 在对称轴左侧，w随x的增大而增大 ， 当时，最大， 答：当销售单价定为24元时， 每月可获得最大利润． 典例分析 例2.某风景区统计了近三年国庆节的游客人数．据统计，2023年国庆节游客人数约为3万，2025年国庆节游客人数约为4.32万． (1)求2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率． (2)已知该风景区有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 元/人 元/人 元/人 据预测，2026年国庆节选择甲、乙、丙三种购票方式的游客各有2万人，当甲、乙两种门票的价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有名原计划购买甲种门票的游客和名原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票，当丙种门票的价格下降多少元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ （1）解：设2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为，由题意，得 ， 解这个方程，得 （舍去） 答：2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率20%． 典例分析 例2.某风景区统计了近三年国庆节的游客人数．据统计，2023年国庆节游客人数约为3万，2025年国庆节游客人数约为4.32万． (1)求2023年到2025年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率． (2)已知该风景区有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 元/人 元/人 元/人 据预测，2026年国庆节选择甲、乙、丙三种购票方式的游客各有2万人，当甲、乙两种门票的价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有名原计划购买甲种门票的游客和名原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票，当丙种门票的价格下降多少元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ （2）设丙种门票价格下降元，该风景区国庆节的门票总收入为万元， 由题意，得 化简，得 ， ， ∴当时， 取最大值，为万元． 答：当丙种门票价格下降元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值，最大值是万元． 新知巩固 1.旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2100元，旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元.当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？ 【教材P53 】 解：设旅行团的人数为x人，营业额为y元. 则每人缴费2100－30(x－20)元， y=[2100－30(x－20)]x = －30x2+2700x = －30(x-45)2+60750. ∴ 当x=45时，y最大值=60750. 答:旅行团的人数为45人时,旅行社可获得最大营业额60750元. 新知巩固 2.生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元，预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一.当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少? 【选自教材P53 】 解：设产量为x件，生产这种商品的利润为y元.由题意得： y=(50－)x－(500+10x) = －2+40x－500 = －+2700. ∴当x=160时，y最大=2700. 答：当产量为160件时，生产这种商品的利润最大， 最大利润是2700元. 拓展提升 1．今年中秋节前夕，江津区新世纪超市从某厂家分两次购进蛋黄月饼、甜蜜月饼，两次进货时，两种月饼的进价不变．第一次购进蛋黄月饼60袋和甜蜜月饼袋，总费用为元；第二次购进蛋黄月饼袋和甜安月饼袋，总费用为元． (1)求蛋黄月饼、甜蜜月饼每袋的进价各是多少元？ (2)当蛋黄月饼销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，新世纪超市决定对蛋黄月饼进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄月饼每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润为元． (3)在（2）的条件下，若蛋黄月饼每天销售价为多少元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润最大．最大利润是多少？ （1）解：设蛋黄月饼的进价是元袋，甜蜜月饼的进价是元袋， 根据题意得：，解得：． 答：蛋黄月饼的进价是50元袋，甜蜜月饼的进价是20元袋； 拓展提升 1．今年中秋节前夕，江津区新世纪超市从某厂家分两次购进蛋黄月饼、甜蜜月饼，两次进货时，两种月饼的进价不变．第一次购进蛋黄月饼60袋和甜蜜月饼袋，总费用为元；第二次购进蛋黄月饼袋和甜安月饼袋，总费用为元． (1)求蛋黄月饼、甜蜜月饼每袋的进价各是多少元？ (2)当蛋黄月饼销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，新世纪超市决定对蛋黄月饼进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄月饼每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润为元． (3)在（2）的条件下，若蛋黄月饼每天销售价为多少元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润最大．最大利润是多少？ （2）设蛋黄月饼的销售价格为元袋，则每袋的销售利润为元，每天可售出袋， 根据题意得：， 解得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当蛋黄月饼每袋的销售价为52元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润为220元． 拓展提升 1．今年中秋节前夕，江津区新世纪超市从某厂家分两次购进蛋黄月饼、甜蜜月饼，两次进货时，两种月饼的进价不变．第一次购进蛋黄月饼60袋和甜蜜月饼袋，总费用为元；第二次购进蛋黄月饼袋和甜安月饼袋，总费用为元． (1)求蛋黄月饼、甜蜜月饼每袋的进价各是多少元？ (2)当蛋黄月饼销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，新世纪超市决定对蛋黄月饼进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄月饼每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润为元． (3)在（2）的条件下，若蛋黄月饼每天销售价为多少元时，每天售出蛋黄月饼所获得的利润最大．最大利润是多少？ （3）设蛋黄月饼每袋的降价为元时，每天售出所获得的利润最大， 利润为元，根据题意得: ， ， 当销售价降低8元时，每天售出所获得的利润最大，最大利润是480元， 即售价62元时，每天售出所获得的利润最大，最大利润是480元． 真题感知 1．（2025•内江）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知 购进A款200个，B款300个，需花费14000元； 购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 解：（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，由题意得 ， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元， B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； 真题感知 1．（2025•内江）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知 购进A款200个，B款300个，需花费14000元； 购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 （400﹣m）个，由题意得， 40（400﹣m）+20m≤12000， 解得m≥200， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）由题意得，W＝（a﹣40）[200﹣5（a﹣60）] ＝（a﹣40）（200﹣5a+300） ＝（a﹣40）（500﹣5a） ＝500a﹣20000﹣5a2+200a ＝﹣5（a﹣70）2+4500， ∵﹣5＜0，60≤a≤100， ∴当a﹣70＝0，即a＝70时， W最大，最大值为4500． 真题感知 2．（2025•南充）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用（3200﹣50m）元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 解：（1）设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为（x﹣15）人， 根据题意得： ，解得：x＝60， 经检验， x＝60是所列方程的解，且符合题意， ∴x﹣15＝60﹣15＝45（人）． 答：A型客车每辆载客量为60人， B型客车每辆载客量为45人； 真题感知 2．（2025•南充）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用（3200﹣50m）元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ （2）设租用A型客车m辆，则租用B型客车（10﹣m）辆，根据题意得： 60m+45（10﹣m）≥530， 解得：m， 设本次研学活动学校的租车总费用为w元， 则w＝（3200﹣50m）m+3000×0.8（10﹣m） ＝﹣50+800m+24000， ∵抛物线的对称轴为直线:m8， ∴m≤8时，w随着m的增大而增大， ∵m取正整数，且， ∴当m＝6时，w取得最小值，最小值为﹣50×62+800×6+24000＝27000（元）． 答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元． 真题感知 3．（2025.四川）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是　 　 件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 解： （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是（60+10x）件， （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得： （40﹣30﹣x）（60+10x）＝630， 整理可得： ﹣4x+3＝0， 解得：＝1， ＝3， 由于要让利于游客， ∴ x＝1 不合题意，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元； （60+10x） 真题感知 3．（2025.四川）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是　 　 件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则W＝（40﹣30﹣x）（60+10x） ＝（10﹣x）（60+10x） ＝﹣10 +40x+600 ＝﹣10 +640， ∵﹣10＜0， ∴当x＝2时， W取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大， 最大利润是640元． （60+10x） 课堂小结 （1）核心公式： 总利润=（售价−进价）×销售量； （2）核心模型： 涨跌价销售问题均可建立开口向下的二次函数模型，存在最大值； （3）解题规范： →建模 →定自变量实际范围 → 求顶点最值 → 验证区间有效性 → 得出最优定价与最大利润. 知识与技能 课堂小结 （1）数学建模思想： 将复杂销售实际问题抽象为二次函数最值模型； （2）分类讨论思想： 区分涨价、降价两种情境分类求解； （3）数形结合思想： 利用抛物线开口、顶点、区间范围判定实际最值； （4）优化决策思想： 通过数学计算对比方案，选择最优实际策略. 思想与方法 课堂小结 （1）数量关系易错： 涨价单件利润增加、销量减少；降价单件利润减少、销量增加，切勿写反； （2）范围易错： 自变量必须满足价格、销量、利润非负，不能取全体实数； （3）最值易错： 顶点横坐标必须验证是否在取值区间内，不在区间内则最值取端点值； （4）结论易错： 答题必须写明对应定价+最大利润，不可只算利润不写定价等. 易错点提醒 课后练习 3.点燃某种烟花后，其升空高度h（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数可近似表示为h=39t－5t²（ t≥0）.若这种烟花在点燃升空后到最高处引爆，烟花点燃多久后引爆？烟花升空的最大高度是多少? 解：h =39t－5t² =－5(t－3.9)2+76.05 答：烟花点燃3.9s后引爆，此时烟花升空的最大高度是76.05m. 【选教材P56 】 习题 26.4 ∵a=-5＜0， ∴抛物线开口向下，顶点坐标（3.9,76.05）∴当x=17时，y取最大值76.05 课后练习 7.某宾馆有50个房间供游客居住.当每间房定价为180元/天时，房间会全部住满；当每间房定价每增加10元/天时，就会增加一个空闲房间.如果游客居住房间，宾馆需对每间房支出20元/天的各种费用. 房价定为多少时，宾馆利润最大？ 解：设每间房涨价10x元/天，利润为y元， 由题意得：y=(50-x)(180+10x-20) =-10x2+340x+8000 =-10(x-17)2+10890 (0＜x＜50). ∵a=-10＜0， ∴当x=17时，y取最大值10890 此时每间房定价为：180+10x=350（元）. 答：当房价定为350元/天时，宾馆利润最大，为10890元. 【选教材P56 】 习题 26.4 课后练习 8.某商店销售一种成本为40元/kg的水产品，若按50元/kg销售，一个月可售出500 kg.当销售价格x（ x为整数，单位：元/kg）每上涨1元/kg时，月销售量就减少10 kg. (1)写出月销售利润y（单位：元）与销售价格x之间的函数解析式. (2)当销售价格为55元/kg时，计算出月销售量和销售利润. (3)商店计划使月销售利润为8000元，销售价格应定为多少？ (4)当销售价格定为多少时会获得最大利润?求出最大利润. 【选教材P56 】 解：(1)销量： 500－10(x－50)=1000 － 10x. y=(1000 － 10x)(x － 40) = －10x2+1400x － 40000. 习题 26.4 (2)当x=55时， 1000－10×55=450(kg)， y= －10×552+1400×55 － 40000 =6750(元). 课后练习 8.某商店销售一种成本为40元/kg的水产品，若按50元/kg销售，一个月可售出500 kg.当销售价格x（ x为整数，单位：元/kg）每上涨1元/kg时，月销售量就减少10 kg. (1)写出月销售利润y（单位：元）与销售价格x之间的函数解析式. (2)当销售价格为55元/kg时，计算出月销售量和销售利润. (3)商店计划使月销售利润为8000元，销售价格应定为多少？ (4)当销售价格定为多少时会获得最大利润?求出最大利润. 【选教材P56 】 (3)当y=8000时， 则： －10x2+1400x － 40000=8000. 解方程，得x1=60, x2=80. ∴销售价格定为60元/kg或80元/kg. 习题 26.4 (4) y= －10x2+1400x － 40000 =－10(x －70)2+9000. 当x=70时，y最大=9000. ∴当销售价格定为70元/kg时， 可获得最大利润9000元. 谢谢聆听 $