25.1一元二次方程的概念（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念，通过人体雕像比例、矩形铁皮制作方盒等实际问题导入，引导学生从具体情境中抽象出方程特征，衔接一元一次方程知识，构建从实际到概念的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，通过多样化题型（填空、选择、应用等）强化概念辨析与运算能力，结合例题与举一反三培养推理意识。课堂小结系统梳理定义、一般形式及根的判定，助力学生形成知识结构，教师可直接用于课堂巩固与检测，提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第25章 一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 2026年8月2日 人教版九年级上册25.1一元二次方程的概念专项练习题（全文1010字） 一、基础填空题（每空 3 分，共 30 分） 1. 只含有\\\\个未知数，并且未知数的最高次数是\\\\的\\__方程，叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式为\\\\\\\\\\\\\\\\（$$a$$$$0$$），其中二次项是，二次项系数为\\\\；一次项是\\\\，一次项系数为\\\\；常数项是\\\\。 3. 若方程$$(m-2)x^2+3x-1=0$$是一元二次方程，则$$m$$的取值范围是\\\\\\\\。 4. 把方程$$2x(x-3)=5$$化成一般形式是\\\\\\\\\\\\\\\\，二次项系数、一次项系数、常数项依次为\\\\\\\\。 5. 已知$$x=2$$是方程$$x^2-ax+2=0$$的根，则$$a=$$\\\\\\\\。 6. 方程$$x^2=9$$\\\\\\\\（填 “是” 或 “不是”）一元二次方程。 7. 若关于$$x$$的方程$$x^{|k|+1}-2x+3=0$$是一元二次方程，则$$k=$$\\\\\\\\。 8. 将$$(x+1)^2=6$$展开整理为一般形式：\\\\\\\\\\\\\\\\。 9. 一元一次方程与一元二次方程最核心的区别是\\\\\\\\\\\\\\\\。 10. 方程$$5x^2=0$$的二次项系数是\\\\，常数项是\\\\。 二、选择题（每题 4 分，共 28 分） 1. 下列各式中，属于一元二次方程的是（） A.$$x+2y=1$$ B.$$x^2-3x+2=0$$ C.$$\dfrac{1}{x^2}+x=5$$ D.$$x^3+x^2=4$$ 2. 将$$3x^2-5=4x$$化为一般形式后，各项系数之和为（） A.$$-6$$ B.$$2$$ C.$$6$$ D.$$12$$ 3. 若方程$$(a+3)x^2-2x+1=0$$不是一元二次方程，则$$a$$的值为（） A.$$3$$ B.$$-3$$ C.$$0$$ D. 任意实数 4. 已知$$x=-1$$是方程$$x^2+mx-3=0$$的解，则$$m$$的值是（） A.$$2$$ B.$$-2$$ C.$$4$$ D.$$-4$$ 5. 下列方程常数项为 0 的是（） A.$$x^2-2x=4$$ B.$$3x^2-5x=0$$ C.$$2x^2+1=0$$ D.$$x^2+x-1=0$$ 6. 把$$x(x+5)=3x-1$$整理成一般形式，一次项系数是（） A.$$2$$ B.$$-2$$ C.$$1$$ D.$$-1$$ 7. 关于$$x$$的方程$$mx^2-3x=x^2+2$$是一元二次方程，则$$m$$满足（） A.$$m=1$$ B.$$m≠1$$ C.$$m>0$$ D.$$m$$为任意数 三、判断题（对的打√，错的打 ×，每题 2 分，共 12 分） 1. $$2x^2+3x-1$$是一元二次方程。（） 2. 一元二次方程二次项系数一定不能为 0。（） 3. $$x^2+\sqrt{x}=2$$是一元二次方程。（） 4. $$5x^2=7x$$没有常数项。（） 5. 若未知数最高次数是 2，方程就是一元二次方程。（） 6. $$3(x-1)^2=2(x+2)$$化简后是一元二次方程。（） 四、化简题（每题 5 分，共 20 分） 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项： 1.$$4x^2=7x$$ 2.$$(x-2)(x+3)=8$$ 3.$$3(x+1)^2=2x$$ 4.$$2x(5-x)=x+4$$ 五、解答应用题（10 分） 用长为 20cm 的铁丝围成一个矩形，矩形面积为 24cm²，设矩形的长为$$x$$cm，请列出关于$$x$$的一元二次方程，并整理成一般形式，标注各项系数。 参考答案 一、填空题 1.1；2；整式 2.$$ax^2+bx+c=0$$；$$≠$$；$$ax^2$$；$$a$$；$$bx$$；$$b$$；$$c$$ 3.$$m≠2$$ 4.$$2x^2-6x-5=0$$；2、-6、-5 5.3 6. 是 7.$$±1$$ 8.$$x^2+2x-5=0$$ 9. 未知数最高次数分别为 1 和 2 10.5，0 二、选择题 1.B 2.A 3.B 4.A 5.B 6.A 7.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.× 6.√ 四、化简题 1. 一般形式：$$4x^2-7x=0$$，系数：4，-7，0 2.$$x^2+x-14=0$$，系数：1，1，-14 3.$$3x^2+4x+3=0$$，系数：3，4，3 4.$$-2x^2+9x-4=0$$，系数：-2，9，-4 五、应用题 宽为$$(10-x)$$cm，$$x(10-x)=24$$，一般形式：$$x^2-10x+24=0$$；二次项系数 1，一次项系数 - 10，常数项 24 （字数统计：正文含题目、答案总计 1010 字，贴合九年级课堂练习难度，紧扣一元二次方程定义、一般形式、方程根的判定三大核心知识点，题型循序渐进，兼顾基础识记、辨析判断与简单实际应用，适合课后随堂巩固、家庭作业自测使用，排版整洁可直接打印做题。） 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 解：雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足如下等量关系： AC∶BC=BC∶5， 即BC2=5AC. 设雕像腰部以下的身长BC为x m， 根据上述等量关系，就可以列出方程 x2=5(5-x)， 整理得 x2+5x-25=0. 解这个方程就可以得出雕像腰部以下的身长. A C B 5-x x 2 问题1 如图1，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm. 在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）.如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600cm²，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 图1 图2 设各角切去的正方形铁皮的边长为x cm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm. 根据方盒的底面积为3 600cm²，可列得方程 (100-2x)(50-2x)=3 600. 整理并化简，得 x2-75x+350=0. 由方程可以得出各角所切正方形铁皮的边长. 图1 x (100-2x)cm (50-2x)cm 思考： 方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 未知数的个数是1， 最高次数是2. 图2 1. 返回 下列方程中，是一元二次方程的是(　　) A．x2－2＝0 B．x＋2y＝3 C．x－＝1 D．x2＋x＝y＋1 A 举一反三 5 返回 2. 若方程xm－1＋2x－3＝0是一元二次方程，则m的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 D 举一反三 返回 3. 若关于x的方程(a－1)x2＋4x－3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是________． a≠1 举一反三 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场， 则此次邀请赛共需进行x(x-1)场， 所以可列得方程x(x-1)=28. 整理并化简，得x2-x-56=0. 由方程可以得出应邀请的球队数. 思考：为什么需进行x(x-1)场？ 邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共(x-1)场. 8 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场， 则此次邀请赛共需进行x(x-1)场， 所以可列得方程x(x-1)=28. 整理并化简，得x2-x-56=0. 由方程可以得出应邀请的球队数. 思考：方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 未知数的个数是1，最高次数是2. 9 思考：以下方程有什么共同点？ x2+5x-25=0，x2-75x+350=0，x2-x-56=0. (1)方程中含有未知数的式子都是整式； (2)方程中只含有一个未知数； (3)方程中未知数的最高次数是2. 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 识别关键： 原方程若有分母，则分母中不含未知数； 若有根号，则根号中不含未知数. 返回 4. 一元二次方程3x2－4x＋2＝0的二次项系数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．－4 B 举一反三 将一元二次方程3x2－2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为(　　) A．3，－2 B．3，4 C．3，－4 D．3x2，－4x 返回 5. C 举一反三 例1 下列方程中，一定是一元二次方程的有（ ） ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥  (m是常数)； ⑦ ； ⑧ . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 符合一元二次方程的概念； 整理，得x2+2x−1=0，符合一元二次方程的概念； 含有两个未知数； 含有未知数的式子不都是整式； 未知数的最高次数是 3； 当 m=0 时，未知数的最高次数是 1； 整理，得x=0； 含有未知数的式子不都是整式； B 判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键 观察含有未知数的式子是否为整式 不是一元二次方程 使方程的右边为0，左边合并同类项 观察是否满足“一元”和“二次” 不是一元二次方程 是一元二次方程 是 是 否 否 一元二次方程的一般形式是 ax²+bx+c=0 (a≠0)， 其中 ax²是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项. 如果a=0，那么方程ax2+bx+c=0. 即为bx+c=0，不是一元二次方程， 所以规定a≠0. 思考：为什么规定a≠0？ 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)9x2＝16; (2)x2－2＝5x； 返回 6. 解：方程化为一般形式为9x2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16. 解：方程化为一般形式为x2－5x－2＝0，二次项系数是1，一次项系数是－5，常数项是－2. 举一反三 返回 (3)2x(3x＋1)＝17； (4)(3x－5)(x＋1)＝7x－1. 解：方程化为一般形式为6x2＋2x－17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17. 解：方程化为一般形式为3x2－9x－4＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－4. 举一反三 将方程 3x(x-1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 它的二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 例2 原方程 一般形式 确定各项及各项系数(不要漏掉符号) 去分母、去括号、 移项、合并同类项 通常将二次项系数化为正数 确定一元二次方程各项及各项系数的一般步骤 特别地，当没有一次项或常数项时，其对应项的系数为0 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 下列哪些数是一元二次方程  的解？ -1，0，1，3. 例3 解：当x=-1时，左边=(-1)2-4×(-1)+3=8， ∵左边≠右边， ∴-1不是方程x2-4x+3=0的解； 当x=0时，左边=0-0+3=3， ∵左边≠右边， ∴0不是方程x2-4x+3=0的解； 下列哪些数是一元二次方程  的解？ -1，0，1，3. 例3 解：当x=1时，左边=12-4×1+3=0， ∵左边=右边， ∴1是方程x2-4x+3=0的解； 当x=3时，左边=32-4×3+3=0， ∵左边=右边， ∴3是方程x2-4x+3=0的解. 综上可知，1和3是一元二次方程x2-4x+3=0的解. 返回 7. 下列各数中，是一元二次方程x2＋3x＋2＝0的根的是(　　) A．－2 B．0 C．2 　D．3 A 举一反三 返回 8. 已知－1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则下列等式正确的是(　　) A．a＋b＋c＝0 B．－a＋b＋c＝0 C．a－b＋c＝0 D．－a－b＋c＝0 C 举一反三 判断一个数是不是一元二次方程的解的方法 (代入检验法） 数 代入方程 左边=右边 左边≠右边 是方程的解 不是方程的解 返回 9. 【深圳中考】已知一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，则m＝________． 2 举一反三 27 返回 10. 【新考法 整体思想】已知a是方程2x2－x－1＝0的一个根，则2a2－a＝________． 1 举一反三 28 返回 11. [福建中考]为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6 m2的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x m，根据题意可列方程(　　) A．5x2＝6 B．5(1＋x2)＝6 C．x(5－x)＝6 D．5(1＋x)2＝6 C 举一反三 29 返回 12. 【情境题 体育赛事】[教材P2问题2变式]我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段包括团体赛和单打预赛，其中团体赛比赛赛制为单循环赛(每两队之间都赛一场)．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，则可列方程为____________． 举一反三 30 13. 在下列方程中，一元二次方程有(　　) ①3x2＋7＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③(x＋2)(x－5)＝x2 ; ④3x2－ ＝0. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A 返回 举一反三 14. 【易错题】若关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为(　　) A．0 B．±3 C．3 D．－3 D 返回 举一反三 15. 【新考向 数学文化】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多少？设甲、乙二人从出发到相遇的时间为x，根据题意，可列方程为(　　) A．(3x)2＋(7x)2＝102 B．(3x)2＋102＝(7x)2 C．(3x)2＋102＝(7x－10)2 D．(3x＋10)2＋102＝(7x)2 C 返回 举一反三 16. [南充中考]已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为________． 返回 －4 举一反三 17. [廊坊期中]定义：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若满足a－b＋c＝0，则称这个方程为“和谐”方程；若满足a＋b＋c＝0，则称这个方程为“友善”方程．已知关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)既是“和谐”方程，又是“友善”方程，则方程的两根的数量关系是______________． 返回 互为相反数 举一反三 实际问题 解(根) 一元二次方程 定义 表示 引出 方程中只含有一个未知数，且含有未知数 的式子都是整式，未知数的最高次数是2 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0) 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 课堂小结 谢谢观看 THANKS x(x－1)＝28 $