3.1.2.2函数的表示 课件--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的表示法（解析法、列表法、图象法）、分段函数及抽象函数与复合函数，通过购物总价与气温变化的生活场景导入，引导学生从具体问题抽象出函数表示的需求，搭建从现实情境到数学概念的学习支架。 其亮点在于通过三种表示法对比表精准呈现特点与适用场景，培养数学语言表达能力，抽象函数用赋值法推导规律发展数学思维，提分训练结合实际情境题让学生用数学眼光观察世界。学生能提升知识应用能力，教师可高效开展教学。

3.1 函数的概念及其表示 第三章 函数的概念与性质 第二课时：函数的表示 亮亮图文旗舰店 https://liangliangtuwen.tmall.com 目录 contents 1 函数的表示法 2 抽象函数与复合函数 3 提分训练 课程导入 01.购物场景：表达笔记本单价5元，数量m，总价y。用式子直接关联：y=5m，精准刻画数量与总价的线性依赖关系。 02.气温场景：以时间为横轴、气温为纵轴绘制24小时变化图，用曲线的起伏形态，动态展示温度随时间的连续变化过程。 函数应该怎么表示？ 新知探究 1. 函数的的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法： (1)解析法： 定义本质：用数学解析式精准刻画两个变量间的对应法则 标准范式：y=f(x)——自变量x到因变量y的确定性映射 核心特征：每一个x值，通过解析式都能找到唯一确定的y值与之对应 优势劣势分析： 优势：数值计算绝对精准，便于推导单调性、奇偶性等深层性质；劣势：无法直观呈现变化趋势，且并非所有函数都能写出解析式，需结合图像法互补理解。 新知探究 (2)列表法： 定义：通过列出表格来清晰呈现自变量与函数值之间的对应关系，是函数表示的基础方法之一。 优点：直观易懂，可直接查阅对应数值，无需繁琐计算；对离散型数据的展示尤为便捷，对比清晰。 缺点：仅能列出有限个点，无法全面反映函数的整体变化规律；难以通过表格直接推导函数的数学性质与趋势。 核心点睛 列表法是理解函数对应关系的“直观窗口”，适合展示具体、有限的函数值；在实际应用中，需结合解析法（公式）与图像法，才能全方位剖析函数的特征与规律。 新知探究 (3)图象法： 定义：利用坐标系中的曲线或直线，直观刻画两个变量之间的对应关系，是函数的三种表示方法之一。 优势：直观形象，易于观察，能一眼看清变化趋势、对称性与最值特征。 局限：精度有限 ，绘制复杂，数值读取多为近似值，复杂函数作图难度较高。 核心点睛 图像法是“数形结合”思想的直观体现，虽不具备解析法的精确计算能力，却是分析函数性质、解决实际问题的重要工具，常与解析式法、列表法结合使用。 新知探究 核心结论 1. 互补性：三种方法无绝对优劣，需根据问题灵活选择，互为补充。 2. 数形结合：解析法重“数”的精确，图像法重“形”的直观，两者结合是解决函数问题的核心思想。 表示法 特点解析（优/缺） 核心适用场景 解析法 优：精准严密，便于公式推导与运算； 缺：抽象不直观，并非所有函数都有解析式。 函数性质理论研究、复杂数值计算与证明 列表法 优：数据直观，查询特定值极其便捷； 缺：数据有限，难以反映整体变化规律。 离散数据统计展示、工程参数查表与核对 图像法 优：直观展示变化趋势与形态特征； 缺：难以获取精确值，复杂图像绘制难。 观察单调性/最值、函数定性分析与预测 三种表示法对比总结： 小试牛刀 例1：甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲比乙先到达终点 D 小试牛刀 【分析】根据图象法表示函数，观察甲，乙的出发时间相同；路程S相同；到达时间不同，速度不同来判断即可． 【解析】 解：从图中直线的看出：K甲＞K乙；S甲＝S乙； 甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲先与乙到达． 故选：D． 目录 contents 1 函数的表示法 2 抽象函数与复合函数 3 提分训练 新知探究 2.分段函数： 定义：在函数的定义域内，若自变量x属于不同的取值范围时，对应着不同的对应法则，这样的函数就称为分段函数。 本质：它是用多个解析式“分段表达”的一个函数，而非几个独立函数的简单拼凑。 💡 核心点拨 判断分段函数的依据是“定义域的分段划分”与“对应法则的差异”，但始终要牢记：无论解析式分几段，它都是一个整体函数，定义域是各段区间的并集，值域是各段函数值的并集。 新知探究 分段函数图像特点：分段函数的图像由若干段曲线或直线拼接而成，定义域被划分成不同的区间，每个区间对应一个独立的函数解析式，本质上它是一个整体函数，而非多个函数的组合。 图像特征：各段图像仅在对应定义域区间内有效，区间的端点是连接各段图像的关键节点，决定了图像的连续性与形态 💡 画图核心要点 作图时需重点辨析定义域端点：包含该端点（等号成立）时画实心点（●），不包含该端点（等号不成立）时画空心点（○），这是确保分段函数图像绘制准确的核心细节。 新知探究 3.抽象函数： 抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数；它是一种“模型化”的函数，脱离了具体的表达式束缚，仅通过函数的内在规律（如运算律、单调性、奇偶性）来描述，是对函数本质属性的高度抽象。 💡 核心方法 研究抽象函数的关键在于“赋值法”：通过赋予变量特殊值（如令x=0或y=-x）推导规律，同时可借助熟悉的具体函数作为模型来辅助理解。 新知探究 赋值法：通过给抽象函数的自变量赋予特殊值，将抽象的函数关系转化为具体的等式，直接求出特定的函数值，是破解抽象函数问题的关键方法。 01.观察法则：深入分析题目给出的抽象函数运算法则，明确已知的函数关系、定义域约束及隐含条件，找准赋值的切入点。 解题步骤： 04.综合应用：结合推导出的函数性质，解决函数求值、不等式证明、参数求解等具体问题，形成完整的解题闭环。 03.推导性质：联立赋值后得到的等式，通过代数变形与推导，挖掘函数的奇偶性、周期性等核心性质，或直接计算目标函数值。 02.巧妙赋值：根据法则特征，尝试令自变量取特殊值，代入法则构建关于函数值的方程或等式。 新知探究 3.复合函数： 复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数。 本质：复合函数是“函数套函数”，计算f(g(x))需遵循“先内后外”的运算逻辑。 示例：已知 f(x)=x²，g(x)=x+1，求 f(g(x))。 步骤：① 先算内层 g(x) = x + 1；② 再代入外层 f(u)，得 f(g(x)) = (x + 1)²。 小试牛刀 【解析】 解：令x=y=0,可得f(0)-2f(0)=0,则f(0)=0, 令y=0,可得f(x)-2f(0)=x2+3x, 故f(x)=x2+3x. 例2、已知对任意的x,y都有f(x+y)-2f(y)=x2+2xy-y2+3x-3y,求f(x). 目录 contents 1 函数的表示法 2 抽象函数与复合函数 3 提分训练 提分训练 题型1 函数的表示法 1、小明同学乘高铁去旅游.早上他乘坐出租车从家里出发,离开家不久,发现身份证忘在家里,于是返回家中取身份证,然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站,令x(单位:分钟)表示离开家的时间,y(单位:千米)表示离开家的距离,其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计,下列图象中与上述事件吻合最好的是(　　) C 提分训练 题型1 函数的表示法 【解析】 解：因为小明中途回家取身份证, 因此图象与x轴有交点(除原点外),排除A,B; 第二次坐出租车去高铁站的速度比第一次快,因此直线更陡, 结合选项知选C. 提分训练 题型1 函数的表示法 2、某同学到长城旅游，他租自行车由宾馆骑行前往长城，前进了akm，觉得有点累，休息后沿原路返回bkm（b＜a），想起“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离s与时间t的图象大致为（　　） A． B． C． D． C 提分训练 题型1 函数的表示法 【解析】 解：第一段时间，该生骑车为直线方程形式，单调递增．第二段实际休息，此时距离起点的距离不变，此时休息期间为常数，然后原路返回，此时距离减小，为递减函数，然后调转车头继续前进，此时距离逐步增加，所以图象C合适． 故选：C． 提分训练 题型2 复合函数 3、已知函数y=f(x),y=g(x)的对应关系如下表: 则f(g(1))的值为　　　　;满足f(g(x))>g(f(x))的x的值为　　　　.  2 x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 1 提分训练 题型2 复合函数 【解析】 解：由题表可得g(1)=3,则f(g(1))=f(3)=1. 当x=1时, f(g(1))=1,g(f(1))=g(1)=3,不满足f(g(x))>g(f(x)); 当x=2时, f(g(2))=f(2)=3,g(f(2))=g(3)=1,满足f(g(x))>g(f(x)); 当x=3时, f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,不满足f(g(x))>g(f(x)). 故满足f(g(x))>g(f(x))的x的值为2. 提分训练 题型2 复合函数 4、给出函数f（x），g（x）如表，则f[g（x）]的值域为（　　） A．{4，2} B．{1，3} C．{1，2，3，4} D．以上情况都有可能 A x 1 2 3 4 f（x） 4 3 2 1 x 1 2 3 4 g（x） 1 1 3 3 提分训练 题型2 复合函数 【解析】 解：∵当x＝1或x＝2时，g（1）＝g（2）＝1， ∴f（g（1））＝f（g（2））＝f（1）＝4； 当x＝3或x＝4时，g（3）＝g（4）＝3， ∴f（g（3））＝f（g（4））＝f（3）＝2． 故f[g（x）]的值域为{2，4}． 故选：A． 追求卓越 $