25.1一元二次方程的概念 （课件） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根，通过“温故知新”回顾方程、一元一次方程等旧知，结合矩形铁皮制作方盒等实际问题引出新方程，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以实际问题情境培养数学眼光，通过对比辨析发展数学思维，借助例题练习强化数学语言。如问题情境引导学生发现数量关系，对比表格明晰方程异同，典例精析巩固概念判断，助力学生增强应用意识，为教师提供结构化教学资源。

第二十五章 一元二次方程的概念 25.1 一元二次方程的概念 人教版（2014）九年级（上） 预习检测 1. 下列哪些是一元二次方程？ 是 不是 是 不是 不是 是 3x + 2 = 5x - 2； x2 = 0； (x + 3)(2x - 4) = x2； 3y2 = (3y + 1)(y - 2)； x2 = x3 + x2 - 1； 3x2 = 5x - 1. 2. 填表： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 没有未知数 1.下列式子哪些是方程？ 3+5=8 5x+3 5x+3=23 2x+3y=8 x-2＜6 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 温故知新 2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 4.使方程左右两边相等的�值叫做这个方程的解. 想一想： 什么叫一元二次方程呢？ 问题1：如图1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 图1 图2 知识讲授 解：设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为（100 − 2x）cm，宽为（50 − 2x）cm.根据方盒的底面积为 3600 cm2，可列得方程 图1 图2 3600 cm2 100 cm 50 cm (100−2x)(50−2x) = 3600. 整理并化简，得 x2−75x+350 = 0. ① 知识讲授 问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛. 组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请 x 支球队参赛，根据题意可列得方程 整理并化简，得 x2−x−56 = 0. ② 知识讲授 问题3：在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ A B C 解：设雕像腰部以下的身长 BC 为 x m，根据题意可列得方程 x2 = 5(5−x). 整理并化简，得 x2+5x−25 = 0. ③ 知识讲授 方程①②③都不是一元一次方程.那么这几个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ x2−75x+350 = 0 ① x2−x−56 = 0 ② x2+5x−25 = 0 ③ 特点： 1.都是整式方程； 2.只含一个未知数； 3.未知数的最高次数是2. 知识讲授 思考 知识讲授 一元一次方程与一元二次方程的区别与联系 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 ax+b=0（a≠0） ax2+bx+c=0（a≠0） 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c = 0（a ≠ 0） ax2 a bx b c 知识讲授 二次项系数 二次项 ax² + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 一次项系数 常数项 一次项 重点讲解 一元二次方程 一般式 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 试一试 【点拨】① 项和系数都包括前面的符号； ②通常把二次项的系数化为正数。 典例精析 例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） C 三个判断条件： ①方程两边都是整式； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是 2. 总结 1.判断下列方程是否为一元二次方程： × × × × × × 练一练 试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的根? – 4， –3， –2， –1，0，1，2，3，4 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x2 – x – 6 14 6 0 – 4 – 6 – 6 – 4 0 6 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的解（根）. 探究2：一元二次方程的根 例4 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值. 解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得 32 + 3a + a = 0. 已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的方程，然后解这个方程，就能得到字母的值. 总结 例5 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成 一元二次方程的一般形式，并写出 它的二次项系数，一次项系数和常 解:去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方 程的一般形 3x2-8x-10=0. 数项 它的二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 式， 1.把下列方程化成一元二次方程的 数、一次项系数和常数项: (1)5x2-1=4x; ( 2)4x2=81; (3)4x(x+2)= 25 课后练习 一般形式，并写出它的二次项系 (4)(3x-2)(x+1)=5x-2. 2.根据下列问题，列出一元二 次方程，并将所列方程化成一元二 的一般式： （1） 4 个完全相同的正方形面积 （2） 一个矩形的长比宽多2，面积 （3）把长为1 m的木条分成两段， 之和是25，求正方形的边长； 是100，求矩形的长； 使较短一段的长与木条全 长的平方，求较短一段的长。 长的积， 等于较长一段 定义 一元二次方程 只含有__个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是__(二次) 的方程 一般形式 1 2 ax2 + bx + c = 0(a___0) ≠ 一元二次方程的根(解) 使方程左右两边____的未知数的值 相等 课堂小结 $