25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根，通过回顾方程与一元一次方程旧知，结合矩形铁皮制作方盒、排球邀请赛场次等实际问题引出新方程，对比共同点抽象定义，搭建“旧知-情境-概念”的学习支架。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，如矩形铁皮问题抽象数量关系；以辨析训练发展数学思维，如跟踪训练判断方程需先化简；以规范表达强化数学语言，如一般形式及系数确定步骤。小结结构化突出易错点，助力学生掌握本质，教师可高效教学。

新人教版·九年级数学上册 ax2 +bx+c=0 ax2 +bx+c=0 ax2 +bx+c=0 25.1一元二次方程的概念 第二十五章 一元二次方程 回顾旧知 1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数项的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 类比一元一次方程的定义，想一想：什么样的方程叫一元二次方程呢？ 探究新知 如图，有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm，在它的4个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突起部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm²，那么铁皮各角应该切去多大的正方形？ 3 600 100 50 x x (100-2x) x x (50-2x) ？ ？ ？ ？ 解：设切去的正方形的边长为x cm， 则盒底的长为(100−2x) cm， 宽为(50−2x) cm． 根据题意得: (100−2x)(50−2x)=3 600 化简，得 x2−75x+350=0 ① 问题1 探究新知 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式 (每两支球队之间比赛 1场)。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 4×7=28 设x个队 x-1 x（x-1） 有一半重复 解：设比赛组织者应邀请x个队参赛. 探究新知 x²-75x+350=0 x²-x-56=0 只含有一个未知数 未知数最高次为2次 等号两边都是整式 思考：以下方程有什么共同点？ 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 原方程若有分母，则分母中不含未知数； 若有根号，则根号中不含未知数. 一元二次方程的一般形式： 跟踪训练 1. 下列是一元二次方程的请打“√”，不是的打“×”． (1)4x2－3x－7＝0 ( ) (2)4x3－5x－1＝0 ( ) (3)0x2－5x－1＝0 ( ) (4)4x2－5y＝0 ( ) (5)5x－1＝0 ( ) (6)(x＋1)(x－1)＝0 ( ) (7)x(x－3)＝x2 ( ) √ × × × × √ × 探究新知 判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键 观察含有未知数的式子是否为整式 不是一元二次方程 使方程的右边为0，左边合并同类项 不是一元二次方程 是一元二次方程 观察是否满足“一元”和“二次” 是 是 否 否 探究新知 思考 一元二次方程的一般式有什么特点？ 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 注意：指出方程各项的系数时要带上前面的符号． 为什么要规定a≠0呢？b,c呢？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ， b ， c 可以为任意实数. 跟踪训练 一元二次方程 一般形式 a b c 4x2＝5－x 4＝x(x－5) (x＋2)(x－2)＝0 5. 填空： 4x2＋x－5＝0 4 1 －5 x2－5x－4＝0 1 －5 －4 x2－4＝0 1 0 －4 探究新知 原方程 一般形式 确定各项及各项系数(不要漏掉符号) 去分母、去括号、 移项、合并同类项 通常将二次项系数化为正数 确定一元二次方程各项及各项系数的一般步骤 特别地，当没有一次项或常数项时，其对应项的系数为0 典例精析 解：去括号，得 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 探究新知 判断一个数是不是一元二次方程的解的方法 (代入检验法） 数 代入方程 左边=右边 左边≠右边 是方程的解 不是方程的解 注：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 7. 一元二次方程x2－3x＝0的是 ( ) A. x＝3 B. x＝0 C. x1＝3，x2＝0 D. x1＝－3，x2＝0 C 课堂小结 同学们，今天你有哪些收获？ 1.化简为一般形式再找各项及系数. 2.各项及系数一定连同前面的符号. 3.判断是否为一元二次方程时一定要先化简. 巩固练习 例1 方程 是关于 的一元二次方程， 则m=________ 1.若（m＋1）x｜m｜＝6是关于x的一元一次方程，则m的值为______________． 1 巩固练习 例2 已知关于x的一元二次方程mx²+5x+m²-2m=0 有一个根为0， 则m=______ 解：∵0是方程mx²+5x+m²-2m=0的一个根 ∴m×0²+5×0+m²-2m=0 ∴m²-2m=0 ∵这个方程是关于x的一元二次方程 ∴m≠0 ∴m(m-2)=0 ∴m-2=0 ∴m=2 注意：一元二次方程的二次项系数不为0 两边同除以m 【点睛】求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．二次项系数不为零不容忽视! 巩固练习 变2 若m是方程2x²-3x-1=0 的一个根，则6m²-9m+2017=______ 解：∵m是方程2x²-3x-1=0 的一个根 ∴2m²-3m-1=0 ∴2m²-3m=1 ∴6m²-9m+2017 =3(2m²-3m)+2017 =3×1+2017 =2020 小结：本题使用到整体代入求值 $