3.2 从有理数到实数 同步课时练 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

**基本信息** 初中数学“从有理数到实数”新授课同步练，以“基础巩固-能力提升-拓展探究”三级分层设计，通过概念辨析、运算应用、综合探究的梯度路径，落实无理数概念、实数分类与大小比较等核心知识点，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题|无理数识别、实数分类、基本性质（相反数/绝对值）|选择/填空聚焦概念辨析（如无理数判断），夯实基础| |提高题|实数综合分类、大小比较方法应用、简单代数情境应用|解答题综合分类与比较（如数集划分），能力提升题结合相反数/倒数概念| |拓展题|整数部分与小数部分结合的代数式求值|结合范围估算的代数推理，培养创新意识|

3.2 从有理数到实数 同步课时练（满分100分） 学习目标 1. 了解无理数和实数的概念，能正确分类 2. 理解实数与数轴上的点一一对应的关系 3. 能比较实数的大小，掌握实数大小比较的方法 4. 感受实数的稠密性和丰富性 概念引入 学完平方根后，我们遇到了一个“奇怪”的数——√2。它等于1.4142135623730951…，是一个无限不循环小数，无法写成分数形式。 古希腊数学家希帕索斯最早发现有些数不能表示为两个整数之比，从而将数的世界从有理数扩展到了实数。 定义与性质阐述 无理数：无限不循环小数叫做无理数。比如√2、√3、√5、π等。 实数：有理数和无理数统称为实数。 实数的分类：按定义分——有理数（整数、分数）、无理数；按符号分——正实数、0、负实数。 实数与数轴：实数和数轴上的点一一对应（实数的稠密性）。 实数的大小比较：数轴上靠右的点所对应的数总比左边的大。 典型例题解析 例1. 判断下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ -√9，π，22/7，0.1010010001…，∛8，√(16/25) 解：√9=3，是有理数，-√9=-3有理数；π是无理数；22/7是有理数；0.1010010001…是无理数；∛8=2，有理数；√(16/25)=4/5，有理数。所以无理数有：π，0.1010010001…。 例2. 比较下列各组数的大小： (1) √3和1.73　(2) -π和-3.14 解：(1) ∵√3≈1.732>1.73，∴√3>1.73。(2) ∵π≈3.1416>3.14，∴-π<-3.14。 例3. 在数轴上表示√5的近似位置。【配图：数轴上√5的位置示意图】 解：∵2²=4，2.25²=5.0625>5，∴2<√5<2.25。用数轴上在点2和2.25之间标注√5大约在2.24处。 知识梳理 无理数：无限不循环小数是无理数，如π、√2、√3等 实数的分类：实数=有理数∪无理数，有理数=整数∪分数 实数与数轴：实数和数轴上的点一一对应 实数大小比较：数轴法、差值法、平方法（正数） 分层练习 一、选择题（基础题，每小题5分，共25分） 1.（5分）下列各数中，无理数是（　　） A. √4 B. 0.3̇ C. π D. 22/7 2.（5分）√2是介于哪两个整数之间？（　　） A. 0和1 B. 1和2 C. 2和3 D. 3和4 3.（5分）下列说法正确的是（　　） A. 无理数都是开方开不尽的数 B. 所有的小数都是有理数 C. 无限小数都是无理数 D. 无理数都是无限不循环小数 4.（5分）在数轴上，和点A对应的数距离为√5的点有（　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.（5分）若a、b均为无理数，则a+b（　　） A. 一定是无理数 B. 一定是有理数 C. 可能是有理数，也可能是无理数 D. 上述都不对 二、填空题（基础题，每小题5分，共25分） 1.（5分）√3的相反数是______，绝对值是______ 2.（5分）比较大小：3______√10（填“>”或“<”） 3.（5分）在√2，-√9，0.3̇，π/2，∛(-8)中，有理数有______个 4.（5分）若√5的整数部分为a，小数部分为b，则a+√b=______ 5.（5分）有一个数轴，点A对应-√3，点B对应√2，则A、B两点之间的距离为______。【配图：数轴上A、B两点位置】 三、解答题（提高题，每小题10分，共20分） 1.（10分）把下列各数填入相应的集合内： -√9，√7，0，π，-3.14，22/7，0.1010010001…，√(25/49)。 有理数集合：{ }　无理数集合：{ } 2.（10分）比较下列各组数的大小，并说明方法： (1) √3和√5　(2) -√7和-2.65　(3) √2+1和3 四、能力提升（提高题，每小题10分，共20分） 1.（10分）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是√3，求(a+b)/m + m² - cd的值。 2.（10分）观察：√(2²-1)=√3，√(3²-1)=√8=2√2，√(4²-1)=√15，√(5²-1)=√24=2√6。(1)请你写出第5个等式。(2)你能发现什么规律？ 五、拓展探究（拓展题，10分） 1.（10分）设2+√3的整数部分为a，小数部分为b，求(a-1)(b+√3)的值。提示：先判断√3的范围，再确定a。 本节小结 ∙ 无理数是无限不循环小数，不能写成分数形式。常见无理数：√2、√3、π等。 ∙ 实数=有理数∪无理数，实数与数轴上的点一一对应。 ∙ 比较实数大小的方法：数轴法、平方法（正数）、估算法。 ∙ 注意区分：√4、∛8等虽带根号，但结果是有理数；π不带根号，但是无理数。 参考答案与解析 一、选择题 1. 【答案】C 【解析】√4=2，有理数；0.3̇是循环小数，有理数；π是无理数；22/7是有理数。 2. 【答案】B 【解析】1²=1，2²=4，1<√2<4，∴√2介于1和2之间。 3. 【答案】D 【解析】A错，π不是开方开不尽的数；B错，无限不循环小数不是有理数；C错，无限循环小数是有理数。 4. 【答案】B 【解析】以A为圆心，√5为半径的圆与数轴交于2个点。 5. 【答案】C 【解析】如a=√2，b=-√2，a+b=0（有理数）；a=√2，b=√3，a+b是无理数。 二、填空题 6. 【答案】-√3，√3 【解析】√3的相反数是-√3，绝对值是√3。 7. 【答案】< 【解析】3²=9，(√10)²=10，9<10，∴3<√10。 8. 【答案】3 【解析】-√9=-3（有理数），0.3̇（有理数），∛(-8)=-2（有理数）。√2、π/2是无理数。 9. 【答案】2+√(√5-2) 【解析】∵2<√5<3，∴a=2，b=√5-2，√b=√(√5-2)，∴a+√b=2+√(√5-2)。 10. 【答案】√3+√2 【解析】距离=|√2-(-√3)|=|√2+√3|=√3+√2。 三、解答题 11. 【解答】有理数：-√9=-3，0，-3.14，22/7，√(25/49)=5/7。无理数：√7，π，0.1010010001…。 12. 【解答】(1) ∵(√3)²=3，(√5)²=5，3<5，∴√3<√5。(2) ∵√7≈2.646>2.65，∴-√7<-2.65。(3) ∵√2≈1.414，∴√2+1≈2.414<3。 四、能力提升 13. 【解答】由题意a+b=0，cd=1，|m|=√3，∴(a+b)/m+m²-cd=0+(√3)²-1=3-1=2。 14. 【解答】(1)√(6²-1)=√35。(2)√(n²-1)。当n≥2时，可能能化简，如n=3时为2√2，n=5时为2√6。 五、拓展探究 15. 【解答】∵1<√3<2，∴3<2+√3<4，∴a=3，b=(2+√3)-3=√3-1。则(a-1)(b+√3)=(3-1)(√3-1+√3)=2(2√3-1)=4√3-2。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $