第三章空间向量与立体几何单元测试-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 北师大版高中数学选择性必修一第三章空间向量单元测试，覆盖空间向量坐标运算、线面关系、距离与角度计算等核心知识，通过基础巩固到综合应用的梯度设计，适配单元复习，培养空间观念与运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|空间点坐标、向量垂直、线面关系判断|基础题考查空间向量基本概念与运算，如第3题方向向量与法向量关系判断| |多选|3/18|共面向量、异面直线成角、内切球半径|结合正方体、正三棱锥情境，如第10题正方体中异面直线成角计算，培养几何直观| |填空|3/15|平面内点坐标、外接球体积、圆柱与球组合|注重空间想象，如第13题三棱锥外接球体积，体现模型意识| |解答|5/77|线面垂直证明、二面角计算、翻折问题|通过四棱锥、翻折等真实几何情境，如第18题翻折形成的三棱锥问题，综合考查推理能力与数学表达|

北师大版高中数学选择性必修一第三章空间向量单元测试 一、单选题 1．已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据z轴上点的特点，结合空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为， 因为点M到点与到点的距离相等， 所以， 两边同时平方，解得，所以点M的坐标为. 2．已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 因为，所以存在实数，使得， 故，解得，，， 所以. 3．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 【答案】A 【详解】由，得， 所以或. 4．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点，，所以线段的中点， 点关于平面对称的点的坐标为. 5．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】已知向量，，且， 则，解得，故B正确. 6．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理将向量表示成关于的线性组合，结合题设得到方程组，求解即得关于基底的表达式. 【详解】依题意，设， 整理得， 因是空间的一个单位正交基底，且， 则有，解得， 故有. 7．已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 8．在直三棱柱中，，，点M在三棱柱的表面上运动，且满足、则下列结论错误的是（   ） A．点M可以是线段BC的中点 B．点M的轨迹长度为 C．存在点M，使得点B到平面的距离为 D．任意点平面，都有平面 【答案】C 【分析】对几何体建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求出点坐标所满足的方程，结合题目关于在三棱柱表面的信息，确定点的轨迹，再结合选项逐项分析. 【详解】 根据题干信息，以点为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，,,设点，故，， 由于，则，即； A：当点M是线段BC的中点时，此时点的坐标为，显然满足， 因此本选项结论正确； B：连接，， 所以， 所以，且两直线在平面内，所以面， 则三角形的三边就是的轨迹， 由于，， ，所以三角形的周长为，因此本选项说法正确； C：假设存在点M，使得点B到平面的距离为， ， 设平面的法向量为， ，取， 因为， 所以当时，得， 当时，得， 当时，， 所以点B到平面的距离为， 当时， 点B到平面的距离为， 解得：，显然假设不存在，所以不存在点M，使得点B到平面的距离为，因此本选项说法错误； D：任意点平面，此时，所以， ， 因为，平面， 所以都有平面，因此本选项说法正确. 二、多选题 9．已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 【答案】AC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 10．在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．异面直线与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角正弦值为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量的数量积运算判断A；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断B；根据三棱锥的体积公式即可判断C；根据线面夹角的坐标公式即可判断D． 【详解】如图以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 对于A，， 所以，所以不成立，故A错误； 对于B，，， 所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，取平面的一个法向量为， 所以直线与平面所成角正弦值为，故D正确． 11．已知正三棱锥的底面边长和高均为，为三棱锥表面上的动点，则（     ） A． B．三棱锥的内切球半径为 C．的取值范围为 D．若平面，则使直线与所成角为的点有个 【答案】ABC 【详解】设正三棱锥顶点在底面的投影为底面中心，作于点， 底面边长为，，则，. 对于A，，A正确； 对于B，因，则三棱锥的侧面积为， 则表面积，设三棱锥的内切球半径为， 因三棱锥的体积为， 则由可得，B正确； 对于C，易知点为的中点，且， 所以 当重合时，． 下面求的最大值． 三棱锥表面上的任意点均在某个三角形面内，而三角形内一点到定点的距离不超过该三角形三个顶点到的距离中的最大值． 四个顶点到的距离分别为 所以，且最小值在重合时取得，最大值在重合时取得． 又当沿三棱锥表面上的折线连续移动时，的长度可以取遍内的所有数， 因此，从而，故C正确． 对于D，若平面且在三棱锥表面上，则位于三角形内或其边界上． 以为原点，建立空间直角坐标系，使轴平行于，轴沿方向． 则，设，， 由于三角形在轴方向上的投影长度为6，且投影关于原点对称，所以 设直线与所成角为，则 因此，不存在使直线与所成角为的点，更不是3个，故D错误．    三、填空题 12．在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 【答案】/ 【分析】根据共面向量定理，点在平面内，等价于向量可由不共线的向量线性表示，通过坐标对应相等，列方程组求解. 【详解】因为点在平面内，所以共面，且不共线， 根据共面向量定理，存在实数，使得， 将各向量坐标代入，得， 根据向量相等，对应坐标相等， 得，解得. 13．在三棱锥中，为正三角形，，且，，则三棱锥外接球的体积为__________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式求出外接球半径，代入体积公式求解即可. 【详解】因为为等边三角形，所以， 又， 所以与是全等三角形，故， 又，所以， 以点为原点，以，为轴，轴，以平面内过点且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，. 设三棱锥外接球的球心为，半径为， 则，解得. 所以三棱锥外接球的体积为. 14．在一个底面半径为4cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内放入6个半径为2cm的铁球，则圆柱高的最小值为_____cm. 【答案】 【分析】根据题设分析每层放置铁球的个数，得6个球分3层，每层2个放置，总高最小，应用空间想象求出上下两层铁球球心的间隔距离，再由且即可得. 【详解】已知圆柱底面半径为，铁球半径为， 若同一层放2个球：两球心相距，每个球心到圆柱中心轴的距离为，球心到圆柱侧壁的距离为，刚好等于球半径，可放下， 若同一层放3个球：三个球心构成边长为的正三角形，其外接圆半径为，加球半径后大于，超出圆柱底面半径，放不下， 因此6个球分3层，每层2个放置，总高最小，此时相邻两层的两个球错开放置，如下示意图， 若为下层球心，为上层球心，且四个铁球两两相切，则四面体的各棱长为， 将四面体补全为上图所示的正方体，则正方体的棱长为， 即上层铁球的球心所在平面与下层铁球的球心所在平面的距离（上下两层铁球球心的间隔）为， 最下层球心距底面、最上层球心距顶面均为球半径，3层共2个间隔， 所以总高为. 四、解答题 15．已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量的模计算即可； （2）利用空间向量的数量积和夹角公式计算得结论． 【详解】（1）， 所以， 则， 解得． （2）因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为． 16．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)因为平面 ，平面 ，所以， 由底面 是正方形，可得，又，且 平面 ， 根据线面垂直的判定定理，可得 平面 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线与，即可推得结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算角度. 【详解】（1）略 （2）设，以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则： ，即， 令，得，即平面的一个法向量为 ， 设直线与平面所成角为，则， 因为，，， 所以，又，所以. 17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点M，N分别为BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】(1)取的中点为，连接， 又为的中点，则且， 又正方形中，为的中点，则且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 故，又因为平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）取的中点为，连接，通过证明四边形为平行四边形可证得结论； （2）取的中点为，的中点为，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间坐标系，利用空间向量法求二面角的正弦值. 【详解】（1）略. （2）取的中点为，的中点为，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又四边形为正方形，所以. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以， 设二面角的大小为， 则， 所以二面角的正弦值为． 18．如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点.    (1)证明：； (2)若， ①三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)如图，取的中点，连接、. 因为是正三角形，为中点，所以； 因为是等腰直角三角形，，为中点，所以. 又，平面，故平面. 因为平面，所以.    (2)①；② 【分析】（1）取 中点 ，由正三角形和等腰直角三角形的性质得 、，从而 平面 ，故 ； （2）① 由垂直关系得外接球球心为中点，用等体积法分别求到平面 的距离和到平面的距离，球心到平面的距离为后者的一半； ② 建立空间直角坐标系，由垂直关系确定坐标，分别求两平面法向量，用夹角公式得二面角余弦值. 【详解】（1）略. （2）①当 时，由 ，则 ， 取的中点 ，连接 . 故到四点的距离相等，故为三棱锥 外接球的球心， 因为，故 ， 设到平面 的距离为，到平面 的距离为， 由等体积法可得 而，由于 ，故. 所以， 从而，故到平面 的距离为.   ②由①知 ，且 . 以为原点，、所在直线分别为轴、轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，设. 由，即，得；由，即，得 ； 又 ，故，所以. 平面中，， 其法向量满足，可取； 平面 中，， 其法向量满足，可取. 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为.    19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，且，． (1)当时，证明：平面平面． (2)当时，求点B到平面的距离． (3)设直线l过点P且与平行，当二面角的正弦值取得最大值时，求． 【答案】(1) 证明：连接,交于点，连接； 因为为菱形，故，又因为， 故为等边三角形，因为， 故也为等边三角形，则； 因为，可得； 因为，故； 因为且平面； 故平面，因为平面； 故平面平面． (2)． (3)或 【分析】（1）由全等可得与一样同为等边三角形，通过作高计算高的值，根据得到另一个垂直关系，从而证明线面垂直，再根据面面垂直的判定定理进行证明； （2）根据菱形对角线垂直作为建系的基础条件，建立空间直角坐标系，根据题干所给角度求点坐标，根据点到平面的距离公式计算即可； （3）利用向量计算二面角的平面角，通过平面与的法向量计算二面角，根据正弦与余弦的关系，求正弦的最大值即求余弦的最小值，由此计算的值． 【详解】（1）略 （2） 由（1）可知，，以为原点，所在直线为轴，过作垂直于底面的直线为轴建立空间直角坐标系； 设，由（1）可知； 因为，故为等边三角形，故； 因为，， 则，； 解得，，故； 则，，； 设为平面的法向量， ，则，取； 则点B到平面的距离为 （3）因为直线l过点P且与平行，故l的方向向量为， 设，则，，； 设为平面的法向量，则 ，则，取； 设为平面的法向量，则 ，则，取； 设二面角的平面角为， 则， 由可得 由，可得，故； 由，当时，取最大值1， 此时，，故 当时，； 当时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版高中数学选择性必修一第三章空间向量单元测试 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 3．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 4．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 5．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 7．已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 8．在直三棱柱中，，，点M在三棱柱的表面上运动，且满足、则下列结论错误的是（   ） A．点M可以是线段BC的中点 B．点M的轨迹长度为 C．存在点M，使得点B到平面的距离为 D．任意点平面，都有平面 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 10．在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．异面直线与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角正弦值为 11．已知正三棱锥的底面边长和高均为，为三棱锥表面上的动点，则（     ） A． B．三棱锥的内切球半径为 C．的取值范围为 D．若平面，则使直线与所成角为的点有个 第II卷（非选择题） 3、 填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12．在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 13．在三棱锥中，为正三角形，，且，，则三棱锥外接球的体积为__________． 14．在一个底面半径为4cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内放入6个半径为2cm的铁球，则圆柱高的最小值为_____cm. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 16．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点M，N分别为BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若，平面平面，求二面角的正弦值． 18．如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点.    (1)证明：； (2)若， ①三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，且，． (1)当时，证明：平面平面． (2)当时，求点B到平面的距离． (3)设直线l过点P且与平行，当二面角的正弦值取得最大值时，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $