单元检测卷(三) 空间向量与立体几何-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

单元检测卷(三)　空间向量与立体几何 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.已知不重合的平面α和平面β的法向量分别为m＝(3，1，－5)，n＝(－6，－2，10)，则(　　) A.α⊥β B.α∥β C.α与β相交但不垂直 D.以上都不对 答案：B 解析：由于m＝(3，1，－5)，n＝(－6，－2，10)，所以n＝－2m，故α∥β.故选B. 2.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为(　　) A.a＋b＋c B.a－b＋c C.－a＋b＋c D.－a＋b－c 答案：C 解析：如图所示，连接ON，则＝＋＝b＋c，所以＝－＝－a＋b＋c.故选C. 3.已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案：C 解析：因为b＝－2a，所以(a＋b)·c＝－a·c＝7，则a·c＝－7，则cos〈a，c〉＝＝＝－，因为0°≤〈a，c〉≤180°，故a与c的夹角为120°.故选C. 4.若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC夹角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：取AC的中点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 设三棱柱的棱长为2，则A(0，－1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B1(，0，2).所以＝(0，1，2)，＝(0，－1，2)，＝(，－1，2).设n＝(x，y，z)为平面B1DC的一个法向量，由令z＝1得n＝(0，2，1).设直线AD与平面B1DC的夹角为α，则sin α＝｜cos〈，n〉｜＝＝＝，所以直线AD与平面B1DC夹角的正弦值为.故选D. 5.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝BC＝1，则二面角A-PC-B的大小是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案：C 解析：如图所示，建立空间直角坐标系.因为PA＝AB＝BC＝1，所以A(0，0，0)，C(0，，0)，B，P(0，0，1).所以＝(0，－，1)，＝.显然平面APC的一个法向量可以为n＝，设平面BPC的法向量为m＝(x，y，z)，则令y＝1，则z＝，x＝1，所以m＝(1，1，)，设二面角A-PC-B为θ，由图可知θ为锐角，则cos θ＝＝＝，所以θ＝60°.故选C. 6.已知空间直角坐标系O-xyz中，＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：设Q(x，y，z)，由点Q在直线OP上，可得存在实数λ使得＝λ，即(x，y，z)＝λ(1，1，2)，可得Q(λ，λ，2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，则·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝6－，可得当λ＝时，取得最小值－，此时Q.故选D. 7.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，E是PA的中点，则PC到平面BED的距离为(　　) A. B. C.2 D.2 答案：A 解析：取CD的中点F，连接AF，AC，因为四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以△ACD为等边三角形.又因为F为CD中点，所以AF⊥CD.以点A为原点，以AB，AF，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.则B(4，0，0)，D(－2，2，0)，E(0，0，2)，P(0，0，4)，C(2，2，0).所以＝(－4，0，2)，＝(2，－2，2).设平面BED的一个法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝2，得n＝(1，，2).因为＝(2，2，－4)，所以n·＝2＋6－8＝0，即⊥n.又因为PC⊄平面BED，所以PC∥平面BED，所以PC到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离.因为＝(0，0，2)，所以点P到平面BED的距离d＝＝＝，所以PC到平面BED的距离为.故选A. 8.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成大小为60°的二面角A-BD-C，点P为线段AC上的一动点，下列结论正确的是(　　) A.异面直线AC与BD的夹角为60° B.△ACD是等边三角形 C.△BDP面积的最小值为 D.四面体ABCD的外接球的体积为 答案：C 解析：如图所示，设正方形ABCD对角线相交于点M，则M为AC和BD的中点.对于A，因为AB＝AD＝CB＝CD，所以AM⊥BD，CM⊥BD，AM∩CM＝M，所以BD⊥平面ACM，因为AC⊂平面ACM，所以BD⊥AC，即异面直线AC与BD的夹角为90°，故A不正确；对于B，因为AM⊥BD， CM⊥BD，所以∠AMC即为二面角A-BD-C的平面角，可得∠AMC＝60°，因为AB＝AD＝CB＝CD＝2，可得AM＝CM＝，所以△AMC是等边三角形，可得AC＝，而AD＝CD＝2，所以△ACD不是等边三角形，故B不正确；对于C，因为BD⊥平面ACM，PM⊂平面ACM，所以BD⊥PM，S△BDP＝BD·PM＝ ×2PM＝PM，当PM⊥AC时，PM最小，由选项B知：△AMC是边长为的等边三角形，所以PM最小为cos 30°＝，所以△BDP面积的最小值为×＝，故C正确；对于D，因为MA＝MB＝MC＝MD＝，所以点M即为四面体ABCD外接球的球心，且外接球半径为，所以外接球的体积为π×()3＝π，故D不正确.故选C. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知向量a＝(1，－1，0)，b＝(－1，0，1)，c＝(2，－3，1)，则(　　) A.｜a－b｜＝6 B.(a＋2b)·(b＋c)＝7 C.(a＋5b)⊥c D.a∥(b－c) 答案：CD 解析：对于A，因为a＝(1，－1，0)，b＝(－1，0，1)，所以a－b＝(2，－1，－1)，所以｜a－b｜＝＝，故A错误；对于B，因为a＋2b＝(－1，－1，2)，b＋c＝(1，－3，2)，则(a＋2b)·(b＋c)＝(－1)×1＋(－1)×(－3)＋2×2＝6，故B错误；对于C，因为a＋5b＝(－4，－1，5)，则(a＋5b)·c＝(－4)×2＋(－1)×(－3)＋5×1＝0，则(a＋5b)⊥c，故C正确；对于D，因为b－c＝(－3，3，0)，a＝(1，－1，0)，所以b－c＝－3a，所以a∥(b－c)，故D正确.故选CD. 10.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置，连接PC，则在翻折过程中，下列说法正确的是(　　) A.PC与平面BCD所成的最大角为45° B.存在某个位置，使得PB⊥CD C.当二面角P-BD-C的大小为90°时，PC＝ D.存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为 答案：BC 解析：对于A，如图所示，取BD的中点O，连接OP，OC，则OP＝OC＝.由题可知，△PBD和△BCD均为等边三角形，由对称性可知，在翻折的过程中，PC与平面BCD所成的角为∠PCO，当PC＝时，△OPC为等边三角形，此时∠PCO＝60°＞45°，故A错误；对于B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，有PQ⊥平面BCD，BQ⊥CD，所以PQ⊥CD，又BQ∩PQ＝Q，BQ，PQ⊂平面PBQ，所以CD⊥平面PBQ，因为PB⊂平面PBQ，所以PB⊥CD，故B正确；对于C，当二面角P-BD-C的大小为90°时，平面PBD⊥平面BCD，因为PB＝PD，所以OP⊥BD，因为平面PBD∩平面BCD＝BD，所以OP⊥平面BCD，所以OP⊥OC，又OP＝OC＝，所以△POC为等腰直角三角形，所以PC＝OP＝，故C正确；对于D，因为点B到PD的距离为，点B到CD的距离为，所以若B到平面PDC的距离为，则平面PBD⊥平面PCD，平面CBD⊥平面PCD，则有DB⊥平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾，故D错误.故选BC. 11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是(　　) A.直线BD1⊥平面A1C1D B.三棱锥P-A1C1D的体积为定值 C.异面直线AP与A1D夹角的取值范围是 D.直线C1P与平面A1C1D夹角的正弦值最大为 答案：ABD 解析：对于A，连接B1D1，因为A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，且B1D1，BB1⊂平面BB1D1，所以A1C1⊥平面BB1D1，又BD1⊂平面BB1D1，所以A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，因为A1C1∩DC1＝C1，且A1C1，DC1⊂平面A1C1D，所以直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确；对于B，因为A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，所以B1C∥平面A1C1D，因为点P在线段B1C上运动，所以P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，所以三棱锥P-A1C1D的体积为定值，故B正确；对于C，因为A1D∥B1C，所以异面直线AP与A1D的夹角即为直线AP与直线B1C的夹角.易知△AB1C为等边三角形，当P为B1C的中点时，AP⊥B1C；当P与点B1或C重合时，直线AP与直线B1C的夹角为.故异面直线AP与A1D夹角的取值范围是，故C错误；对于D，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则P(a，1，a)(0≤a≤1)，C1(0，1，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1).所以＝(a，0，a－1)，＝(1，1，－1).由A选项正确可知：＝(1，1，－1)是平面A1C1D的一个法向量，所以直线C1P与平面A1C1D夹角的正弦值为＝＝，所以当a＝时，直线C1P与平面A1C1D夹角的正弦值最大为，故D正确.故选ABD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上) 12.在空间直角坐标系中，若m＝(1，2，k)对应点M，n＝(－k，2，3－k)，若M关于平面xOy的对称点为(1，2，－1)，则m·n＝　　　　　. 答案：5 解析：M关于平面xOy的对称点为(1，2，－1)，所以M(1，2，1)，所以m＝(1，2，1)，即k＝1，n＝(－1，2，2)，所以m·n＝1×(－1)＋2×2＋1×2＝－1＋4＋2＝5. 13.在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取其四个顶点作为一个三棱锥的顶点，使该三棱锥的体积为，则该三棱锥的名称可以是　　　　　　. 答案：三棱锥C1-A1BD(答案不唯一) 解析：因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，所以正方体的体积为1×1×1＝1，又＝＝＝＝××1×1×1＝，所以三棱锥C1-A1BD的体积为1－4×＝，所以该三棱锥的名称可以是三棱锥C1-A1BD(答案不唯一). 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC∥AD，∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝AD＝1，已知Q是四边形ABCD内部一点，且平面QPD与平面PAD的夹角为，则△ADQ的面积的取值范围是　　　　　. 答案： 解析：因为PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，以点A为原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(2，0，0)，P(0，0，1).设点Q(a，b，0)，其中0≤a≤2，0≤b≤1，设平面QPD的法向量为m＝(x，y，z)，＝(－2，0，1)，＝(a－2，b，0)，则取x＝b，可得m＝(b，2－a，2b)，易知平面PAD的一个法向量为n＝(0，1，0)，由已知条件可得＝＝＝，所以2－a＝b，即a＋b＝2，直线CD上的点(x，y，0)满足x＋y＝2，联立所以点Q的纵坐标b的取值范围为，易知点Q不在线段AD上，则b∈，所以S△ADQ＝AD·b＝b∈. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5). (1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S； (2)若向量a与向量，都垂直，且｜a｜＝，求向量a的坐标. 解：(1)因为＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)， 所以cos∠BAC＝＝＝， 又因为∠BAC∈[0，π]， 所以∠BAC＝， 所以平行四边形的面积S＝｜｜｜｜sin＝7. (2)设a＝(x，y，z)， 由a⊥，得－2x－y＋3z＝0， 由a⊥，得x－3y＋2z＝0， 由｜a｜＝，得x2＋y2＋z2＝3， 所以x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1， 所以a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1). 16.(15分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为1，且∠A1AC＝∠A1AB＝60°，D是BC的中点. (1)求A1，D两点间的距离； (2)求AC与A1D所成角. 解：(1)因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为1，且∠A1AC＝∠A1AB＝60°，设＝a，＝b，＝c，则｜a｜＝｜b｜＝2，｜c｜＝1，〈a，b〉＝60°，〈b，c〉＝60°，〈a，c〉＝60°， 则a·b＝2，a·c＝b·c＝1， 由于＝－＝＋)－＝a＋b－c， 则＝＝｜a｜2＋｜b｜2＋｜c｜2＋a·b－a·c－b·c＝2， 故＝. (2)设所成角为θ，＝b，＝a＋b－c， 由于·＝b·＝a·b＋b2－b·c＝2，｜b｜＝2，＝， 则cos θ＝cos〈，〉＝＝＝，且θ∈，则θ＝， 所以AC与A1D所成角为. 17.(15分)如图，在由三棱锥E-ADF和四棱锥F-ABCD拼接成的多面体ABCDEF中，AE⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，且ABCD是边长为2的正方形，△BCF是正三角形. (1)求证：AE∥平面BCF； (2)若多面体ABCDEF的体积为16，求BF与平面DEF夹角的正弦值. 解：(1)证明：取BC的中点O，连接FO，由△BCF是正三角形，得OF⊥BC，OF⊂平面BCF， 而平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD＝BC，则OF⊥平面ABCD， 因为AE⊥平面ABCD，则AE∥OF， 又AE⊄平面BCF， 所以AE∥平面BCF. (2)由AE⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， 得AE⊥AB， 而AD⊥AB，AD∩AE＝A，AD，AE⊂平面ADE， 则AB⊥平面ADE， 又AD∥BC，BC⊂平面BCF，AD⊄平面BCF， 所以AD∥平面BCF， 而AE∥平面BCF，于是平面ADE∥平面BCF， 则点F到平面ADE的距离等于点B到平面ADE的距离AB＝2，又FO＝×2＝3， 依题意，VABCDEF＝VF-ABCD＋VF-ADE＝×(2)2×3＋××2×AE×2＝16，解得AE＝2， 依题意以点A为原点，AD，AB，AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 正方形ABCD的边长为2，△BCF是正三角形， 则D(2，0，0)，B(0，2，0)，E(0，0，2)，F(，2，3). 所以＝(－，2，3)，＝(－2，0，2). 设平面DEF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 取x＝1，得n＝(1，－1，)， 而＝(，0，3)，令BF与平面DEF的夹角为θ， 则sin θ＝｜cos〈n，〉｜＝＝＝， 所以BF与平面DEF夹角的正弦值是. 18.(17分)如图，平面五边形PABCD中，△PAD是边长为2的等边三角形，AD∥BC，AB＝2BC＝2，AB⊥BC，将△PAD沿AD翻折成四棱锥P-ABCD，E是棱PD上的动点(端点除外)，F，M分别是AB，CE的中点，且　　　　　. 请从下面三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并作答： ①·(＋)＝0；②PC＝；③点P在平面ABCD的射影在直线AD上. (1)求证：BA⊥FM； (2)当EF与平面PAD的夹角最大时，求平面ACE与平面PAD夹角的余弦值. 解：(1)证明：取AD，CD的中点分别为O，G，连接PO，FG，EG，MG， 选择①： 因为·(＋)＝0，＋＝2， 所以·＝0，即BA⊥PO， 又BA⊥AD，AD∩PO＝O， 所以BA⊥平面PAD， 因为M，G分别为CE，CD的中点， 所以MG∥PD， 且MG⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， 所以MG∥平面PAD， 同理可得FG∥平面PAD， 因为MG∩FG＝G， 所以平面FGM∥平面PAD， 所以BA⊥平面FGM， 又FM⊂平面FGM， 所以BA⊥FM. 选择②： 连接OC，则OC＝AB＝2，OP＝， 因为PC＝，PC2＝OP2＋OC2， 所以OC⊥PO，又OC∥BA，所以BA⊥PO， 又BA⊥AD，AD∩PO＝O， 所以BA⊥平面PAD， 因为M，G分别为CE，CD的中点， 所以MG∥PD，且MG⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， 所以MG∥平面PAD， 同理可得FG∥平面PAD， 因为MG∩FG＝G， 所以平面FGM∥平面PAD， 所以BA⊥平面FGM， 又FM⊂平面FGM， 所以BA⊥FM. 选择③： 因为点P在平面ABCD的射影在直线AD上， 所以平面PAD⊥平面ABCD， 因为平面PAD∩平面ABCD＝AD，OP⊂平面PAD，AD⊥PO， 所以OP⊥平面ABCD， 所以BA⊥PO， 又BA⊥AD，AD∩PO＝O， 所以BA⊥平面PAD， 因为M，G分别为CE，CD的中点， 所以MG∥PD，且MG⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， 所以MG∥平面PAD， 同理可得FG∥平面PAD， 因为MG∩FG＝G， 所以平面FGM∥平面PAD， 所以BA⊥平面FGM， 又FM⊂平面FGM， 所以BA⊥FM. (2)连接AE，EF，由(1)可知：AB⊥平面PAD， 所以∠AEF即为EF与平面PAD的夹角， 因为tan∠AEF＝＝，所以当AE最小时，∠AEF最大， 所以当AE⊥PD，即E为PD中点时，AE最小. 依题意以点O为原点，OC，OD，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则A(0，－1，0)，E(0，，)，C(2，0，0). 所以＝，＝(2，1，0). 设平面ACE的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则 令z1＝，得m＝， 由题意可知，平面PAD的法向量为n＝(1，0，0)， 所以cos＜m，n＞＝＝＝， 所以平面ACE与平面PAD夹角的余弦值为. 19.(17分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置(P∉平面ABCE). (1)证明：平面POB⊥平面ABCE； (2)若PB＝，试判断线段PB上是否存在一点Q(不含端点)，使得直线PC与平面AEQ夹角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 解：(1)证明：在梯形ABCD中，连接BE(图略)， 在等腰梯形ABCD中，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点， 易得四边形ABED为菱形，所以BD⊥AE， 所以OB⊥AE，OD⊥AE，即OB⊥AE，OP⊥AE， 又OB∩OP＝O，OB⊂平面POB，OP⊂平面POB，所以AE⊥平面POB， 又AE⊂平面ABCE，所以平面POB⊥平面ABCE. (2)由(1)可知四边形ABED为菱形，所以AD＝DE＝2，在等腰梯形ABCD中，AE＝BC＝2， 所以△PAE为正三角形， 所以OP＝，同理OB＝，因为PB＝， 所以OP2＋OB2＝PB2，所以OP⊥OB. 由(1)可知OP⊥AE，OB⊥AE. 以O为原点，OE，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示. 由题意得，各点坐标为P(0，0，)，A(－1，0，0)，B(0，，0)，C(2，，0)，E(1，0，0). 所以＝(0，，－)，＝(2，，－)，＝(2，0，0)，＝(1，0，). 设＝λ(0＜λ＜1)，＝＋＝＋λ＝(1，λ，－λ)， 设平面AEQ的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 取y＝1，得z＝－，所以n＝， 设直线PC与平面AEQ的夹角为θ，θ∈， 则sin θ＝｜cos〈，n〉｜＝＝， 即＝， 化简得4λ2－4λ＋1＝0，解得λ＝， 所以存在点Q为PB的中点时，使得直线PC与平面AEQ夹角的正弦值为. 因为PB＝，所以＝＝. 因为＝，所以＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $