16.3.2 完全平方公式 同步分层训练 2026-2027学年 人教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦完全平方公式，通过基础辨析、几何验证到实际应用的分层设计，强化运算能力与模型意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|公式辨析与直接应用|选择题考查公式正误判断，填空题训练(x±y)²与xy的关系变形| |提升层|公式变形与几何背景|解答题结合图形面积验证公式，培养几何直观| |拓展层|综合应用与实际问题|综合题通过图形拼接、实际场景计算，发展模型意识与推理能力|

16.3.2 完全平方公式 同步分层训练 一、选择题 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列整式中，与相等的是（　　） A． B． C． D． 3． 下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若，，则的值为（　　） A．20 B．140 C．150 D．200 5．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，小颖将阴影部分的面积用两种不同的方法表示，能验证的等式是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知，，则　 　． 10．已知，则　 　． 11．已知，，则　 　. 12．已知，则代数式的值为　 　． 三、解答题 13．已知，求的值． 14．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形. （1）图2中间的小正方形(即阴影部分)面积可表示为　 　. （2）观察图2，请你写出三个代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系式：　 　. （3）根据（2）中的结论，若x＋y=－6，xy=2.75，则x－y=　 　. （4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图3所示，它表示了(2m＋n)(m＋n)=2m2＋3mn＋n2.试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(m＋n)(m＋2n)=m2＋3mn＋2n2. 四、综合题 15．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请你用两种不同的含a，b的式子表示图2大正方形的面积： 方法1：　 　，方法2：　 　． 观察图2请你写出三个代数式，，ab之间的数量关系：　 　． （2）直接应用：根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求的值． ②已知的值． （3）拓展应用：两个正方形，如图3摆放，边长分别是x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 16．如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道． （1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示） （2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示） （3）当，时，求这两个长方形喷泉池的总面积． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解： A、，A符合题意； B、，B不符合题意； C、，C不符合题意； D、，D不符合题意； 故答案为：A 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式对选项逐一运算即可求解。 2．【答案】B 【解析】【解答】解： =x2+2x+1 ， 故答案为：B. 【分析】利用完全平方公式将原式展开，即可判断. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：A、，此项错误，故不符合题意； B、 ，此项错误，故不符合题意； C、 ， 此项错误，故不符合题意； D、 ，此项正确，故符合题意； 故答案为：D. 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式、平方差公式分别计算，再判断即可. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：，， ， ， 故答案为：B. 【分析】通过两数差的完全平方公式求代数式的值. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：A、，A错误； B、，B错误； C、，C正确； D、，D错误， 故答案为：C. 【分析】合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变； 两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍； 同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 6．【答案】C 【解析】【解答】解： A、，A不符合题意； B、，B不符合题意； C、，C符合题意； D、，D不符合题意； 故答案为：C 【分析】根据完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项对选项逐一判断即可求解。 7．【答案】B 【解析】【解答】解： A、，A不符合题意； B、，B符合题意； C、，C不符合题意； D、，D不符合题意； 故答案为：B 【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方式、合并同类项对选项逐一运算即可求解。 8．【答案】A 【解析】【解答】解：A项表示的是边长为（a-b)的正方形面积，且根据完全平方差公式，等式成立，符合题意； B项根据完全平方和公式，等式成立，但B表示的边长为（a+b)的正方形面积，不符合题意； C项根据平方差公式，等式成立，但C表示的是长为（a+b)，宽为（a-b)的矩形的面积，不符合题意； D项根据乘法分配律，等式成立，但D表示的是长为（a-b)，宽为b的矩形的面积，不符合题意； 故选：A. 【分析】图中阴影部分的面积=。 9．【答案】13 【解析】【解答】解：∵x-y=1，xy=6， ∴x2+y2=(x-y)2+2xy=1+12=13. 故答案为：13. 【分析】根据完全平方公式可得x2+y2=(x-y)2+2xy，然后将已知条件代入进行计算. 10．【答案】1 【解析】【解答】解：∵， ∴x=1-y， ∴， 故答案为：1 【分析】先根据题意即可得到x=1-y，进而代入运用完全平方公式即可求解。 11．【答案】20 【解析】【解答】解：∵（x-y）2=8，xy=3， ∴（x+y）2=（x-y）2+4xy=8+3×4=20. 故答案为：20. 【分析】根据完全平方公式的恒等变形可得（x+y）2=（x-y）2+4xy，然后整体代入计算可得答案. 12．【答案】8 【解析】【解答】解：设，， ， ， ， 故答案为：8. 【分析】利用整体换元法将代数式进行变形，再通过完全平方公式计算代数式的值. 13．【答案】解：∵ ∴ ， ∴ ． 【知识点】完全平方公式及运用 【解析】【分析】根据完全平方公式可得(a+)2=(a-)2+4，然后代入进行计算. 14．【答案】（1） （2） （3）x-y=±5 （4）解：根据题意，画出长 ，宽 的长方形即可，其中要包含1个边长为m的正方形，2个边长为n的正方形，3个长为m宽为n的长方形，如下图所示： 【知识点】完全平方公式的几何背景 【解析】【解答】解：（1）图2中阴影部分小正方形的边长等于小长方形的长减去小长方形的宽，即 ，由正方形得面积公式可知阴影部分的面积为： ；（2）由图2可知，大正方形的边长为 ，则面积为 ，或大正方形的面积还可以由小正方形面积加4个小长方形的面积之和得到，即 ，故可得： ；（3）由（2）知 ∴将 代入得 ∴ ； 【分析】（1）阴影部分的边长为小长方形的长减去宽，即 ，再用正方形面积公式进行计算即可得解；（2）根据大正方形面积等于边长的平方或小正方形面积加4个小长方形面积之和，两种不同算法进行计算即可得到等式；（3）根据（2）中结论，得 ，通过将 代入进行计算即可得解；（4）画出长 ，宽 的长方形即可得解. 15．【答案】（1）；； （2）解：①∵ 又：，代入得 ②令， ∴， ∴ ∴ （3）解：由题知：， ∴ ∴ ∴ 图中阴影部分面积为： 【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景 【解析】【解答】（1）方法1：可以直接用正方形的面积计算公式来求：（a+b）2；方法2：把正方形的面积看成两个矩形和两个小正方形的面积和：ab+ab+a2+b2=a2+2ab+b2；所以（a+b）2=a2+2ab+b2； 故第1空答案为：（a+b）2；第2空答案为：a2+2ab+b2；第3空答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2； 【分析】（1）先直接用大正方形的边长的平方写出大正方形的面积得：（a+b）2，再用两个矩形和两个小正方形的面积和表示大正方形的面积得：a2+2ab+b2，根据它们是同一个正方形的面积得出这两个式子相等即可； （2）①由已知a+b=8，得出（a+b）2=a2+2ab+b2=64，得出2ab=64-（a2+b2），即可求得ab；②设a=2025-x，b=x-2023，则就可以理解为已知a2+b2，求ab，先计算a+b=2，然后通过变形可求得ab的值，也就是（x-2023）的值； （3）已知中的BE=2也就是y-x=2，然后根据（x-y）2和x2+y2之间的关系，变形求出2xy的值，再求出（x+y）2的值，求它的算术平方根求得（x+y）的值，然后根据三角形面积计算公式求阴影部分的面积：，然后整理带入求值即可。 16．【答案】（1）解： 答：该长方形空地的面积为． （2）解：． 答：这两个长方形喷泉池的总面积为． （3）解：当，时，这两个长方形喷泉池的总面积为． 【知识点】完全平方公式及运用 【解析】【分析】（1）先根据图形列出算式，再进行化简即可； （2）先根据图形列出算式，再进行化简即可； （3）在第（2）问的基础上，将，代入进行计算. 1 学科网（北京）股份有限公司 $