第22章 相似图形【章末复习】（课件）2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学相似图形章末复习课件系统梳理了相似图形的概念、性质、判定及位似变换，通过知识框架图将图形相似→相似三角形→位似图形的逻辑脉络串联，结合核心性质归纳与高频几何模型（A字、X字等），帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于“易错清单+解题模板”培养学生推理意识，中考专题例题（如妙光塔测量）发展数学建模与应用意识，必做与选做作业实现分层复习。能有效巩固知识，助力教师精准把握学情，提升复习效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十二章 相似图形 章末复习 2026年8月6日 第22章 相似图形 章末总复习（完整版考点汇总） 本章知识体系：图形相似概念 → 相似多边形性质 → 相似三角形判定 → 相似三角形性质 → 位似图形 → 坐标系位似变换 一、相似图形基础概念 1. 相似图形定义：形状相同、大小不一定相同的图形。 核心特征：对应角相等，对应边成比例。 2. 相似多边形 判定核心思路：找等角、找比例、定相似 3. 相似比：相似图形对应边的比值 1. 平行判定（A型、X型） 平行于三角形一边的直线，截另外两边（或延长线），所得小三角形与原三角形相似。 2. AA 两角分别相等（最常用、秒杀判定） 两个角对应相等 → 三角形相似。 隐藏等角：对顶角相等、公共角相等、同角/等角的余角补角相等。 3. SAS 两边成比例且夹角相等 两组对应边成比例，夹角必须相等（非夹角不能判定相似）。 4. SSS 三边对应成比例 三组对应边比值全部相等，直接判定相似。 5. HL 直角三角形专属相似 斜边、一条直角边对应成比例，两个Rt△相似。 三、相似三角形核心性质（必考计算） 设相似比为 $$k$$ 1. 对应角相等（角度完全一致） 2. 对应边成比例（比值=$$k$$） 3. 对应三线比 = 相似比 对应高、对应中线、对应角平分线的比值 = $$k$$ 4. 周长比 = 相似比 \(k\) 5. 面积比 = 相似比的平方 \(k^2\)（超级高频易错） ⚠️ 线性量同比、面积量平方比 四、相似高频几何模型（中考大题必考） 1. A字模型（平行正立） 底边平行，小△∽大△，公共顶角，对应边平行成比例。 2. X字模型（8字、对顶） 对顶角相等+两组内错角相等，形成交叉相似三角形。 3. 子母模型（射影定理模型） 直角三角形斜边上作高，分出两个小直角三角形，与原三角形三者两两相似。 秒杀结论：$$高^2=两短边乘积$$、直角边平方=斜边对应线段乘积 4. 一线三等角模型 同一直线上三个直角/等角，通过互余倒角，构造两组等角证相似。 五、位似图形（特殊的相似） 1. 位似定义 两个图形相似 + 对应顶点连线交于同一点 + 对应边平行/共线。 结论：位似一定相似，相似不一定位似。 2. 位似专属性质 对应点到位似中心的距离之比 = 位似比（相似比） 周长比=位似比，面积比=位似比平方，与相似完全一致。 3. 位似分类 外位似（同侧同向）、内位似（异侧反向） 六、平面直角坐标系中的位似变换（计算重点） 1. 原点为位似中心 点$$(x,y)$$，位似比$$k$$ 同向位似：$$(kx,\ ky)$$ 反向位似：$$(-kx,\ -ky)$$ $$|k|>1$$放大，$$0<|k|<1$$缩小，正负只改方向。 2. 任意点为位似中心（拔高） 中心$$(a,b)$$，变换公式：$$\big(k(x-a)+a,\ k(y-b)+b\big)$$ 步骤：平移归零→缩放→平移复位 七、相似与位似区别与联系 1. 联系：位似是特殊的相似，满足相似所有性质 2. 区别：相似只要求形状相同；位似有位置约束（共中心点、边平行） 3. 用途：位似可精准放大、缩小图形，普通相似无位置关系 八、本章终极易错清单（高频扣分点） 1. 面积比直接等于相似比，忘记平方（最大坑） 2. 相似比顺序颠倒，大小三角形比值写反 3. SAS相似误用非夹角，判定无效 4. 误以为相似图形一定位似（概念混淆） 5. 坐标位似漏写反向位似一组解 6. 已知面积比求相似比，忘记开平方 7. 判定多边形相似只看角或只看边，条件不全 九、相似大题标准解题步骤（满分模板） 1. 找角：锁定公共角、对顶角、等余角，寻找两组等角 2. 证相似：选用AA/SAS/SSS写出严谨证明 3. 定比例：找准对应边，列出比例式 4. 求边长/周长/面积：同比求线段、平方比求面积 5. 作答验算：核对对应关系、比值顺序 十、整章浓缩口诀（考前速记） 相似角等边成比，五种判定牢牢记。 AA最快SAS严，SSS三边比例齐。 线段周长同比走，面积平方莫忘记。 位似特殊相似形，共点平行是前提。 坐标缩放看k值，数形结合破难题。 1. 比例的性质 (1)基本性质：如果＝，那么ad＝bc(b，d ≠ 0)； (2)合比性质：如果 ＝，那么＝(b， d ≠ 0)； (3) 等比性质：如果 ＝=…=， 且 b1+b2+…+bn ≠ 0， 那 么 =. 2. 平行线分线段成比例的基本事实及其推论 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例. 3. 相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似； (2) 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似； (3) 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似； (4) 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似； (5) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 4. 相似三角形的性质： (1)相似三角形的对应角相等，对应边的比等于相似比； (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； (3)相似三角形周长的比等于相似比； (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方. 5. 位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比；在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k ≠ 0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|． 专题 平行线分线段成比例 1 链接中考>>平行线分线段成比例是学习三角形相似的基础，也是求线段长的一种方法. 在中考中， 常以选择题和填空题的形式考查. 例 1 [中考·哈尔滨]如图22－1，在四边形ABCD中，AD∥ BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE∶BE＝1∶2，DF＝3，则FC的长为( ) A. 6 B. 3 C. 5 D. 9 解题秘方：根据平行线分线段成比例，列出比例式求解 即可． 解：∵在四边形ABCD 中，AD∥BC，EF∥AD， ∴AD∥EF∥BC．∴＝，即＝， 解得FC＝6． 答案：A 专题 相似三角形的判定 2 链接中考>>图形的相似是平面几何中非常重要的内容，也是中考中常见的考点.相似三角形的判定方法有多种，解题时要合理选用判定方法. [中考·上海节选]如图22－2，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD．求证：AD2＝DE·DC． 例 2 解题秘方：选择合适的方法判定△ADE∽ △BAD，再利用相似三角形性质和等线段代换即可. 证明：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°， ∠ADE＝90°，AB＝DC， ∴∠ABD＋∠ADB＝90°. ∵AE⊥BD，∴∠DAE＋∠ADB＝90°.∴∠DAE＝∠ABD. 又∵∠ADE＝∠BAD＝90°，∴△ADE∽△BAD. ∴＝，即AD2＝DE·BA. 又∵AB＝DC，∴AD2＝DE·DC. 专题 相似三角形的性质 3 链接中考>>相似三角形的性质归纳起来有三点：(1)相似三角形的对应边成比例，对应角相等； (2)相似三角形的对应线段(对应边上的中线、高，对应角的平分线)的比等于相似比；(3)相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.相似三角形的性质既可以进行线段相等、平行、垂直的证明，也可以进行线段长度和图形面积的计算.在中考中常与其他知识综合考查. 例 3 [中考·南京] 如图22-3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高，=，则的值是________. 解题秘方：先证明△ACD与△ABC相似，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 解：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+ ∠BCD=90°． ∵CD是边AB上的高，∴CD⊥AB． ∴∠CDA= ∠CDB=90°． ∴∠B+ ∠BCD=90°．∴∠B= ∠ACD． 又∵∠ACB= ∠ADC=90°，∴△ACD∽△ABC. ∵ =，∴CD=2AD. 在Rt△ACD中，AC= = AD，∴ ==，∴ =()2= . 专题 相似三角形的应用 4 链接中考>>相似三角形的知识在生活中有广泛的应用，这一应用是建立在数学建模和数形结合思想基础上的，把实际问题转化为数学问题，通过解决数学问题达到解决实际问题的目的. 在中考中考查的形式多种多样. [中考·无锡节选]某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动. 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 例 4 【活动过程】南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一，该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A 和塔底中心B均无法到达．经研究， 设计并实施了如下测量活动(示意图 如图22－4所示)． 在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q′处，此时标杆E′F′竖立于F′处，从点P′处看到标杆顶E′、塔顶A在同一条直线上． 已知AB，EF，PQ，E′F′和P′Q′在同一平面内，点B，F，Q，F′，Q′在同一条直线上，EF＝E′F′＝2.8 m，PQ＝P′Q′＝ 1.4 m，FQ＝1.2 m，F′Q′＝2.2 m，QQ′＝30 m．求妙光塔 AB的高度. 解题秘方：构造相似三角形，根据相似三角形的性质列比例式求解． 解：如图22－4，过点P′作P′H⊥AB 于点H，交EF于点M，交E′F′于点M′. ∵PQ＝P′Q′＝1.4 m， ∴点P在线段P′H上. 易得四边形PQFM，四边形PQBH，四边形P′Q′F′M′，四边形P′Q′BH均为矩形，∴HP＝BQ，MP＝FQ＝1.2 m，M′P′＝F′Q′＝2.2 m，BH＝MF＝M′F′＝PQ＝P′Q′＝ 1.4 m. ∴EM＝E′M′＝2.8－1.4＝1.4(m). 由题意知EF∥AB，∴△HAP∽△MEP. ∴＝. 同理可得＝. 又∵EM＝E′M′，∴＝. ∵HP＝BQ，HP′＝BQ′＝BQ＋QQ′＝BQ＋30， ∴＝， 解得BQ＝36 m，∴HP＝36 m. 代入＝，得＝， 解得AH＝42 m. ∴AB＝AH＋BH＝42＋1.4＝43.4(m). 答：妙光塔AB的高度为43.4 m. 专题 位似图形 5 链接中考>>位似图形是特殊的相似图形，在中考中一般考查根据位似的性质求点的坐标或在平面直角坐标系中画位似图形，选择题、填空题和解答题的形式都有出现. 例 5 [中考·烟台]如图22－5，在平面直 角坐标系中，点P的坐标为(6，)， △ABC的顶点A的坐标为(4，3)． 以点P为位似中心作△A1B1C1与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧；以点P为位似中心作△A2B2C2与△A1B1C1位似，相似比为2，且与△A1B1C1 位于点P同侧……按照以上规律作图，点A3的坐标为__________. (－10，) 解题秘方：连结AP，根据两点坐标求得AP的长，再根据相似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比得出A1P，A2P，A3P的长，再求得直线AP的表达式，根据点的坐标和线段的长度列方程求解． 解：如图22－5，连结AP，依题意，得 A1P＝2AP＝2＝5， ∴A2P＝2A1P＝10，∴A3P＝2A2P＝20． 设直线AP的表达式为y＝kx＋b(k≠0)， 把(6，)，(4，3)代入，得解得 ∴y＝－x＋6． 设A3(m，－m＋6)，∴(m－6)2＋(－m＋6－)2＝202， 解得m1＝－10，m2＝22(舍去)． ∴－m＋6＝， ∴A3(－10，)． 专题 分类讨论思想 6 专题解读>>在解答有关相似形的某些问题时，往往需要按某一标准把问题分成若干个部分或情况分别加以研究，逐一解决，从而得到完整的结果. 用这种分类讨论的思想解决问题时要仔细审题，分类时要注意两点：一是正确选择分类标准；二是要做到不重复、不遗漏. 如图22－6，在△ABC中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s的速度移动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似？ 例 6 解题秘方：△PBQ与△ABC有一个公共角，所以△ PBQ 与△ ABC相似存在两种情况，即△ PBQ∽△ ABC与 △ PBQ∽△ CBA. 解：设经过t s，△PBQ与△ABC相似. ①∵△PBQ与△ABC有公共角∠B， ∴当＝ 时，△PBQ∽△ABC. ∵AP＝2t cm，AB＝8 cm，∴PB＝(8－2t)cm. 又∵BQ＝4t cm，BC＝16cm， ∴＝. 解得t＝2. ②∵∠B为△PBQ与△ABC的公共角， ∴当＝时，△PBQ∽△CBA. 由①知PB＝(8－2t)cm，QB＝4t cm， ∴＝. 解得t＝0.8. ∴如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过0.8 s或2 s，△PBQ与△ABC相似. 专题 方程思想 7 专题解读>>当两个图形相似时，周长及面积具有一定的关系，在求线段长、图形的周长或面积时，有时利用方程或方程组会给解题带来很大的方便. 如图22－7，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10. 四边形BDEF 是△ABC的内接正方形(点D， E，F在三角形的边上)，则此正方形的面积是______. 例 7 解题秘方：利用相似三角形的性质得出已知线段与未知线段之间的关系，从而建立方程求解. 25 解：在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，AB＝BC，AC＝10， ∴2AB2＝200. 解得AB＝BC＝10(负值舍去). ∵四边形BDEF是正方形，∴EF∥BC，EF＝BF. 设EF＝BF＝x，则AF＝10－x. ∵EF∥BC，∴△AFE∽△ABC. ∴＝，即＝. 解得x＝5.∴EF＝5. ∴此正方形的面积是5×5＝25. 1.如图，在四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DF⊥AC，垂足为F.求证：AB·AF=CB·CD. 类型 巧用“三点定形法”证等积式 1 证明：∵AD=CD，DF⊥AC， ∴AF=CF，∠DAF=∠DCF，∠DFC=90°. ∵∠DAB=∠ACB=90°，∴∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°， ∴∠DAF=∠ABC，∴∠DCF=∠ABC. 又∵∠DFC=∠ACB=90°，∴△DCF∽△ABC. ∴=，即 =.∴AB·AF=CB·CD. 类型 利用相似三角形的判定与性质解与函数的综合问题 2 2. [中考·湖北]如图①，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4 cm，AB＝n cm．动点P，Q均以1 cm/s的速度从点C同时出 发，点P沿折线C→B→A向点A运动，点Q沿边CA向点A运动．当点Q运动到点A时，两点都停止运动．△PCQ的面积S(单位：cm2)与运动时间t(单位：s) 的关系如图②所示． (1)m＝______； (2)n＝______. 8 12 类型 利用相似三角形的性质解规律探究问题 3 3. [中考·江西]如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到△A1B1C1；再分别取A1C，B1C，A1B1的中点得到△A2B2C2；…．以此类推，则△AnBnCn的面积为( ) A. ()n＋1 B. ()n C. ()n D. ()n－1 C 4. [期中·合肥]如图，在由边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点均为格点(网格线的交点)． (1)以原点O为位似中心，在第一象限 作一个△A′B′C′与△ABC位似， 相似比为2∶1； 类型 利用位似变换求点的坐标 4 解：如图，△A′B′C′即为所求. (2)在(1)的条件下，在△ABC内有一点P(m，n)，则△A′B′C′内与点P对应的点P′的坐标为____________． (－2m，－2n) 5. [中考·自贡节选 ] 九(2)班的学习小组利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度. 方法如下： 如图①，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终 处于同一水平线上． 类型 利用相似三角形解实际问题 5 如图②，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面． 如图③，在江姐故里广场上 E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线 DA与标高线交点C，测得标高 CG＝1.8 m，DG＝1.5 m. 将观测点D后移24 m到D′处，采用同样方法， 测得C′G′＝1.2 m，D′G′＝2 m． 求雕塑高度(结果精确到1 m)． 解：设BG＝x m， 由题意得△DGC∽△DBA，△D′G′C′∽△D′BA， ∴＝，＝， 即＝，＝， ∴＝，整理得3.6(1.5＋x)＝1.8(25.5＋x)，解得x＝22.5． 经检验，x＝22.5是分式方程的解． ∴AB＝1.8×(1.5＋22.5)÷1.5＝28.8≈29(m)． 答：雕塑高度约为29 m． 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS $