第22章 相似形 素养练习卷 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦相似形单元核心，以折叠椅子、汽车盲区等现实情境为载体，通过比例线段计算、相似三角形判定与性质应用，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|比例线段（1）、黄金比（3）、相似判定（6）|基础概念与图像结合，如网格中三角形角度计算（7）| |填空题|4/20|比例尺（11）、位似坐标（13）、矩形线段计算（14）|设置双空题（14），分层考查计算与推理| |解答题|9/90|相似证明（18、19）、动点相似（22）、新定义黄金分割线（21）|融合现实问题（20汽车盲区）与探究性证明（23类比拓展），梯度分明|

第22章相似形素养练习 一、选择题(本大题共10小题，每小题4，共40) 1．下列四组线段中，成比例的是(　　) A．1，2，3，4 B．3，6，9，18 C．1，3，2，8 D．1，2，4，6 2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 3．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为(　　) A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm 4．已知ab＝45，则下列式子正确的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 5．如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，CD与地面AB平行，已知OF＝30 cm，GF＝50 cm，若AB＝40 cm，则CD的长是(　　) A．30 cm B. cm C．20 cm D. cm (第5题)　　(第6题) 6．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，CD上的点，∠BEF＝90°，则图中①、②、③、④四个三角形中一定相似的是(　　) A．①③ B．②③ C．①②③ D．①④ 7．如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，则∠A＋∠F的度数为(　　) A．45° B．50° C．60° D．75° (第7题)　　(第8题) 8．如图，点A，B都是双曲线y＝(k≠0，x>0)上的点，连接AB并延长交x轴于点C，已知AB＝2BC，△AOC的面积为12，则k的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AB长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论正确的是(　　) A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBA C．BD2＝BC·BE D．CE·AB＝BE·CA (第9题)　　(第10题) 10．如图，在正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是EF的中点，连接MC.设EF与BD和DC分别相交于点G和N，下列结论：①△FGD∽△BGE；②若BF＝4，则CE＝2 ；③∠CME＝∠CDE；④DG2＝GN·GE，其中正确的是(　　) A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5，共20) 11．在比例尺为1∶1 000 000的地图上，测得A，B两城市的距离是3.5 cm，则A，B两城市的实际距离是________km. 12．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为6，12，15，△DEF的最短边长为2，那么△DEF的周长为________． 13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，C(6，0)，B(6，4)，A(0，4)．已知矩形OA′B′C′与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，则点B′的坐标是____________________． (第13题)　　(第14题) 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为边AD上一点，AE＝3，F为BE的中点． (1)EF＝________； (2)若CF⊥BE，CE，DF相交于点O，则＝________． 三、(本大题共2小题，每小题8，共16) 15．已知线段a，b，c满足＝＝，且a＋b＋c＝30. (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 16．如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF交于点O.已知DE＝3，EF＝6，AB＝4. (1)求AC的长； (2)若OE：OF＝1：3，求OB：AB. 四、(本大题共2小题，每小题8，共16) 17．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位，△ABC的顶点都在格点上． (1)以原点O为位似中心， 在第三象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的位似图形△A1B1C1； (2)△A1B1C1的面积为______． 18.已知：如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E.求证：＝. 五、(本大题共2小题，每小题10，共20) 19．如图，四边形ABCD是平行四边形，DE交BC于点F，交AB的延长线于点E，且∠EDB＝∠C. (1)求证：△ADE∽△DBE； (2)若BE＝16 cm，DE＝20 cm，求DC的长． 20．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位时(如图①)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图②，是他研究的一个汽车盲区的示意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.5 m，车宽AF＝1.8 m，车头FACD可近似看成一个矩形，且满足3DF＝2AF，求汽车盲区EB的长度． 六、(本题共12) 21．某校的数学拓展性课程班在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部，这两部分的面积分别为S1，S2，如果＝，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D.求证：直线CD是△ABC的黄金分割线． 七、(本题共12) 22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝8 cm.动点N从点C出发，以每秒1 cm 的速度沿CB向终点B移动；同时，动点M从点B出发，以每秒2 cm的速度沿BA向终点A移动．两个动点中有一个到达终点即同时停止移动．连接MN，设移动时间为t(单位：s)． (1)当△BMN的面积为 cm2时，求t的值； (2)若以B，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值． 八、(本题共14) 23．(1)【问题呈现】如图①，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.求证：BD＝CE. (2)【类比探究】如图②，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°.连接BD，CE，则＝________． (3)【拓展提升】如图③，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝.连接BD，CE. ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G.若＝，AB＝6，求BF的长． 答案 一、1.B　2.B　3.A　4.C　5.B　6.A　7.A　8.D 9．D　10.B 二、11.35　12.11　13.(3，2)或(－3，－2) 14．(1)　(2) 三、15.解：(1)设＝＝＝m，则a＝2m，b＝5m， c＝3m， ∵a＋b＋c＝30，∴2m＋5m＋3m＝30，解得m＝3， ∴a＝2m＝2×3＝6，b＝5m＝5×3＝15，c＝3m＝3×3＝9. (2)∵线段k是线段a，b的比例中项， ∴k2＝ab＝6×15＝90， 解得k＝3或k＝－3(舍去)， ∴线段k的长为3. 16．解：(1)∵l1∥l2∥l3，∴DE∶DF＝AB∶AC， 即3∶(3＋6)＝4∶AC，解得AC＝12. (2)∵l2∥l3，∴OB∶OC＝OE∶OF＝1∶3， ∴OC＝3OB.∵AB＝4，AC＝12， ∴BC＝8，∴OC＋OB＝8，∴4OB＝8，∴OB＝2， ∴OB∶AB＝2∶4＝1∶2. 四、17.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求． (2)14 18．证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE＝∠BAC＝90°. ∴∠DAE－∠BAD＝∠BAC－∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAC. ∵AD是直角三角形ABC斜边上的中线， ∴AD＝DC＝BD. ∴∠C＝∠DAC.∴∠BAE＝∠C. 又∵∠E＝∠E，∴△BAE∽△ACE.∴＝. 五、19.(1)证明：由四边形ABCD为平行四边形，可知∠A＝∠C. ∵∠EDB＝∠C，∴∠A＝∠EDB， 又∠E＝∠E，∴△ADE∽△DBE. (2)解：由(1)得△ADE∽△DBE，∴＝， ∵BE＝16 cm，DE＝20 cm，∴AE＝25 cm， ∴AB＝AE－BE＝9 cm. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝9 cm. 20．解：如图，过点P作PN⊥EB于点N，交AF于点M. ∵3DF＝2AF，AF＝1.8 m，∴DF＝1.2 m. ∵四边形ACDF是矩形，∴AF∥CD，∴PM⊥AF. 易知DF＝MN＝1.2 m， ∵PN＝1.5 m， ∴PM＝PN－MN＝1.5－1.2＝0.3(m)． ∵AF∥EB，∴△PAF∽△PBE， ∴＝，∴＝，∴EB＝9 m. 六、21.证明：设△ABC中，AB边上的高为h，则S△ABC＝AB·h，S△ACD＝AD·h，S△BCD＝BD·h， ∴S△ACDS△ABC＝ADAB，S△BCDS△ACD＝BDAD. ∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝36°， ∴∠A＝∠ACD，∠CDB＝180°－∠B－∠BCD＝72°， ∴AD＝CD，∠CDB＝∠B， ∴BC＝CD.∴BC＝AD. 在△BCD与△BAC中，∠B＝∠B，∠BCD＝∠A＝36°， ∴△BCD∽△BAC， ∴＝，∴＝， ∴S△ACDS△ABC＝S△BCDS△ACD， ∴直线CD是△ABC的黄金分割线． 七、22.解：(1)如图，过点M作MD⊥BC于点D. 根据题意得BM＝2t cm，NC＝t cm. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝8 cm， ∴BC＝＝＝6(cm)． ∴BN＝(6－t)cm. ∵∠C＝90°，MD⊥BC，∴∠MDB＝∠ACB＝90°， ∵∠MBD＝∠ABC，∴△BMD∽△BAC， ∴＝，即＝，解得MD＝t cm. ∵S△BMN＝BN·MD，∴(6－t)×t＝， 解得t1＝t2＝3，∴t的值为3. (2)分两种情况讨论： ①当MN⊥BC时，Rt△MBN∽Rt△ABC， 此时＝，即＝，解得t＝； ②当MN⊥AB时，Rt△NBM∽Rt△ABC， 此时＝，即＝，解得t＝. 综上所述，t的值为或. 八、23.(1)证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE. (2) (3)解：①设AB＝3a， ∵＝＝，∴BC＝4a，＝. 又∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，＝， ∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD， ∴＝. 由勾股定理，得AC＝＝5a， ∴＝＝. ②∵AB＝6，＝，∴AC＝10. 由①得△CAE∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ABD. 又∵∠AGC＝∠BGF， ∴△BGF∽△CGA， ∴＝＝， ∴BF＝·AC＝. 学科网（北京）股份有限公司 $