第21章 二次函数与反比例函数【章末复习】（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件系统梳理二次函数与反比例函数知识，以“函数基础-二次函数-反比例函数-综合应用”为逻辑主线，通过知识体系图、核心考点分点解析及速记口诀，串联定义、图像性质、解析式等内容，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于融合数形结合、分类讨论思想，设专题解析中考题型，如二次函数实际应用中“羽毛球飞行路线建模”，培养数学建模与推理能力。含易错清单和分层作业，助力学生精准突破，教师可高效开展针对性复习。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十一章 二次函数与反比例函数 章末复习 2026年8月6日 第21章 二次函数与反比例函数 章末总复习（完整版考点汇总） 本章知识体系：函数基础概念 → 二次函数图像与性质 → 二次函数三种解析式 → 二次函数最值与应用 → 反比例函数图像与性质 → 函数综合题型 一、函数基础铺垫 1. 变量与函数：在一个变化过程中，对于x的每一个确定值，y有唯一确定值与之对应，则y是x的函数。 2. 自变量取值范围 整式：全体实数；分式：分母≠0；二次根式：被开方数≥0；实际问题：符合实际意义。 二、二次函数核心基础 1. 定义：形如 $$y=ax^2+bx+c\ (a eq0)$$ 的函数，叫做二次函数。 ⚠️ 核心条件：二次项系数 \(a eq0\)，最高次数为2，整式函数。 2. 三大解析式（必考选用） （1）一般式：$$y=ax^2+bx+c$$ 适用：已知任意三个点坐标，待定系数法求解。 （2）顶点式：$$y=a(x-h)^2+k$$ 顶点坐标 $$(h,\ k)$$，对称轴直线 $$x=h$$。 适用：已知顶点、对称轴、最值，解题最快。 （3）交点式：$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$ $$x_1、x_2$$ 为抛物线与x轴两个交点的横坐标。 适用：已知抛物线与x轴两个交点。 ⚠️ 仅当抛物线与x轴有交点（$$\Delta\ge0$$）时可用。 三、二次函数图像与性质（考试重中之重） 1. 开口方向与大小 $$a>0$$：开口向上，有最低点，有最小值； $$a<0$$：开口向下，有最高点，有最大值； $$|a|$$ 越大，抛物线开口越窄；$$|a|$$ 越小，开口越宽。 2. 对称轴与顶点公式 对称轴：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$ 顶点纵坐标（最值）：$$y=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$$ 3. 增减性规律 a>0：左减右增（对称轴左侧递减，右侧递增） a<0：左增右减（对称轴左侧递增，右侧递减） 4. 系数abc图像符号判断（选择填空必考） a：看开口（上正下负） b：看对称轴位置（左同右异） 对称轴在y轴左侧 → a、b同号；对称轴在y轴右侧 → a、b异号 c：看与y轴交点（上正下负，过原点c=0） 5. 判别式与交点关系 $$\Delta=b^2-4ac$$ $$\Delta>0$$：与x轴两个交点 $$\Delta=0$$：与x轴一个交点（顶点在x轴） $$\Delta<0$$：与x轴无交点 四、二次函数平移规律（秒杀口诀） 针对顶点式 $$y=a(x-h)^2+k$$ 左加右减，上加下减 左右平移变括号内，上下平移变常数项；平移只改变h、k，a值永远不变。 五、二次函数最值问题（大题高频） 1. 全体实数范围 直接取顶点最值，$$a>0$$最小，$$a<0$$最大。 2. 自变量取值范围（区间最值） 核心方法：看对称轴是否在取值区间内 ① 对称轴在区间内：顶点取一个最值，区间两端取另一个最值； ② 对称轴在区间外：函数单调，端点直接取最值。 六、反比例函数核心考点 1. 定义：形如 $$y=\dfrac{k}{x}\ (k eq0)$$（或$$xy=k$$） 自变量$$x eq0$$，函数值$$y eq0$$，图像永远不经过坐标轴。 2. 图像与性质 $$k>0$$：图像在一、三象限，每一象限内y随x增大而减小； $$k<0$$：图像在二、四象限，每一象限内y随x增大而增大。 ⚠️ 必须强调每一象限内，不能说整个定义域单调。 3. k的几何意义（中考必考） 过双曲线上任意一点作x轴、y轴垂线，围成矩形面积 = $$|k|$$ 围成直角三角形面积 = $$\dfrac{1}{2}|k|$$ 七、函数综合必考题型 1. 函数图像判断问题 结合一次、二次、反比例函数，通过系数符号、象限、增减性排除选项。 2. 交点问题 联立函数解析式，方程组的解即为交点坐标。 3. 二次函数实际应用 拱桥、投篮、利润、面积最值问题，建模求二次函数，利用顶点求最值。 八、本章终极易错清单（高频扣分点） 1. 二次函数忘记 $$a eq0$$，判定题型出错 2. 平移口诀用反，左右平移符号搞混 3. 反比例函数增减性不说“每一象限内”，答题扣分 4. 区间最值直接代顶点，忽略自变量取值范围 5. 图像abc符号判断错误，记错“左同右异” 6. 交点式乱用，无交点强行列交点式 7. 反比例k的几何意义忘记加绝对值，面积为负 九、本章浓缩速记口诀（考前速背） 二次函数三形式，顶点交点一般式。 a定开口b定轴，c交y轴Δ判根。 左加右减平移懂，区间最值看轴位。 反比双曲不过轴，k正一三负二四。 矩形面积绝对k，函数建模解实际。 1. 二 次 函 数 的表达式的 几 种 形 式  ①y=ax2；② y=ax2+bx；③y=ax2+c；④ y=ax2+bx+c ； ⑤ y=a(x－h)2；⑥y=a(x－h)2+k ；⑦ y=a(x－x1)(x－x2) . 2. 抛物线 y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=－ ， 顶点坐标是 (－ ， ). 3. 抛物线 y=ax2+bx+c ， 当 a>0 时， 开口向上， 在对称轴的左侧， y 随 x 的增大而减小， 在对称轴的右侧， y 随 x 的增大而增大， 当 x=－ 时， y 有最小值 ； 当 a<0 时，开口向下， 在对称轴的左侧， y 随 x 的增大而增大， 在对称轴的右侧， y 随 x 的增大而减小， 当 x=－ 时， y 有最大值 . 4. 二次函数与一元二次方程的关系 (1)抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0 的根. (2) 抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的交点情况：有两个交点Δ>0； 有一个交点Δ=0； 没有交点Δ<0. 5. 反比例函数y＝(k 为常数，k ≠ 0)的图象是双曲线，图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k. 6. 反比例函数y＝(k为常数，且k ≠ 0)的基本性质 当k>0 时，图象分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0 时，图象分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大. 7. 双曲线y＝中k 的几何性质 设P是双曲线y＝上任意一点，过点P向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为H，G，连接PO(O为坐标原点)，则S△POH= ，S矩形PHOG=|k|. 专题 二次函数的图象 1 链接中考 >>二次函数图象的特征主要从开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点坐标几个方面考查；两个二次函数图象之间的关系主要有平移、轴对称、中心对称等，考查的形式主要是选择题 . 例 1 [中考·陕西]关于 x 的二次函数 y=x2－2mx+m2－1 (m>1)的 图 象 可 能 是 (　　) 解： 当 x=0 时， y=m2－1. 因 为 m>1，所以 y=m2－1>0，函 数 图 象 与 y 轴 的 交 点 应 在x 轴的上边，故选项 D 错误； y=x2－2mx+m2－1=(x－m) 2－1，函 数 图象的对称轴为直线 x=m. 因为 m>1，所以选项 A 错误； 当 x=m 时，函数值为 y=－1，因此选项 B错误，选项 C 正确． 答案： C 专题 二次函数的性质 2 链接中考 >>二次函数的性质主要有两个：一是轴对称性，二次函数的图象关于对称轴对称；二是增减性，在对称轴的同侧具有相同的增减性 . 考查时两个性质有时同时考查，一般以填空题、选择题的形式出现 . [中考·福建]已知点A(-2，y1)，B(1，y2)在抛物线y=3x2+bx+1 上，若3<b<4，则下列判断正确的是( ) A. 1< y1 < y2 B. y1 <1< y2 C. 1< y2 < y1 D. y2 <1< y1 例2 解题秘方：先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可. 解：在y=3x2+bx+1 中，令x=0，则y=1. ∴抛物线过点(0，1). ∵y=3x2+bx+1， ∴ 抛物线的开口向上，对称轴为直线x=-=- . ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大. ∵ 3<b<4，∴ - <- <- . 易知点A(-2， y1)到对称轴的距离大于点 (0，1)到对称轴的距离，小于点B(1， y2)到对称轴的距离. ∴ 1< y1 < y2 . 答案： A 专题 求二次函数的表达式 3 链接中考 >>二次函数的表达式是两个变量之间的关系式，所以求二次函数的表达式的方法有两种：一种是直接根据两个变量之间的等量关系列出函数表达式；另一种是用待定系数法先设出函数表达式，然后根据函数图象上点的坐标或几对对应值求出函数表达式. 考查的形式多样，填空题、选择题和解答题都会考查. 例 3 [中考·南通]在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A(-1，5)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，-1)，E(5，5)，若抛物线y= a(x-2)2+k(a>0) 经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a 的值不可能为( ) A. B. C. D. 解：由题意知抛物线y= a(x-2)2+k (a>0)的对称轴为直线x=2. ∵点A(-1，5)，E(5，5) 关于对称轴对称. ∴点A，E同时在抛物线上或同时不在抛物线上. 若A，D，E三点在抛物线y= a(x-2)2+k (a>0) 上，将A(-1，5)，D(3，-1)的坐标分别代入y= a(x-2)2+k， 得解得a= . 同理可得，当A，C，E三点在 抛物线y= a(x-2)2+k (a>0)上时，得a= ； 当A，B，E三点在抛物线y= a(x-2)2+k (a>0)上时，得a= . 易得B，C，D三点不能同时在抛物线上. 综上所述，抛物线y= a(x-2)2+k (a>0)能同时经过的三个点有A，D，E；A，C，E； A，B，E. a 的值分别为， ， . ∴ a 的值不可能为. 答案：C 专题 二次函数与一元二次方程或不等式之间的关系 4 链接中考 >>判断二次函数与一元二次方程的关系，就是看函数图象与x 轴的交点的横坐标；解决函数值大于零或小于零的问题，就是看函数图象在x 轴上方或下方时自变量的取值范围，主要以解答题的形式出现. [中考·乐山]已知二次函数y=x2+4x+m的图象经过 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=-2； ②当m<4时，二次函数的图象与x轴有两个交点；| ③若y1<y2，则|x1+2|>|x2+2|； ④ 当x ≥ -2 时，若二次函数的图象与y=2x-1 的图象有两个交点，则-1 ≤m<0. 其中，正确的结论有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 例 4 解：∵二次函数y=x2+4x+m，∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x= － =-=-2，故①正确. 令x2+4x+m=0，则Δ=b2-4ac=42-4×1×m=16-4m， 当m<4 时，Δ=16-4m>0，此时二次函数的图象与x 轴有两个交点， 故②正确. 易知点(x，y)到对称轴直线x=-2 的距离为|x+2|，∵二次函数的图象开口向上，∴距离对称轴越远， 函数值越大， ∴当y1<y2时，|x1+2|<|x2+2| ，∴③错误. 联立得x2+4x+m=2x-1，整理得x2+2x+m+1=0. ∵当x ≥ -2 时，二次函数的图象与y=2x-1的图象有两个交点， ∴ Δ=b2-4ac=22-4(m+1)=-4m>0，解得m<0. 令y1=x2+2x+m+1， 其图象的对称轴为直线x=-1， ∵当x ≥ -2 时，二次函数的图象与y=2x-1的图象有两个交点， ∴当x=-2时，y1≥0，即(-2)2+2×(-2)+m+1 ≥ 0， 解得m≥ -1. ∴ -1 ≤m<0， 故④正确. 答案：C 专题 二次函数的应用 5 链接中考 >>二次函数的应用主要有两种形式，第一种是在实际问题中建立二次函数模型，利用二次函数的性质求解；第二种是二次函数与其他知识的综合应用. 考查时多以解答题的形式出现. [中考·武汉]某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动. 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直. 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y(单位：m)与距发球点的水平距离x(单位：m)的对应值如下表(不考虑空气阻力). 例5 水平距离x/m 0 2 3 5 6 … 高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线(如图21-1)，发现羽毛球飞行路线是抛物线y=ax2+bx+1.1的一部分. 【建立模型】求y 与x的函数表达式(不要求写自变量的取值范围). 解：将点(2，2.3)，(3，2.6) 的坐标分别代入y=ax2+bx+1.1， 得解得 ∴ y 与x 的函数表达式为y=-0.1x2+0.8x+1.1. 【应用模型】(1)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8 m ？请说明理由. 解：不能. 理由如下： 令y=2.8，则-0.1x2+0.8x+1.1=2.8， 整理得x2-8x+17=0，∵ Δ= (-8)2-4×1×17=-4<0， ∴方程没有实数根， ∴羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8 m. (2)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其表达式变为y=ax2+kx+1.1，发球点与球网的水平距离是5 m. 若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1 m，且球的落地点与球网的水平距离小于6 m.求k的取值范围. 解： ∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，∴ a 的值不变，即a=-0.1. ∴改变发球方式后，羽毛球飞行路线对应的抛物线为 y=-0.1x2+kx+1.1. 由题意得，当x=5时，y>2.1；当x=5+6=11时，y<0. ∴解得0.7<k<1. 专题 反比例函数的图象 6 专题解读>>反比例函数的图象是学好反比例函数性质的重要基础，也是区别于一次函数、二次函数的关键所在，因此，在中考中占有重要地位. 一般以选择题形式考查. [中考·广州]若|k|=-k(k ≠ 0)，反比例函数y= 的图象在( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 例 6 解：∵ |k|=-k，k ≠ 0，∴ k ＜ 0. ∴反比例函数y= 的图象在第二、四象限. 答案：C 专题 反比例函数的性质 7 链接中考 >>利用反比例函数的性质主要解决一些函数值的大小比较或求自变量和函数值取值范围的问题，中考中以选择题和填空题为主. [中考·河北]在反比例函数y= 中，若2<y<4，则( ) A. <x<1 B. 1<x<2 C. 2<x<4 D. 4<x<8 例7 解：∵ y= 中，4>0，∴当x>0 时，y 随x 的增大而减小. 当y=2 时，x= =2，当y=4 时，x= =1， ∴当2<y<4 时，1<x<2. 答案：B 专题 反比例函数的应用 8 专题解读>>用反比例函数刻画实际问题中两个变量之间的关系以及用反比例函数的性质解决实际问题是中考命题的重点，尤其用反比例函数的图象来反映实际问题中变量之间的关系是中考命题的热点. 解决这类问题，一是要写出表达式，二是要注意自变量的取值范围. [中考·连云港]某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V(m3)的反比例函数.当V=1.2 m3 时， p=20 000 Pa.则当V=1.5 m3 时，p=________Pa. 例8 16 000 解：设压强p(Pa)与气球体积V(m3)之间的表达式为p= ， 把V=1.2，p=20 000 代入p= ，得20 000= ， 解得k=24 000，∴ p= . 把V=1.5 代入p= ，得p= =16 000. 专题 反比例函数与其他函数的综合 9 链接中考 >>解答反比例函数与其他函数结合在一起的综合题时，要挖掘题目中的条件, 并结合图象找出图象中的关键点，求出函数表达式，并根据题中数量之间的关系，列出所需要的方程或表达式进行解答. [中考·常州]如图21-2，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A(1，n)，B(-3，-2)，且与y轴交于点C. (1)求一次函数、反比例函数的表达式； 例9 解：将B(-3，-2)的坐标代入y=，得-2= ，解得m=6， ∴反比例函数的表达式为y= . 将A(1，n)的坐标代入y= ，得n=6，∴A(1，6). 将A(1，6)，B(-3，-2)的坐标代入y=kx+b ， 得解得∴一次函数的表达式为y=2x+4. (2) 连接OA，求△OAC的面积. 解：当x=0 时，y=2x+4=4， ∴C(0，4)，∴OC=4. ∴ S△OAC= OC·|xA|= ×4×1=2. 专题 数形结合思想 10 专题解读>>本章中涉及数形结合思想方法的题型有：根据已知的二次函数的图象，结合二次函数的性质，对二次函数解析式中各系数之间的关系进行判断；根据两个函数图象的交点和图象之间的位置关系，求与两个函数解析式有关的不等式的解集 ( 形 找 数 ). 另外，根据函数的解析式 ，画出图象，依据二次函数的性质确定变量之间的变化趋势 ( 数 促 形 )等. [中考·资阳]如图21-3，在平面直角坐标系 中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c (a ≠ 0)与y轴相交于点A(0，2)，且抛物线的对称轴为直线x=-1. 给出以下4 个结论： ① abc<0； ②对于任意实数m，am2+bm+c+a的值不小于2； 例 10 ③若P是对称轴上的一点，则OP+AP的最小值为2 ； ④若点(x1，y1 ) ，(x2，y2)在抛物线上，满足 x1 < x2 且x1 + x2 +2>0，则一定有y1 < y2. 其中，所有正确结论的序号为 ______. ②③④ 解：由图象和题意可知a>0， － =-1，当x=0 时，y=c= 2，∴ b=2a>0，∴ 2a-b=0，abc>0，故①错误； 当x=-1 时，函数取得最小值为a-b+c， ∴ 对于任意实数m， am2+bm+c+a ≥ ab+c+a=2a-b+c=c=2， ∴ am2+bm+c+a的值不小于2，故②正确； 如图21-3，作点O关于直线x=-1 的对称点O′，连接O′A，则O′(-2，0)， ∴当点P在O′A上时，OP+AP的值最小，为O′A的长， ∵A(0，2)，O′(-2，0)，∴O′A= =2 ， ∴OP+AP的最小值为2 ，故③正确； ∵抛物线的开口向上，∴抛物线上的点离 对称轴越远，函数值越大， ∵点(x1，y1 ) ，(x2，y2)在抛物线上，满足x1 < x2 且x1 + x2 +2>0 ∴>-1，∴点(x2，y2)离对称轴远，∴ y1 < y2 ，故④正确. 专题 分类讨论思想 11 链接中考 >>当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况分别进行讨论，从而得出相应的结论，这种处理问题的思维方法称为分类讨论思想. 如图21-4，一次函数y= x- 的图象与坐标轴交于点A，B，二次函数y= x2+bx+c的图象过A，B两点． (1)求二次函数的表达式. 例11 解：在y= x- 中，令x=0，得y=- ，令y=0，得x=3， ∴A(3，0)，B(0，- 3). ∵二次函数y = x2+bx+c 的图象过A，B两点， ∴解得 ∴ 二次函数的表达式为y= x2- x- . (2)点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：存在. 抛物线y= x2- x- 的对称轴为直线x=-=1. 设P(1，m)，Q( n， n 2- n - ). ∵ 点C 与点B 关于直线x=1 对称，B(0，- )，∴C(2，- ). ①当BC，PQ为对角线时，BC的中点即是PQ的中点， 即解得 ∴当P (1， )，Q (1， 时， 四边形BQCP是平行四边形. 由P (1， ) ，B (0，- )，C(2，- )， 可得PB2==PC2，∴PB=PC. ∴四边形BQCP是菱形. ∴此时Q (1， . ②当BP，CQ为对角线时，BP，CQ的中点重合，可得 解得 ∴当P(1，0)，Q(-1，0)时，四边形BCPQ是平行四边形. 由P(1，0)，B(0，- )，C(2，- )，可得 BC2=4=PC2， ∴BC=PC. ∴四边形BCPQ是菱形. ∴此时Q(-1，0). ③当BQ，CP为对角线时，BQ，CP的中点重合，可得 解得 ∴当P(1，0)，Q(3，0)时，四边形BCQP是平行四边形. 由P(1，0)，B(0，- )，C(2，- )， 可得BC2=4=PB2，∴BC=PB. ∴四边形BCQP是菱形. ∴此时Q(3，0). 综上所述，Q点的坐标为(1，- )或(-1，0)或(3，0)． 1.[中考·连云港]如图，正比例函数y1=k1 x(k1<0)的图象与反比例函数y2＝(k2<0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标为-1. 当y1<y2 时，x的取值范围是( ) A.x<-1或x>1 B.x<-1或0<x<1 C.-1<x<0或x>1 D.-1<x<0或0<x<1 类型 利用图象法解一元二次方程或一元二次不等式 1 C 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根； 解：由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象可知，抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，所以方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1，x2=3. (2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集； 解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是1＜x＜3. (3) 写出y 随x的增大而减小的自变量x的取值范围； 解：y随x的增大而减小的自变量的取值范围是x＞2. (4) 若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 解：若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，即函数图象与平行于x轴的直线有两个不同的交点，观察图象可知，当k＜2时，满足条件. 3.如图，函数y=-x与函数y=- 的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，求四边形ACBD的面积. 类型 利用反比例函数中比例系数k 的性质求面积 2 解：由题意，易得S△ODB=S△AOC=×|－4|=2， OC=OD，AC=BD， ∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2. ∴四边形ACBD的面积为S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=2×4=8. 4.[期末·亳州]如图，一次函数y=kx+b(k≠ 0)与反比例函数y= (m≠0)的图象交于点A(a，4) 和点B( -6，- ). (1)求一次函数与反比例函数的表达式； 类型 反比例函数与一次函数的综合问题 3 解：把点B( -6，- )的坐标代入y= (m≠0)， 得－=，解得m=8， ∴反比例函数的表达式为y=. ∵点A(a，4)在反比例函数y=的图象上， ∴4=，∴a=2，∴点A坐标是(2，4). ∵点A(2，4)和点B( -6，- )在一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上， ∴解得 ∴一次函数的表达式为y=x+. (2) 连接AO并延长交反比例函数y=的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积. 解：连接OB，设AB交x轴于点M. 对于y=x+，当y=0时，x+=0，解得x=－4，∴点M(－4，0)， ∴△AOB的面积=△AOM的面积+△MOB的面积 =×4×4+×4×｜－｜=. 由双曲线的对称性知AO=OC， ∴△AOB的面积=△BOC的面积=，∴△ABC的面积=2×=. 5.如图，抛物线y=x2+bx+c(b，c是常数)的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A(1，0)，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q． (1)求该抛物线的表达式； 类型 利用二次函数求几何最值 4 解：∵点A(1，0)，AB=4， ∴点B的坐标为(－3，0). 将点A(1，0)，B(－3，0)的坐标代入y=x2+bx+c，得解得 ∴抛物线的表达式为y=x2+2x－3. (2) 求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标． 解：y=x2+2x－3=(x+1)2－4， 则C点坐标为(－1，－4). 由B(－3，0)，C(－1，－4)可得直线BC的表达式为y=－2x－6. 由A(1，0)，C(－1，－4)可得直线AC的表达式为y=2x－2. ∵PQ∥BC，∴设直线PQ的表达式为y=－2x+n， 则PQ与x轴的交点为P(，0)，由解得Q(，). ∵点P在线段AB上，∴－3≤≤1. ∴n的取值范围为－6≤n≤2. ∴S△CPQ=S△CPA－S△APQ=×(1－ )×4－×(1－ )×(－)= － n+2)2+2， ∴当n=－2，即P(－1，0)时，S△CPQ最大，最大值为2. 6. [中考·兰州]综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.请你阅读以下材料，解决“数学建模” 中的问题. 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽. 探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决. 类型 利用二次函数解决实际问题 5 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x(标准单位)为自变量，种子的发芽率y(%)为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 0 35.00 0.6 49.28 1 56.00 1.7 62.37 2 63.00 2.5 61.25 2.7 59.57 3 56.00 3.3 51.17 4 35.00 4.2 29.12 生长素浓度： x/ 标准单位 发芽率y/% 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点. 说明：①当生长素浓度x=0 时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于或等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0 时，停止实验. 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1) 观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； 解：观察上述各点的分布规律， 可知y关于x的函数是二次函数，设该二次函数的表达式为y=ax2+bx+c， 将(0，35)，(1，56)，(2，63)代入， 得解得 ∴该二次函数的表达式为y=－7x2+28x+35. (2) 请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围. 解：当x=0时，y=35，∴种子自然发芽率为35%. 当y=35时，－7x2+28x+35=35， 解得x1=0，x2=4. 当y=0时，－7x2+28x+35=0， 解得x1=－1(舍去)，x2=5. ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4<x≤5. 7. 情境题生活应用中考· 深圳 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系. 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9 条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6 人. 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式： y=-x2+60x+100(0≤x≤30). 结合上述信息，请完成下述问题： (1) 当开通3条安检通道，安检时间为x分钟时，已入场人数为_______ ，排队人数w与安检时间x之间的函数关系式为______________. 18x w=－x2+42x+100 (2) 在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值？最大人数为多少？ 解：w=－x2+42x+100=－(x－21)2+541， ∵－1<0，∴抛物线开口向下， ∴当x=21时，w最大=541. 故排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人. (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10 分钟内(包含10 分钟)减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支. 若同时满足以上两个要求，可开放几条安检通道？请说明理由. 【总结反思】函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性. 解：设开放m条通道，则w=y－6mx=－x2+60x+100－6mx=－x2+6(10－m)x+100， ∴函数图象的对称轴为直线x=3(10－m). ∵要求排队人数在安检开始10分钟内(包括10分钟)减少， ∴0≤3(10－m)≤10，即≤m≤10. 又∵最多开通9条安检通道，∴ ≤m≤9. ∵m为正整数，∴m最小值为7 ， 即最少开放7条安检通道. 8.某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，日销售量与上市的天数之间成反比(如图)，现已知上市30 天时，当日销售量为120 万件. (1) 写出该商品上市以后日销售量y(万件) 与时间x(天)之间的表达式. 类型 利用反比例函数解决实际应用问题 6 解：当0≤x≤30时，设y与x的函数表达式为y=k1x，∴120=30k1，解得k1=4，∴y=4x(0≤x≤30)； 当x>30时，设y与x的函数表达式为y=， ∴120=，解得k2=3 600，∴y= (x>30). 综上所述，该商品上市以后日销售量y(万件)与时间 x(天)之间的表达式为y= (2)求上市至第100 天(含第100天)，日销售量在36 万件以下(不含36 万件)的天数. 解：当0≤x≤30时，令4x＜36，解得x＜9，∴0≤x＜9， ∴当0≤x≤30时，日销售量在36万件以下(不含36万件)的天数为8天；当30<x≤100时，令＜36. 解得x＞100 (不符合题意). ∴上市至第100天(含第100天)，日销售量在36万件以下(不含36万件)的天数为8天. (3)广告合同约定，当日销售量不低于100 万件，并且持续天数不少于12 天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？ 解：当0≤x≤30时，令4x≥100，解得x≥25，∴25≤x≤30， ∴当0≤x≤30时，日销售量不低于100万件的天数为6天； 当x>30时，令≥100，解得x≤36， ∴30<x≤36，∴当x>30时，日销售量不低于100万件的天数为6天. 综上所述，日销售量不低于100万件，并且持续天数为 12天，广告设计师能拿到“特殊贡献奖”. 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS $