22．1　比例线段习题课件2026-2027学年数学沪科版九年级上册

该初中数学课件聚焦“相似形”核心内容，从相似图形的概念辨析入手，通过基础选择（如判断正多边形相似）过渡到相似多边形的相似比计算（如3cm与4.5cm对应边求比），再到三角形相似的判定证明（如平行条件下的比例关系推导），搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光与数学思维，通过手工花边图案辨析（如矩形花边内外图形相似判断）培养观察能力，借助矩形对折相似问题（如短边2求长边）强化推理与运算，用符号语言规范证明过程（如比例式表达对应边关系）。学生能提升抽象与空间观念，教师可利用分层例题提升教学效率。

第3课时　比例的性质与黄金分割 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 1.比例的基本性质：如果＝，那么 (b，d≠0)，反之也成立. 2.合比性质：如果＝，那么＝ (b，d≠0). ad＝bc ＝ 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 3.等比性质：如果＝＝…＝，且b1＋b2＋…＋bn≠0，那么 . = 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 4.把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的 ，这样的线段分割叫做 ，分割点叫做这条线 段的黄金分割点，比值 叫做黄金数. 比例中项 黄金分割 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 已知＝，求的值. 【自主解答】 由比例的基本性质，得 3(5n－2m)＝4m. ∴10m＝15n，∴＝. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 【名师支招】利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 【易错原因】忽视等比性质中分母和不为0 若x＝＝＝，则x的值为(　　) A.－1或 　B. C.－1 D.不能确定 【自主解答】 A 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 知识点1：比例的基本性质 1.已知abcd≠0，将ab＝cd改写成比例式，错误的是 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ D 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 2.(梁溪区期中)若3x－5y＝0，则x∶y＝ . 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 3.已知x∶3＝5∶(x＋2)，求x的值. 解：∵x∶3＝5∶(x＋2)， ∴x(x＋2)＝15， 则x2＋2x－15＝0，(x＋5)(x－3)＝0， 解得x＝－5或x＝3. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 知识点2：合比性质 4.若 ＝，则 的值是( ) A. B. C. D. A 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 5.若2x＝3y(x，y均不为0)，则下列各式中正确的是 ( ) A. = B. = 3 C. = D. = B 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 知识点3：等比性质 6.(1)已知a，b，c满足＝＝＝2，若b＋d＋f＝3，则a＋c＋e的值为 ； (2)如果＝＝＝k(b＋d＋f≠0)，且a＋c＋e＝3(b＋d＋f)，那么k＝ . 7.已知＝＝(b＋d≠0)，则 ＝ . 6 3 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 知识点4：黄金分割 8.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列比例式能成立的是( ) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ C 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 9.(迎江区校级期中)若线段MN的长为2 cm，点P 是线段MN的黄金分割点，则最短的线段MP的长为( ) A.(－1) cm B. cm C.(3－) cm D. cm C 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 10. 若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则 的值是( ) A.－5 B.－ C. D.5 A 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 11.已知线段AB＝10，点C是AB的黄金分割点，则AC的长为( ) A.5－5 B.15－5 C.5－5或15－5 D.以上答案都不对 C 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 12. 已知＝＝，且3a－2b＋c＝9，则2a＋4b－3c的值为 . 14 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 13.如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上. (1)求AM，DM的长； (2)点M是线段AD的黄金分割点吗？ 请说明理由. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 解：(1)由题意，得AD＝2， AP＝1，∠BAD＝90°. ∴PD＝＝. ∵PF＝PD，∴AF＝－1. 在正方形AMEF中，AM＝AF＝－1. ∴DM＝AD－AM＝3－. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 (2)点M是线段AD的黄金分割点. 理由：由(1)得AD·DM＝2(3－)＝6－2， AM2＝(－1)2＝6－2， ∴AM2＝AD·DM. 即点M是线段AD的黄金分割点. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 14.宽与长的比是的矩形叫黄金矩形.心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示)： 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 第一步：作一个正方形ABCD； 第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN； 第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E； 第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F. 请根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 证明：在正方形ABCD中，取AB＝2a， ∵N为BC的中点，∴NC＝BC＝a. 在Rt△DNC中，ND＝＝a2＋(2a)2＝a. 又∵NE＝ND， ∴CE＝NE－NC＝(－1)a. ∴＝＝. 故矩形DCEF为黄金矩形. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 $第2课时　比例线段 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 知识点1：线段的比 1.已知a＝3 m，b＝500 cm，则＝ . 2.点C在线段AB上，若＝，则＝ . 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 知识点2：成比例线段 3.(利辛县期末)下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是( ) A.1，2，3，4 B.1，2，3，6 C.2，3，4，5 D.1，3，4，7 B 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 4.已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3 cm，b＝2 cm，c＝6 cm，则线段d的长为 cm. 4 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 知识点3：比例中项 5.已知6是x和12的比例中项，则x＝ . 3 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 6.已知线段a＝0.3 m，b＝60 cm，c＝12 dm. (1)求线段a与线段b的比； (2)如果线段a，b，c，d成比例，求线段d的长； (3)b是a和c的比例中项吗？为什么？ 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 解：a＝0.3 m＝30 cm，b＝60 cm， c＝12 dm＝120 cm. (1)a∶b＝30∶60＝1∶2. (2)∵线段a，b，c，d成比例， ∴＝，∴＝，∴d＝240 cm. (3)是，理由：∵b2＝3 600，ac＝30×120＝3 600， ∴b2＝ac，∴b是a和c的比例中项. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 知识点4：比例尺 7.已知A，B两地相距10 km，在地图上相距10 cm，则这张地图的比例尺为( ) A.10 000∶1 B.1 000∶1 C.1∶100 000 D.1∶1 000 C 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 8.等边三角形的一边与这边上的高的比是 . 9.(合肥瑶海区期中)如果a∶b＝3∶2，且b是a，c的比例中项，那么b∶c＝ . 2∶ 3∶2 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 10.(丽水中考)小慧同学在学习了“比例线段”后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，在横线上填写适当的数 ，感受这种特殊化的学习过程. 2 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 11.我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的边长是6，那么这个菱形的面积是 . 18 【解析】由题可知6是两条对角线的比例中项，则两条对角线的乘积为 36，由菱形面积是两条对角线乘积的一半即可得解. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AC＝3，BC＝4. (1)求CD和AD的长； (2)求证：AC是AD和AB的比例中项. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 (1)解：∵∠ACB＝90°， AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝5， 又∵AC·BC＝AB·CD， ∴CD＝. ∴AD＝＝＝. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 (2)证明：∵AC2＝32＝9，AD·AB＝×5＝9， ∴AC2＝AD·AB， ∴AC是AD和AB的比例中项. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 $第22章　相似形 22.1　比例线段 第1课时　相似图形 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 知识点1：相似图形 1.在下列各组图形中，一定相似的是( ) A B C D D 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 2.(怀远县校级期末)下列说法正确的是( ) A.对应边都成比例的多边形相似 B.对应角都相等的多边形相似 C.边数相同的正多边形相似 D.矩形都相似 C 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 知识点2：相似多边形与相似比 3. 两个相似多边形一组对应边的长分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为( ) A. B. C. D. A 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 4.如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似.则∠B＝ °，x＝ ，y＝ . 69 4 18 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 5.如图，AB∥CD，AD，BC交于点O，AB＝4，OA＝3，OB＝2，CD＝8，OC＝4，OD＝6.求证：△AOB与△DOC相似. 证明：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠D，∠B＝∠C， 又∵∠AOB＝∠DOC， ＝＝＝， ∴△AOB与△DOC相似. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 6.(相山区期中)手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心的直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是( ) A. 　 B.　 C.　 D. D 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 7.若两个相似多边形的最长边的长度分别为10和20，且其中一个多边形的最短边长为4，则另一个多边形的最短边长为 . 2或8 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 8.一个矩形ABCD的较短边长为2. (1)如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，则它的另一边长为 ； 2 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 (2)如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积. 解：(2)∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，∴＝，∴DF＝＝1， ∴S矩形EFDC＝CD·DF＝2×1＝2. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 $第4课时　平行线分线段成比例及其推论 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 . 2.平行于三角形一边的直线截其他两边(或 )，所得的对应线段 . 成比例 两边延长线 成比例 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 如图，在△AMC中，已知BD∥CM，AC＋AB＝14，且AM∶AD＝4∶3，求AC，AB的长. 【思路分析】根据平行线分线段成比例即可求解. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 【自主解答】∵BD∥CM，∴＝， ∵AM∶AD＝4∶3， ∴AD∶AM＝3∶4，∴＝， 设AB＝3x，AC＝4x， ∵AC＋AB＝14，∴7x＝14，则x＝2， ∴AC＝4x＝8，AB＝3x＝6. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 【易错原因】未分清对应线段 如图，已知l1∥l2∥l3，BD∶DF＝3∶5，那么下列结论正确的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 【自主解答】 C 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 知识点1：平行线分线段成比例 1.(教材P71练习T4变式)如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若AB＝2，AC＝6，DE＝3，则EF的长为（ ） A.3 B.6 C.9 D.12 B 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 2.如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝ 5，那么 ＝ . 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 3.如图，四边形ABCD中，AD∥BC∥EF，如果AE＝3，AB＝8，CD＝ 10，则CF的长是 . 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 知识点2：平行线分线段成比例的推论 4.如图，DE∥BC，若AB＝15，AC＝9，BD＝3，则AE的长为( ) A. B. C. D.12 B 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 5.如图，已知△ABC，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC.若AE＝4，AC＝8，AD＝5，则AB的长为( ) A.5 B.8 C.10 D.15 C 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 6.如图，已知EG∥BC，GF∥CD，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的长. 解：∵AE＝3，EB＝2，∴AB＝5. ∵EG∥BC，GF∥DC， ∴＝＝，＝. ∴＝.∴＝.∴AD＝10. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 7.如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD.为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳(线段AD1)量得AE＝0.4 m，则AD1＝ m. 1.2 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 8.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，若DE＝2AD，AE＝2，则EC＝ . 4 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 9.如图，在△ABC中，AB>AC，AD是BC边上的高，F是BC的中点，EF⊥BC交AB于点E.若BD∶DC＝3∶2，则 BE∶AB＝ . 5∶6 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 10.如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知 ＝，BG＝4. (1)求CG的长； (2)若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 解：(1)∵EF∥BD， ∴＝＝， ∵FG∥AC， ∴＝＝，∵BG＝4， ∴CG＝BG＝×4＝6. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 (2)∵CD＝2，CG＝6，∴DG＝CG－CD＝4， ∵BG＝4，∴BD＝BG＋DG＝8， ∵＝，∴＝， ∵EF∥BD，∴＝，∴＝，∴EF＝. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 11.请阅读以下有关角平分线分线段成比例定理的材料，并完成相应的问题.如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝.下面是这个定理的部分证明过程.证明：如图②，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 (1)请按照上面的证明思路，写出证明过程； 证明：(1)∵CE∥AD， ∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E， ∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC， ∴＝. 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 (2)如图③，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，AD平分 ∠BAC，△ABD的周长为 . 九年级 数学 上册 沪科版 第 1 页 $