23.1.1.1正切（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“正切”核心知识点，涵盖定义、性质及应用。通过汽车爬坡、坡面坡度等现实情境导入，比较不同坡面陡峭程度，引导学生从垂直高度与水平长度的比抽象出正切概念，搭建学习支架。 其亮点在于以问题驱动培养数学思维，通过相似三角形证明正切比值固定，用口诀总结特殊角值强化数学语言表达。分层练习和标准解题步骤助力学生理解，教师可借助丰富例题和易错点分析提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第23章　解直角三角形 23.1.1.1正切 2026年8月6日 23.1.1 正切 核心知识点总结 一、正切的定义（Rt△专属） 在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值，叫做这个锐角的正切。 符号：tan 公式（必考核心）： $$\tan A=\dfrac{\angle A\text{ 的对边}}{\angle A\text{ 的邻边}}$$ 重要说明： 1. 正切只在直角三角形中定义； 2. 正切是比值，没有单位； 3. 正切的值只与角度大小有关，与三角形边长长短无关。 二、精准区分：对边、邻边、斜边 1. 斜边：直角所对的边（最长边，固定不变）； 2. 对边：当前锐角正对着的边（不含该角）； 3. 邻边：组成当前锐角的直角边（紧靠该角）。 易错重中之重：正切不用斜边！只比两条直角边。 三、正切的增减性（必考规律） 在 $$0^\circ < A < 90^\circ$$ 范围内： 角度越大，tan值越大（单调递增） 取值范围：$$\tan A > 0$$ 简单理解：角越陡，对边相对越长，正切比值越大。 四、特殊角正切值（必须背诵） $$\tan30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$ $$\tan45^\circ=1$$ $$\tan60^\circ=\sqrt{3}$$ 口诀：三四三、四五幺、六根号三 五、互余两角正切关系 在Rt△中，两锐角互余（$$\angle A+\angle B=90^\circ$$） $$\tan A \cdot \tan B = 1$$ 结论：互余两角的正切互为倒数。 六、求正切值的三种必考题型 1. 已知两边直接求 找出锐角对边、邻边，直接代入 $$\tan A=\dfrac{\text{对}}{\text{邻}}$$。 2. 已知两边需勾股定理 给出斜边+一直角边，先用勾股定理求出第三条直角边，再求正切。 3. 网格正方形求正切（中考高频） 网格中角不在直角三角形里：构造直角三角形，利用平行、等角转换，再求tan值。 七、标准解题步骤 1. 找角：锁定要求的锐角； 2. 找Rt△：放入直角三角形中； 3. 辨边：分清对边、邻边； 4. 求边：缺边用勾股定理； 5. 作比：对边÷邻边，得出正切值。 八、高频易错点 1. 正切误用斜边：tan无斜边，只有对边、邻边； 2. 对边邻边看反，直接结果颠倒； 3. 认为角度变大tan变小，记反增减性； 4. 非直角三角形直接求tan，概念错误； 5. 特殊角数值记混（30°、60°颠倒）。 九、本节总结口诀 正切比对邻，斜边不参与。 角度越大值越大，直角三角是前提。 三四三来四五一，六十根号三牢记。 互余倒数恒成立，构造求角解难题。 汽车免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽车性能的重要指标之一．汽车的爬坡能力是指汽车在满载时所能爬越的最大坡度． 怎样描述坡面的坡度(倾斜程度)呢？ 2 在下图中，有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水平面，斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面． A B C 100 20 A1 B1 C1 100 30 坡面A1B1比坡面AB更陡． 坡面AB和A1B1哪个更陡？ 你是怎样判断的？ 1 2 从图中很容易看出∠A＜∠A1 ，所以坡面A1B1比坡面AB更陡． 还有其他的判断方法吗？ 因为AC= A1C1 ，所以只要比较BC和B1C1的长度即可，BC ＜ B1C1 ，所以坡面A1B1比坡面AB更陡． 3 类似地，在下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？ 你又是怎样判断的？ A B C 100 30 坡面A1B1比坡面AB更陡． 因为BC= B1C1 ，所以只要比较AC和A1C1的长度即可， 因为A1C1＜AC ，所以坡面A1B1比坡面AB更陡． A1 B1 C1 80 30 4 再来看下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？ A1 B1 C1 80 30 A B C 100 20 能否从前面的问题中得到一些启示？ 水平宽度和垂直高度都不一样 5 水平长度相等， 垂直高度不等． 水平长度不等， 垂直高度相等． 坡面的垂直高度和水平宽度的比值越大，坡面就应该越陡． 6 再来看下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？ A1 B1 C1 80 30 A B C 100 20 ∵ 0.2＜0.375， ∴ 坡面A1B1更陡． 7 如图，在锐角A的一边任取一点B，过点B作另一边的垂线BC，垂足为C，得到Rt△ABC；再任取一点B1，过点B1作另一边的垂线B1C1，垂足为C1，得到另一个Rt△AB1C1……这样，我们可以得到无数个直角三角形，在这些直角三角形中，锐角A的对边与邻边之比 ……有怎样的关系？ B C A B1 C1 B2 C2 试着测出这些对边与邻边的长度，并计算出比值． 你能证明这个结论吗？ 8 B C A B1 C1 B2 C2 证明：∵ ∠ACB=∠ AC1 B1= 90°，　　　　 　　　　∠A=∠A， ∴ Rt△ABC∽Rt△AB1C1 ． ∴ ，即 ． 已知：如图，在Rt△ABC、 Rt△AB1C1和Rt△AB2C2中，∠ACB=∠AC1 B1=∠AC2B2=90°． 求证：　　　　　　　　． 　　　　　　　　 同理可得， ． ∴ ． 证明 当锐角A的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A的对边与邻边的比值总是固定值． 9 归纳 如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tan A，即 A B C c a ∠A的邻边b ∠A的对边 斜边 10 1.[上海期末]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝2，则∠A的正切值为(　　) 1星题 基础练 B 举一反三 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则tan B＝(　　) B 举一反三 归纳 A B C c a ∠A的邻边b ∠A的对边 斜边 tan A是一个完整的符号，tan A不表示“tan”乘以“∠A”； 它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”，但当用 三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠ABC； tan A没有单位，它表示一个比值，锐角A的对边和邻边的比； 初中阶段仅研究直角三角形中，∠A是锐角的正切；将来遇到 锐角的正切问题，也必须放在直角三角形中去研究. 1 2 3 4 注意 13 如图，正切经常用来描述坡面的坡度．坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即 i=h∶l h l (坡度通常写成h∶l的形式) ． 现在你会描述坡面的坡度了吗？ 坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记作α，于是有 α 坡度(i=tan α)越大，坡角α越大，坡面就越陡． 交流 14 典型例题 分析 根据正切的定义计算： 【例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求tan A和tan B． A B C 15 典型例题 【例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4， BC=3，求tan A和tan B． A B C 4 3 解： 16 核心必知 1．如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与________边的比叫作∠A的正切，记作tan A，即tan A＝_______． 邻 举一反三 2．坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫作坡面的______，记作i，即i＝______(坡度通常写成________的形式)．坡面与水平面的夹角叫作__________(或称倾斜角)，记作α，于是有i＝______________．显然，________越大，坡角α越大，坡面就越陡． 坡度(或坡比) h∶l 坡角 坡度 举一反三 3．[芜湖月考]在Rt△ABC中，∠A＝90°，现把这个三角形的三边都扩大为原来的5倍，则∠B的正切值(　　) A．扩大为原来的5倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 C 举一反三 4. 【思维生长】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tan B＝ ，BC＝3，则AC的长是________． 向“勾股定理”生长：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，BC＝8，则AB＝________． 举一反三 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB的中点，CO＝6.5，BC＝5，求tan A和tan B的值. 解：∵∠ACB＝90°，O是AB的中点，CO＝6.5， ∴AB＝2CO＝13. 举一反三 6. 【新情境】如图是某公园的一滑梯侧面图，若滑梯架的高AB为1.6 m，水平宽度BC为2.4 m，则滑梯滑板的坡度为________． 2∶3 举一反三 7．河坝横断面如图所示，坝高BC＝5 m，迎水坡AB的坡度是1∶ ，则AB的长是________m. 10 举一反三 8．如图，将两根木棒AB(长10 dm)，CD(长6 dm)分别斜靠在墙上，其中BE＝6 dm，DE＝2 dm，则木棒________更陡． CD 举一反三 9．[苏州期末]如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为(　　) A 2星题 中档练 举一反三 10. 【新情境】为了学生的安全，某校决定将一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1∶ ，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1∶4.则斜坡AF的长是________m. 举一反三 正切 正切： 坡度： 在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tan A，即 坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即 (坡度通常写成h∶l的形式) ． 课堂小结 27 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS A． B．2 C． D． A. B. C. D. ＝tan α 4 ∵BC＝5，∴AC＝＝＝12， ∴tan A＝＝，tan B＝＝. A．2＋ B．2 C．3＋ D．3 5 $