23.1.2 特殊角的三角函数值（课件）2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦30°、45°、60°角的三角函数值，课堂导入从三角尺找锐角切入，回顾直角三角形三角函数定义，通过设边长推导值，构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于通过口诀（如“正弦一二三递增”）、规律总结（互余关系、平方关系）和题型模板，培养学生抽象能力、推理意识和应用意识。例如用口诀精准记忆，推导过程强化逻辑，几何题结合边长比例提升应用，帮助学生夯实基础减少错误，为教师提供系统教学资源提高效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第23章　解直角三角形 23.1.2 30 °，45 °，60 °角的三角函数值 2026年8月6日 23.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 核心知识点总结 一、三大特殊角三角函数值总表（必背核心） 本节三个特殊锐角：30°、45°、60°，是初中计算、化简、求值、解方程的基础，必须精准背诵、零失误默写。 角度 sin 正弦 cos 余弦 tan 正切 30° $$\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$ 45° $$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ $$1$$ 60° $$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\dfrac{1}{2}$$ $$\sqrt{3}$$ 二、规律背诵口诀（永久不混） 1. 正弦口诀（递增） 1、2、3：sin30°、sin45°、sin60°分子依次为 $$\sqrt1、\sqrt2、\sqrt3$$，分母全是2 $$\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt1}{2},\ \sin45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2},\ \sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$$ 2. 余弦口诀（递减） 3、2、1：cos30°、cos45°、cos60°分子依次为 $$\sqrt3、\sqrt2、\sqrt1$$，分母全是2 $$\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2},\ \cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2},\ \cos60^\circ=\dfrac{\sqrt1}{2}$$ 3. 正切口诀 三十三分三，四十五是一，六十根号三 $$\tan30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3},\ \tan45^\circ=1,\ \tan60^\circ=\sqrt3$$ 三、核心变化规律（结合增减性） 在锐角范围内： 1. 角度增大 → sin、tan 值增大 2. 角度增大 → cos 值减小 对应特殊角大小：$$30^\circ<45^\circ<60^\circ$$ 可快速判断数值大小、检验计算对错。 四、两大重要恒等关系（解题必考） 1. 互余关系 $$\sin30^\circ=\cos60^\circ，\sin60^\circ=\cos30^\circ$$ 原理：互余两角，正余互换。 2. 同角平方关系 任意特殊角都满足：$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ 可用于验算、化简、求值大题。 五、三大必考题型模板 1. 直接代入计算型 式子含特殊角三角函数，直接默写数值，按实数运算法则计算、化简二次根式。 例：$$2\sin30^\circ+\tan45^\circ$$，直接代值计算即可。 2. 已知三角函数值反求角度 给出数值，反向判断是哪个特殊角，是解方程、几何求角基础。 例：若$$\sin A=\dfrac{1}{2}$$，且A为锐角，则$$A=30^\circ$$。 3. 几何图形结合计算 含30°、45°、60°的直角三角形、等腰直角三角形、等边三角形，利用特殊角边长比例求边、求高、求面积。 六、特殊直角三角形边长比例（超级实用结论） 1. 30°、60°直角三角形 三边比：$$1:\sqrt3:2$$短直角边∶长直角边∶斜边 = 核心结论：30°对的直角边 = 斜边的一半。 2. 45°等腰直角三角形 三边比：$$1:1:\sqrt2$$直角边∶直角边∶斜边 = 七、高频易错点（考试重灾区） 1. 30°与60°的sin、cos值互相写反，是最常见扣分点； 2. $$\tan30^\circ$$ 容易记成 $$\sqrt3$$，混淆30°和60°正切； 3. 计算时不化简二次根式、分母不带理化； 4. 忘记sin、cos取值在0～1之间，出现大于1的错误结果； 5. 反向求角度时，忽略锐角范围。 八、满分极简总结 正弦一二三递增，余弦三二一递减； 四五正余皆相等，正切三一、一、根号三。 特殊边角比例定，代入计算稳得分。 三角尺是我们熟悉的学习用具，你能从中找出几个不同的锐角？ 如何求这几个锐角的三角函数值呢？ 45° 30° 60° 3个不同的锐角：30°，45°，60°. 2 回顾 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A确定，那么∠A的三角函数如下： A B C c a b 3 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°． sin 60°= ，cos 60°= ，tan 60°= ． sin 30°= ，cos 30°= ，tan 30°= ． A B C 30° 60° 分析：设BC=1，则AB= 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 当∠A=30°时，sin A写成sin 30°. 2， AC= 1 2 (勾股定理) 4 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=∠B=45°． sin 45°= ，cos 45°= ，tan 45°= ． A B C 45° 45° 分析：设BC=1，则AC=1， AB= 1 1 (勾股定理) (等角对等边) 1 5 30° 45° 60° sin α cos α tan α α 三角函数值 三角函数 A B C 30° 60° A B C 45° 45° 观察上面三个角的正(余)弦的值，你发现了什么规律？ 6 1.[天津中考]tan 45°－ cos 45°的值等于(　　) 1星题 基础练 A 举一反三 2．[合肥期末]在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A∶∠B＝1∶2，则sin A的值为(　　) B 举一反三 3．已知实数a＝tan 30°，b＝cos 60°，c＝sin 45°，则a，b，c之间的大小关系为__________(用“<”号连接)． b<a<c 举一反三 30° 45° 60° sin α cos α α 三角函数值 三角函数 不难发现： sin 30°=cos 60°， sin 60°=cos 30°， sin 45°=cos 45°． 30°，45°，60°这三个角的正(余)弦的值，分别等于它们余角的余(正)弦的值． 这个规律，是否适合任意一个锐角呢？ 等号左右两边的角有什么关系？ 互余 10 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°． A B C c a b ∵ ∠A+∠B=90°， ∴ ∠B=90°∠A． 即sin A=cos B =cos(90°∠A)， cos A=sin B =sin(90°∠A)． ∵ ∴ 任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值． 11 典型例题 【例1】求下列各式的值： 2sin 60°+3tan 30°+ tan 45°； cos245°+tan 60°cos 30°． 解：(1) 2sin 60°+3tan 30°+ tan 45° 分析：将特殊角的三角函数值代入式子计算即可． 12 典型例题 【例1】求下列各式的值： 2sin 60°+3tan 30°+ tan 45°； cos245°+tan 60°cos 30°． 解：(2) cos245°+tan 60°cos 30° 　cos245°表示(cos 45°)2． 类似地， sin2A表示(sin A)2， tan2A表示(tan A)2． 13 典型例题 【例2】在Rt△ABC中，∠C=90°，且sin A= ，求cos B的值． 解：∵ ∠A+∠B=90°， ∴ cos B=cos(90°∠A) = sin A = ． 任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值． 14 核心必知 1．特殊角的三角函数值： 　　　　锐角A 锐角三角函数　　　 30° 45° 60° sin A       cos A       tan A       2.任意一个锐角的正(余)弦值等于它的余角的余(正)弦值． 1 举一反三 4．计算： (1)6tan 30°－ sin 60°－2sin 45°； (2)2cos 45°＋4sin 30°·cos 30°－tan260°； 举一反三 举一反三 5.[淮北期中]若α是锐角，且sin α＝ ，则α的度数为 _______． 30° 举一反三 6．已知α是锐角，且tan(α－10°)＝ ，则α＝________. 70° 举一反三 7．[广州模拟]在锐角三角形ABC中，sinA＝ ，cosB ＝ ，那么∠C＝________． 75° 举一反三 8.【知识初练】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，由三角函数的定义可知：sin A＝_______，cos B＝______，故sin A______cos B(填“>”“<”或“＝”)． ＝ 举一反三 9. 【思维生长】在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝ ，则sin B＝________． 向“逆向思维”生长：若锐角A满足sin A＝cos 35°，则∠A的度数是(　　) A．65° B．55° C．45° D．35° B 举一反三 10.【教材改编题】已知α和β都是锐角，且α＋β＝90°，sin α＋cos β＝ ，求锐角α. 解：∵α和β都是锐角，且α＋β＝90°， ∴sin α＝cos β， ∴sin α＋cos β＝2sin α＝ ，∴sin α＝ ， ∴α＝60°. 举一反三 30° ， 45° ， 60° 角 的 三 角 函 数 值 30°，45°，60°角的三角函数值： 任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值． 课堂小结 24 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS A．0 B．1 C．1－ D．1－ A. B. C. D. 解：原式＝2×＋4××－()2＝＋－3. 解：原式＝6×－×－2×＝2－－. (3)－4tan 30°·cos230°. 解：原式＝－4××＝－4××＝(－1)－＝－2. $