23.2 第4课时 坡度问题及其他应用-【木牍中考•课时A计划】2026-2027学年九年级上册数学配套课件（沪科版·新教材）

该初中数学课件聚焦“解直角三角形的应用”核心知识点，通过河堤横断面、滑梯安全等实际问题导入，衔接解直角三角形的边角关系，搭建从坡度坡角计算到实物模型分析再到函数与几何结合的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实，如《农政全书》桑梯、手推车结构等问题培养应用意识，通过改编题和教材衔接发展推理能力，用一次函数夹角问题体现数学语言表达数量关系。学生能提升实际问题解决能力，教师可获得多样化教学资源。

HK 数 学 9年级 上册 题目好 分册好 服务好 -‹#›- 第4课时　坡度问题及其他应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第23章　解直角三角形 23.2　解直角三角形及其应用 -‹#›- 第4课时　坡度问题及其他应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识点1　利用坡度、坡角解决实际问题 1.如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC＝，斜坡AB＝2，则斜坡AB的坡度为( ) A.∶1 B.∶3 C.2∶1 D.1∶2 限时：15分钟 A 1 -‹#›- 第4课时　坡度问题及其他应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.如图，某幼儿园内滑梯AB的长为3 m，为安全起见，园长打算加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°.若点D，B，C在同一水平地面上，则加长后的滑梯AD的长为　 　 m.(结果保留根号)  3 2 -‹#›- 第4课时　坡度问题及其他应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.［教材P144例6改编］如图，某条高铁路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶BC宽10米，斜坡AB长15米，斜坡AB的坡角α是32°，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，则路基底AD的长为　 　米.(结果精确到1米，参考数据：sin 32°≈0.53，cos 32°≈0.85，tan 32°≈0.62)  　43　 3 -‹#›- 第4课时　坡度问题及其他应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识点2　实物型问题 4.根据《中小学生午休课桌椅通用技术要求》规定，午休椅子能展开成躺姿状态，靠背可放倒至135°以上.如图是一款可以躺睡的椅子及其简化结构示意图，椅座AB平行于地面CD，支点O到地面的距离OC为410 mm，靠背BE的长为520 mm，若∠ABE＝140°，则点E到地面的距离EF的长为 　 mm.(结果保留整数， 参考数据：sin 40°≈0.64， cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)  743　 4 -‹#›- 第4课时　坡度问题及其他应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.［新课标—数学文化题］［2025·合肥经开区一模］明代徐光启创作的《农政全书》成书于万历年间，基本囊括了中国明代农业生产和人民生活的各个方面.书中插图绘制了古代劳动人民发明的一种采桑工具——桑梯，如图1，其模型如图2所示.已知AB＝AC＝2.5米，∠BAC＝70°，梯子的踏脚点为D，梯脚为点C，且AC＝4AD.请求出踏脚点D距地面BC的高度.(结果精确到0.1米，参考数据：sin 55°≈0.82，tan 55°≈1.43) 图1　　 　　图2 5 -‹#›- 第4课时　坡度问题及其他应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F. ∵AB＝AC＝2.5，AC＝4AD， ∴CD＝AC＋AD＝AC＝. ∵AB＝AC，∠BAC＝70°， ∴∠C＝(180°－∠BAC)＝55°. 在Rt△CDF中，CD＝，sin C＝， ∴DF＝CD·sin C≈×0.82≈2.6(米). 答：踏脚点D距地面BC的高度约为2.6米. 5 -‹#›- 第4课时　坡度问题及其他应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识点3　一次函数图象与x轴的夹角 6.直线y＝x－5的向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α，则sin α的值为( ) A. B. C. D. C 6 -‹#›- 第4课时　坡度问题及其他应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.［教材P146练习第1题改编］直线y＝－x＋5向上方向与x轴负方向所夹的锐角的度数是　 　.  　30°　 7 -‹#›- 第4课时　坡度问题及其他应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.已知在第一象限内有一点P(x，4)，O是坐标原点，OP与x轴正方向的夹角为α.如果cos α＝0.6，那么下列各直线中，不经过点P的是( ) A.y＝x B.y＝x C.y＝2x－2 D.y＝x＋ 限时：15分钟 B 8 -‹#›- 第4课时　坡度问题及其他应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.［2026·合肥包河区一模］暑假期间，小华一家到某山区游玩.他们从山脚入口A出发，先沿斜坡AB步行250 m到达缆车入口B，再从B坐缆车经过100 s到达山顶平台C.已知斜坡AB的坡角α＝10°，缆车行驶路线BC(近似看成线段)与水平面的夹角β＝45°，山顶平台C到山脚水平面D的垂直高度CD＝442.5 m.假设点A，B，C，D在同一平面内，求缆车行驶的平均速度.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 10°≈0.17， cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18，≈1.41) 9 -‹#›- 第4课时　坡度问题及其他应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F. 在Rt△ABE中，∠A＝10°，AB＝250 m， ∴BE＝AB·sin 10°≈250×0.17＝42.5(m)， ∴DF＝BE＝42.5 m. ∵CD＝442.5 m，∴CF＝CD－DF＝400 m. 在Rt△BCF中，∠CBF＝45°， ∴BC＝CF＝400 m， ∴400÷100＝4≈5.6(m/s). 答：缆车行驶的平均速度约为5.6 m/s. 9 -‹#›- 第4课时　坡度问题及其他应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.［2024·安庆二模］如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5 cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC＝BC＝60 cm，AC，CD所在直线与地面的夹角分别为30°，60°，CD＝50 cm. (1)求扶手前端D到地面的距离； 图1　　 图2 10 -‹#›- 第4课时　坡度问题及其他应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：如图，过点C作CM⊥AB，垂足为点M，过点D作DN⊥AB，垂足为点N，过点C作CG⊥DN，垂足为点G. ∵AC＝BC＝60，AC，CD所在直线与地面的夹角分别为30°，60°，∴∠A＝∠B＝30°，∠DCG＝60°. 10 -‹#›- 第4课时　坡度问题及其他应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1)在Rt△AMC中，CM＝AC·sin A＝30. 在Rt△CGD中，DG＝CD·sin ∠DCG＝25. 又∵GN＝CM＝30，前后车轮半径均为5， ∴扶手前端D到地面的距离为DG＋GN＋5＝25＋30＋5＝(35＋25) cm. 10 -‹#›- 第4课时　坡度问题及其他应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 图1　　 图2 (2)手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10 cm，DF＝20 cm，EF∥AB，∠EHD＝45°，求小坐板EF的宽度.(本题答案均保留根号) 10 -‹#›- 第4课时　坡度问题及其他应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)∵EF∥AB∥CG，∴∠EFH＝∠DCG＝60°. ∵CD＝50，椅子的支点H到点C的距离为10，DF＝20，∴FH＝20. 如图，过点E作EQ⊥FH，垂足为点Q，设FQ＝x. 在Rt△EQF中，∠EFH＝60°， ∴EF＝2FQ＝2x，EQ＝x. 在Rt△EQH中，∠EHD＝45°，∴HQ＝EQ＝x， ∴x＋x＝20，解得x＝10－10， ∴EF＝2x＝(20－20) cm. 答：小坐板EF的宽度为(20－20) cm. 10 -‹#›- 第4课时　坡度问题及其他应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 周测10(23.2) 见《周测小卷》P20~22  10 -‹#›- 第4课时　坡度问题及其他应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 温馨提示 本课件由安徽木牍教育图书有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ -‹#›- 第4课时　坡度问题及其他应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $