23.2.2仰角、俯角问题（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“仰角、俯角问题”，系统梳理概念辨析、两类几何模型及标准解题步骤，从解直角三角形的条件与依据切入，构建“概念-模型-步骤”学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点是以建模思想为核心，通过单直角三角形（水杉树测量）和双直角三角形（电视塔测量）实例，培养几何直观与推理能力，总结口诀强化模型观念，助力学生用数学语言解决实际问题，教师可提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第23章　解直角三角形 23.2.2仰角、俯角问题 2026年8月6日 23.2.2 仰角、俯角问题 核心知识点总结 一、基本概念（必考辨析） 观测物体时，以水平线为基准，视线与水平线形成的夹角叫做视角，分为仰角和俯角，所有角度均在直角三角形内。 1. 仰角 视线向上倾斜，视线与水平视线的夹角。（抬头看高处） 2. 俯角 视线向下倾斜，视线与水平视线的夹角。（低头看低处） 二、解题核心思想（建模思想） 仰角俯角应用题，本质就是解直角三角形。 解题核心：把实际场景 → 构造直角三角形 → 利用边角关系求解。 固定模型： 1. 水平线段：邻边（水平距离） 2. 竖直线段：对边（高度差） 3. 视线：斜边 4. 仰/俯角：水平线与斜边夹角 三、两类必考几何模型 模型一：单直角三角形模型（基础题） 同一观测点，单次仰角/俯角，只构造一个Rt△。 已知水平距离、仰角，求物体高度； 或已知高度、仰角，求水平距离。 公式核心：$$\tan\alpha=\dfrac{\text{竖直高度}}{\text{水平距离}}$$ 模型二：双直角三角形模型（中考高频压轴） 两点观测、两个角度、共高结构 在地面前后两个观测点，对同一高处物体测两次仰角，形成左右两个直角三角形、共用一条竖直高。 已知：两点间距、两个仰角 求：物体高度、观测点到塔底距离 解题通用方法：设高为h，列方程求解。 四、标准解题步骤（考试满分模板） 1. 画图建模：根据题意画出水平线、视线、竖直高，构造直角三角形； 2. 标已知量：标出角度、已知边长，设未知高度/距离为 $$x$$； 3.选三角函数：优先用 正切 tan（对边竖直、邻边水平，最贴合题型）； 4. 列方程求解：双三角形题型必用方程思想； 5. 作答检验：注意是否需要加观测仪高度、保留小数位数。 五、重要细节考点 1. 观测仪器高度：题目给出测高仪、人眼高度时，最后总高度必须加上仪器高度； 2. 俯角问题一律转化为低处仰角计算，模型完全一致； 3. 优先用tan计算，少用sin、cos，避免斜边复杂运算； 4. 双角模型永远共竖直高，利用水平距离和为定值列方程。 六、高频易错点 1. 角度看错：把视线与竖直线的夹角当成仰角/俯角（最致命错误）； 2. 忘记加观测仪器高度，结果少一截； 3. 双三角形模型不会设未知数，不会列方程； 4. 混淆对边邻边，tan比例式写反； 5. 无图题不自己画图，导致理解题意错误。 七、本节总结口诀 仰看高、俯看低，角度都随水平线起。 水平邻边高对边，视线斜边牢记齐。 单三角直接算，双三角设高解方程。 仪器高度最后加，建模稳拿满分题。 1.解直角三角形的条件是什么？ 除直角外的两个元素(至少有一边) 2.解直角三角形的依据是什么？ a2+b2=c2 ∠A+∠B=90° (1)三边之间的关系： (2)两个锐角之间的关系： (3)边角之间的关系： sinA= ，cosA= ，tanA= . sinB= ，cosB= ，tanB= . A B C a b c 如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8m的E处，测得树顶的仰角∠ACD=52°，已知测角器的架高CE=1.6m，问树高AB为多少？(精确到0.1米) 仰角是什么角呢？ A B C E D 铅 直 线 水平线 仰角 视线 俯角 视线 在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角；当视线在水平线下方时叫做俯角. 例3 如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8m的E处，测得树顶的仰角∠ACD=52°，已知测角器的架高CE=1.6m，问树高AB为多少？(精确到0.1米) A B C E D 8m 52° 1.6m 分析：要计算的是AB的长度， 又有AB=AD+DB， DB=CE=1.6m， 只要再求出AD的长度即可. 例3 如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8m的E处，测得树顶的仰角∠ACD=52°，已知测角器的架高CE=1.6m，问树高AB为多少？(精确到0.1米) A B C E D 8m 52° 1.6m 解：在Rt△ACD中，∠ACD=52°，CD=EB=8m. 由tan∠ACD= ，得 AD=CD·tan∠ACD=8×1.2799≈10.2(m). 由BD=CE=1.6m，得 AB=AD+DB=10.2+1.6=11.8(m). 答：树高AB为11.8m. 1．如图，小明与小华在所住楼下测得点A到点M的距离为59 m，商业大厦顶部N的仰角为53.5°，MN⊥AM，则商业大厦的高MN约为_______m. (结果保留整数，参考数据：sin 53.5°≈0.80， cos 53.5°≈0.59，tan 53.5°≈1.35) 80 【主题情境】小明与小华是同班同学，而且家在同一栋住宅楼，在学完仰角和俯角的知识后，两人相约应用所学知识解决生活中的测量问题． 举一反三 2．如图，小华站在点A处测得商业大厦顶部N的仰角为45°，向前走了35 m到达点B处，测得商业大厦顶部N的仰角为61°，已知小华眼睛到地面的高度AC(BD)为1.7 m，点A，B，M在同一水平线上，MN⊥AB，试求商业大厦的高MN. (结果保留整数，参考数据：sin 61°≈0.87，cos 61°≈0.48，tan 61°≈1.80) 举一反三 解：如图，连接CD并延长交MN于点E， 由题意易知，四边形ABDC，BMED均为矩形， ∴AC＝BD＝ME＝1.7 m，CD＝AB＝35 m. 设EN＝x m．易知∠CEN＝90°. ∵∠ECN＝45°，∴∠CNE＝∠ECN＝45°， ∴CE＝EN＝x m，∴DE＝CE－CD＝(x－35)m. 在Rt△DNE中，tan∠NDE＝ 解得x≈78.75， ∴MN＝EN＋ME≈78.75＋1.7＝80.45≈80(m)． 答：商业大厦的高MN约为80 m. 举一反三 例4 如图，某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB，因为不能直接到达塔底B处，他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C，D两处地面上，用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°，同时量得CD为50m.已知测角器高为1m，问电视塔的高度为多少米？(结果精确到1m). 分析：要求电视塔的高度，也就是求AB的值. AB=AB1+B1B，其中B1B=1m，再计算出AB1的值即可. 例4 如图，某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB，因为不能直接到达塔底B处，他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C，D两处地面上，用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°，同时量得CD为50m.已知测角器高为1m，问电视塔的高度为多少米？(结果精确到1m). 解：设AB1=x m. 在Rt△AC1B1中，由∠AC1B1=45°，得C1B1=AB1. 在Rt△AD1B1中，由∠AD1B1=30°，得 解方程，得x=+1) 答：电视塔的高度为69m. 即 tanAD1B1= = ， ≈68. ∴AB= AB1 + B1B≈68+1=69(m) 方法归纳 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程： (1)将实际问题抽象为数学问题；(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题) (2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 核心必知 如图，在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平线________时叫作仰角；当视线在水平线________时叫作俯角． 上方 下方 举一反三 3．如图，小明与小华在所住楼顶的防护栏B处，测得商业大厦顶部N的仰角为14°，商业大厦底部M的俯角为37°，已知BA⊥AM，MN⊥AM，AB＝60 m，试求商业大厦的高MN.(结果保留整数，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，tan 14°≈0.25， ≈1.73) 举一反三 解：如图，过点B作BC⊥MN于点C， ∴易得四边形ABCM是矩形，∴BA＝CM＝60 m. 在Rt△BCM中，tan∠CBM＝ ∴BC＝ 在Rt△BCN中，tan∠NBC＝ ∴NC＝BC·tan∠NBC≈80×0.25＝20(m)， ∴MN＝CM＋NC≈60＋20＝80(m)． 答：商业大厦的高MN约为80 m. 举一反三 4．如图，小明在所住楼顶的防护栏B处，测得商业大厦底部M处的俯角为37°，小华在商业大厦顶部的防护栏N处，测得所住楼底部A处的俯角为45°，已知AB⊥AM，MN⊥AM，AB＝60 m，试求商业大厦的高MN.(结果保留整数，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) 举一反三 解：∵AB⊥BC，MN⊥DN，AB⊥AM，MN⊥AM， ∴BC∥AM，DN∥AM， ∴∠CBM＝∠AMB＝37°，∠DNA＝∠MAN＝45°. 在Rt△BAM中，tan∠AMB＝ ∴AM＝ ∵∠MAN＝45°，∠AMN＝90°，∴∠MAN＝∠ANM＝45°， ∴MA＝MN≈80 m. 答：商业大厦的高MN约为80 m. 举一反三 5.如图，小明和小华所住小区有一条人工湖，两人要借助无人机测量人工湖的宽度CD.小明操作无人机在A处测得人工湖左岸C处的俯角为α，将无人机沿水平线AF方向继续飞行10 m 至B处，测得人工湖右岸D处的俯角为30°，线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上．其中tan α＝2，MC＝10 m. (1)求无人机的飞行高度AM；(结果保留根号) 举一反三 解：由题意可知，AF∥MD， ∴∠ACM＝∠BAC＝α. 在Rt△ACM中，tan∠ACM＝ ＝tan α＝2， ∴AM＝2MC＝20 m. 答：无人机的飞行高度AM为20 m. 举一反三 (2)求人工湖的宽度CD.(结果精确到0.1 m，参考数据： ≈1.41， ≈1.73) 解：如图，过点B作BN⊥MD，垂足为N，则∠BND＝90°. 由题意可知，AM⊥MD，AF∥MD， ∴∠BDN＝∠FBD＝30°，AM∥BN， 易知四边形ABNM为矩形， ∴AB＝MN＝10 m，BN＝AM＝20 m. 举一反三 在Rt△BND中，tan∠BDN＝ 即tan 30°＝ ∴DN＝60 m， ∴DM＝DN＋MN＝60＋10＝70(m)， ∴CD＝DM－MC＝70－10 ≈52.7(m)． 答：人工湖的宽度CD约为52.7 m. 举一反三 解直角三角形及其应用 仰角、俯角： 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程： 在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角；当视线在水平线下方时叫做俯角. (1)将实际问题抽象为数学问题；(画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题) (2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS ＝≈1.80， ≈＝80(m)． ， ， ， ≈＝80(m)． ， ＝， $